Categorie: Numere Naturale


oct.
2014

Exerciții rezolvate la Ordinea Efectuarii Operațiilor

categories: Numere Naturale

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, în postarea anterioară am vorbit despre „Ordinea Efectuării Operaţiilor”.

Ţi-am reamintit care sunt operaţiile de gradul I, operaţiile de gradul al II-lea şi am vorbit despre ordinea efectuării operaţiilor într-un exerciţiu în care apar parantezele rotunde, pătrate şi acoladele.

Hai să vedem, dragul meu părinte şi câteva exerciţii la această lecţie.

Voi aborda câteva exemple de exerciţii cu grad diferit de dificultate şi pe care le voi explica pas cu pas, astfel încât ţie, dragul meu părinte, îţi va fii foarte uşor să le explici copilului tău.

(mai mult…)

  • Exerciţiul 1: Să se efectueze:

                        1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

Rezolvare:

  • Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

    1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

     1320 + [ 48 · 23 + (3740 – 300) – 235 ·7]=

  • Pasul doi:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

    1320 + [ 48 · 23 + (3740 – 300) – 235 ·7]=

               1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

  • Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă.

    1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

    1320 + ( 1104 + 3440 – 1645)=

  • Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

    1320 + ( 1104 + 3440 – 1645)=

    1320 + ( 4544– 1645)=

  • Pasul cinci:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

               1320 + ( 4544 – 1645)=

              1320 + 2899=

  • Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

    1320 + 2899=

  • 4219   Răspuns corect

  • Exerciţiul 2: Să se efectueze:

                                   2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 5 – 3 · 230)]}=

Rezolvare:

  • Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

    2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 5 – 3 · 230)]}=

     2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400 – 690)]}=

  • Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă, în timp ce acolada va devenii paranteză pătrată.

    2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400 – 690)]}=

               2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

  • Pasul trei: efectuăm operatiile de împărţire şi înmulţire din paranteza rotundă.

    2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

     2307 + [3702 + ( 90+ 2130)]=

  • Pasul patru: efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată va devenii paranteză rotundă.

    2307 + [3702 + ( 90 + 2130)]=

     2307 + (3702 + 2220)=

  • Pasul cinci: efectuăm operatia adunare din paranteza rotundă.

    2307 + (3702 + 2220)=

     2307 + 5922=

  • Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

    2307 + 5922=

  • 8229   Răspuns corect

  • Exerciţiul 3: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea        (320 + x) · 15 = 5100

Rezolvare:

  • Primul pas: împărţim întreaga egalitate la 15.

    (320 + x) · 15 = 5100 / : 15

    (320 + x) · 15 : 15= 5100 :15

     (320 + x ) · 1= 340

  • Pasul doi: efectuăm operatia de înmulţire din partea stângă a egalităţii si scăpăm de paranteza rotundă

                (320 + x ) · 1= 340

                 320 + x= 340

  • Pasul trei :scădem numărul natural 320 din ambele părţi ale egalităţii.

                320 + x= 340 / (- 320 )

                320 + x - 320= 340- 320

  • Pasul patru: efectuăm operatiiile de scădere din ambele părţi ale egalităţii.

    320 + x - 320= 340- 320

  •  x = 20

            x = 20    Răspuns corect

  • Exerciţiul 4: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea:
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Acest gen de exerciţiu se poate rezolva în 2 moduri.

  • Rezolvare primul mod:
  • Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, trebuie să începem rezolvarea exerciţiului de la coadă la cap, astfel.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25
  • Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150

  • Pasul doi: împărţim întreaga egalitate la 10 .

  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150 / :10
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] ·10 : 10= 150 :10
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15
  • Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15
  • Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15 / (+120)
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 + 120 = 15 + 120

  • 15 · (10 · x – 11 ) = 135

  • Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.
  • 15 · (10 · x – 11 ) = 135 / :15
  • 15 · (10 · x – 11 ) : 15 = 135 : 15

  • 1 · (10 · x – 11 ) = 9

  • Pasul şase: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza rotundă.

  • 10 · x – 11 = 9

  • Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.
  • 10 · x – 11 = 9 / (+11)
  • 10 · x – 11 + 11= 9 + 11

  • 10 · x = 20

  • Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

  • 10 · x = 20 / :10
  • 10 · x :10 = 20 :10
  • x = 2

  •  x = 2 Răspuns corect

Rezolvare al doilea mod:

  • Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, notăm paranteza (10 · x – 11 ) = a şi obţinem:[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25, după care rezolvăm ecuaţia în necunoscuta „a” astfel:
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25
  • Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125
  • [15 · a – 120 ] · 10 = 150

  • Pasul doi:împărţim întreaga egalitate la 10 .

  • [15 · a – 120 ] · 10 = 150 / :10
  • [15 · a – 120 ] ·10 : 10= 150 :10
  • [15 · a – 120 ] · 1 = 15
  • Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.
  • [15 · a – 120 ] · 1 = 15
  • 15 · a – 120 = 15
  • Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.
  • 15 · a – 120 = 15 / (+120)
  • 15 · a– 120 + 120 = 15 + 120

  • 15 · a = 135

  • Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.
  • 15 · a = 135 / :15
  • 15 · a : 15 = 135 : 15
  • 1 · a = 9

  • a = 9

  • Pasul şase:revenim la notaţia (10 · x – 11 ) = a ştiind căa = 9 şi obţinem egalitatea:

  • 10 · x – 11 = 9

  • Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.
  • 10 · x – 11 = 9 / (+11)
  • 10 · x – 11 + 11= 9 + 11

  • 10 · x = 20

  • Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.
  • 10 · x = 20 / :10
  • 10 · x :10 = 20 :10
  • x = 2

  •  x = 2 Răspuns corect 

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi  !

Math More Easy - YouTubehttps:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

  • Comentariile sunt închise pentru Exerciții rezolvate la Ordinea Efectuarii Operațiilor

oct.
2014

Ordinea Efectuării Operaţiilor

categories: Numere Naturale

Clasa a V-aDragul meu părinte, noţiunile de la această lecţie nu îi sunt străine copilului tău. O parte din noţiunile de la această lecţie le-a învăţat şi în anul anterior de studiu, însă acum sunt completate şi de noţiuni noi. Dar să vedem, dragul meu părinte, ce trebuie să reţină copilul tău la această lecţie:

(mai mult…)

  • Adunarea şi Scăderea Numerelor Naturale sunt operaţii de de ordinul I

  • Înmulţirea este o adunare repetată.
  • Exemplu: 3 x 4 = 4 + 4 +4   (4 se adună de 3 ori)
  • Împărţirea este o scădere repetată.
  • Exemplu: 12 : 4 = 12 - 4 - 4 - 4 (4 se scade de 3 ori)

  • Înmulţirea şi Împărţirea sunt operaţii de de ordinul II.

  • Într-un exerciţiu fără paranteze, se efectuează întâi înmulţirile şi împărţirile , în ordinea în care sunt scrise; apoi adunările şi scăderile, în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu:   5 x 12 + 7 - 12 : 6 = 60 + 7 – 2 = 67 – 2 = 65

Cum utilizăm Parantezele?

Dragul meu părinte, copilul tău a învăţat în clasele anterioare ordinea efectuării operaţiilor, deci nu este pentru prima oară când intră în contact cu aceste informaţii.

Dacă avem de efectuat următorul calcul:

220- (2 · 3 + 7 · 2)

  • Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

  • Exemplu :

    220 - (2 · 3 + 7 · 2) = 220 – (6 +14) = 220 – 20 = 200

  • Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde si paranteze pătrate atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

  • Exemplu : 145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

  • Primul pas: efectuăm operatia de înmultire din paranteza rotundă

    145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

    145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

  • Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

    145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

               145 + 47 · (215 · 110 – 83 · 117 ) =

  • Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă,

               145 + 47 · (215 · 110 – 83 · 117 ) =

               145 + 47 · (23650 – 9711 ) =

  • Pasul patru:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

              145 + 47 · (23650 – 9711 ) =

               145 + 47 · 13939 =

  • Pasul cinci: efectuăm operatia de înmulţire.

               145 + 47 · 13939 =

               145 + 655133 =

  • Pasul şase:efectuămoperatia de adunare.

              145 + 655133 =

  • 655278 Răspuns corect

  • Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, paranteze pătrate şi acolade atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde, după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, apoi operaţiile din acolade, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

    Exemplu :

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

  • Primul pas: efectuăm operatia de împărţire din paranteza rotundă

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

  • Pasul doi:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar acolada va deveni paranteză pătrată in timp ce paranteza patrată va devinii paranteza rotundă.

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

    [123 · 35 + 10 · (47 + 10 · 444) – 2785] · 10=

  • Pasul trei:efectuăm operatia de înmulţire din paranteza rotundă.

    [123 · 35 + 10 · (47 + 10· 444) – 2785] · 10=

    [123 · 35 + 10 · (47 + 4440) – 2785] · 10=

  • Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă , iar paranteza pătrată se va transforma în paranteză rotundă.

    [123 · 35 + 10 · (47 + 4440 ) – 2785] · 10=

    (123 · 35 + 10 · 4487 – 2785)· 10=

  • Pasul cinci:efectuăm operaţiile de înmulţire din paranteza rotundă.

    (123 · 35+ 10 · 4487– 2785)· 10=

    (4305 + 44870 – 2785)· 10=

  • Pasul şase:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

    (4305 + 44870 – 2785)· 10=

    (49175 – 2785)· 10=

  • Pasul şapte:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

    (49175 – 2785)· 10=

                 46390 · 10=

  • Pasul opt:efectuăm operatia de înmulţire.

               46390· 10=

  •     463900   Răspuns corect.

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi  !

Math More Easy - YouTubehttps:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

  • Comentariile sunt închise pentru Ordinea Efectuării Operaţiilor

aug.
2014

ÎMPĂRŢIREA A DOUĂ SAU MAI MULTE NUMERE NATURALE

categories: Numere Naturale

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, la lecţia

„Împărţirea a două sau mai multe numere naturale” copilul tău trebuie să reţină Teorema Împărţirii cu Rest. De asemenea, la această lecţie, se vor folosi informaţii de la lecţia "Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale". De aceea, dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stapănească foarte bine noţiunile studiate la lectia: "Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale"  pentru a putea să înţeleagă lecţia "Împărţirea a două sau mai multe numere naturale".

(mai mult…)

  • Teorema Împărţirii cu Rest:

    Oricare două numere naturale „a” şi „b”, b≠0, există numerele naturale q şi r, unic determinate, astfel încât:

    • a = b· q + r             şi   r<b ,

  • unde „q” este câtul şi „r” este restul împărţirii lui „a” la „b”.

  • Dacă restul împărţirii lui „a” la „b”este 0 (r=0)spunem că „a” se împarte exact la „b”şi notăm :

a : b = q, 

unde "a" şi "b" sunt factorii câtului, iar "q" este câtul.

  • „a” se numeşte deîmpărţit;

  • „b” se numeşte împărţitor;

  • În acest caz, relaţiile: a=b·q şi a:q=b sunt echivalente.

De asemenea, este esenţial să mai reţină următoarele informaţii:

  • Împărţirea la 0: nu este definită (sau mai bine spus nu are sens).

a : 0= nu are sens

  • Oricare ar fi un număr natural b, b≠0, atunci:

0 : b = 0

  • Oricare ar fi numerele naturale „a”, „b” şi „c”, c≠0, dacă a şi b se împart exact la c, atunci:

 (a+b):c = a:c +b:c

  • iar dacă diferenta are sens (dacă a este mai mare decat b), atunci:

(a-b):c = a:c -b:c

  • Împărţirea nu este asociativă, nu este comuntativă şi nu are element neutru.

  • Ca şi înmulţirea, împărţirea este o operaţie de ordinul doi.

Exemplu:

Să împărţim numarul natural 31401 la numarul natural 250:impartire numere naturale

  • 31401=250 ·125 +151

Răspunsul la împărţirea lui 31401 la 250 obţinem câtul 125 şi restul 151.

  • Dragul meu părinte, iată şi câteva greşeli făcute frecvent de elevi la această lecţie:

  • Cea mai mare greşeală la această lecţie este să împartă un număr natural la 0, împărţire care nu are sens.

    • a : 0= nu are sens

  • O altă greşeală pe care o fac frecvent elevii la această lecţie este să considere ca împărţirea este asociatiativă şi comutativă

  • Altă greşeală des întâlnită la această lecţie este să îl considere pe 0 element neutru.

    • b : 0 = b este greşit

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi  !

Math More Easy - YouTubehttps:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

  • Comentariile sunt închise pentru ÎMPĂRŢIREA A DOUĂ SAU MAI MULTE NUMERE NATURALE

aug.
2014

Exerciții rezolvate Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale

categories: Numere Naturale

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, la lecţia „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mediu, dar şi câteva cu un grad de dificultate ridicat în care voi aplica atât propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” dar şi propietăţile de la „Adunarea a două sau mai multe numere naturale”.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:  Ştiind că : x·y=236 şi z=123. Calculaţi: ( x·y)·z=?  şi  y·(z ·x)=?

Rezolvare:              

  • ( x·y) ·z=?

Ştim din propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” că

  • ( x·y) ·z= x·y ·z =236 · 123=29 028
  • y·(z ·x)=?

Ştim din propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” că

  • y·(z ·x)= y·z ·x = x·y ·z=236 ·123=29 028

RĂSPUNS CORECT: 29028

EXERCIŢIUL 2 :                  Se ştie că: x + y = 29 şi z =18. Calculaţi : x·z+ y·z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la prima vedere pare un exerciţiu dificil, dar nu este deloc aşa.

  • Trebuie să calculăm : x·z+ y·z=?

Observăm că între cei doi termeni ai adunării putem să scoatem factor comul termenul „z”. Asftel obţinem:

  • x·z+ y·z=z·(x+y)=?

Înlocuim cu valorile care ni s-au dat în enunţul exerciţiului şi obţinem:

  • 18·29=522

RĂSPUNS CORECT: 522

EXERCIŢIUL 3 :                Se ştie că: x-y=12 şi z=10. Calculaţi: x·z- y·z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la prima vedere pare un exerciţiu dificil, dar nu este deloc aşa.

  • Trebuie să calculăm : x·z - y·z=?

Observăm că între cei doi termeni ai adunării putem să scoatem factor comul termenul „z”. Asftel obţinem:

  • x·z- y·z=z·(x-y)=?

Înlocuim cu valorile care ni s-au dat în enunţul exerciţiului şi obţinem:

  • 10·12=120

RĂSPUNS CORECT: 120

EXERCIŢIUL 4:                  Rezolvaţi ecuaţia şi aflaţi valoarea lui „x”:

  • x+2x+3x+...........+100x=50500

Rezolvare:

  • x+2x+3x+...........+100x=50500
  • x+2x+3x+...........+98x+99x+100x=50500

Observăm că între termeni adunării putem să scoatem factor comul termenul „x”. Asftel obţinem:

  • x·(1+2+3+...........+98+99+100)=50500

Am obţinut o necunoscută înmulţită cu o paranteză, iar în paranteză avem Suma Gauss a primelor 100 de numere naturale. Un astfel de exerciţiu am prezentat în postul la „Aplicaţii la adunarea numerelor naturale” .Astfel în loc de:

  • x·(1+2+3+...........+98+99+100)=50500 putem scrie:
  • x·(1+100+2+99+3+98+...........)=50500.

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • x·[(1+100)+(2+99)+(3+98)+...........)]=50500.

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 101, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • x·(101+101+101+...........+101)=50500.

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 100:2 termeni, adică 50 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 50 de termeni de 101.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 101 adunat de 50 de ori care îl putem scrie astfel:

  • x·(101·50)=50500.
  • x·5050=50500. /:5050

Obţinem astfel :

  • x=50500: 5050
  • x=10

RĂSPUNS CORECT: x=10

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 5:              Dacă x+y=8 şi y+2z=35 sp se calculeze: 5x+13y+16z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte şi acest exerciţiu pare un exerciţiu dificil la prima vedere însă este doar un exerciţiu în care trebuie să aplicăm proprietăţile de la „Adunărea a două numere naturale” şi proprietăţile de la ”Inmulţirea a două sau mai multe numere naturale”.

  • Observăm că:              5x+13y+16z=?

Pentru că noi cunoaştem: x+y=8 şi y+2z=35 observăm în ecuaţia pe care o avem noi de calculat că putem face câteva artificii matematice care nu ne vor degrada rezultatul şi care ne sunt permise datorită proprietăţilor de la „Adunărea a două numere naturale”.

Astfel pe „13y” îl putem scrie ca: 5y+8y şi obţinem:

  • 5x+5y+8y+16z=?

Observăm că între primii doi termeni putem scoate factor comun pe 5, iar între ultimii doi termeni putem scoate factor camun pe 8, obţinem astfel:

  • 5(x+y)+8(y+2z)=?

Dar noi ştim din enunţul exerciţiului ca x+z=8 şi y+2z=35. Înlocuim în ecuaţia pe care o avem de calculat şi obţinem:

  • 5 · 8 + 8· 35 = ?

Îl scoatem factor comun pe 8 şi obţinem:

  • 8·(5 + 35) = ?
  • 8·40 = 320

RĂSPUNS CORECT: 320

  • Comentariile sunt închise pentru Exerciții rezolvate Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale

aug.
2014

ÎNMULŢIREA A DOUĂ SAU MAI MULTE NUMERE NATURALE

categories: Numere Naturale

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, la lecţia „ Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” copilul tău trebuie să reţină următoarele informaţii:

(mai mult…)

    • Înmulţireaa două sau mai multe numere naturale este un număr numit produsul numerelor naturale şi se notează:
    •               a · b = c
    • „a” şi „b” se numesc factorii produsului , iar „c” se numeşte produsul factorilor.
  • Comentariile sunt închise pentru ÎNMULŢIREA A DOUĂ SAU MAI MULTE NUMERE NATURALE

iul.
2014

Exerciții rezolvate la Adunarea Numerelor Naturale. Suma Gauss

categories: Numere Naturale

Clasa a V-aDragul meu părinte, în acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat, frecvent întâlnite la lecţia ”Adunarea şi Scăderea numerelor naturale”, având în vedere modul în care tu, părinte drag ar trebui te foloseşti de aceste informaţii şi să îi explici copilului tău aceste noţiuni.

(mai mult…)

 EXERCIŢIUL 1:

  • Calculaţi suma:     1+2+3+4+.........................+80 = ?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare unul complicat, însă nu este un exerciţiu greu.

La prima vedere, mulţi copii sunt tentaţi să piardă vremea făcând adunatea termen cu termen, însă aşa cum bine îti dai seama acest lucru este imposibil, iar dacă ar fii posibil ar necesita foarte mult timp de lucru. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să-l abandoneze.

Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

  • 1+2+3+4+.........................+80 = ?

Din proprietăţile adunării pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

  •    1+2+3+4+.........................+80 = ?

putem scrie:

  • 1+80+2+79+3+78+4+77+...........= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" )  ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • (1+80)+(2+79)+(3+78)+(4+77)+...........= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 81, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • 81+81+81+81+...........= ?
  • Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 80 sunt 80 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 80:2 termeni, adică 40 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 40 de termeni de 81.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 81 adunat de 40 de ori:

  • 81+81+81+81+...........+81= ?

Adică putem scrie :

  • 40 x 81=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 3240

RĂSPUNS CORECT: 3240

EXERCIŢIUL 2:

  • Calculaţi suma: 1+3+5+.........................+99= ?

Rezolvare:

Ca şi la exerciţiul anterior, acest exerciţiu este greu de calculat termen cu termen, asa că cea mai bună variantă este abordarea unei rezolvări utilizând proprietăţile matematicii:

  • 1+3+5+.........................95+97+99= ?

Din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ) ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

  • 1+3+5+.........................+95+97+99 = ?

putem scrie:

  • 1+99+3+97+5+95+...........= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" )  ştim că adunarea este asociativă. Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • (1+99)+(3+97)+(5+95)+...........= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 100, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • 100+100+100+...........= ?
  • Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termenidintre care 50 sunt numere naturale pare, iar 50 sunt numere naturale impare.

În cazul acestui exerciţiu avem de calculat suma numerelor naturale impare cuprinse între numărul natural 1 şi numărul natural 100. În concluzie avem 50 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 50:2 termeni, adică 25 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 25 de termeni de 100.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru numărul natural 100 adunat de 25 de ori:

  • 100+100+100+100+...........+100= ?

Adică putem scrie :

  • 25 x 100=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 2500

RĂSPUNS CORECT: 2500

EXERCIŢIUL 3:

  • Calculaţi suma: 3+6+9+12+.........................+2001 = ?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare şi mai complicat faţă de cele oreyentate anterior deoarece avem de calculat mult mai multe numere, însă nu este un exerciţiu greu.

Dacă la exerciţiile anterioare era dificil de efectuat o adunare termen cu termen, în cazul acestui exerciţiu este aproape imposibil să abordezi o astfel de metoda a adunării termen cu termen. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să abandoneze reuolvarea unui astfel de exerciţiu.

 Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

  • 3+6+9+12+.........................+2001 = ?

După cum bine observi, dragul meu părinte, exerciţiul ne cere să adunăm termenii din 3 în 3, cuprinşi între numerele naturale 3 şi 2001.

Se pune problema câţi termeni numere naturale sunt între 3 şi 2001, număraţi din 3 în 3?

Pentru a afla răspunsul la acestă întrebare, îl împărţim pe 2001 la 3 si obţinem astfel:

  • 2001 : 3 = 667 termeni.

Observăm că numărul natural 667 este un număr impar, acest lucru înseamnă că dacă vrem să grupam termenii 2 câte 2, obţinem 666 termeni pe care îi grupăm 2 câte 2 plus încă un termen.

  • 667 : 2 = 333 termeni + 1 termen liber

Dar care este numărul natural care are rolul de termen liber?

Dacă încercăm să grupăm termenii 2 câte 2, obţinem:

  • 3+6+9+12+.........................+1992+1995+1998+2001 = ?
  • 3+2001+6+1998+9+1995+12+1992+...................= ?
  • (3+2001)+(6+1998)+(9+1995)+(12+1992)+...........+termenul liber = ?

Avem astfel 333 paranteze +termenul liber .termenul liber.

Observăm că rezultatul din fiecare paranteză este 2004.

Obţinem astfel 2004 adunat de 333 de ori + termenul liber .

  • 2004+2004+2004+2004+.........................+termenul liber = ?

Adică:

  • 333 x 2004 + termenul liber = ?
  • Însă, dragul meu părinte, problema se pune ce număr natural este termenul liber?

Pentru a afla termenul liber, împărţim:

  • 2004 : 2 =1002

Obţinem astfel:

  • 333 x 2004 + 1002= ?

Efectuând calculele obţinem:

  • 667 332+ 1002= ?
  • 668 334.

RĂSPUNS CORECT: 668 334

PS: Dragul meu părinte, dacă vrei mai multe exemple rezolvate de exerciţii cu Suma Gauss descarcă Pdf-ul gratuit de aici:

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi  !

Math More Easy - YouTubehttps:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor


iul.
2014

Adunarea și Scăderea Numerelor Naturale

categories: Numere Naturale

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. 

  • Adunarea a două sau mai multe numere naturale este un număr numit suma numerelor naturale şi se notează:

    a + b = c  , 

  • unde „a” şi „b” se numesc termenii sumei iar „c” se numeşte suma numerelor naturale.

De asemenea, este esenţial să reţină proprietăţile adunării:

  • Comutativitatea:(dacă schimbăm poziţia termenilor rezultatul rămâne neschimbat).

a+b=b+a

  • Exemplu:

  • 3+4 = 4+3 = 7

  • 3+4 = 42+3+5 = 3+5+2 = 5+3+2 = 10

  • Asociativitatea:

 (a+b)+c=a+(b+c)

  • Exemplu:
  • (2+3)+5 = 2+(3+5) = 10

  • Element neutru: pe 0.

    Elementul neutru este un număr natural care adunat la un număr, suma celor 2 numere este egală cu numărul natural dat.

a+0=0+a=a

  • Exemplu:
  • 3+0 = 0+3 = 3.

SCĂDEREA NUMERELOR NATURALE:

Scăderea a două (sau mai multe) numere naturale este un număr natural unic, numit diferenţă şi se notează: „a -b” cu proprietatea că a>b ;

  • “a” şi „b” se numesc termenii diferenţei.
a - b = c, 
  • unde:  „a” se numeşte descăzut;
  • „b”  se numeste scăzător;
  • „c” se numeşte diferenţă;

  • Scăderea nu este comutativă, nu este asociativă şi nu are element neutru.

O greşeală frecventă facută de elevi la această lecţie este confuzia între denumirea termenilor adunării şi scăderii numerelor naturale.

De asemenea, elevii mai fac frecvent greşeala de a spune că scăderea are proprietăţi de:

  • asociativitate;
  • comutativitate;
  • element neutru.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas accesează link-ul de mai jos:

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi  !

Math More Easy - YouTubehttps:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor


apr.
2014

Exerciții rezolvate la Scrierea și Citirea Numerelor Naturale

categories: Numere Naturale, Uncategorized

  Clasa a V-a"În acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii frecvent întâlnite la lecţia Scrierea şi citirea numerelor naturale".

EXERCIŢIUL  1:

  •   Aflaţi cel mai mare număr natural de forma  $\displaystyle \overline{aa}$.

Rezolvare:

  • Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.
  •  În acest caz rezultă  că  a = 9.
  • Astfel obţinem că cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{aa}$  este 99.

Răspuns corect:

                        99

  EXERCIŢIUL  2:

  • Aflaţi cel mai mare număr natural de forma $\displaystyle \overline{abc}$:

Rezolvare:

  •  Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.
  • În acest caz exerciţiul ne cere să aflăm cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{abc}$ :    rezultă  că a=b=c=9.
  • Astfel obţinem că cel mai mare număr de forma  $\displaystyle \overline{abc}$ este 999.

Răspuns corect:

               999          999

  EXERCIŢIUL  3 :  

  •  Aflaţi cel mai mare număr natural de forma :$\displaystyle \overline{abc}$  format din cifre distincte.

Rezolvare: 

  • Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.
  • Acest exerciţiu ne cere cel mai mare număr natural format din cifre distincte deci în acest caz .
  • În  exerciţiul nostru, pentru ca numărul natural de  forma să fie cel mai mare trebuie să aibă cifra sutelor egală cu 9.
  •                     a =  Cifra Sutelor       
  •                     b =  Cifra Zecilor   
  •                     c = Cifra Unităţi
  • În concluzie  a = 9.
  • Dar ştim că a\neq b\neq c.
  • În concluzie b şi c nu pot lua valoarea 9.
  • Dar ştim că 8 şi 7 sunt următoarele numere naturale cele mai mari după 9. 
  • În concluzie cifra zecilor a numărului nostru trebuie să fie 8, deci b=8, iar cifra unităţilor să fie 7 rezultă că c = 7.
  • Astfel obţinem numărul 987.

Răspuns corect:      987

EXERCIŢIUL  4 :

  • Ø Scrieţi toate numerele naturale de forma $ \displaystyle \overline{xyzt}$ cu condiţia ca $ x+y=z+t=4$  cu x, z, y, t distincte.

Rezolvare:

  •   Exerciţiul nostru, spune că x, y, z, t sunt distincte, deci x\neq y\neq z\neq t şi că $ \begin{array}{l}x+y=4\\z+t=4\end{array}$
  • Analizând această condiţie obţinem:$ \begin{array}{l}0+4=4\\1+3=4\\3+1=4\\4+0=4\end{array}$
  •   În concluzie numerele noastre x, y, z, t pot lua pe rând valorile 0, 1, 3, 4.
  • Şi acum să vedem ce variante avem:
  • VariantaVarianta 2Varianta 1:           $ \displaystyle x=0,\text{ }y=4,\text{ }z\text{ }=1,\text{ }t=3.$                        

Obţinem numărul de forma : 0413 care nu respectă condiţia impusă de exerciţiul nostru pentru că numărul nostru trebuie să fie format din patru numere.

  • Varianta 2 :       $\displaystyle x=4,\text{ }y=0,\text{ }z\text{ }=1,\text{ }t=3.$

Obţinem numărul 4013 

  • Varianta 3 :     $\displaystyle x=4,\text{ }y=0,\text{ }z\text{ }=3,\text{ }t=1.$

  Obţinem numărul 4031 

  • Varianta 4 :        $\displaystyle x=1,\text{ }y=3,\text{ }z\text{ }=0,\text{ }t=4.$                           

Obţinem numărul 1304. 

  • Varianta 5:       $\displaystyle x=1,\text{ }y=3,\text{ }z\text{ }=4,\text{ }t=0.$

Obţinem numărul 1340.

  • Varianta 6 :     $\displaystyle x=3,\text{ }y=1,\text{ }z\text{ }=0,\text{ }t=4.$

Obţinem numărul 3104.

  • Varianta 7 :       $\displaystyle x=3,\text{ }y=1,\text{ }z\text{ }=4,\text{ }t=0.$

Obţinem numărul 3140.

Răspuns corect:    1304, 1340, 3104, 3140, 4013, 4031

 

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

  • Comentariile sunt închise pentru Exerciții rezolvate la Scrierea și Citirea Numerelor Naturale

mart.
2014

SCRIEREA ŞI CITIREA NUMERELOR NATURALE

categories: Numere Naturale

Clasa a V-aLa această lecţie puţini copii fac greşeli majore. Această lecţie este una de dificultate scăzută, iar copii înţeleg foarte bine noţiunea de număr natural şi care sunt regulile în citirea şi scrierea numerelor naturale.

Principalele greşeli pe care le poate face un copil care înţelege mai greu matematica sunt:

  • Să confunde numerele naturale cu cifrele:

Cifrele arabe sunt numerele  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Numerele naturale sunt toate numerele scrise cu ajutorul cifrelor arabe : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ........., 99,....,1000, ........

  • Să nu reuşească să identifice numerele consecutive:

Un număr natural  „n” şi numărul natural „n+1” se numesc numere consecutive.

  EXEMPLE:

  • numărul 1 şi numărul 2 sunt numere consecutive.
  • numărul 13 şi numărul 14 sunt numere consecutive.
  • numărul 25 şi numărul 27 nu sunt numere consecutive
  •  Să confunde aproximarea prin lipsă la zeci cu aproximarea prin adaos la zeci :

Aproximarea prin lipsă la zeci înseamnă scăderea numărului natural până la cel mai mare număr mai mic decât numărul natural format din zeci.

EXEMPLE:

  • 5837  aproximat prin lipsă la zeci obţinem numărul natural  5830
  • 4995  aproximat prin lipsă la zeci obţinem numărul natural 4990

 La aproximarea prin lipsă la zeci trebuie sa scădem unităţile astfel încât cifra unităţilor să fie 0.

EXEMPLE:

  • 5837  aproximat prin lipsă la zeci

 

5 = Cifra Miilor

8= Cifra Sutelor

3 = Cifra Zecilor

7 = Cifra Unităţilor

În acest caz trebuie sa scădem cifra unităţilor , numărul natural 7 pană la 0. Astfel se obţine numărul natural 5830.

5 = Cifra Miilor

8 = Cifra Sutelor

3 = Cifra Zecilor

0 = Cifra Unităţilor

 

Aproximarea prin adaos la zeci  reprezintă cel mai mic număr natural mai mare sau egal cu numărul natural format numai din zeci.

EXEMPLE:

  •  4997  aproximat prin adaos la zeci obţinem numărul natural  5000.
  • 4831  aproximat prin adaos la zeci obţinem numărul natural 4840.

   La aproximarea prin adaos la zeci trebuie sa adăugăm  unităţi  astfel încât cifra unităţilor să fie 0.

EXEMPLE:

  • 4857  aproximat prin adaos la zeci

4 = Cifra Miilor

8 = Cifra Sutelor

5 = Cifra Zecilor

7 = Cifra Unităţilor

În acest caz trebuie sa adăugăm la  cifra unităţilor 7, până când  obţinem 0. Astfel se obţine numărul natural 4860.

4 = Cifra Miilor

8 = Cifra Sutelor

6 = Cifra Zecilor

0 = Cifra Unităţilor
  • Să confunde aproximarea cu rotunjirea numerelor naturale:

Rotunjirea  la  zeci a numerelor naturale (prin lipsă sau adaos) este aproximarea numerelor naturale (prin lipsă sau adaos) la cea mai apropiată valoare a numărului respectiv .

EXEMPLE:

  • 14 857 îl rotunjim la zeci la numărul 14 860.
  • 14 857 îl rotunjim la sute la numărul 14 900.
  • 14 857 îl rotunjim la mii la numărul 15 000.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas accesează link-ul de mai jos:

Exerciții rezolvate la Scrierea și Citirea Numerelor Naturale

  • Comentariile sunt închise pentru SCRIEREA ŞI CITIREA NUMERELOR NATURALE