Posts Tagged ‘Multimi’

Relații între mulțimi de numere


Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Operații cu mulțimi. Am invățat ce operații putem face intre mulțimi, despre reuniunea a două mulțimi, despre intersecția a două mulțimi și diferența a două mulțimi dar și diferența simetrică a  două mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Relații între Mulțimi, să vedem ce sunt mulțimile egale și mulțimile disjuncte dar și mulțimile finite și mulțimile infinite.

(more…)

Două mulțimi A și B sunt egale, dacă sunt formate din același elemente. Se notează A=B.

  • Observație: Orice element care aparține mulțimii A este și element al mulțimii B și reciproc orice element care aparține mulțimii B este și element al mulțimii A.
  • Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține mulțimii B sau invers, se spune ca mulțimile A și B sunt diferite și se notează: A \neq B .

Dacă intersecția a două mulțimi A și B este mulțimea vidă (cele două mulțimi A și B nu au nici un element comun) atunci mulțimile A și B sunt disjuncte.

  • Incluziunea: Mulțimea A este inclusă în mulțimea B și se notează : A\subset B , dacă orice element al mulțimii A aparține mulțimii B.

  • Dacă mulțimea B include mulțimea se notează: B \supset A
  • Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține și mulțimii B spunem că mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B și notăm: A \not \subseteq B  sau spunem că B nu include mulțimea A și notăm: B \not \supset \ A .

  • Observații:
  • Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime       \not \bigcirc\subset A
  • Orice mulțime este inclusă în ea însăși         A \subset A .
  • Dacă A și B sunt două mulțimi, astfel încât A \subset B  și B \subset A  atunci  A=B .
  • Dacă A, B și C sunt trei mulțimi, astfel încât A \subset B  și B \subset C ,  atunci A \subset C .

Submulțimi:

  • Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, adică A \subset B  se spune că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B.

  • Observații:
  • Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
  • Numărul submulțimilor unei mulțimi A este egal cu  2^{{card A}}
  • Mulțimea submulțimilor (părților) lui A se notează cu P(A).

Exemplu:  Fie mulțimea M=\left \{ 1,3,5 \right \}. CArdinalul mulțimii M Card M =3 . Mulțimea M are  2^{3}=8 submulțimi.

\not\bigcirc, \left \{ 1 \right \}, \left \{ 3 \right \}, \left \{ 5 \right \}, \left \{ 1,3 \right \}, \left \{ 1,5 \right \}, \left \{ 3,5 \right \}, M.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exerciții Rezolvate Operații cu Mulțimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am discutat despre Operații cu Mulțimi.  Am invățat ce este Reuniunea a două mulțimi,Intersecția a două mulțimi, Diferența a  două mulțimi  și Produsul cartezian a două mulțimi. Azi te invit să aplicăm ceea ce am discutat în articolul de ieri la lecția Operații cu Mulțimi în câteva exerciții rezolvate.

(more…)

EXERCIŢIUL 1: Se dau mulțimile: A=\left \{ 1,2,3\right \} , B=\left \{ 2,4,6\right \} și C=\left \{ 3,5,7\right \}. Calculați:  A\cup B, A\cap B, A\setminus B, A\cup C, A\cap C, A\setminus C.

Rezolvare:

A \cup B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,2,3,4,6 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

 

A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 2 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

 

A \setminus B=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,3 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A\cup C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2,3,5,7 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A\cap C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 3 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A\setminus C=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

EXERCIŢIUL 2:  Determinați mulțimile A și B astfel încât să fie îndeplinite simultan condițiile:

A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}

A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}

A\setminus B=\left \{ 4,6 \right \}.

Rezolvare:

Desenam cele 2 mulțimi:

Pentru a identifica mai  ușor cele două mulțimi A și B vom reprezenta întâi intersecția celor două mulțimi:

Apoi vom reprezenta pe desen A\setminus B .

Din reuniunea celor două mulțimi A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \} observăm că mai avem un elemnt\left \{ 5 \right \} pe care nu l-am atribuit nici unei mulțimi rezultă ca elementul   \left \{ 5 \right \}\in B .

Astfel am găsit mulțimile:

A= \left \{1,2,3,4,6 \right \}

B= \left \{1,2,3,5 \right \}

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

Operații cu mulțimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Mulțimi de Numere. Am invățat ce este o mulțime, despre mulțimea vidă, despre mulțimi finite și mulțimi infinite dar și depre cardinalul unei mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Operații cu Mulțimi, să vedem ce operații putem efectua între 2 sau mai multe mulțimi de numere.

(more…)

Reuniunea:  a două mulțimi A și B este mulțimea notată A \cup B, formată din toate elementele celor două mulțimi comune și necomune, luate o singură dată.

 A \cup B=\left \{ x | x \in A sau x \in B \right \}

 

  • Exemplu:A=\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}
  • B=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}
  • A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,7,9 \right \}

 

Intersecția: a două mulțimi A și B este mulțimea notată A\cap B , formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură dată

 A\cap B=\left \{ x| x \in A si x \in B \right \}

  • Exemplu:A=\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}
  • B=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}
  •  A\cap B=\left \{ 1,3,5 \right \}

 

Diferența: a două mulțimi A și B este mulțimea notată A \setminus B  , formată din elementele mulțimii A care nu aparțin mulțimii B.

A \setminus B=\left \{ x| x\in A si x\notin B \right \}

  • Exemplu:A=\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}
  • B=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}
  • A \setminus B=\left \{7,9 \right \}

 

Produsul Cartezian: a două mulțimi A și B este mulțimea notată  A X B , formată cu toate perechile ordonate cu primul element din A și al doilea element din B.

 A X B =\left \{ (x,y)|x\in A si y\in B \right \}

Diferența simetrică:  a mulțimilor A și B:

A \bigtriangleup B = (A\setminus B) \cup (B\setminus A)

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Mulţimi de Numere

Dragul meu părinte, bine te-am găsit! În cel de-al doilea capitol din programa de matematică pentru clasa a V-a se va studia Mulţimile de Numere!

 

O mulţime este o grupare de obiecte, simboluri etc., bine definite şi distincte, numite elementele mulţimii. (more…)

  • Mulţimea numerelor naturale:
  • Mulţimea ale cărei elemente sunt toate numere naturale se numeşte Mulţimea Numerelor Naturale.
  • Se notează:
  • Mulţimea numerelor naturale nenule:
  • Mulţimea ale cărei elemente sunt toate numere naturale mai puţin 0 se numeşte “Mulţimea Numerelor Naturale Nenule”.

 

  • Relaţii între element şi mulţime:
  • Dacă A este o mulţime şi x este un element al mulţimii M, se spune că elementul x aparţine mulţimii A (sau x aparţine lui A) şi se notează:

 

  • Mulţimea vidă: Mulţimea care nu are nici un element se numeşte Mulţimea Vidă şi se notează: \oslash
  • Mulţimile Finite sunt mulţimile cu un număr finit (limitat) de elemente.
  • Mulţimile Infinite sunt mulţimile care nu au un număr finit de elemente (spunem că au un infinit de numere)
  • Cardinalul unei mulţimi finite A:
  • este numărul de elemente al unei mulţimi.
  • se notează card A.
  • Moduri de definire a mulţimilor:
  • enuntarea unei propietăţi A=\left \{ x/x\in N si 3\cdot x+1\leq 10 \right \}
  • enumerarea elementelor: A=\left \{ 1, 2, 3,10 \right \}
  • prin enumerarea elementelor în interiorul unei diagrame numită diagrama Venn-Euler.

    Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

    De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

    https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

    Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

    Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Mulţimi de numere reale.

Clasa a VIII-a

Dragul meu părinte, bine te-am regasăsit. Revin după o pauză cam lungă, cu un nou articol.
De data aceasta prima lecţie de algebră pentru clasa a VIII-a: “Mulţimi de numere reale”.

 

(more…)

 

  •  În clasa a V-a s-a studiat “Mulţimea numerelor Naturale” pe care am notat-o cu N={0,1,2,3,4,5,………, +∞}.
  • În clasa a VI-a s-a studiat Mulţimea Numerelor Întregi pe care am notat-o cu:  Z={-∞, ……., -2,-1,0,1,2,3,4,5,………, +∞}.
  • În clasa a VII-a s-a studiat Mulţimea Numerelor Raţionale pe care am notat-o cu: Q={\frac{a}{{b}} ∕ a \in Z, b \in Z*}.

 

  • Observaţie:– Mulţimea Numerelor Raţionale este stabilă în raport cu operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire, adică suma, diferenţa, înmulţirea şi împărţirea a două numere raţionale sunt tot numere raţionale.

 

Observaţie: Pentru orice număr rational nenul “q” , există o unică fracţie ireductibilă   \frac{a}{b} , cu a  \in Z, b  \in Z*  astfel încât q =\frac{a}{b} .

  • Un număr raţional poate fi reprezentat prin fractii ordinare echivalente sau printr-o fracţie zecimală finită sau periodică.

Exemplu:

  • Fracţie ordinară: \frac{5}{6}
  • Fracţie zecimală finită: 2,4
  • Fracţie zecimală periodică: 41,(6)

Mulţimea numerelor reale se notează cu R.
Mulţimea numerelor reale nenule se notează cu R*.

Mulţimea numerelor iraţionale se notează cu R\Q.

  • Observaţie:ℕ ⊂ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
  • Observaţie: Orice număr irational este reprezentat de o fracţie zecimală infinită şi neperiodică.
  • Observaţie: Reciproc, dacă un număr real este reprezentat de o fracţie zecimală infinită şi neperiodică, atunci numărul este irational.

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate la Divizor. Multiplu

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, în articolul anterior am vorbit despre „Divizor. Multiplu”.

Iată şi câteva aplicaţii la lecţia „Divizor. Multiplu”, exerciţii cu grad diferit de dificultate, explicate pas cu pas, să te ajute să i le explici copilului tău.

(more…)

  • EXERCIŢIUL 1:
  • Dacă „a” şi „b” sunt numere naturale şi x = 3· a + 6 · b arătaţi că x este multiplu de 3.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „x” ca un multiplu de 3.

  • x = 3 · a + 6 · b 
  • x = 3·( a + 2 · b)
  • x 3
  • EXERCIŢIUL 2:
  • Arătaţi că numărul „m + n” este divizibil cu 12, unde

m = 2 + 4 + 6 + ……. + 100, iar n = 11· (2 + 4 + 6 + ……. + 100).

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „m+n” ca un multiplu de 12. Dar, ca să-l scrie pe „m + n” ca un produs de numere dintre care un număr să fie 12, copilul tău trebuie să îl calculeze mai întâi pe „m” şi pe „n”.

Dragul meu părinte, observăm va „m” şi „n” sunt reprezentate de două numere scrise cu ajutorul sumei lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100.

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să ştie că între numărul 1 şi 100 sunt 100 de termeni dintre care 50 de termeni sunt numere pare şi 50 de termeni sunt numere impare.

  • m = 2 + 4 + 6 + ……. + 100   (m are 50 termeni)
  • Pentru a calcula Suma lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100 scriem astfel:
  • m = 2 + 4 + 6 + ……. 96+98+ 100.
  • Observăm că dacă adunăm:
  • 2 + 100 = 102.
  • 4 + 98 = 102.
  • 6 + 96 = 102.
  • …………………….
  • După care, dragul meu părinte, copilul tău va trebui să grupeze termenii 2 câte 2 astfel: primul termen cu ultimul termen, al doilea termen cu penultimul şi aşa mai departe.
  • m = (2 + 100) + (4+ 96)+(6+98)+…………….      .   (“m” are 25 paranteze)
  • Obţinem astfel 25 de paranteze, iar rezultatul fiecărei paranteze este 102.
  • Putem scrie:
  • m = 25 · 102
  • Efectuând înmulţirea obţinem: m = 2550.
  • Analog îl calculăm şi pe „n” .
  • Observăm dragul meu părinte ca n = 11· (2 + 4 + 6 + ……. + 100), adică
  • n = 11· m
  • n = 11· 2550
  • n = 28 050
  • Dragul meu părinte, calculând „m + n” obţinem:
  • m + n = 2550+28050 = 30 600
  • Dragul meu părinte, la începutul rezolvării acestui exerciţiu am spus că pentru a demonstra că m+n este divizibil cu 12, copilul tău trebuie să scrie numărul „m + n” ca un produs de două nu numere dintre care unul dintre numere să fie 12.
  • În cazul acestui exerciţiu, copilul tău trebuie să-l scrie pe 30 600 ca un produs de două numere dintre care unul trebuie să fie 12.
  • Păi să vedem, dragul meu părinte, se împarte exact 30 600 la 12?
  • 30 600 : 12 = ?
  • 30 600 : 12 = 2550
  • 30 600 = 12 · 2550
  • 30 600 12
  • EXERCIŢIUL 3:
  • Scrieţi toţi multiplii lui 7 cuprinşi între 15 şi 65.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să gasească toate numerele cuprinse între 15 şi 65 care se împart exact la 7.

Stim că:

  • 2 · 7 = 14 (dar 14 este mai mic decât 15 deci nu este bun).
  • 3· 7 = 21 ( 15 < 21 < 65)( 21 este un număr bun)
  • 4· 7 = 28 ( 15 < 28 < 65)( 28 este un număr bun)
  • 5· 7 = 35 ( 15 < 35 < 65)( 35 este un număr bun)
  • 6· 7 = 42 ( 15 < 42 < 65)( 42 este un număr bun)
  • 7· 7 = 49 ( 15 < 49 < 65)( 49 este un număr bun)
  • 8· 7 = 56 ( 15 < 56 < 65)( 56 este un număr bun)
  • 9· 7 = 62 ( 15 < 63 < 65)( 63 este un număr bun)
  • 10· 7 = 70 ( 15 < 65 < 70) (70 nu este un număr bun).
  • În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:
  • S = { 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}.
  • EXERCIŢIUL 4:
  • Un număr natural nenul „a” are printre divizorii săi numerele 3, 5 şi 7. Scrieţi încă 4 divizori diferiţi de aceştia ai numărului „a”.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stie că un număr natural nenul „a” care se divide în acelaşi timp cu numerele „b”, „c” şi „d” , atunci se divide şi cu produsul acestor numere.

În cazul nostru numărul „a” se divide cu numerele: 3, 5 şi 7 că numărul „a” se divide şi cu numărul 3 · 7 = 21, 3 · 5 = 15, 5· 7 = 35, 3 · 5 · 7 = 105.

În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:

S = { 15, 21, 35, 105}.

  • EXERCIŢIUL 5:
  • Dacă a / b şi b /c , atunci arătaţi că a /c.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău va lucra pe caz general ( nu stie ce valori au numerele „a”, „b” şi „c”). Aplicand definiţia divizibilităţii obţinem:

  • a / b     atunci “b” se împarte exact la „a”
  • b = a · m , m ϵ N   (relaţia 1)
  • b /c       atunci  “c” se împarte exact la „b”
  • c = b · n , n ϵ N     (relaţia  2 )

Dacă înlocuim în cea de-a doua relaţie pe numărul „b” obţinut în relaţia 1, obţinem:

  • c = a · (m· n)

În concluzie , obţinem că a /c.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

Exerciții Rezolvate la Mulţimi. Operaţii cu Mulţimi.

clasa a VII-a

La această lecţie vom recapitula din anii trecuţi câteva noţiuni pe care le vom aplica în exerciţii simple la lecţia „ Mulţimi. Operaţii cu Mulţimi.”

(more…)

EXERCIŢIUL 1:

Enumeraţi elementele mulţimii: A=\left \{ x/x\in N,x<8 \right \}

Rezolvare:

Exerciţiul ne cere să găsim elementele mulţimii „A” care este formată din toate valorile pe care le poate lua necunoscuta „x”, ţinând cont de faptul că:

  • x” este un număr natural;
  • x” este strict mai mic decât 8, adică poate lua toate valorile de la 0 la 7, fără a lua valoarea 8.

Răspunsul corect în acest caz este că: „x” poate lua următoarele valori: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Obţinem astfel mulţimea:  A=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \right \}

  •  Răspuns corect:A=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \right \}

EXERCIŢIUL 2:

Enumeraţi elementele mulţimii: B=\left \{ y/y\in N^{{*}},1\leq y<9 \right \}

Rezolvare:

Exerciţiul ne cere să găsim elementele mulţimii „B” care este formată din toate valorile pe care le poate lua necunoscuta „y”, ţinând cont de faptul că:

  • y” este un număr natural nenul (nu poate lua valoarea 0 deoarece avem în

enunţul problemei condiţia y\in N^{{*}}, care este mulţimea numerelor naturale mai puţin valoarea 0);

  • yeste mai mare sau cel mult egal cu 1 şi strict mai mic decât 9, adică „y” poate lua toate valorile cuprinse între 1 şi 8.

Răspunsul corect în acest caz este că: „y” poate lua următoarele valori: 1,2,3,4,5,6,7,8.

Obţinem astfel mulţimea: B=\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}

  • Răspuns corect :B=\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}

EXERCIŢIUL 3:

Enumeraţi elementele mulţimii:D=\left \{ z/z\in N,2\leq 2z-6<14 \right \}

Rezolvare:

Exerciţiul ne cere să găsim elementele mulţimii „D” care este formată din toate valorile pe care le poate lua necunoscuta „z”, ţinând cont de faptul că:

  • z” este un număr natural ;

  • pentru a afla intervalul de valori pe care îl poate lua necunoscuta z”, este necesar să rezolvăm inecuaţia: 2\leq 2z-6<14 .

Să rezolvăm inecuaţia:     2\leq 2z-6<14

Pentru a-l elimina pe 6 din inecuaţie ne folosim de opereţia inversă scăderii şi anume operaţia de adunare şi îl adunăm pe 6 în toate părţile inecuaţiei, astfel:2+6\leq 2z-6+6<14+6

Astfel obţinem următoarea inecuaţie  :8\leq 2z<20

Pentru că pe noi ne interesează valoarea pe care o poate lua necunoscuta „z”, trebuie să împărţim întreaga inecuaţie la 2 şi astfel obţinem:8\leq 2z<20 / : 2

Rezultatul va fii:  4\leq z <10

Astfel obţinem mulţimea :D=\left \{ z/z\in N,4\leq z<10 \right \}

Răspuns corect: D=\left \{ 4,5,6,7,8,9 \}

EXERCIŢIUL 4:

Determinaţi elementele mulţimii:F=\left \{ x/x\in N,\frac{12}{x+3}\in N \right \}

 Rezolvare:

Exerciţiul ne cere să găsim elementele mulţimii „F”, formată din toate numerele naturale „x”cu proprietatea că:\frac{12}{x+3}\in N

Această condiţie ne indică faptul că rezultatul împărţirii lui 12 la „x+3” să fie un număr natural, deci trebuie să fie o împărţire exactă.

Dar să vedem cum să aflăm rezultatul împărţirii lui 12 la un număr care conţine o necunoscută.

Pentru ca 12 să se împartă exact la „x+3”, este neapărat ca „x+3” să îl dividă pe 12.

Cu alte cuvinte:   x+3\in D_{{12}}=\left \{ 1,2,3,4,6,12 \right \}

Pentru a afla ce valori poate lua „x” egalăm „x+3” cu fiecare valoare a

mulţimii : D_{{12}}=\left \{ 1,2,3,4,6,12 \right \}

Astfel avem:

x+3=1 /(-3)

x+3-3=1-3

x=-2

x+3=2 /(-3)

x+3-3=2-3

x=-1

x+3=3 /(-3)

x+3-3=3 -3

x=0

x+3=4 /(-3)

x+3-3=4-3

x=1

x+3=6 /(-3)

x+3-3=6-3

x=3

x+3=12 /(-3)

x+3-3=12-3

x=9

Obţinem astfel drept rezultat mulţimea:F=\left \{ -2,-1,0,1,3,9 \right \}

  • Răspuns corect:   F=\left \{ -2,-1,0,1,3,9 \right \}