Exerciții rezolvate la modulul unui număr întreg

"Inteligența nu înseamnă să nu faci greșeli, ci să vezi repede cum poți să le îndrepți"

Brelot Breckt

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună cateva exerciții la “Modulul unui număr intreg”.

Exercițiul 1: Completați pentru a obține propoziții adevarate:

a) $\left \ | -11 \right \ |=?$

b) $\left \ | 13 \right \ |=?$

c) $\left \ | 0 \right \ |=?$

d) $\left \ | (-2)^2 \right \ |=?$

e) $\left \ | -3^4 \right \ |=?$

f) $\left \ | -7 +11 \right \ |=?$

g) $\left \ | -15 -6 \right \ |=?$

h) $\left \ | -2^2+3^2 \right \ |=?$

i) $\left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |=?$

Rezolvare:

Știm că modulul sau valoarea absolută a unui număr întreg este valoarea pozitivă a acelui număr.

d) $\left \ | (-2)^2 \right \ |=?$

Știm că semnul minus la putere pară obținem semnul + , astfel $(-2)^2=+ 4$ . Astfel obținem:

$\left \ | (-2)^2 \right \ |=\left \ | 4 \right \ |=4$

e) $\left \ | -3^4 \right \ |=?$

Știm că semnul minus la putere impară obținem semnul - , astfel $-3^4=-81$ . Astfel obținem:

$\left \ | -3^4 \right \ |=\left \ | -81 \right \ |=81$

f) $\left \ | -7 +11 \right \ |=?$

Efectuăm calculele din modul după care explicităm modulul.

Știm că la adunarea a două numere întregi păstrăm semnul celui mai mare și efectuăm scădere între termini. Astfel obținem:

$\left \ | -7 +11 \right \ |= \left \ | +4 \right \ |= 4$

g) $\left \ | -15 -6 \right \ |= ?$

Efectuăm calculele din modul după care explicităm modulul.

Știm că la scăderea a două numere întregi negative păstrăm semnul și efectuăm adunare între termini. Astfel obținem:

$\left \ | -15 -6 \right \ |= \left \ | - 21 \right \ | = 21$

h) $\left \ | -2^2+3^2 \right \ |= ?$

Mai întâi ridicăm numerele întregi la putere, apoi facem calculele după care explicităm modulul. Astfel obținem:

i) $\left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |= ?$

Pentru a putea explicita modului trebuie mai întâi să comparăm puterile:

Comparăm $2^{164}$ cu $3^{123}$ .

Observăm că $164=4 \cdot 41$ , iar $123= 3\cdot 41$ . Astfel obținem:

$2^{4\cdot 41}$ comparat cu $3^{3\cdot 41}$ . Aplicăm regulile de calcul cu puteri și obținem:

$(2^{4})^{41}$ comparat cu $(3^{3})^{41}$ $\Rightarrow 16^{41}$ comparat cu $\Rightarrow 27^{41}$ .

Pentru că am obținut același exponent, comparăm bazele iar numărul cu baza mai mare va fii mai mare. Obținem astfel că : $2^{164} \lt 3^{123}$ $\Rightarrow$ semnul rezultatului din modul va fii negative. În acest caz vom scoate termenii de sub modul cu semen schimbate.

$\left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |= - 2^{164}+3^{123}$

Pentru că avem puteri foarte mari lăsăm așa răspunsul final.

Exercițiul 2: Rezolvați în $Z$ ecuațiile:

a) $\left \| x \right \|=5$

b) $\left \| 2x-17 \right \|=21$

c) $29-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4$

d) $3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7$

Rezolvare:

a) $\left \| x \right \|=5 \Rightarrow x= \pm 5$

b) $\left \| 2x-17 \right \|=21$

Egalăm pe rând valoarea din modul cu 21 și cu -21.

$\left \| 2\cdot x-17 \right \|=21 \Rightarrow 2\cdot x-17=21$ $\Rightarrow 2\cdot x=21+17 \Rightarrow 2\cdot x=38$ $\Rightarrow x=38 \ \ \ : \ \ \ 2 \Rightarrow x=19$
$\left \| 2x-17 \right \|=21\Rightarrow 2x-17=-21$ $\Rightarrow 2\cdot x=- 21+17 \Rightarrow 2\cdot x=- 4$ $\Rightarrow x=-4 \ \ \ : \ \ \ 2 \Rightarrow x=-2$

$x\in \left \{-2 \ \ ; \ \ 19 \right \}$

d) $3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7$

Aplicăm metoda mersului invers.

$3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7 \ \ \ \ \ \ | \ \ +8$

$3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=7+8$

$3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=15$

$3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=15\ \ \ \ \ \ | \ \ : \ \ 3$

$2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9=15 \ \ : \ \ 3$

$2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9=5 \ \ \ \ \ \ | \ \ +9$

$2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | =5 +9$

$2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | =14 \ \ \ \ \ \ | \ \ :2$

$\left \ | 2x- 3 \right \ | =14 \ \ \ :\ \ \ 2$

$\left \ | 2x- 3 \right \ | = 7$

Egalăm pe rând valoarea din modul cu 7 și cu -7.

$\left \ | 2x- 3 \right \ | = 7\Rightarrow 2\cdot x-3=-7 \ \ \ | \ \ \ +3$ $\Rightarrow 2\cdot x=-4 \ \ \ | \ \ \ : \ \ \ \ 2 \Rightarrow x=-2$

$\left \ | 2x- 3 \right \ | = 7\Rightarrow 2\cdot x-3=7 \ \ \ | \ \ \ +3$ $\Rightarrow 2\cdot x=10 \ \ \ | \ \ \ : \ \ \ \ 2 \Rightarrow x=5$

$x\in \left \{ -2\ \ \ ;\ \ \ 5 \right \}$

Exercițiul 3 : Rezolvați în mulțimea numerelor întregi inecuațiile:

a) $\left \| x \right \|\leq 5$

b) $\left \| x-6 \right \|\ \ \ \lt \ \ \ 3$

c) $29- 3\cdot \left \| 2x-7 \right \| \geq -4$

Rezolvare:

a) $\left \| x \right \|\leq 5$ $\Rightarrow -5 \leq x\leq 5$ $\Rightarrow x\in \left \{ -5\ ;\ \ \ -4\ ; \ \ \ -3;\ -2;\ -1;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1;\ \ \ \ 2;\ \ \ 3;\ \ \ \ 4;\ \ \ \ 5 \right \}$

b) $\left \| x-6 \right \|\ \ \ \lt \ \ \ 3$ $\Rightarrow -3\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x-6\ \ \ \ \lt \ \ \ \3\ \ \ \ | \ \ \ +6$ $\Rightarrow -3+6\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x\ \ \ \ \lt \ \ \ \3+6\ \$ $\Rightarrow 3\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x\ \ \ \ \lt \ \ \ \9\ \$ $\Rightarrow x\in \left \{ 4 \ ;\ \ \ \5\ ;\ \ \ \6\ ;\ \ \ \7\ ;\ \ \ \8 \right \}$

c) $29-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4\ \ \ | \ \ \ -29$

$-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4-29$

În momentul în care înmulțim o inecuație cu un număr negativ se schimbă semnul. Astfel obținem:

$\left \ | 2x-7 \right \ | \leq -33 \ \ \ \ :\ \ \ (-3)$

$\left \ | 2x-7 \right \ | \leq 11$ $\Rightarrow -11\leq 2x-7 \leq 11 \ \ \ | \ \ \ +7$ $\Rightarrow -11+7 \leq \ \ \ 2x \leq \ \ \ \ 11+7$ $\Rightarrow -4 \leq \ \ \ 2x \leq \ \ \ \ 18 \ \ \ | \ \ \ :\ \ 2$ $\Rightarrow -4\ \ \ :\ \ \ 2 \leq \ \ \ x \leq \ \ \ \ 18 \ \ \ :\ \ 2$ $\Rightarrow - 2 \leq \ \ \ x \leq \ \ \ \ 9$

$\Rightarrow x\in \left \{ -2 \ ;\ \ \ \ -1\ ;\ \ \ \ 0 \ ;\ \ \ \ 1 \ ;\ \ 2 \ \ ;\ \ \ 3 \ ;\ \ \ \ 4\ ;\ \ \ \ 5\ ;\ \ \ \ 6\ ;\ \ \ \ 7\ ;\ \ \ \ 8\ ;\ \ \ \ 9\ \right \}$

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Share on Facebook