Posts Tagged ‘#meditatiimatematica’

Relații între mulțimi de numere


Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Operații cu mulțimi. Am invățat ce operații putem face intre mulțimi, despre reuniunea a două mulțimi, despre intersecția a două mulțimi și diferența a două mulțimi dar și diferența simetrică a  două mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Relații între Mulțimi, să vedem ce sunt mulțimile egale și mulțimile disjuncte dar și mulțimile finite și mulțimile infinite.

(mai mult…)

Două mulțimi A și B sunt egale, dacă sunt formate din același elemente. Se notează A=B.

  • Observație: Orice element care aparține mulțimii A este și element al mulțimii B și reciproc orice element care aparține mulțimii B este și element al mulțimii A.
  • Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține mulțimii B sau invers, se spune ca mulțimile A și B sunt diferite și se notează: A \neq B .

Dacă intersecția a două mulțimi A și B este mulțimea vidă (cele două mulțimi A și B nu au nici un element comun) atunci mulțimile A și B sunt disjuncte.

  • Incluziunea: Mulțimea A este inclusă în mulțimea B și se notează : A\subset B , dacă orice element al mulțimii A aparține mulțimii B.

  • Dacă mulțimea B include mulțimea se notează: B \supset A
  • Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține și mulțimii B spunem că mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B și notăm: A \not \subseteq B  sau spunem că B nu include mulțimea A și notăm: B \not \supset \ A .

  • Observații:
  • Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime       \not \bigcirc\subset A
  • Orice mulțime este inclusă în ea însăși         A \subset A .
  • Dacă A și B sunt două mulțimi, astfel încât A \subset B  și B \subset A  atunci  A=B .
  • Dacă A, B și C sunt trei mulțimi, astfel încât A \subset B  și B \subset C ,  atunci A \subset C .

Submulțimi:

  • Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, adică A \subset B  se spune că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B.

  • Observații:
  • Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
  • Numărul submulțimilor unei mulțimi A este egal cu  2^{{card A}}
  • Mulțimea submulțimilor (părților) lui A se notează cu P(A).

Exemplu:  Fie mulțimea M=\left \{ 1,3,5 \right \}. CArdinalul mulțimii M Card M =3 . Mulțimea M are  2^{3}=8 submulțimi.

\not\bigcirc, \left \{ 1 \right \}, \left \{ 3 \right \}, \left \{ 5 \right \}, \left \{ 1,3 \right \}, \left \{ 1,5 \right \}, \left \{ 3,5 \right \}, M.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit! În articolul de azi vreau să îți explic pas cu pas “Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate” . În articolul precedent ți-am vorbit despre Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect  azi trebuie să aflăm care este  algoritmul de extragere al radicalului unui număr real.

(mai mult…)

Pentru a înțelege cât mai bine algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate voi lua un exemplu pe care îl voi explica pas cu pas.

Exemplu :   Reguli de calcul cu Radical

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

 

Mulţimi de Numere

Dragul meu părinte, bine te-am găsit! În cel de-al doilea capitol din programa de matematică pentru clasa a V-a se va studia Mulţimile de Numere!

 

O mulţime este o grupare de obiecte, simboluri etc., bine definite şi distincte, numite elementele mulţimii. (mai mult…)

  • Mulţimea numerelor naturale:
  • Mulţimea ale cărei elemente sunt toate numere naturale se numeşte Mulţimea Numerelor Naturale.
  • Se notează:
  • Mulţimea numerelor naturale nenule:
  • Mulţimea ale cărei elemente sunt toate numere naturale mai puţin 0 se numeşte “Mulţimea Numerelor Naturale Nenule”.

 

  • Relaţii între element şi mulţime:
  • Dacă A este o mulţime şi x este un element al mulţimii M, se spune că elementul x aparţine mulţimii A (sau x aparţine lui A) şi se notează:

 

  • Mulţimea vidă: Mulţimea care nu are nici un element se numeşte Mulţimea Vidă şi se notează: \oslash
  • Mulţimile Finite sunt mulţimile cu un număr finit (limitat) de elemente.
  • Mulţimile Infinite sunt mulţimile care nu au un număr finit de elemente (spunem că au un infinit de numere)
  • Cardinalul unei mulţimi finite A:
  • este numărul de elemente al unei mulţimi.
  • se notează card A.
  • Moduri de definire a mulţimilor:
  • enuntarea unei propietăţi A=\left \{ x/x\in N si 3\cdot x+1\leq 10 \right \}
  • enumerarea elementelor: A=\left \{ 1, 2, 3,10 \right \}
  • prin enumerarea elementelor în interiorul unei diagrame numită diagrama Venn-Euler.

    Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

    De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

    https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

    Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

    Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

clasa a VII-aDragul meu părinte, bine te-am regăsit!Până în clasa a VII-a copilul tău a studiat următoarele Mulţimi de Numere: Mulţimea Numerelor Naturale, Mulţimea Numerelor Întregi şi Mulţimea Numerelor Raţionale.Capitolul II din programa de matematica pentru clasa a VII-a prevede studierea Numerelor Reale. Prima lecţie din acest capitol este Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect. (mai mult…)

  • Definiţie:Un număr natural “a” se numeşte pătrat perfect dacă există un număr natural “n” astfel încât : n ^{2}=a
  • Rădăcina Pătrată:

    Fie “a” un număr natural pătrat perfect. Numărul natural “n” cu proprietatea: n ^{2}=a se numeşte rădăcină pătrată a numărului “a” şi se notează: n=\sqrt{a}

  • Exemple:   \sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}=5
  •  \sqrt{100}=\sqrt{10^{2}}=10
  •  \sqrt{0}=\sqrt{0^{2}}=0

Observaţie:

 

Evident numai unul este număr natural : \sqrt{n}=n

 

 

 

 

 

 \sqrt{ 25\cdot a^{4}\cdot b^{2}}=\sqrt{ (5\cdot a^{2}\cdot b)^{2}}=\left \| 5\cdot a^{2}\cdot b \right \|=5\cdot a^{2}\cdot \left \| b \right \|

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

 

 

 

Exerciții rezolvate la Adunarea Numerelor Naturale. Suma Gauss

Clasa a V-aDragul meu părinte, în acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat, frecvent întâlnite la lecţia Adunarea şi Scăderea numerelor naturale, având în vedere modul în care tu, părinte drag ar trebui te foloseşti de aceste informaţii şi să îi explici copilului tău aceste noţiuni.

(mai mult…)

 EXERCIŢIUL 1:

  • Calculaţi suma:     1+2+3+4+…………………….+80 = ?

Rezolvare:

 

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare unul complicat, însă nu este un exerciţiu greu.

La prima vedere, mulţi copii sunt tentaţi să piardă vremea făcând adunatea termen cu termen, însă aşa cum bine îti dai seama acest lucru este imposibil, iar dacă ar fii posibil ar necesita foarte mult timp de lucru. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să-l abandoneze.

Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

 

  • 1+2+3+4+…………………….+80 = ?

Din proprietăţile adunării pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

  •    1+2+3+4+…………………….+80 = ?

putem scrie:

  • 1+80+2+79+3+78+4+77+………..= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” )  ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • (1+80)+(2+79)+(3+78)+(4+77)+………..= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 81, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • 81+81+81+81+………..= ?
  • Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 80 sunt 80 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 80:2 termeni, adică 40 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 40 de termeni de 81.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 81 adunat de 40 de ori:

  • 81+81+81+81+………..+81= ?

Adică putem scrie :

  • 40 x 81=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 3240

RĂSPUNS CORECT: 3240

EXERCIŢIUL 2:

  • Calculaţi suma: 1+3+5+…………………….+99= ?

Rezolvare:

Ca şi la exerciţiul anterior, acest exerciţiu este greu de calculat termen cu termen, asa că cea mai bună variantă este abordarea unei rezolvări utilizând proprietăţile matematicii:

  • 1+3+5+…………………….95+97+99= ?

Din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” ) ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

  • 1+3+5+…………………….+95+97+99 = ?

putem scrie:

  • 1+99+3+97+5+95+………..= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” )  ştim că adunarea este asociativă. Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • (1+99)+(3+97)+(5+95)+………..= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 100, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • 100+100+100+………..= ?
  • Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termenidintre care 50 sunt numere naturale pare, iar 50 sunt numere naturale impare.

În cazul acestui exerciţiu avem de calculat suma numerelor naturale impare cuprinse între numărul natural 1 şi numărul natural 100. În concluzie avem 50 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 50:2 termeni, adică 25 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 25 de termeni de 100.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru numărul natural 100 adunat de 25 de ori:

  • 100+100+100+100+………..+100= ?

Adică putem scrie :

  • 25 x 100=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 2500

RĂSPUNS CORECT: 2500

EXERCIŢIUL 3:

  • Calculaţi suma: 3+6+9+12+…………………….+2001 = ?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare şi mai complicat faţă de cele oreyentate anterior deoarece avem de calculat mult mai multe numere, însă nu este un exerciţiu greu.

Dacă la exerciţiile anterioare era dificil de efectuat o adunare termen cu termen, în cazul acestui exerciţiu este aproape imposibil să abordezi o astfel de metoda a adunării termen cu termen. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să abandoneze reuolvarea unui astfel de exerciţiu.

 Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

  • 3+6+9+12+…………………….+2001 = ?

După cum bine observi, dragul meu părinte, exerciţiul ne cere să adunăm termenii din 3 în 3, cuprinşi între numerele naturale 3 şi 2001.

Se pune problema câţi termeni numere naturale sunt între 3 şi 2001, număraţi din 3 în 3?

Pentru a afla răspunsul la acestă întrebare, îl împărţim pe 2001 la 3 si obţinem astfel:

  • 2001 : 3 = 667 termeni.

Observăm că numărul natural 667 este un număr impar, acest lucru înseamnă că dacă vrem să grupam termenii 2 câte 2, obţinem 666 termeni pe care îi grupăm 2 câte 2 plus încă un termen.

  • 667 : 2 = 333 termeni + 1 termen liber

Dar care este numărul natural care are rolul de termen liber?

Dacă încercăm să grupăm termenii 2 câte 2, obţinem:

  • 3+6+9+12+…………………….+1992+1995+1998+2001 = ?
  • 3+2001+6+1998+9+1995+12+1992+……………….= ?
  • (3+2001)+(6+1998)+(9+1995)+(12+1992)+………..+termenul liber = ?

Avem astfel 333 paranteze +termenul liber .termenul liber.

Observăm că rezultatul din fiecare paranteză este 2004.

Obţinem astfel 2004 adunat de 333 de ori + termenul liber .

  • 2004+2004+2004+2004+…………………….+termenul liber = ?

Adică:

  • 333 x 2004 + termenul liber = ?
  • Însă, dragul meu părinte, problema se pune ce număr natural este termenul liber?

Pentru a afla termenul liber, împărţim:

  • 2004 : 2 =1002

Obţinem astfel:

  • 333 x 2004 + 1002= ?

Efectuând calculele obţinem:

  • 667 332+ 1002= ?
  • 668 334.

RĂSPUNS CORECT: 668 334

PS: Dragul meu părinte, dacă vrei mai multe exemple rezolvate de exerciţii cu Suma Gauss descarcă Pdf-ul gratuit de aici:

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!