Posts Tagged ‘ridicare la putere’

Exerciții rezolvate „Reguli de Calcul cu puteri”

clasa a VI-aDragul meu părinte, în lecţia anterioară „Reguli de calcul cu puteri” am vorbit despre noţiunile pe care trebuie sa le reţină copilul tău la această lecţie.

In acest articol, vreau să îţi prezint câteva exemple de exerciţii cu un grad de dificultate diferit, explicate pas cu pas, pentru a te ajuta să-i explici şcolarului tău modul în care trebuiesc abordate exerciţiile de la această lecţie.

(mai mult…)

  • Exerciţiul 1:  Calculaţi:
  •  15^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

Dragul meu părinte, observăm că în acest exerciţiu avem operaţii de ridicare la putere care sunt operaţii de ordin III, operaţii de împărţire a numerelor naturale care sunt operaţii de ordinul II şi operaţia de scădere care este o operaţie de ordinul I.

Comform ordinii efectuarii operaţiilor numerelor naturale, mai întâi efectuăm operaţiile de ordinul III (ridicarea la putere), apoi operaţiile de ordinul II (împărţirea), iar la urmă efectuăm operaţiile de ordinul I (scăderea).

Pentru că avem ridicare la putere cu un exponent mare( şi ar dura mult timp) aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a simplifica rezolvarea exerciţiului, după cum urmează:

Astfel obţinem:

(5\cdot3) ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

5^{38}\cdot3 ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

1\cdot3 ^{38} - (3^{19})^{2}=

"1\cdot3

3 ^{38} - 3^{38}=0

Exerciţiul 2:  Calculaţi: a=(b-c) ^{2011}dacă :                                  b=[(2 ^{3})^{2}-1954^{0}] : 3^{2^{1^{7}}}-(4^{1^{2^{3}}}-1^{4^{3^{2}}})

c=32\cdot7 ^{5}-14^{5}+3<br /><br />

Rezolvare:

Mai întâi aducem la o formă mai simplă pe „b” şi pe „c”.

Avem :  1954 ^{0}=1

deoarece  ştim ca orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Deasemenea ştim că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1

Astfel obţinem:         b=(2 ^{3\cdot2}-1) : </p> <p>3 ^{2^{1}}-( </p> <p>4 ^{1^{8}}-1 ^{4^{9}}</p> <p>)

                                b=(2 ^{6}-1) : </p> <p>3 ^{2}-( </p> <p>4 ^{1}-1</p> <p>)

                               b=(64-1) : 9 - 3

                              b=63 : 9 - 3<br />

                              "b=

                              b=4<br />

                             c=32\cdot7 ^{5}-14 ^{5}+3

                             c=32\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                            c=2^{5}\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                           c=(2\cdot7) ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                           c=0+3

                           c=3

Calculăm numărul „a”:       a=(4-3) ^{2011}

                                          a=1 ^{2011}

                                          a=1

  • Exerciţiul 3:
  • Determinaţi numărul natural “n” pentru care sunt adevărate egalităţile:
  • "7

 

Dragul meu părinte, observăm ca in acest exerciţiu avem suma lui Gauss.

"11+12+13+..............+30=<br

"(11+30)+(12+29)+..............=<br

Avem 20 termeni grupati in 10 paranteze, iar suma fiecarei paranteze este egală cu 41.

"41+41+............+41=<br

(de 10 ori)

"10\cdot41<br

Astfel obţinem: 7 ^{10\cdot41}=7^{n\cdot3}\cdot7^{2}

7 ^{410}=7^{3n+2}   \Rightarrow410={3n+2}  /(-2)

410-2 =3n+2-2

408 =3n /: 3

408 : 3 =3n : 3

136 =n

  • Exerciţiul 4:
  • Demonstraţi că pentru orice număr natural “n” este adevărată relaţia:
  • 15 / A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

Pentru a demonstra că 15 divide numărul A trebuie să demonstrăm că numărul A este un multiplu de 15. Să aducem numărul A la o formă mai simplă.

 A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

Pentru început îl descompunem pe 72 in factori primi şi obţinem:

 A= (2 ^{3}\cdot3 ^{2}) ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri: "(a

A=2 ^{3(n+1)}\cdot3 ^{2(n+1)}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

A=2 ^{3n+3}\cdot3 ^{2n+2}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri:  a ^{m+n}=a ^{m}\cdot a ^{n}

A=2 ^{3n}\cdot2 ^{3}\cdot3 ^{2n}\cdot3 ^{2}+3 ^{2n}\cdot3 ^{1}\cdot2 ^{3n}\cdot2 ^{2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

La următorul pas dăm factor comun pe: 2 ^{3n}\cdot 3 ^{2n}

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(2 ^{3}\cdot3 ^{2}+3 \cdot2 ^{2}+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(8\cdot9+3 \cdot4+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(72+12+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}\cdot90<br />

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!