Exerciții rezolvate la Rapoarte. - Matematica Mai Usoara

„Nimic nu este prea dificil dacă împarți în pași mici ceea ce ai de făcut.”

Henry Ford

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună și să explicăm pas cu pas Exerciții rezolvate la Rapoarte!

Exercițiul1: Aflați termenul necunoscut din următoarele rapoarte:

a) $\frac{x}{5}=\frac{21}{3}$

b) $\frac{5}{x}=0,20$

c) $\frac{6,(4)}{x}=8$

Rezolvare:

a) $\frac{x}{5}=\frac{21}{3}$

Înmulțim pe diagonală și obținem :

$\Rightarrow 3 \cdot x=21\cdot5$ $\Rightarrow 3 \cdot x=105$ $\Rightarrow x=105 \ \ \ :\ \ \ 3$ $\Rightarrow x=35$

b) $\frac{5}{x}=0,20$

Transformăm fracția zecimală $0,20$ în fracție ordinară și obținem:

$\Rightarrow \frac{5}{{x}}=\frac{20}{{10}}$ $\Rightarrow \frac{5}{{x}}=\frac{2}{{1}}$ $\Rightarrow 5\cdot 1=x \cdot 2$ $\Rightarrow 2x=5 \ \ \ \ \ /:\ \ 2$ $\Rightarrow x=\frac{5}{{2}}$

c) $\frac{6,(4)}{x}=8$ $\Rightarrow \frac{6,(4)}{x}=\frac{8}{1}$ $\Rightarrow 6,(4)\cdot 1=8 \cdot x$

Transformăm fracția periodică $6,(4)$ în fracție ordinară astfel $6,(4)=\frac{64-6}{{9}}=\frac{58}{{9}}$ și obținem:

$\Rightarrow 6,(4)\cdot 1=8 \cdot x$ $\Rightarrow \frac{58}{{9}}\cdot \frac{1}{{1}}=\frac{8\cdot x}{{1}}$ $\Rightarrow \frac{58}{{9}}=\frac{8\cdot x}{{1}}$ $\Rightarrow 58 \cdot 1 =9 \cdot 8\cdot x$ $\Rightarrow 58=72\cdot x$ $\Rightarrow 58=72\cdot x \ \ \ /\ \ \ \ :\ \ 72$ $\Rightarrow x = \frac{58}{{72}}^{{(2}}$

$\Rightarrow x = \frac{29}{{36}}$

Exercițiul 2: Se consideră numerele $a= 1+2+3+.........................+2018$ și $b = 2+4+6+.........................+4036$ . Calculați :

a) Raportul dintre a și b;

b) Raportul dintre suma și diferența numerelor b și a;

Rezolvare:

Calculăm mai întâi numărul a ca să îl aducem la o formă mai simplă. Recunoaștem suma Gauss a primelor 2018 numere naturale consecutive și aplicăm formula lui Gauss.

$a = 1+2+3+.........................+2018$

$a = 2018\cdot(2018+1) \ \ \ : \ \ \ 2$

$a = 2018\cdot 2019 \ \ \ : \ \ \ 2$

$a = 2018 \ \ \ : \ \ \ 2 \cdot 2019$

$a = 1009 \cdot 2019$

PS: Dacă nu îți mai amintești Suma lui Gauss găsești aici PDF-ul gratuit : Suma Gauss

Calculăm și numărul b pentru a obține o formă mai simplă.

$b = 2+4+6+.........................+4036$ .

Dăm factor comun pe 2 și obținem din nou Suma Gauss a primelor 2018 numere naturale consecutive.

$b =2 \cdot (1+2+3+...............+2018)$

$b =2 \cdot [2018\cdot (2018+1) \ \ :\ \ \ 2]$

$b =2 \cdot [2018\ \ :\ \ \ 2 \cdot (2018+1) ]$

$b =2 \cdot [2018\ \ :\ \ \ 2 \cdot 2019 ]$

$b =2 \cdot 1009 \cdot 2019$

$b =2018 \cdot 2019$

a) Facem raportul $\frac{a}{b} = \frac{1009 \cdot 2019}{2018 \cdot 2019} ^{{(1009 \cdot 2019}}$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{2}$
b) Calculăm raportul $\frac{a+b}{b-a}=$ $\frac{1009\cdot 2019+2018\cdot 2019}{2018\cdot 2019-1009\cdot 2019}=$

Observăm că putem da factor comun pe $1009\cdot2019$ și la numărător și la numitor și obținem:

$\frac{1009\cdot 2019\cdot (1+2)}{1009\cdot 2019\cdot(2-1)}=$ $\frac{1009\cdot 2019\cdot 3}{1009\cdot 2019\cdot 1}=$

Observăm că putem simplifica raportul prin $1009\cdot2019$ și obținem:

$\frac{1009\cdot 2019\cdot 3}{1009\cdot 2019\cdot 1}^{{(1009\cdot 2019}} =$ $\frac{3}{1}=3$

Exercițiul 3:

Știind că $\frac{a}{b} = \frac{7}{2}$ calculați valoarea raportului:

a) $\frac{12\cdot a+6\cdot b}{6\cdot a-b} = ?$

b) $\frac{3\cdot a+5\cdot b}{2\cdot a+b} = ?$

Rezolvare:

a) Știind raportul $\frac{a}{b} = \frac{7}{2}$ înmulțim pe diagonală și scoatem a în funcție de b

$\Rightarrow 2\cdot a= 7 \cdot b$ $\Rightarrow a=\frac{7\cdot b }{{2}}$

Înlocuim a în raportul pe care îl avem de calculat și obținem:

$\Rightarrow \frac{12\cdot \frac{7\cdot b }{{2}}+6\cdot b}{6\cdot \frac{7\cdot b }{{2}}-b} =$ $\frac{ \frac{84\cdot b }{{2}}+6\cdot b}{ \frac{42\cdot b }{{2}}-b} =$

$\frac{ {42\cdot b }+6\cdot b}{ 21\cdot b -b} =$ $\frac{ {48\cdot b }}{ 20\cdot b } ^{(4\cdot b} =$ $\frac{ {12 }}{ 5 }$

b) Știind raportul $\frac{a}{b} = \frac{7}{2}$ înmulțim pe diagonală și scoatem a în funcție de b

$\Rightarrow 2\cdot a= 7 \cdot b$ $\Rightarrow a=\frac{7\cdot b }{{2}}$

Înlocuim a în raportul pe care îl avem de calculat și obținem:

$\frac{3\cdot a+5\cdot b}{2\cdot a+b} =$ $\frac{3\cdot \frac{7\cdot b }{{2}} +5\cdot b}{2\cdot \frac{7\cdot b }{{2}}+b} =$ $\frac{\frac{21\cdot b }{{2}} + 5\cdot b}{ \frac{14\cdot b }{{2}}+b} =$ $\frac{\frac{21\cdot b }{{2}} + _{{}}^{2)}{5\cdot b}}{ \frac{14\cdot b }{{2}}+_{{}}^{2)}{ b}} =$ $\frac{\frac{21\cdot b }{{2}} + {\frac{10\cdot b }{{2}}} }{ \frac{14\cdot b }{2}+{{{\frac{2\cdot b }{{2}}}}$ $= \frac{\frac{31\cdot b }{{2}} }{ \frac{16\cdot b }{2}} =$ ${\frac{31\cdot b }{{2}} }\ \ \ :\ \ \ { \frac{16\cdot b }{2}} =$ ${\frac{31\cdot b }{{2}} } \cdot { \frac{2}{16\cdot b}} =$ ${\frac{31 }{{16}} }$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Share on Facebook