calcule cu puteri cu baze diferite - Matematica Mai Usoara

Etichetă: calcule cu puteri cu baze diferite

29
oct.
2017

Exerciții rezolvate la Factorul Comun la Puteri

"Un ratat nu știe ce va face dacă pierde, dar vorbește despre ce va face dacă va castiga. Un învingător nu vorbește despre ce va face dacă va caștiga, dar știe ce va face dacă pierde."

Eric Berne

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună cateva exerciții la "Factorul comun la Puteri".

Exercițiul 1:

Efectuați calculele, folosind factorul comun:

a) $3^{96}+3^{98}+3^{100}$

b) $2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}$

c) $8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}$

d) $3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}$

e) $6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}$

(mai mult…)

Rezolvare:
a) $3^{96}+3^{98}+3^{100}$
Adunarea este o operație de gradul I și ridicarea la putere este o operație de gradul III, iar ordinea efectuării operațiilor ne spune că trebuie să facem mai întâi operațiile de gradul III și apoi cele de gradul I

Observăm că avem puteri foarte mari și nu putem ridica la putere așa că ne vom folosi de factorul comun și vom da factor comun puterea cea mai mică.

Observăm că $3^{96}$ este puterea cea mai mică asa ca îl dăm factor comun pe $3^{96}$ și obținem:

$3^{96}\cdot(3^{96-96}+3^{98-96}+3^{100-96})$

Scădem puterile și obținem:

$3^{96}\cdot(3^{0}+3^{2}+3^{4})$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

$3^{96}\cdot(1+9+81)$ $=3^{96}\cdot91$

b) $2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}$

Observăm că $2^{47}$ este puterea cea mai mică așa că îl dăm factor comun pe $2^{47}$ și obținem:

$2^{47}\cdot(2\cdot2^{47-47}+3\cdot2^{48-47}+2^{50-47})$

Scădem puterile și obținem:

$2^{47}\cdot(2\cdot2^{0}+3\cdot2^{1}+2^{3})$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

$2^{47}\cdot(2\cdot 1+3\cdot2+8)$

Efectuăm înmulțirile și obținem:

$2^{47}\cdot(2+6+8)$ =

Efectuăm adunarea din paranteză și obținem:

$2^{47}\cdot 16$ =

Știm că 16 îl putem scrie în baza 2 ca $2^{4}$ și obținem

$2^{47}\cdot2^{4}$ =

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și scriem baza și adunam exponenții:

$2^{47+4}=2^{51}$

c) $8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}$

Observăm că $8^{297}$ este cea mai mică putere, îl dăm factor comun pe $8^{297}$ și obținem:

$8^{297}\cdot(8^{300-297}-24\cdot8^{298-297}-64\cdot8^{297-297})$

Scădem puterile și obținem:

$8^{297}\cdot(8^{3}-24\cdot8^{1}-64\cdot8^{0})$

Ridicăm la putere termenii din paranteză și obținem:

$8^{297}\cdot(512-24\cdot8-64\cdot1)$ =

Efectuăm înmulțirile din paranteză și obținem:

$8^{297}\cdot(512-192-64)$ =

Efectuăm scăderea din paranteza rotundă și obținem:

$8^{297}\cdot 256$ =

Știm că putem scrie $8=2^3$ și $256=2^8$ și obținem:

$(2^3)^{297}\cdot 2^8=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri înmulțim puterile și obținem:

$2^{3\cdot297}\cdot 2^8=$ $2^{891}\cdot 2^8=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, scriem baza și adunam puterile și obținem astfel:

$2^{891+8}=2^{899}$

d) $3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

$3^{2n}\cdot3^2+7\cdot 3^{2n}\cdot3^1-6\cdot3^{2n}=$

Observăm că se repetă în fiecare termen al adunării $3^{2n}$ , îl dăm factor comun și obținem:

$3^{2n}\cdot(3^2+7\cdot3^1-6\cdot1)=$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

$3^{2n}\cdot(9+7\cdot3-6)=$

Efectuăm Înmulțirea din paranteză și obținem:

$3^{2n}\cdot(9+21-6)=$

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

$3^{2n}\cdot 24=$ $3^{2n}\cdot 3\cdot8=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri scriem baza și adunăm exponenții și obținem:

$3^{2n+1}\cdot8$

d) $6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri transformăm bazele pe 6 îl scriem $6=2\cdot3$ , pe $4=2^2$ , $9=3^2$ , pe $18=2\cdot3^2$ și obținem:

$(2\cdot3)^{2n+1}+6\cdot (2^2)^{n+1}\cdot (3^2)^{n+2}+(2\cdot3^2)^{n+1}\cdot2^{n+1}$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, distribuim puterea și obținem:

$2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2\cdot(n+1)}\cdot 3^{2\cdot(n+2)}+2^{n+1}\cdot3^{2(n+1)}\cdot2^{n+1}$

$2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2n+2}\cdot 3^{2n+4}+2^{n+1}\cdot3^{2n+2}\cdot2^{n+1}$

$2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^2\cdot2^{n}\cdot2^1$

$2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n+n}\cdot2^{1+1}\cdot3^{2n}\cdot3^2$

$2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{2n}\cdot2^{2}\cdot3^{2n}\cdot3^2$

Observăm că se repeta $2^{2n}\cdot3^{2n}$ și îl dăm factor comun, astfel obținem:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2^1\cdot3^1+6\cdot2^2\cdot3^4+2^{2}\cdot3^2)$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2\cdot3+6\cdot4\cdot81+4\cdot9)$

Efectuăm înmulțirile din paranteza rotundă și obținem:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(6+1944+36)$

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot 1986=$ $(2\cdot3)^{2n}\cdot 6\cdot331=$ $(6)^{2n}\cdot 6^1\cdot331=$ $(6)^{2n+1}\cdot331$

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

08
aug.
2017

Exerciții rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural

categories: Numere Naturale

"Zadarnic vei vrea să-l înveți pe cel ce nu e dornic să fie învățat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăța."
Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am vorbit despre cum putem afla Ultima cifră a unui număr natural. Azi îți propun câteva exemple de exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la această lecție dificilă pentru clasa a V-a.

Exercițiul 1:

Calculați ultima cifră a numerelor:

a) $2^{1299}; \ \ \ 2^{2020};$

b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Rezolvare:

a) Pentru a calcula $2^{1299};$ mai întâi privim atent puterile numărului 2.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 1299 la 4 și obținem: $1299 \ \ \ : \ \ \ 4=324 \ \ \ rest \ \ \ 3$ $\Rightarrow 1299=4\cdot 324 +3$ Atunci putem scrie că: $U(2^{1299})=U(2^{4\cdot 324 +3})=U[(2^{4})^{ 324} \cdot 2^3)]$ $=U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)$ Consultăm tabelul cu puterile lui 2 și observăm că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)=U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8$ Consultăm tabelul cu puterile lui 6.

Observăm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6 astfel obținem: $U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8=U(6 \cdot 8)=U(48)=8$ Am obținut că $U(2^{ 1299})=8$ Calculăm acum pentru $U(2^{ 2020})=?$ Avem mai sus tabelul cu puterile lui 2 și am observat că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4=505 \ \ \ rest \ \ \ 0$ Atunci putem scrie că: $U(2^{2020})=U(2^{4\cdot 505 +0})=U[(2^{4})^{ 505} \cdot 2^0)]$ . Știm că orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1 $\Rightarrow 2^{0}=1$ . Am văzut mai sus că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $=U[(6^{ 505} \cdot 1)]=U(6 \cdot1)=6$ . Am obținut că: $U(2^{ 2020}) = 6$ b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Calculăm $U(21^{ 324}) = ?$

$U(21^{ 324}) = U(1^{ 324})$ Știm că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1. $\Rightarrow U(1^{ 324}) = 1$

Calculăm $U(19 ^{ 257}) = ?$

$U(19 ^{ 257}) = U(9^{ 257}) =$ Calculăm puterile lui 9.

Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2. Împărțim 257 la 2 și obținem: $257 \ \ \ : \ \ \ 2 = 128 \ \ \ rest \ \ \ 1$ Atunci putem scrie că: $U(9^ {257})= U(9^ {2\cdot128+1})= U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)=$ Consultând tabelul cu puterile lui 9 observăm că $9^2$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= U(1^{128})\ \ \ \cdot \ \ \ 9=U(1 \cdot 9 )=9$ Am obținut că $U(19^{ 257}) = 9$

Calculăm $U(17^{ 2020}) = ?$

$U(17^{ 2020}) = U(7^{ 2020})$ = ? Calculăm puterile lui 7.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0$ Atunci putem scrie că: $U(7^{ 2020}) = U[(7^4)^{ 505}]$ Consultând tabelul cu puterile lui 7 observăm că $7^4$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U[(7^4)^{ 505}] = U(1^{505})=1$ Am obținut că $U(17^{ 2020})=1$ .

Învăț pentru mine
Dragul meu părinte își propun câteva exerciții pe care să le rezolve copilul tău urmărind exemplele explicate și rezolvate mai sus! Determină ultima cifră a numerelor: a) $2^{99}; \ \ \ 2^{2018}; \ \ \ 2^{2024};$ b) $41^{2017}; \ \ \ 125^{2017}; \ \ \ 2017^{2018};$ c) $4^{1999}; \ \ \ 129^{2022}; \ \ \ 2016^{2018};$

Succes! PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! Math More Easy - YouTube https:/ https://www.facebook.com/MathMoreEasy. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

19
mart.
2015

Exerciții rezolvate „Reguli de Calcul cu puteri”

categories: Mulţimea numerelor naturale, Numere Naturale

Dragul meu părinte, în lecţia anterioară „Reguli de calcul cu puteri” am vorbit despre noţiunile pe care trebuie sa le reţină copilul tău la această lecţie.

In acest articol, vreau să îţi prezint câteva exemple de exerciţii cu un grad de dificultate diferit, explicate pas cu pas, pentru a te ajuta să-i explici şcolarului tău modul în care trebuiesc abordate exerciţiile de la această lecţie.

(mai mult…)

Exerciţiul 1: Calculaţi:

$15^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=$

Dragul meu părinte, observăm că în acest exerciţiu avem operaţii de ridicare la putere care sunt operaţii de ordin III, operaţii de împărţire a numerelor naturale care sunt operaţii de ordinul II şi operaţia de scădere care este o operaţie de ordinul I.

Comform ordinii efectuarii operaţiilor numerelor naturale, mai întâi efectuăm operaţiile de ordinul III (ridicarea la putere), apoi operaţiile de ordinul II (împărţirea), iar la urmă efectuăm operaţiile de ordinul I (scăderea).

Pentru că avem ridicare la putere cu un exponent mare( şi ar dura mult timp) aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a simplifica rezolvarea exerciţiului, după cum urmează:

Astfel obţinem:

$(5\cdot3) ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=$

$5^{38}\cdot3 ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=$

$1\cdot3 ^{38} - (3^{19})^{2}=$

$"1\cdot3$

$3 ^{38} - 3^{38}=0$

Exerciţiul 2: Calculaţi: $a=(b-c) ^{2011}$ dacă : $b=[(2 ^{3})^{2}-1954^{0}] : 3^{2^{1^{7}}}-(4^{1^{2^{3}}}-1^{4^{3^{2}}})$

$c=32\cdot7 ^{5}-14^{5}+3 $

Rezolvare:

Mai întâi aducem la o formă mai simplă pe „b” şi pe „c”.

Avem : $1954 ^{0}=1$

deoarece ştim ca orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Deasemenea ştim că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1

Astfel obţinem: $b=(2 ^{3\cdot2}-1) : 3 ^{2^{1}}-( 4 ^{1^{8}}-1 ^{4^{9}} )$

$b=(2 ^{6}-1) : 3 ^{2}-( 4 ^{1}-1 )$

$b=(64-1) : 9 - 3$

$b=63 : 9 - 3 $

$"b=$

$b=4 $

$c=32\cdot7 ^{5}-14 ^{5}+3$

$c=32\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3$

$c=2^{5}\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3$

$c=(2\cdot7) ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3$

$c=0+3$

$c=3$

Calculăm numărul „a”: $a=(4-3) ^{2011}$

$a=1 ^{2011}$

$a=1$

Exerciţiul 3:

Determinaţi numărul natural "n" pentru care sunt adevărate egalităţile:

$"7$

Dragul meu părinte, observăm ca in acest exerciţiu avem suma lui Gauss.

$"11+12+13+..............+30=<br$

$"(11+30)+(12+29)+..............=<br$

Avem 20 termeni grupati in 10 paranteze, iar suma fiecarei paranteze este egală cu 41.

$"41+41+............+41=<br$

(de 10 ori)

$"10\cdot41<br$

Astfel obţinem: $7 ^{10\cdot41}=7^{n\cdot3}\cdot7^{2}$

$7 ^{410}=7^{3n+2}$ $\Rightarrow$ $410={3n+2}$ /(-2)

$410-2 =3n+2-2$

$408 =3n /: 3$

$408 : 3 =3n : 3$

$136 =n$

Exerciţiul 4:

Demonstraţi că pentru orice număr natural "n" este adevărată relaţia:

$15 / A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6$

Pentru a demonstra că 15 divide numărul A trebuie să demonstrăm că numărul A este un multiplu de 15. Să aducem numărul A la o formă mai simplă.

$A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6$

Pentru început îl descompunem pe 72 in factori primi şi obţinem:

$A= (2 ^{3}\cdot3 ^{2}) ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6$

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri: $"(a$

$A=2 ^{3(n+1)}\cdot3 ^{2(n+1)}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6$

$A=2 ^{3n+3}\cdot3 ^{2n+2}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6$

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri: $a ^{m+n}=a ^{m}\cdot a ^{n}$

$A=2 ^{3n}\cdot2 ^{3}\cdot3 ^{2n}\cdot3 ^{2}+3 ^{2n}\cdot3 ^{1}\cdot2 ^{3n}\cdot2 ^{2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6$

La următorul pas dăm factor comun pe: $2 ^{3n}\cdot 3 ^{2n}$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(2 ^{3}\cdot3 ^{2}+3 \cdot2 ^{2}+6)$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(8\cdot9+3 \cdot4+6)$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(72+12+6)$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}\cdot90 $

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor