Posts Tagged ‘natural numbers’

Segment de dreaptă. Semidreapta

“Singurul lucru mai rău decât să începi ceva și să ratezi…….. este să nu începi acel ceva”

Seth Godin

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție de Geometrie în Plan.  În articolele anterioare am vorbit despre Dreaptă și Plan. Azi îți propun lecția  “Segment de dreaptă. Semidreapta”.

Segment de dreaptă:

  • Este o porțiune din acea dreaptă delimitat de două puncte distincte numite extremitățile segmentului sau capetele segmentului.
  • Se notează : \left [ AB \right ]

Segmentul de dreaptă închis:

  • Se notează: \left [ AB \right ]
  • Include cele două puncte A și B

Segmentul de dreaptă deschis:

  • Se notează: \left ( AB \right )
  • nu include cele două puncte A și B.

Segmentul de dreaptă nul:

  • Este segmentul de dreaptă care are proprietatea că punctele care delimitează segmentul coincid.

Semidreapta: 

  • Este un segment de dreaptă mărginit la un singur capăt.
  • Se notează: \left [ MN
  • M se numește origine

Semidreaptă închisă: 

  • Este semidreapta care își conține originea
  • Se notează: \left [ MN

Semidreaptă deschisă:

  • Este semidreapta care nu își conține originea.
  • Se notează: \left ( MN

Semidrepte opuse:

  • Sunt două semidrepte conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și sensuri diferite.

Semidrepte identice:

  • Sunt două semidrepte de acelasi fel (închise sau deschise), conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și același sens.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții și probleme cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematic[ Math More Easy”. 

Exerciții rezolvate la Compararea puterilor

“Educația nu e cât de mult ai memorat sau cât știi. E capacitatea de a face diferența între ce știi și ce nu știi”.

Anatole France 

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi revin cu o lecție nouă la capitolul Numere Naturale: Exerciții rezolvate la Compararea Puterilor.

(mai mult…)

Exercițiul 1: Comparați numerele:

  • a) 4 ^{17} și 2 ^{34}
  • b) 3 ^{27} și 9 ^{13}
  • c) 8 ^{17} și  2^{52}

Rezolvare: 

  • 4 ^{17} și 2 ^{34}
  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că putem să-l scriem pe 4 ca bază 2 ^2.
  • ({2 ^2})^{17}    și 2 ^{34}
  • Aplicăm Regulile de Calcul cu Puteri pentru primul număr, înmulțim exponenții și obținem:
  • 2 ^{2\cdot 17}  și 2 ^{34} \Rightarrow 2 ^{34}   = 2 ^{34}

b) 3 ^{27}   și 9 ^{13}

  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că  putem modifica bazele atunci îl vom scrie pe 9=3 ^{2} și obținem:
  • 3 ^{27} și (3 ^{2}) ^{13} \Rightarrow 3 ^{27} și  3 ^{2\cdot 13}  \Rightarrow 3 ^{27}   \gt \ \ \ 3 ^{26}

c)  8 ^{17} și  2 ^{52}

    • Observăm că  putem modifica bazele atunci îl vom scrie pe 8= 2^{3} și obținem:
    • (2^{3})^{17} și 2^{52 \Rightarrow 2^{3\cdot 17} și  2^{52}  \Rightarrow 2^{51} \lt 2^{52}
Exercițiul 2:  Comparați numerele:
  • a)  2 ^{48}  și   3 ^{32}
  • b)  2 ^{60}  și  3 ^{36}
  • c)  3 ^{42}  și  5 ^{28}
  • d) { 2^2}^3  și (2^2)^3

Rezolvare: 

a) 2^{48} și 3^{32}

  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel  48=3\cdot16 și 32=2\cdot16. Obținem:
  • 2^{3\cdot16} și 3^{2\cdot16}  \Rightarrow (2^3)^{16} și  (3^2)^{16}
  • Ridicăm la putere știind că  2^3=8 și  3^2=9 obținem:
  •  8^{16} \lt 9^{16}
  • Numărul cu baza mai mică este mai mic.

b)  2^{60} și  3^{36}

  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel: 60=10\cdot 6 și 36=6\cdot 6. Obținem:
  • 2^{10\cdot 6} și 3^{6\cdot 6} \Rightarrow (2^{10})^ 6 și (3^{6})^ 6
  • Ridicăm la putere știind că 2^{10}=1024 și 3^{6}=729. Obținem:
  •  1024^{6} \gt 729^6
  • Numărul cu baza mai mare este mai mare.

c) 3^{42} și 5^{28}

  • Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel: 42=3\cdot 14  și 28=2 \cdot 14. Obținem:
  • 3^{3\cdot14} și 5^{2\cdot14}   \Rightarrow (3^3)^{14} și  (5^2)^{14}
  • Ridicăm la putere știind că  3^3= 27 și  5^2= 25 obținem:
  •  27^{14}\ \ \gt\ \ 25^{14}.

d) { 2^2}^3 și (2^2)^3

  • Observăm că la primul număr avem puterea unei puteri cu alte cuvinte exponentul este tot o putere 2^3. Mai întâi ridicăm la putere exponentul știind că 2^3 = 8 și obținem: { 2^2}^3=2^8.
  • La cel de-al doilea număr aplicăm Regulile de calcul cu puteri,  înmulțim puterile și obținem: (2^3)^2=2^{3\cdot 2}= 2^6
  • { 2^2}^3 și (2^2)^3\Rightarrow 2^8 \ \ \gt \ \ 2^6

Exercițiul 3: Comparați numerele:

a) 8^{18} - 7\cdot 8^{17} și 16^{14} - 15\cdot 16^{13}

c) (9^{15}\cdot 3^{14})^4  și (81^{3}\cdot 27^{7})^3 \cdot 243 ^{15}

Rezolvare:

a) 8^{18} - 7\cdot 8^{17} și 16^{14} - 15\cdot 16^{13}

  • Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la o formă mai simplă. Pentru că avem operația de scădere între termenii celor două numere trebuie să dam factor comun baza care se repetă la puterea cea mai mică
  • 8^{17}\cdot (8^{18-17} - 7\cdot 8^{17-17}) și 16^{13}\cdot (16^{14-13} - 15\cdot 16^{13-13})
  • 8^{17}\cdot (8^{1} - 7\cdot 8^{0})   și 16^{13}\cdot (16^{1} - 15\cdot 16^{0})
  • Știm că orice număr la puterea 0 este egal cu 1  \Rightarrow 8^0=1 și \Rightarrow 16^0=1
  • Obținem:
  • 8^{17}\cdot (8 - 7\cdot 1) și 16^{13}\cdot (16 - 15\cdot 1)
  • 8^{17}\cdot (8 - 7) și 16^{13}\cdot (16 - 15)
  • 8^{17}\cdot 1 și 16^{13}\cdot 1 \Rightarrow 8^{17} și 16^{13}
  • Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la aceeași bază.
  • Știm că putem scrie:8=2^{3} și 16=2^{4} astfel obținem:
  • (2^{3})^{17} și (2^{4})^{13} \Rightarrow 2^{3\cdot 17} și 2^{4\cdot 13} \Rightarrow 2^{51} \lt 2^{52}

b) (9^{15}\cdot 3^{14})^4 și (81^{3}\cdot 27^{7})^3 \cdot 243 ^{15}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy”.  

Criteriile de divizibilitate

“Mintea umană este ca o parașută. E inutilă dacă nu se deschide.”

Frank Zappa

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior ți-am prezentat lecția “Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural”. Am învățat împreună care sunt divizorii unui număr, care sunt multiplii unui număr natural și cum arătăm dacă un număr natural divide sau nu un alt număr natural. Astăzi voi continua cu o noua lecție la acest capitol “Criteriile de divizibilitate” .

(mai mult…)

Criteriul de divizibilitate cu 2

  • Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este o cifră pară.
  • numar-divizibil-cu-2

Criteriul de divizibilitate cu 5

  • Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5
  • numar-divizibil-cu-5

Criteriul de divizibilitate cu 10.

  • Un număr natural este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0.
  • numar-divizibil-cu-10

Criteriul de divizibilitate cu 100(1000, 10000, etc).

  • Un număr natural este divizibil cu 100(respectiv 1000, 10000, etc) dacă și numai dacă ultimile două (respectiv trei, patru, etc) cifre ale numărului sunt egale cu 0.
  • numar-divizibil-cu-100

Criteriul de divizibilitate cu 3 (respectiv 9).

  • Un număr natural este divizibil cu 3 (respectiv 9) dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 (respectiv 9).
  • numar-divizibil-cu-3

Criteriul de divizibilitate cu 4.

  • Un număr natural este divizibil cu 4  dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4
  • numar-divizibil-cu-4

Criteriul de divizibilitate cu 25.

  • Un număr natural este divizibil cu 25  dacă și numai dacă  ultimele două cifre ale sale sunt 00, 25, 50 sau 75.
     

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor  dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

Model Rezolvat Teza clasa a VII-a Semestrul II

Încearcă să fii un om de valoare și nu neapărat un om de succes. – Albert Einstein

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!  De azi a început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(mai mult…)

Model-Teza-clasa-a-VII-a-Semestrul-II

 

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: \sqrt{20}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}  este:……………………………

Rezolvare:

\sqrt{20}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}= \sqrt{4\cdot 5}+\sqrt{9\cdot 5}-3\sqrt{5}= 2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-3\sqrt{5}=2\sqrt{5}

Exercițiul 2 (0,5 puncte):

Raționalizând fracția: \frac{4}{\sqrt{5}-1}  obținem:…………………

Rezolvare:

_{{}}^{\sqrt{5}+1)}\textrm{\frac{4}{\sqrt{5}-1}}={\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}}={\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2-1^2}}= {\frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1}}={\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}}=\sqrt{5}+1

Exercițiul 3 (1 punct):

Rezultatul calculului: (2a+1)^2 - (2a)^2= este………………………

Rezolvare:

(2a+1)^2 - (2a)^2= (2a)^2+2\cdot2a\cdot1+(1)^2 - (2a)^2= 4a^2+4a+1 -4a^2= 4a+1

Exercițiul 4 (1 punct):

Dacă x+\frac{1}{{x}}=4 atunci x^2+\frac{1}{{x^2}}  este egal cu………………….

Rezolvare:

Pornim de la relația x+\frac{1}{{x}}=4 și o ridicăm la pătrat iar relația x+\frac{1}{{x}} o ridicăm la pătrat cu formula de calcul prescurtat :(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2. Astfel obținem:

x+\frac{1}{{x}}=4 /^2 \Rightarrow(x+\frac{1}{{x}})^2=4^2 \Rightarrow  x^2+2\cdot x \cdot \frac{1}{{x}} +(\frac{1}{{x}})^2=16 \Rightarrow   x^2+(\frac{1}{{x}})^2 +2=16 /-2 \Rightarrow  x^2+(\frac{1}{{x}})^2 =16-2 \Rightarrow  x^2+(\frac{1}{{x}})^2 =14

Exercițiul 5 (0,5puncte):

Soluția ecuației x+\sqrt{2}=0 este: …………………….

Rezolvare:

 x+\sqrt{2}=0 /-\sqrt{2} \Rightarrow  x=-\sqrt{2}

Exercițiul 6 (0,5puncte):

 sin 45^\circ  este egal cu …………..

Rezolvare:

 sin 45^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete:

Exercițiul 1:(1,5 puncte):

Media geometrică a numerelor:  a=\left \| 2\cdot\sqrt{6} - 6\cdot\sqrt{2} \right \| și  b= \sqrt{72} + \sqrt{24} .

Rezolvare:

Știm că M_{{g}} =\sqrt{a\cdot b} .

Pentru a calcula \sqrt{a\cdot b} trebuie să aducem a și b la o formă mai simplă.

Pentru a aduce numărul “a” la o formă mai simplă trebuie să comparăm  2\cdot\sqrt{6}  cu  6\cdot\sqrt{2}  să aflăm dacă numărul a este un număr pozitiv sau negativ.

Pentru a compara  2\cdot\sqrt{6}  cu 6\cdot\sqrt{2}  trebuie să ridicăm la pătrat pentru a scăpa de redicali.

 2\cdot\sqrt{6} \sqcup 6\cdot\sqrt{2} /^2 \Rightarrow   2^2 \cdot6 \sqcup 6^2 \cdot2 \Rightarrow 4 \cdot6 \sqcup 36 \cdot2  \Rightarrow  24 \lt 72 \Rightarrow 2\cdot\sqrt{6} \lt 6\cdot\sqrt{2} \Rightarrow  numărul “a” este un număr negativ \Rightarrow  a=\left \| 2\cdot\sqrt{6} - 6\cdot\sqrt{2} \right \|=-2\cdot\sqrt{6}+6\cdot\sqrt{2}=6\cdot\sqrt{2}- 2\cdot\sqrt{6}

Pentru a aduce numărul “b” la o formă mai simplă trebuie să scoatem de sub radical:

 b= \sqrt{72} + \sqrt{24}   = \sqrt{2\cdot 36} + \sqrt{4\cdot 6}   =6 \sqrt{2} + 2\sqrt{ 6}

În concluzie  M_{{g}} =\sqrt{a\cdot b}  =\sqrt{(6 \sqrt{2} - 2\sqrt{ 6})\cdot(6 \sqrt{2} + 2\sqrt{ 6} )}  =\sqrt{(6 \sqrt{2})^2- (2\sqrt{ 6} )^2}  =\sqrt{36\cdot 2- 4\cdot 6}}  =\sqrt{72- 24}}  =\sqrt{48}} =\sqrt{16\cdot3 }}  =4\sqrt{3 }}.

Exercițiul 2:(1,5 puncte):

Rezolvați ecuația:  (x-2)^2-(x-1)(3-2x)=3(x+3)(x-3)+25

Rezolvare: Aplicăm formulele de calcul prescurtat și obținem:

 (x-2)^2-(x-1)(3-2x)=3(x+3)(x-3)+25

 (x)^2-2\cdot x \cdot 2+(2)^2-(x\cdot 3-x \cdot2x-1\cdot3+1\cdot2x)=3(x^2-3^2)+25

x^2-4x+4-3x +2x^2+3-2x=3(x^2-9)+25

3x^2-9x+7=3x^2-27+25

3x^2-9x+7=3x^2-2

3x^2-9x-3x^2 = -2-7

-9x= -9

-9x= -9 /:(-9)  \Rightarrow x= 1

Exercițiul 3:(1,5 puncte):

În trapezul ABCD cu  AB \parallel CD, m(\widehat{A})= m(\widehat{D})= 90^{\circ}, se consideră BE\perp CD, unde  E\in(CD). Știind că AB=6cm,CD=10cm și  BD \perp BC , determinați:

a) lungimea înălțimii BE.

b) perimetrul trapezului ABCD.

c) aria trapezului ABCD, rotunjită la cel mai apropiat număr întreg.

Rezolvare:

 

Scriem datele problemei după care le analizăm.

Trasăm desenul respectând datele problemei.

Trapez dreptunghic

  • a) Observăm că triunghiul este dreptunghic în unghiul B și putem aplica teorema înălțimii [ BE ] .

Mai știm Că  \left [ AB \right ] \equiv \left [ DE \right ] \Rightarrow \left [ EC \right ]=4 cm

\bigtriangleup DBC  (\widehat{DBC})= 90^{\circ}  \Rightarrow T.Î  \Rightarrow  BE^2=DE \cdot EC  \Rightarrow BE^2=6 cm \cdot 4 cm \Rightarrow BE^2= 24 cm^2  \Rightarrow BE= \sqrt{24 cm^2} \Rightarrow BE= \sqrt{4\cdot 6 } cm  \Rightarrow BE= 2\sqrt{6 } cm

Știm că  \left [ BE \right ] \equiv \left [ AD \right ] \Rightarrow  AD= 2\sqrt{6 } cm

  • b) Pentru a calcula perimetrul trapezului trebuie să aflam și latura \left [ BC \right ].

Știm că triunghiul \bigtriangleup BEC este dreptunghic în unghiul (\widehat{BEC})= 90^{\circ} astfel putem aplica Teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea laturii \left [ BC \right ].

\bigtriangleup BEC (\widehat{BEC})= 90^{\circ} \Rightarrow T.P. \Rightarrow BC^2=BE^2+EC^2  \Rightarrow BC^2=(2\sqrt{6}cm)^2+(4cm)^2   \Rightarrow BC^2=2^2\cdot6} cm^2+16cm^2

 \Rightarrow BC^2=4\cdot6} cm^2+16cm^2   \Rightarrow BC^2=24 cm^2+16cm^2   \Rightarrow BC^2=40 cm^2

 \ \Rightarrow BC=\sqrt{40cm ^2}  \Rightarrow BC=\sqrt{4 \cdot 10cm ^2}  \Rightarrow BC=2\sqrt{ 10} cm

P_{{ABCD}}= AB+BC+CD+AD \Rightarrow P_{{ABCD}}= 6 cm+2\sqrt{ 10} cm+10 cm+2\sqrt{ 6} cm

\Rightarrow P_{{ABCD}}= 16 cm+2(\sqrt{ 10} +\sqrt{ 6}) cm.

  • c)  A_{ABCD}= \frac{(B+b)\cdot h}{{2}}\Rightarrow  A_{ABCD}= \frac{(AB+DC)\cdot AD}{{2}}\Rightarrow  A_{ABCD}= \frac{(6 cm+10 cm)\cdot 2\sqrt{6}cm }{{2}}\Rightarrow   A_{ABCD}= \frac{16cm\cdot 2\sqrt{6}cm }{{2}}\Rightarrow  A_{ABCD}= \frac{32\sqrt{6}cm^2 }{{2}}\Rightarrow   A_{ABCD}= 16\sqrt{6}cm^2

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

REGULI DE CALCUL CU PUTERI

clasa a VI-aDragul meu părinte, copilul tău a învăţat prima oară această lecţie: „ Reguli de calcul cu puteri” în anul anterior, în clasa a V-a.

În acest an, în clasa a VI-a această lecţie este reamintită, deoarece noţiunile învăţate în această lecţie îi sunt utile copilului tău la următoarea lecţie: „ Criterii de diviozibilitate”.

(mai mult…)

Dar să vedem, dragul meu părinte, ce ar trebui să reţină copilul tău la această lecţie: „Reguli de calcul cu puteri”:

  • Definiţie:

    Fie „a” şi „n” , două numere naturale, cu n ≥ 2.Produsul a „n” factori egali cu „a” se numeşte puterea a n-a a numărului „a” şi se notează :

  • Se scrie:      a^{n}

  • Se citeşte: „ a la puterea n”.

  • a” se numeşte bază.

  • n” se numeşte exponent.

  • Exemplu:

                    a · a = a²

a · a · a= a³

a · a· a· …………….· a =   a^{n}

  • Excepţie:   a^{1}= a şi  a^{0} = 1
  • Orice număr la puterea 1 este egal cu el însuşi.
  • Orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Dar să vedem, dragul meu părinte, care sunt regulile cu puteri:

  • Înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază:

  •  a^{m}\cdot a ^{n}=a^{m+n}
  • – se scrie baza şi se adună exponenţii

  • Împărţirea puterilor cu aceeaşi bază:

  •  a^{m}\div a ^{n}=a^{m-n}
  • se scrie baza şi se scad exponenţii
  • Puterea unei puteri:

  • <br /><br /><br /><br /> (a^{m}) ^{n}=a^{m\cdot n}
  • -se scrie baza şi se înmulţesc exponenţii
  • Puterea unui produs:

  • <br /><br /><br /><br /> (a\cdot b) ^{n}=a^{n}\cdot b^{n}
  • Puterea unui cât:

  •  (a\div b) ^{n}=a^{n}\div b^{n}

Dragul meu părinte, la această lecţie, copilul tău trebuie să reţină şi prioritatea pe care o are ridicarea la putere în calcul.

  • Ridicarea la putere este o înmulţire repetată.

  • Exponentul arată de câte ori se repetă produsul prin care se calculează puterea.

  • Ridicarea la putere este o operaţie de ordinul III.

  • Dacă într-un exerciţiu nu există paranteze, atunci se efectuează întâi redicările la putere, apoi înmulţirile şi împărţirile, iar la final, adunările li scăderile.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te invit alături de mine în Clubul de Matematică “Math More Easy” sau accesează link-ul de mai jos: http://mathmoreeasy.ro/exercitii-rezolvate-la-reguli-de-calcul-cu-puteri/

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Exerciții rezolvate la Divizor. Multiplu

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, în articolul anterior am vorbit despre „Divizor. Multiplu”.

Iată şi câteva aplicaţii la lecţia „Divizor. Multiplu”, exerciţii cu grad diferit de dificultate, explicate pas cu pas, să te ajute să i le explici copilului tău.

(mai mult…)

  • EXERCIŢIUL 1:
  • Dacă „a” şi „b” sunt numere naturale şi x = 3· a + 6 · b arătaţi că x este multiplu de 3.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „x” ca un multiplu de 3.

  • x = 3 · a + 6 · b 
  • x = 3·( a + 2 · b)
  • x 3
  • EXERCIŢIUL 2:
  • Arătaţi că numărul „m + n” este divizibil cu 12, unde

m = 2 + 4 + 6 + ……. + 100, iar n = 11· (2 + 4 + 6 + ……. + 100).

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „m+n” ca un multiplu de 12. Dar, ca să-l scrie pe „m + n” ca un produs de numere dintre care un număr să fie 12, copilul tău trebuie să îl calculeze mai întâi pe „m” şi pe „n”.

Dragul meu părinte, observăm va „m” şi „n” sunt reprezentate de două numere scrise cu ajutorul sumei lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100.

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să ştie că între numărul 1 şi 100 sunt 100 de termeni dintre care 50 de termeni sunt numere pare şi 50 de termeni sunt numere impare.

  • m = 2 + 4 + 6 + ……. + 100   (m are 50 termeni)
  • Pentru a calcula Suma lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100 scriem astfel:
  • m = 2 + 4 + 6 + ……. 96+98+ 100.
  • Observăm că dacă adunăm:
  • 2 + 100 = 102.
  • 4 + 98 = 102.
  • 6 + 96 = 102.
  • …………………….
  • După care, dragul meu părinte, copilul tău va trebui să grupeze termenii 2 câte 2 astfel: primul termen cu ultimul termen, al doilea termen cu penultimul şi aşa mai departe.
  • m = (2 + 100) + (4+ 96)+(6+98)+…………….      .   (“m” are 25 paranteze)
  • Obţinem astfel 25 de paranteze, iar rezultatul fiecărei paranteze este 102.
  • Putem scrie:
  • m = 25 · 102
  • Efectuând înmulţirea obţinem: m = 2550.
  • Analog îl calculăm şi pe „n” .
  • Observăm dragul meu părinte ca n = 11· (2 + 4 + 6 + ……. + 100), adică
  • n = 11· m
  • n = 11· 2550
  • n = 28 050
  • Dragul meu părinte, calculând „m + n” obţinem:
  • m + n = 2550+28050 = 30 600
  • Dragul meu părinte, la începutul rezolvării acestui exerciţiu am spus că pentru a demonstra că m+n este divizibil cu 12, copilul tău trebuie să scrie numărul „m + n” ca un produs de două nu numere dintre care unul dintre numere să fie 12.
  • În cazul acestui exerciţiu, copilul tău trebuie să-l scrie pe 30 600 ca un produs de două numere dintre care unul trebuie să fie 12.
  • Păi să vedem, dragul meu părinte, se împarte exact 30 600 la 12?
  • 30 600 : 12 = ?
  • 30 600 : 12 = 2550
  • 30 600 = 12 · 2550
  • 30 600 12
  • EXERCIŢIUL 3:
  • Scrieţi toţi multiplii lui 7 cuprinşi între 15 şi 65.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să gasească toate numerele cuprinse între 15 şi 65 care se împart exact la 7.

Stim că:

  • 2 · 7 = 14 (dar 14 este mai mic decât 15 deci nu este bun).
  • 3· 7 = 21 ( 15 < 21 < 65)( 21 este un număr bun)
  • 4· 7 = 28 ( 15 < 28 < 65)( 28 este un număr bun)
  • 5· 7 = 35 ( 15 < 35 < 65)( 35 este un număr bun)
  • 6· 7 = 42 ( 15 < 42 < 65)( 42 este un număr bun)
  • 7· 7 = 49 ( 15 < 49 < 65)( 49 este un număr bun)
  • 8· 7 = 56 ( 15 < 56 < 65)( 56 este un număr bun)
  • 9· 7 = 62 ( 15 < 63 < 65)( 63 este un număr bun)
  • 10· 7 = 70 ( 15 < 65 < 70) (70 nu este un număr bun).
  • În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:
  • S = { 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}.
  • EXERCIŢIUL 4:
  • Un număr natural nenul „a” are printre divizorii săi numerele 3, 5 şi 7. Scrieţi încă 4 divizori diferiţi de aceştia ai numărului „a”.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stie că un număr natural nenul „a” care se divide în acelaşi timp cu numerele „b”, „c” şi „d” , atunci se divide şi cu produsul acestor numere.

În cazul nostru numărul „a” se divide cu numerele: 3, 5 şi 7 că numărul „a” se divide şi cu numărul 3 · 7 = 21, 3 · 5 = 15, 5· 7 = 35, 3 · 5 · 7 = 105.

În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:

S = { 15, 21, 35, 105}.

  • EXERCIŢIUL 5:
  • Dacă a / b şi b /c , atunci arătaţi că a /c.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău va lucra pe caz general ( nu stie ce valori au numerele „a”, „b” şi „c”). Aplicand definiţia divizibilităţii obţinem:

  • a / b     atunci “b” se împarte exact la „a”
  • b = a · m , m ϵ N   (relaţia 1)
  • b /c       atunci  “c” se împarte exact la „b”
  • c = b · n , n ϵ N     (relaţia  2 )

Dacă înlocuim în cea de-a doua relaţie pe numărul „b” obţinut în relaţia 1, obţinem:

  • c = a · (m· n)

În concluzie , obţinem că a /c.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

DIVIZOR. MULTIPLU

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, dacă primele lecţii din clasa aV-a au avut noţiuni recapitulative din anii anteriori de studiu, iatădiuai copilului tău, uată că a sosit timpul ca să apară şi lecţii în care noţiunile sunt complet noi pentru copilul tău.

Cei drept aceste noţiuni se bazează pe cunoştinţe aprofundate în anii anteriori de studiu, cum ar fi împărţirea şi înmulţirea numerelor naturale, dar în această lecţie copilul tău ia contact cu noţiuni complet noi cum ar fi termenul de divizor sau termenul de multiplu.

(mai mult…)

  • Dar hai să vedem, dragul meu parinte, ce este un divizor ?

Pentru a introduce noţiunea de divizor, să luăm întâi un exempu bazat pe cunoştinţele învăţate anterior de copilul tău.

  • Exemplu:    Într-o tabără merg 290 copii. Aceştia vor fi transportaţi cu autocare de 45 de locuri. De câte autocare ar fi nevoie?

  • Rezolvare:    290 : 45 = 6 (autocare)

                             290 = 45 · 6

Spunem în acest caz că:

  • 290 se divide cu 45 sau
  • 290 este divizibil cu 45, sau
  • 290 este multiplu de 45.

Dar să vedem, dragul meu părinte, cum se notează matematic aceste notiuni.

poza 1 divizor

poza 2 divizor

Să observăm:

poza 3 divizor

În general :

  • Numărul natural „b” divide numărul natural „a”, dacă există numărul natural „c”, astfel încât a = b · c.

poa 4 divizor

  • Numărul natural „b” nu divide numărul natural „a”, dacă pentru orice număr natural „c”, a = b · c.

poza 5 divizor

Exemplu:

  • Divizorii numărului 6 sunt: 1, 2, 3, 6.

  • Multiplii numărului 2 sunt: 0, 2, 4, 6, 8, ………………

Pentru m, d, c ϵ N care satisfac relaţia de mai jos, folosim denumirile:

poza 6 divizor

Dar să vedem, dragul meu părinte cum putem afla dacă un număr este divizibil cu altul?

Exemplu:

  • verificăm dacă 154 14322 ?

Efectuăm împărţirea: 14322 : 154 = 93

                                  14322 = 154 93

                                  Deci 154 14322.

  • verificăm dacă 3727 25 ?

Efectuăm împărţirea: 3727 : 25 = 149 rest 2

                                  3727 = 149 25 + 2

                                   Deci 3727 nu divide 25.

Dragul meu părinte, observăm că:

Pentru a afla dacă un număr natural „a” este divizibil cu un număr natural nenul „b” , împărţim „a” la „b” şi obţinem numerele naturale „c” şi „r”, astfel încât: a = b c + r, unde

r < b.

  • Dacă restul împărţirii lui „a” la „b” este 0, obţinem a = b c, deci a este divizibil cu b.

  • Dacă restul împărţirii lui „a” la „b” este diferit de 0, atunci a nu este divizibil cu b.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl

 

Exerciții rezolvate la Ordinea Efectuarii Operațiilor

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, în postarea anterioară am vorbit despre „Ordinea Efectuării Operaţiilor”.

Ţi-am reamintit care sunt operaţiile de gradul I, operaţiile de gradul al II-lea şi am vorbit despre ordinea efectuării operaţiilor într-un exerciţiu în care apar parantezele rotunde, pătrate şi acoladele.

Hai să vedem, dragul meu părinte şi câteva exerciţii la această lecţie.

Voi aborda câteva exemple de exerciţii cu grad diferit de dificultate şi pe care le voi explica pas cu pas, astfel încât ţie, dragul meu părinte, îţi va fii foarte uşor să le explici copilului tău.

(mai mult…)

  • Exerciţiul 1: Să se efectueze:

                        1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

Rezolvare:

  • Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

    1320 +[48 · 23 +(340 · 1160 ·5) – 235 ·7]=

     1320 + [ 48 · 23 + (3740300) – 235 ·7]=

  • Pasul doi:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

    1320 + [ 48 · 23 + (3740300) – 235 ·7]=

               1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

  • Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă.

    1320 + ( 48 · 23 + 3440235 ·7)=

    1320 + ( 1104 + 34401645)=

  • Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

    1320 + ( 1104 + 34401645)=

    1320 + ( 45441645)=

  • Pasul cinci:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

               1320 + ( 45441645)=

              1320 + 2899=

  • Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

    1320 + 2899=

  • 4219   Răspuns corect

  • Exerciţiul 2: Să se efectueze:

                                   2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 53 · 230)]}=

Rezolvare:

  • Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

    2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 53 · 230)]}=

     2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400690)]}=

  • Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă, în timp ce acolada va devenii paranteză pătrată.

    2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400690)]}=

               2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

  • Pasul trei: efectuăm operatiile de împărţire şi înmulţire din paranteza rotundă.

    2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

     2307 + [3702 + ( 90+ 2130)]=

  • Pasul patru: efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată va devenii paranteză rotundă.

    2307 + [3702 + ( 90 + 2130)]=

     2307 + (3702 + 2220)=

  • Pasul cinci: efectuăm operatia adunare din paranteza rotundă.

    2307 + (3702 + 2220)=

     2307 + 5922=

  • Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

    2307 + 5922=

  • 8229   Răspuns corect

  • Exerciţiul 3: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea        (320 + x) · 15 = 5100

Rezolvare:

  • Primul pas: împărţim întreaga egalitate la 15.

    (320 + x) · 15 = 5100 / : 15

    (320 + x) · 15 : 15= 5100 :15

     (320 + x ) · 1= 340

  • Pasul doi: efectuăm operatia de înmulţire din partea stângă a egalităţii si scăpăm de paranteza rotundă

                (320 + x ) · 1= 340

                 320 + x= 340

  • Pasul trei :scădem numărul natural 320 din ambele părţi ale egalităţii.

                320 + x= 340 / (- 320 )

                320 + x – 320= 340- 320

  • Pasul patru: efectuăm operatiiile de scădere din ambele părţi ale egalităţii.

    320 + x – 320= 340- 320

  •  x = 20

            x = 20    Răspuns corect

  • Exerciţiul 4: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea:
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Acest gen de exerciţiu se poate rezolva în 2 moduri.

  • Rezolvare primul mod:
  • Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, trebuie să începem rezolvarea exerciţiului de la coadă la cap, astfel.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25
  • Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150
  • Pasul doi: împărţim întreaga egalitate la 10 .

  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150 / :10
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] ·10 : 10= 150 :10
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15
  • Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15
  • Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15 / (+120)
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 + 120 = 15 + 120
  • 15 · (10 · x – 11 ) = 135

  • Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.
  • 15 · (10 · x – 11 ) = 135 / :15
  • 15 · (10 · x – 11 ) : 15 = 135 : 15
  • 1 · (10 · x – 11 ) = 9

  • Pasul şase: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza rotundă.
  • 10 · x – 11 = 9

  • Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.
  • 10 · x – 11 = 9 / (+11)
  • 10 · x – 11 + 11= 9 + 11
  • 10 · x = 20

  • Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

  • 10 · x = 20 / :10
  • 10 · x :10 = 20 :10
  • x = 2
  •  x = 2 Răspuns corect

Rezolvare al doilea mod:

  • Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, notăm paranteza (10 · x – 11 ) = a şi obţinem:[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25, după care rezolvăm ecuaţia în necunoscuta „a” astfel:
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25
  • Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125
  • [15 · a – 120 ] · 10 = 150
  • Pasul doi:împărţim întreaga egalitate la 10 .

  • [15 · a – 120 ] · 10 = 150 / :10
  • [15 · a – 120 ] ·10 : 10= 150 :10
  • [15 · a – 120 ] · 1 = 15
  • Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.
  • [15 · a – 120 ] · 1 = 15
  • 15 · a – 120 = 15
  • Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.
  • 15 · a – 120 = 15 / (+120)
  • 15 · a– 120 + 120 = 15 + 120
  • 15 · a = 135

  • Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.
  • 15 · a = 135 / :15
  • 15 · a : 15 = 135 : 15
  • 1 · a = 9
  • a = 9

  • Pasul şase:revenim la notaţia (10 · x – 11 ) = a ştiind căa = 9 şi obţinem egalitatea:
  • 10 · x – 11 = 9

  • Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.
  • 10 · x – 11 = 9 / (+11)
  • 10 · x – 11 + 11= 9 + 11
  • 10 · x = 20

  • Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.
  • 10 · x = 20 / :10
  • 10 · x :10 = 20 :10
  • x = 2
  •  x = 2 Răspuns corect

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

MULŢIMI DE NUMERE

Dragul meu părinte, această lecţie „Mulţimi de numere” este o lecţie recapitulativă.

Copilul tău a învăţat în clasele anterioare noţiunile folosite la această lecţie, însă este necesară recapitularea lor deoarece pe parcursul clasei a VIII-a vor fi des utilizate. (mai mult…)

La această lecţie copilul tău îşi va reaminti că:

  • Mulţimea „Numerelor Întregi” se notează cu Z şi

  • Z={-3,-2,-1,0,1,2,3,…….,…}.

  • Dacă adunăm, scădem sau înmulţim două sau mai multe numere întregi obţinem tot un număr întreg.

  •   \subseteq Z

Dragul meu părinte, tot la această lecţie copilul tau trebuie să-şi amintească şi „Relaţia de Divizibilitate în Z”.

Def: Un număr întreg „a” se numeşte „divizor” al unui număr întreg „b”, dacă există un număr întreg „c” astfel încât: b = a·c.

 

  •  Notăm:               Citim:
  • a | b”                  „a” divide „b” sau „a” este un divizor al lui „b”

  • b ⁞ a”                  „b” se divide cu „a” sau „b” este multiplu de „a”.

  • a | b”                  „a” nu divide pe „b” sau

                                       „b” nu este multiplu de „a”.

Pentru numere întregi nenule, relaţia de divizibilitate se poate exprima cu ajutorul relaţiei de împărţire astfel:

  • Dacă  a·b = c , atunci c : b=a şi c : a=b .

Însă, ce se întâmplă dacă deîmpărţitul nu este multiplu al împărţitorului?

Observăm în acest caz că rezultatul nu mai este un număr întreg.

Dragul meu părinte, copilul tău a învăţat în anii anteriori şi fracţiile, pe care este necesar să le amintim în această lecţie.

  • Mulţimea numerelor raţionale se notează cu Q şi

  • Q={x/ x=  \frac{m}{n}, m,  \in N }

  • Numerele raţionale se pot scrie în două forme echivalente: cu ajutorul liniei de fracţie (reprezentare fracţionară   \frac{m}{n} ) sau cu ajutorul virgulei (reprezentare zecimală m,n)

  •   \subseteq Q

  •   \subseteq   \subseteq Q

Dragul meu părinte, copilul tău a mai învăţat în anii anteriori şi „Numerele Iraţionale”.

  • Numerele Iraţionale nu pot fi reprezentate de fracţii în care numărătorul şi numitorul sunt numere întregi.

  • In scrierea cu virgulă, numerele iraţionale au o infinitate de zecimale care nu se repetă periodic.

  • Numerele raţionale împreună cu cele iraţionale formează „Mulţimea Numerelor Reale”.

  • Mulţimea Numerelor Reale” se notează cu R.

  • Suma, diferenţa şi produsul a două sau mai multe numere naturale sunt tot numere reale.

  • Rezultatul împărţirii a două sau mai multe numere reale nenule este tot un număr real.

  • N   \subseteq Z   \subseteq Q   \subseteq R.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com    mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

ÎMPĂRŢIREA A DOUĂ SAU MAI MULTE NUMERE NATURALE

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, la lecţia

„Împărţirea a două sau mai multe numere naturale” copilul tău trebuie să reţină Teorema Împărţirii cu Rest. De asemenea, la această lecţie, se vor folosi informaţii de la lecţia “Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”. De aceea, dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stapănească foarte bine noţiunile studiate la lectia: “Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”  pentru a putea să înţeleagă lecţia “Împărţirea a două sau mai multe numere naturale”.

(mai mult…)

  • Teorema Împărţirii cu Rest:

    Oricare două numere naturale „a” şi „b”, b0, există numerele naturale q şi r, unic determinate, astfel încât:

    • a = b· q + r             şi   r<b ,
  • unde „q” este câtul şi „r” este restul împărţirii lui „a” la „b”.

  • Dacă restul împărţirii lui „a” la „b”este 0 (r=0)spunem că „a” se împarte exact la „b”şi notăm :

a : b = q, 

unde “a” şi “b” sunt factorii câtului, iar “q” este câtul.

  • a” se numeşte deîmpărţit;

  • b” se numeşte împărţitor;

  • În acest caz, relaţiile: a=b·q şi a:q=b sunt echivalente.

De asemenea, este esenţial să mai reţină următoarele informaţii:

  • Împărţirea la 0: nu este definită (sau mai bine spus nu are sens).

a : 0= nu are sens

  • Oricare ar fi un număr natural b, b0, atunci:

0 : b = 0

  • Oricare ar fi numerele naturale „a”, „b” şi „c”, c0, dacă a şi b se împart exact la c, atunci:

 (a+b):c = a:c +b:c

  • iar dacă diferenta are sens (dacă a este mai mare decat b), atunci:

(a-b):c = a:c -b:c

  • Împărţirea nu este asociativă, nu este comuntativă şi nu are element neutru.

  • Ca şi înmulţirea, împărţirea este o operaţie de ordinul doi.

Exemplu:

Să împărţim numarul natural 31401 la numarul natural 250:impartire numere naturale

  • 31401=250 ·125 +151

Răspunsul la împărţirea lui 31401 la 250 obţinem câtul 125 şi restul 151.

  • Dragul meu părinte, iată şi câteva greşeli făcute frecvent de elevi la această lecţie:
  • Cea mai mare greşeală la această lecţie este să împartă un număr natural la 0, împărţire care nu are sens.

    • a : 0= nu are sens
  • O altă greşeală pe care o fac frecvent elevii la această lecţie este să considere ca împărţirea este asociatiativă şi comutativă

  • Altă greşeală des întâlnită la această lecţie este să îl considere pe 0 element neutru.

    • b : 0 = b este greşit

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

1 2