triunghi dreptunghic - Matematica Mai Usoara

„Cu putin talent şi o perseverenţă extraordinară toate lucrurile pot fi atinse.”

Thomas Foxwell Buxton

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Astăzi te invit să exersăm câteva probleme de geometrie la Teorema lui Pitagora. Această teoremă este foarte importantă iar copilul tău trebuie să o înțeleagă foarte bine deoarece o vom utiliza foarte des în clasa a VIII-a la Geometria în spațiu.

(mai mult…)

Problema 1: În triunghiul MNP, unghiul M este de $90 ^{\circ}$ și înălțimea

$MQ \perp NP$ cu MQ = 12 cm, iar $m(\widehat{MNP})=30^{\circ}$ . Calculați laturile: MN, NP, MP, NQ și QP.

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Facem desenul respectând datele problemei.

Demonstrație:

Pentru că avem $m(\widehat{MNP})=30^{\circ}$ aplicăm în $\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})=90^{\circ})$ teorema unghiului de $30^{\circ}$ care îmi spune că lungimea catetei care se opune unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză.

$\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})=90^{\circ})$ : $m(\widehat{MNQ})=30^{\circ}$ $\Rightarrow$ $MQ=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $\frac{MQ}{{1}}=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $\frac{12 cm}{{1}}=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $MN=12 cm \cdot 2$ $\Rightarrow$ $MN= 24 cm$

Observăm că putem aplica Teorema lui Pitagora în triunghiul $\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})= 90^{\circ})$ pentru a afla latura NQ.

$\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})= 90^{\circ})$ $\Rightarrow$ (T.P) : $MN^{2}= NQ^{2}+MQ^{2}$ $\Rightarrow$

$24^{2}= NQ^{2}+12^{2}$ $\Rightarrow$ $576= NQ^{2}+144$ $\Rightarrow$

$NQ^{2}= 576 - 144$ $\Rightarrow$ $NQ^{2}= 432 cm^{2}$ $\Rightarrow$

$NQ= \sqrt{ 432 cm^{2}}$ $\Rightarrow$ $NQ=12 \sqrt{ 3} cm$

Am aflat MN și NQ atunci putem aplica în $\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ Teorema Catetei pentru cateta MN și aflăm lungimea ipotenuzei BC.

$\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ (T.C.) $MN^{2} = NQ \cdot NP$ $\Rightarrow$ $(24cm)^{2} = 12 \sqrt{3}cm \cdot NP$ $\Rightarrow$ $576cm^{2} = 12 \sqrt{3}cm \cdot NP$ $\Rightarrow$ $NP = \frac{576cm^{2} }{{12 \sqrt{3}cm }}$ $\Rightarrow$ $QP = 16 \sqrt{3}cm -12 \sqrt{3}cm$

Dacă am aflat NP putem afla și latura QP prin scădere.

$QP = NP-NQ$

$QP= 16 \sqrt{3}cm -12 \sqrt{3}cm$

$QP = 4 \sqrt{3}cm$

Dacă știm MN și NP putem aplica teorema lui Pitagora în triunghiul MNP $\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ pentru a afla latura MP.

$\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ (T.P) $NP^{{2}}= MP^{{2}}+MN^{{2}}$ $\Rightarrow$ $(16 \sqrt{3}cm )^{{2}}= MP^{{2}}+(24cm)^{{2}}$ $\Rightarrow$

$768 cm = MP ^{2} + 576 cm$ $\Rightarrow$

$MP ^{2} = 768 cm-576 cm$ $\Rightarrow$

$MP ^{2} = 192 cm ^{2}$ $\Rightarrow$

$MP= \sqrt{192 cm^{2} }$ $\Rightarrow$ $MP =8\sqrt{3} cm$

Problema 2:

În triunghiul dreptunghic MNP cu unghiul $\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ , are înălțimea $MQ \perp NP$ , $Q \in (NP)$ , $\frac{NQ}{QP} = \frac{9}{16}$ , iar perimetrul triunghiului $P_{{\bigtriangleup MNP}} = 120 cm$ . Aflați:

a) Dimensiunea laturilor: MN, MP și NP;

b) Lungimea înălțimii MQ;

Rezolvare:

Pornim de la raportul: $\frac{NQ}{QP} = \frac{9}{16}$ și scoatem dimensiunea laturii NQ în funcție de QP.

$16 \cdot NQ = 9\cdot QP \Rightarrow$ $NQ = \frac{9 \cdot QP}{{16}}$

Aflăm dimensiunea laturii NP în funcție de QP.

$NP = NQ + QP \Rightarrow$ $NP = \frac{9 \cdot QP}{{16}}+ _{}}^{16)}QP{} \Rightarrow$

$NP = \frac{9 \cdot QP+16 QP}{{16}}\Rightarrow$

$NP= \frac{25 \cdot QP}{{16}}$

Aplicăm în triunghiul dreptunghic MNP Teorema Catetei pentru catetele: MN și MP și determinăm lungimile acestora în functie de latura QP.

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.C)\Rightarrow$ $MN^{{2}}= NQ \cdot NP \Rightarrow$

$MN^{{2}}= \frac{9 \cdot QP}{{16}} \cdot \frac{25 \cdot QP}{{16}} \Rightarrow$

$MN^{{2}}= \frac{225 \cdot QP^{{2}}}{{256}} \Rightarrow$ $MN = \sqrt{\frac{225 \cdot QP^{{2}}}{{256}} }\Rightarrow$

$MN = \frac{15 \cdot QP}{{16}} }$

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.C)\Rightarrow$ $MP^{{2}}= QP \cdot NP \Rightarrow$

$MP^{{2}}= \frac{QP}{{1}} \cdot \frac{25 \cdot QP}{{16}} \Rightarrow$ $MP^{{2}}= \frac{25 QP^{{2}}} {{16}}\Rightarrow$

$MP^{{2}}= \sqrt{\frac{25\cdot QP^{{2}}} {{16}}} \Rightarrow$

$MP= \frac{5\cdot QP} {{4}}}$

După ce am obținut toate dimensiunile laturilor $\Delta MNP$ în funcție de latura QP le înlocuim în Perimetrul $\Delta MNP$ și îl aflăm de aici pe QP.

$P_{{\bigtriangleup MNP}} = 120 cm$

$P_{{\bigtriangleup MNP}} = MN + MP + NP$ $\Rightarrow$

${}}^{16)}120 cm = \frac{15 \cdot QP}{{16}} } + {}}^{4)}\frac{{5\cdot QP}} {{ 4}}} + \frac{25 \cdot QP}{{16}}$ $\Rightarrow$

$1920 cm =15 QP + 20 QP +25 QP$ $\Rightarrow$

$60 QP = 1920 cm \Rightarrow$

$QP = 32 cm$

$NQ = \frac{9}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow NQ = 18 cm$

$MN = \frac{15}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow MN = 30 cm$

$MP = \frac{5}{{4}} \cdot 32 cm \Rightarrow MP = 40 cm$

$NP = \frac{25}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow NP = 50 cm$

b) Pentru rezolvarea punctului b) aplicăm Teorema Înălțimii în triunghiul dreptunghic $\Delta MNP$ .

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.I)\Rightarrow$ $MQ^{{2}}= NQ \cdot QP \Rightarrow$

$MQ^{{2}}= 18 cm \cdot 32 cm \Rightarrow$ $MQ^{{2}}= 576 cm^{{2}} \Rightarrow$

$MQ^{{2}}= \sqrt{576 cm^{{2}} } \Rightarrow$ $MQ= 24 cm$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Matematica Mai Usoara

Etichetă: triunghi dreptunghic

Probleme rezolvate Teorema lui Pitagora