Posts Tagged ‘meditatii matematica’

Exerciții rezolvate Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural

“Educaţia ar fi mult mai eficientă dacă scopul acesteia ar fi ca la ieşirea din şcoală, fiecare copil să conştientizeze cât de multe lucruri nu ştie şi să fie cuprins de o dorinţă permanentă să le afle. – William Haley

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la lecția Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural. (mai mult…)

Exercițiul 1: Scrieți divizorii proprii și divizorii improprii ai numărului 21.

Rezolvare: 

Divizorii proprii ai lui 21 sunt: 3 și 7.

Divizorii improprii ai lui 21 sunt: 1 și 21.

Exercițiul 2 :

Determinați numărul natural x știind că x-3 este divizorul numărului natural 15. 

Rezolvare: 

 x-3 \in D_{15} \Rightarrow x-3 \in \left \{ 1,3,5,15 \right \}

Deoarece pe noi ne interesează valorile pe care le poate lua x vom egala cu fiecare număr si vom afla multimea valorilor lui x.

 x-3=1 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=1+3 \Rightarrow x=4

 x-3=3 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=3+3 \Rightarrow x=6

 x-3=5 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=5+3 \Rightarrow x=8

 x-3=15 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=15+3 \Rightarrow x=18

Soluție: x\in \left \{ 4, 6, 8, 18 \right \}

Exercițiul 3:  Determinați: 

a)  D_{{28}} \cup D_{{12}}

b)  D_{{28}} \cap D_{{12}};

Rezolvare: 

Scriem mulțimea divizorilor lui 28.

D_{{28}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}

Scriem mulțimea divizorilor lui 12.

D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}

a) Reunim cele două mulțimi și obținem: D_{{28}} \cup D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}

  • Reamintim că Reuniunea a două mulțimi A și B este mulțimea notată A \cup B, formată din toate elementele celor două mulțimi comune și necomune, luate o singură dată.

b)  Intersectăm cele două mulțimi și obținem: D_{{28}} \cap D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \right \}

  • Reamintim că  Intersecția: a două mulțimi A și B este mulțimea notată A\cap B , formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură data.

Exercițiul 4:  Se consider inecuația 4\cdot x -1 \leq 39-x

a) Care dintre soluțiile inecuației sunt divizori ai numărului natural 12?

b) Care dintre soluțiile inecuației sunt multiplii lui 3?

Rezolvare: 

Rezolvăm inecuația: 4\cdot x -1 \leq 39-x.

Mutăm toți termenii care îl conțin pe x într-o parte iar ceilalti termini în cealaltă parte având grijă să schimbăm semnele.

4\cdot x +x \leq 39 +1

5\cdot x \leq 40

5\cdot x \leq 40 \ \ \ /\ \ \ :\ \ 5

x \leq 40 \ \ \ :\ \ 5 \Rightarrow x \leq 8  \Rightarrow x \in \left \{ 0\ \ \ ;\ \ \ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ \ ;\ \ \ \ 4\ \ \ ; \ \ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 8\ \ \ \right \}

a) Scriem mulțimea divizorilor lui 12:

D_{{12}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}

Acum intersectăm cele două mulțimi și obținem mulțimea

 \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}

b) Scriem mulțimea multiplilor lui 3

M_{3} =\left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 9\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 18\ ............ \right \}

Intersectăm mulțimea valorilor lui x cu mulțimea multiplilor lui 3 și obținem mulțimea: \left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții Rezolvate la Scăderea Fracțiilor (Numerelor Raționale)

“Dacă nu esti dispus sa inveți nimeni nu te poate ajuta. Dacă esti determinat să înveți, numeni nu te  poate opri.”

Zig Ziglar.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva Eerciții Rzolvate la Scăderea fracțiilor (Numerelor Raționale)!

(mai mult…)

Exercițiul 1: Efectuați scăderile:

a)  \frac{9}{3}}-\frac{5}{3}}=?

b) \frac{17}{5}}-\frac{3}{5}}-\frac{7}{5}}=?

c) \frac{36}{5}}-\frac{7}{3}}=?

d)  \frac{5}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=?

e)  \frac{17}{15}}-\frac{3}{20}}-\frac{7}{12}}=?

Rezolvare:

a) Observăm că avem două fracții care au același numitor.

  • La scăderea a două sau mai multe fracții care au același numitor, scădem numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:
  •        \frac{9}{3}}-\frac{5}{3}}=\frac{9-5 }{3}}=\frac{4}{3}}

b)      \frac{17}{5}}-\frac{3}{5}}-\frac{7}{5}}=\frac{17-3-7}{5}}  =\frac{7}{5}}

c)   Observăm că avem două fracții care au numitori diferiți.

La scăderea a două sau mai multe fracții care au numitori diferiți mai întâi aducem fracțiile la același numitor determinăm c.m.m.m.c-ul numitorilor , amplificăm fracțiile pentru a le aduce la același numitor , apoi  scădem fracțiile folosind regula de mai sus  scădem numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:

\frac{36}{5}}-\frac{7}{3}}=?

Observăm că numitorul comun este 15; prima fracție o amplificăm cu 3 iar a doua cu 5.

 _{}^{3)}\textrm{\frac{36}{5}}-_{}^{5)}\textrm{\frac{7}{3}}= \frac{3\cdot 36}{3\cdot 5}-\frac{5\cdot 7}{5\cdot 3}= \frac{108}{15}-\frac{35}{15}= \frac{108-35}{15}= \frac{73}{15}

d)  Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

\frac{5}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=?

Știm că 3 și 4 sunt numere prime între ele. În acest caz numitorul comun este 12.

Prima fracție o amplificăm cu 6, a doua cu 4 iar a treia cu 3. Astfel obținem:

_{}^{6)}\textrm{\frac{5}{2}} -_{}^{4)}\textrm{\frac{2}{3}} -_{}^{3)}\textrm{\frac{3}{4}}= {\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}} - \frac{4 \cdot 2}{4\cdot 3}} -\frac{3\cdot 3}{3\cdot 4}}= {\frac{30}{12}} - \frac{8}{12}} -\frac{9}{12}}= {\frac{30- 8 - 9}{12}}= {\frac{13}{12}}

e) Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

 \frac{17}{15}}-\frac{3}{20}}-\frac{7}{12}}=?

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 15, 20, 12.Pentru a putea calcula c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi.

Asadar am obținut numitorul comun 60.Prima fracție o amplificăm cu 4, a doua fracție o amplificăm cu 3 , iar a treia fracție o amplificăm cu 5. Astfel obținem:

 _{}^{4)}\textrm{\frac{17}{15}} -_{}^{3)}\textrm{\frac{3}{20}} -_{}^{5)}\textrm{\frac{7}{12}}=  \frac{4\cdot 17}{4\cdot 15}} -\frac{3\cdot3}{3\cdot20}} -\frac{5\cdot 7}{5\cdot12}}=  \frac{68}{60}} -\frac{9}{60}} -\frac{35}{60}=  \frac{68-9-35}{60}} = \frac{24}{60}}^{(2} =  \frac{12}{30}}^{(2} =  \frac{6}{15}}^{(3} = \frac{2}{5}}

Exercițiul 2:  Efectuați calculele:

a) 5\frac{1}{4}} -3\frac{1}{3}} -\frac{5}{6}} = ?

b) 3\frac{1}{2}} -\frac{5}{3}} -1\frac{1}{9}} = ?

Rezolvare: 

Primul pas introducem întregii în fracție.

\frac{5\cdot4+1}{4}} -\frac{3\cdot3+1}{3}} -\frac{5}{6}} =  \frac{20+1}{4}} -\frac{9+1}{3}} -\frac{5}{6}} = \frac{21}{4}} -\frac{10}{3}} -\frac{5}{6}} =

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 4; 3; 6 astfel:

4= 2^2

3= 1\cdot3

6= 2\cdot3

\left [ 4; 3; 6 \right ]= 2^2 \cdot 3=4\cdot 3=12

Prima fracție o amplificăm cu 3, a doua fracție o amplificăm cu 4, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

_{}^{3)}\textrm{\frac{21}{{4}}}-_{}^{4)}\textrm{\frac{10}{{3}}}-_{}^{2)}\textrm{\frac{5}{{6}}}= {\frac{3\cdot 21}{{3\cdot 4}}}-{\frac{4\cdot 10}{{4\cdot 3}}}-{\frac{2\cdot 5}{{2\cdot 6}}}=  {\frac{63}{{12}}}-{\frac{40}{{12}}}-{\frac{10}{{12}}}=  {\frac{63-40-10 }{{12}}}= {\frac{13 }{{12}}}

b) 3\frac{1}{2}} -\frac{5}{3}} -1\frac{1}{9}} = ?

Primul pas introducem întregii în fracție.

\frac{3\cdot 2+1}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{1\cdot 9+1}{9}} =  \frac{6+1}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{9+1}{9}} =  \frac{7}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{10}{9}} =

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 2; 3; 9. Știm că 9=3^2   atunci obținem c.m.m.m.c-ul numerelor:

\left [ 2; 3; 9 \right ]= 2\cdot 3^2= 2\cdot 9=18

Prima fracție o amplificăm cu 9, a doua fracție o amplificăm cu 6, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

_{}^{9)}\textrm{\frac{7}{2}}}-_{}^{6)}\textrm{\frac{5}{3}}}-_{}^{2)}\textrm{\frac{10}{9}}}= {\frac{9\cdot 7}{9\cdot 2}}}-{\frac{6\cdot 5}{6\cdot 3}}}-{\frac{2\cdot 10}{2\cdot 9}}}= {\frac{63}{18}}}-{\frac{30}{18}}}-{\frac{20}{18}}}= {\frac{63-30-20}{18}}}={\frac{13}{18}}}

Exercițiul 3: Calculați:

S={\frac{3}{1\cdot4}}}+{\frac{3}{4\cdot7}}}+{\frac{3}{7\cdot10}}}+............+{\frac{3}{96\cdot99}}}

Rezolvare: 

Observăm ca numărătorul reprezintă diferența numerelor de la numitor si o vom scrie chiar așa:

S={\frac{3}{1\cdot4}}}+{\frac{3}{4\cdot7}}}+{\frac{3}{7\cdot10}}}+............+{\frac{3}{96\cdot99}}}

S={\frac{4-1}{1\cdot4}}}+{\frac{7-4}{4\cdot7}}}+{\frac{10-7}{7\cdot10}}}+............+{\frac{99-96}{96\cdot99}}}

S={\frac{4}{1\cdot4}}}-{\frac{1}{1\cdot4}}}+{\frac{7}{4\cdot7}}}-{\frac{4}{4\cdot7}}}+{\frac{10}{7\cdot10}}}-{\frac{7}{7\cdot10}}}+............+{\frac{99}{96\cdot99}}}-{\frac{96}{96\cdot99}}}

Observăm că se reduc termenii și obținem:

Observăm că ne rămâne prima și ultima fracție:

S={\frac{1}{1}}}-{\frac{1}{99}}}

Aducem la același numitor și obținem:

S=_{}^{99)}\textrm{{\frac{1}{1}}}}-{\frac{1}{99}}}= {{\frac{99}{99}}}}-{\frac{1}{99}}}={\frac{98}{99}}}

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Scăderea  fracțiilor  pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Scaderea fractiilor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Adunarea Fracțiilor (Numerelor Raționale)

“Diferența dintre success și eșec vine de cele mai multe ori din refuzul de a renunța”.

Walt Disney

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate  la Adunarea fracțiilor (Numerelor Raționale)! (mai mult…)

Exercițiul 1:  Efectuați adunarea următoarelor fracții:

a) \frac{2}{{5}}+ \frac{3}{{5}}=?

b) \frac{2}{{7}}+ \frac{5}{{7}}+\frac{4}{{7}}=?

c)\frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}=?

d) \frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}+\frac{3}{{4}}=?

e) \frac{7}{{36}}+ \frac{11}{{18}}+\frac{13}{{9}}=?

Rezolvare:

a) Observăm că avem două fracții care au același numitor.

  • La adunarea a două sau mai multe fracții care au același numitor, adunăm numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:
  •         \frac{2}{{5}}+ \frac{3}{{5}}=\frac{2+3}{{5}}=\frac{5}{{5}}=1

b)      \frac{2}{{7}}+ \frac{5}{{7}}+ \frac{4}{{7}}=\frac{2+5+4}{{7}}=\frac{11}{{7}}

c)   Observăm că avem două fracții care au numitori diferiți.

La adunarea a două sau mai multe fracții care au numitori diferiți mai întâi aducem fracțiile la același numitor determinăm c.m.m.m.c-ul numitorilor , amplificăm fracțiile pentru a le adduce la același numitor , apoi  adunăm fracțiile folosind regula de mai sus  adunăm numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:

\frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}=

Observăm că numitorii sunt două numere prime între ele atunci c.m.m.m.c-ul va fi

[2;3 ]=2\cdot 3=6

Așadar prima frcție o amplificăm cu 3, iar a doua fracție o amplificăm cu 2.

  • _{{}}^{3)}\frac{1}{2}}+_{{}}^{2)}\frac{2}{3}}= \frac{3\cdot 1}{3\cdot2}}\ \ +\ \ \frac{2\cdot 2}{2\cdot 3}}= \frac{3}{6}}\ \ +\ \ \frac{4}{6}}= \ \ \frac{3 +4}{6}}= \ \ \frac{7}{6}}

d)        \frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}+\frac{3}{{4}}=?

Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 2, 3 și 4. Știm că 4=2^2 și că 4 și 3 sunt numere prime.

\left [ 2;3;4 \right ]=4\cdot 3=12

Prima fracție  o amplificăm cu 6, a doua fracție o amplificăm cu 4 iar a treia fracție o amplificăm cu 3. Astfel obținem:

_{{}}^{6)}\frac{1}{2}}+_{{}}^{4)}\frac{2}{3}}+ _{{}}^{3)}\frac{3}{4}}=  \frac{6\cdot 1}{6\cdot 2}}+\frac{4\cdot 2}{4\cdot 3}}+ \frac{3\cdot 3}{3\cdot4}}= \frac{6}{12}}+\frac{8}{12}}+ \frac{9}{12}} =  \frac{6+8+9}{12}} =  \frac{23}{12}}

e)           \ \ \frac{7}{36}}+\ \ \frac{11}{18}}+\ \ \frac{13}{9}}=?

Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 36, 18, 9.Pentru a putea calcula c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi.

Numitorul comun al celor trei fracții este 36. Prima fracție nu o amplificăm, a doua fracție o amplificăm cu 2 iar a treia fracție o amplificăm cu 4. Astfel obținem:

\frac{7}{36}}+_{{}}^{2)}\frac{11}{18}}+_{{}}^{4)}\frac{13}{9}}=  \frac{7}{36}}+\frac{2\cdot 11}{2\cdot 18}}+\frac{4\cdot 13}{4\cdot 9}}=  \frac{7}{36}}+\frac{22}{36}}+\frac{52}{36}}=  \frac{7+22+52}{36}} =  \frac{84}{36}} =

Simplificăm fracția obținută până obținem o fracție ireductibilă.

 \frac{84}{36}} ^{{(2}}= \frac{42}{18}} ^{{(2}}= \frac{21}{9}} ^{{(3}}= \frac{7}{3}}

 

Exercițiul 2:  Efectuați calculele:

a) 2\frac{1}{4}} + 3\frac{1}{3}} +\frac{5}{6}} =?

b) 3\frac{1}{2}} + \frac{5}{3}} +1\frac{1}{9}} =?

Rezolvare:

a) 2\frac{1}{4}} + 3\frac{1}{3}} +\frac{5}{6}} =?

Primul pas introducem întregii în fracție.

\frac{2\cdot 4+1}{4}} + \frac{3\cdot 3+1}{3}} +\frac{5}{6}} =  \frac{8+1}{4}} + \frac{9+1}{3}} +\frac{5}{6}} =  \frac{9}{4}} + \frac{10}{3}} +\frac{5}{6}} =

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 4; 3; 6 astfel:

4= 2^2

3= 1\cdot3

6= 2\cdot3

\left [ 4; 3; 6 \right ]= 2^2 \cdot 3=4\cdot 3=12

Prima fracție o amplificăm cu 3, a doua fracție o amplificăm cu 4, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

_{{}}^{3)}\frac{9}{4}}+_{{}}^{4)}\frac{10}{3}}+_{{}}^{2)}\frac{5}{6}}=  \frac{3 \cdot 9}{3\cdot 4}}+\frac{4\cdot 10}{4\cdot 3}}+\frac{2\cdot 5}{2\cdot 6}}=  \frac{27}{12}}+\frac{40}{12}}+\frac{10}{12}}=  \frac{77}{12}}

b)       3\frac{1}{2}} + \frac{5}{3}} +1\frac{1}{9}} =?

Primul pas introducem întregii în fracție.

\frac{3\cdot 2+1}{2}} + \frac{5}{3}} +\frac{1\cdot 9+1}{9}} = \frac{6+1}{2}} + \frac{5}{3}} +\frac{9+1}{9}} =  \frac{7}{2}} + \frac{5}{3}} +\frac{10}{9}} =

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 2; 3; 9. Știm că 9=3^2   atunci obținem c.m.m.m.c-ul numerelor:

\left [ 2; 3; 9 \right ]= 2\cdot 3^2= 2\cdot 9=18

Prima fracție o amplificăm cu 9, a doua fracție o amplificăm cu 6, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

_{{}}^{9)}\frac{7}{2}}+_{{}}^{6)}\frac{5}{3}}+_{{}}^{2)}\frac{10}{9}}=  \frac{9\cdot7}{9\cdot 2}}+\frac{6\cdot 5}{6\cdot 3}}+\frac{2\cdot 10}{2\cdot 9}}=  \frac{63}{18}}+\frac{30}{18}}+\frac{20}{18}}=  \frac{63+30+20}{18}}= \frac{103}{18}}

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Adunarea  fracțiilor  pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Adunarea fractiilor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Aducerea fracțiilor la același numitor

„Învățătorii îți deschid ușa, însă numai tu însuți poți trece dincolo de ea.”

-Proverb chinezesc

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate  la Aducerea fracțiilor la același numitor!

(mai mult…)

Exercițiul 1: Se consider fracțiile:    \frac{3}{48}\frac{7}{72} ;  \frac{5}{56} ;  \frac{1}{45};

a) Calculați c.m.m.m.c-ul numitorilor fractiilor de mai sus;

b) Aduce-ți fracțiile la acelasi numitor.

Rezolvare:

a)  \frac{3}{48}\frac{7}{72} ;  \frac{5}{56} ;  \frac{1}{45};

Descompunem in factori primi numitorii:

Scriem numitorii ca produs de puteri:

48=2^{4} \cdot 3

72=2^{3} \cdot 3^{2}

56=2^{3} \cdot 7

45=3^{2} \cdot 5

Pentru a determina  c. m.m.m.c- ul luăm toate bazele la puterea cea mai mare.  [48; 72; 56; 45]=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1}   \Rightarrow [48; 72; 56; 45]=16 \cdot 9\cdot 5\cdot 7   \Rightarrow [48; 72; 56; 45]=5140

b) Pentru a aduce la același numitor fracțiile de mai sus trebuie sa le amplificam astfel incăt la numitor să obținem valoarea c.m.m.m.c-ului.Pentru a afla cu cat trebuie să amplificăm fiecare fracție împărțim valoarea c.m.m.m.c-ului la fiecare numitor.

5140 \ \ \ : \ \ \ 48=105 \Rightarrow Prima fracție o amplificăm cu 105.

5140 \ \ \ : \ \ \ 72=70  \Rightarrow A doua  fracție o amplificăm cu 70

5140 \ \ \ : \ \ \ 56 = 90  \Rightarrow A treia  fracție o amplificăm cu 90

5140 \ \ \ : \ \ \ 45 = 112 \Rightarrow A patra  fracție o amplificăm cu 112.

Astfel obținem:

_{}^{105)}\frac{3}{48}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{70)}\frac{7}{72}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{90)}\frac{5}{56}\ \ \ ; \ \ _{}^{112)}\frac{1}{45}\ \ \ \ ;     \Rightarrow \frac{105 \cdot 3}{{105 \cdot 48}}\ \ \ ; \ \ \frac{70 \cdot 7}{{70 \cdot 72}}\ \ \ ; \ \ \frac{90 \cdot 5}{{90 \cdot 56}}\ \ \ ; \ \ \frac{112 \cdot 1}{{112 \cdot 45}}

\Rightarrow \frac{315}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{490}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{450}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{112}{{5140}}

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Aducerea fracțiilor la același numitor pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Aducerea fractiilor la acelasi numitor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

 

 

 

 

Exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers

“Învingătorii nu renunță, iar cei care renunță nu ajung învingători!”

Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate  la Metoda Mersului Invers! (mai mult…)

Exercițiul 1:     3(x+2) - 7=14

Rezolvare:  Știm din clasele mici că într-un exerciţiu în care sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise. Analizând exercițiul nostru observăm că nu putem efectua calculele din paranteza rotunda deoarece avem o necunoscută. În acest caz pentru a-l afla pe x prima oară îl mutăm pe 7 cu semn schimbat în partea dreaptă a egalului.

3(x+2) - 7=14   / +7  \Rightarrow   3(x+2)=14+7 \Rightarrow

3(x+2)=21/ :\ \ \ \ 3  \Rightarrow   x+2=21 \ \ \ :\ \ \ 7  \Rightarrow

x+2=3/ -2  \Rightarrow   x=3-2   \Rightarrow   x=1

Exercițiul 2:    100\cdot [25-6\cdot (x-3)+2]\ \ \ : \ \ \ 3=300

Rezolvare: 

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] \ \ \ : \ \ \ 3=300   / \ \ \ \cdot 3

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] = 300 \cdot 3

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] = 900 / \ \ \ : \ \ \ 100

25-6\cdot (x-3)+3 = 900\ \ \ : \ \ \ 100

25-6\cdot (x-3)+3 = 9   / - 3

25- 6\cdot (x-3) = 9 - 3

25- 6\cdot (x-3) = 6

Deoarece necunoscuta mea este în pozitia scăzătorului atunci vom scrie:

 6\cdot (x-3) =25 - 6  \Rightarrow    6\cdot (x-3) =18     / \ \ \ :\ \ \ 6  \Rightarrow

x-3 =18\ \ \ :\ \ \ 6  \Rightarrow   x-3 =3   /+3  \Rightarrow   x =3+3  \Rightarrow   x =6

Exercițiul 3:  90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212

Rezolvare: De data aceasta primul termen mutat cu semn schimbat este 90 cu semnul –

90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212    /-90

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212-90

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=122    /\cdot 4

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] =122 \cdot 4

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18 =488 / - 18

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=488-18

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=470   / \ \ \ :\ \ \ 2

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=470 \ \ \ :\ \ \ 2   \Rightarrow (420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=235

\Rightarrow (205+5\cdot a)=235   / - 205

\Rightarrow 5\cdot a=235 -205   \Rightarrow 5\cdot a=30  / \ \ \ : \ \ \ 5

\Rightarrow a=30 \ \ \ :\ \ \ 5   \Rightarrow a=6

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Metoda Mersului  Invers  pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Metoda Mersului Invers

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.” 

Exerciții Rezolvate la Graficul Funcției

“Nu îmi învăț niciodată studenții; tot ce fac este să le creez condițiile pentru ca ei să învețe.”
Albert Einstein

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții la Graficul unei Funcții! (mai mult…)

Exercițiul 1:

Fie funcția f \ \ \ : \ \ \ R \rightarrow R , f (x)=-2x+1.

a) Reprezentați grafic funcția.

b)Determinați numărul real a \in R, știind că punctul A(2a-1,\ \ \ a-2) este situate pe graficul funcției f(x).

c) Calculați suma S=f(0)+f(1)+f(2)+..........+f(2011)

Rezolvare:

a) Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca  y=0 \Rightarrow f(x)=0 .

  •  \cap OX :   y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow -2\cdot x+ 1=0

\Rightarrow  -2\cdot x=-1    \Rightarrow x=\frac{-1}{{-2}}

\Rightarrow   x=\frac{1}{{2}}   \Rightarrow A( \frac{1}{{2}} \ ; 0)

  • Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca  x=0
  • \cap OY:  x=0  \Rightarrow  f(0)= -2\cdot 0+ 1 = 1
  •                        B(0\ \ ;\ \ \ 1)

b) Pentru a arăta că punctul A(2a-1,\ \ \ a-2) aparține graficului funcției f(x) punem condiția ca : f(2a-1)= a-2 adică în forma funcției f(x)  înlocuim x cu 2a-1 și obținem:

f(2a-1)= a-2 \Rightarrow -2\cdot (2a-1) + 1 = a-2 \Rightarrow -4\cdot a+2 + 1 = a-2

\Rightarrow -4a+3 = a-2

Trecem toți termenii cu a într-o parte și toți termenii fară a în cealaltă parte.

\Rightarrow -4a-a=-2-3  \Rightarrow -5a=- 5 \ \ \ \ /:(-5)   \Rightarrow a= 1

c)  S=f(0)+f(1)+f(2)+... . . . . + f(2011)

Calculăm f(0), f(1), f(2), . . . . . , f(2011) și observăm că obținem Suma Gauss.

f(0)= -2 \cdot 0 + 1= 0+1=1

f(1)= -2 \cdot 1 + 1= - 2 +1= -1

f(2)= -2 \cdot 2 + 1= - 4 +1= -3

. . . . . . ..  .. . . . . . . .. . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .

 f(2011)= -2 \cdot 2011 + 1= - 4 022+1= -4021

Obținem :

S= 1-1-3-5-. . .. . . . -4021  \Rightarrow S= -(3+5+. . .. . . . +4021)

Aplicăm Suma Gauss a numerelor impare :

n= (4021-3) \ \ \ : \ \ \ 2 +1  \Rightarrow n= 4018 \ \ \ : \ \ \ 2 +1  \Rightarrow n= 2009 +1 = 2010 (termeni)

S=-[2010\cdot (4021+3) \ \ \ : \ \ \ 2]

S=-[2010\cdot 4024 \ \ \ : \ \ \ 2]

S=-[2010\cdot 2012]

S=- 4 044 120

Exercițiul 2:

Se consideră funcția    f : R\rightarrow R  , f(x)= -\sqrt{3}x+2\sqrt{3}

a) Reprezentați grafic funcția

b) Determinați aria triunghiului format de graficul funcției și axele de coordinate.c

c) Determinați distanța de la punctul  O(0,0)   la graficul funcției f(x).

Rezolvare:

  • a) \cap OX :   y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow -\sqrt{3}\cdot x+2\sqrt{3} = 0

\Rightarrow -\sqrt{3}x=-2\sqrt{3}

\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

\Rightarrow   x= __{{}}^{\sqrt{3})}\textrm{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} }

\Rightarrow   x=2  \Rightarrow A(2\ \ \ ; \ \ \ 0 )

  • \cap OY:  x=0  \Rightarrow  f(0)= -\sqrt{3}\cdot 0+2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}
  •                        \Rightarrow B(0 , 2\sqrt{3})

b) Calculăm  A_{\bigtriangleup AOB }. Observăm că \bigtriangleup AOB este dreptunghic în unghiul O astfel putem aplica formula:

 A_{{\bigtriangleup AOB}}= \frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}= \frac{OA\cdot OB}{2}= \frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} u.m^{{2}}

c)  Știm că distanța de la un punct la o dreaptă este perpendiculara din acel punct pe dreaptă. Adică înălțimea triunghiului AOB. Pentru a afla înălțimea ne folosim de aria triunghiului pe care am calculate-o deja. Folosim formula:

 A_{\triangle AOB}= \frac{b \cdot h}{{2}}   = \frac{AB \cdot OM}{{2}}

Calculăm  AB cu formula distanței dintre punctele A(2,0) și  B(0, 2\sqrt{3}) astfel:

AB= \sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}

x_{{A}}=2   și  y_{{A}}=0 iar x_{{B}}=0 și y_{B}=2\sqrt{3} , înlocuim in formula și obținem:

AB=\sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}

AB=\sqrt{{(2-0})^2+(2\sqrt{3}-0})^2}}   \Rightarrow AB=\sqrt{{2^2+(2\sqrt{3})^2}}

\Rightarrow AB=\sqrt{{4+2^2 \cdot 3}}  \Rightarrow AB=\sqrt{{4+12}}  \Rightarrow AB=\sqrt{{16}} = 4

Înlocuim în formula ariei și aflăm OM.

2\sqrt{3}u.m^2= \frac{4 u.m \cdot OM}{2} \ \ \ \ \ / \cdot 2

2 \cdot 2\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM  \Rightarrow 4\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM \ \ \ \ / \ \ : \ \ 4 u.m

\Rightarrow OM = \sqrt{3} \ \ u.m

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Graficul unei funcții  pentru copilul tău o gasești aici:Fisa de lucru Graficul unei functii

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.” 

Transformarea unei fracții ordinare într-o fracție periodică

„Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la transformarea unei fracții ordinare în fracție periodică.

(mai mult…)

Exercițiul 1: Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice simple:

a) \frac{31}{9}   ;   b)  \frac{517}{99}  ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) \frac{31}{9}   Împărțim 31 la 9 și obținem:

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{31}{9}=3,(4) și citim trei virgulă perioadă patru.

b)   \frac{517}{99}=

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{517}{99}=5,(2) .

Exercițiul 2 : Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice mixte:

a) \frac{233}{45} ;   b) \frac{553}{60}  ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a)  \frac{233}{45}

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 7. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{233}{45}=5,1(7) și citim cinci virgulă unu perioadă șapte.

b) \frac{553}{60}

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 6. În aceste cazuri spunem că rezultatul     \frac{553}{60}=9,21(6).

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Probleme cu Procente Rezolvate

“Un copil inteligent nu este un copil care învață absolut tot, ci un copil căruia nu îi este frică să învețe orice”

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva probleme cu procente rezolvate. Acest tip de Probleme cu Procente s-au dat de multe ori  la Examenul de Evaluare Națională. (mai mult…)

Problema 1:

O rochie costă 540 lei. Prețul rochiei se reduce cu 15%. Cât va costa rochia după reducere?

Rezolvare:

Calculăm cât reprezintă 15% din 540 lei.

15% \ \ din \ \ \ 540= \frac{15}{{100}} \cdot 540= \frac{15}{{10\emptyset}} \cdot \frac{54\emptyset}{{1}}= \frac{15\cdot 54}{{10}}= \frac{81\emptyset}{{1\emptyset}}= 81 lei

Pentru că prețul rochiei se reduce scădem din prețul initial cei 81 lei.

540\ \ lei - 81 \ \ lei=459 \ \ lei (noul preț al rochiei)

Problema 2: Un călător parcurge o distanţă în 3 zile astfel: în prima zi parcurge 20% din drum, a doua zi parcurge 50% din rest şi în a treia zi parcurge ultimii 60 km.

a) Aflaţi lungimea totală pe care călătorul a parcurs-o în cele trei zile.

b) Cât la sută din lungimea totală a parcurs călătorul a doua zi dacă tot traseul are 150km?

Rezolvare:

a) Notăm cu x lungimea inițială a drumului.

Calculăm câți km i-au rămas călătorului după prima zi.

x- 20% din x= x - \frac{20}{{100}}\cdot x= x - \frac{1}{{5}}\cdot x= ^{5)}\textrm{x - \frac{1}{{5}}\cdot x=} \frac{5\cdot x }{{5}}- \frac{1\cdot x }{{5}}= \frac{4\cdot x }{{5}}  (rest)

Calculăm câți km i-au rămas călătorului după a doua zi.

Din restul rămas după prima zi scădem 50% din acest rest!

\frac{4\cdot x }{{5}} - 50% \ \ \cdot \ \ \frac{4\cdot x }{{5}}=\frac{4\cdot x }{{5}} - (\frac{50 }{{100}} \ \ \cdot \ \ \frac{4\cdot x }{{5}} )= \frac{4\cdot x }{{5}} - (\frac{1 }{{2}} \ \ \cdot \ \ \frac{4\cdot x }{{5}} )= \frac{4\cdot x }{{5}} - \frac{4\cdot x }{{10}}= _{{}}^{2)}\textrm{\frac{4\cdot x }{{5}} - \frac{4\cdot x }{{10}}=} \frac{8\cdot x }{{10}} - \frac{4\cdot x }{{10}}=  \frac{4\cdot x }{{10}}  (al doilea rest care reprezintă ultimii km parcurși in a treia zi)

Egalăm ultimul rest cu 60km.

 \frac{4\cdot x }{{10}} = 60 km \Rightarrow \frac{4\cdot x }{{10}} = 60 km / \cdot 10  \Rightarrow 4\cdot x = 600 km / \ \ : \ \ 4

 \Rightarrow x = 600\ \ km \ \ : \ \ 4  \Rightarrow x = 150\ \ km

b)  \frac{4}{10} \cdot 150 \ \ km =   \frac{4}{1\emptyset} \cdot 15\emptyset \ \ km =  60\ \ km  

Problema 3:

Un aparat  costă 960 lei . Prețul se majorează cu 40%  apoi scade cu 25%.

a) Care este noul preț al aparatului ?

b) Care este procentul final de majorare ?

Rezolvare:

a)  Calculăm prețul după prima majorare.

960 + 40% din 960 = 960 + \frac{40}{{100}}\cdot 960= 960 + \frac{4\emptyset}{{1\emptyset\emptyset}}\cdot 96\emptyset=960 + 4 \cdot 96=

960 + 384=  1344 (prețul după prima majorare)

Calculăm prețul după scăderea cu 25%.

1344- (25% din 1344)=   1344 - \frac{25}{{100}}\cdot 1344=  1344 - \frac{25\cdot 1344}{{100}}=  1344 - \frac{33600}{{100}}= 1344 - \frac{336\emptyset\emptyset}{{1\emptyset\emptyset}}=  1344 - 336=1008  (preț final)

b) Trebuie să aflăm p%.

960 + p% din 960 = 1008\Rightarrow 960 + p% din 960 = 1008 / -960

\Rightarrow p% din 960 = 1008 -960

\Rightarrow p% din \ \ 960 = 48\Rightarrow \frac{p}{{100}}\cdot 960 = 48

\Rightarrow \frac{p}{{10\emptyset}}\cdot 96\emptyset = 48 \Rightarrow \frac{p}{{10}}\cdot 96= 48 / \cdot 10

 \Rightarrow p\cdot 96= 480   \Rightarrow p\cdot 96= 480 / \ \ : \ \ 96

 \Rightarrow p= 480 \ \ : \ \ 96  \Rightarrow p= 5 %

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Probleme cu Procente pentru copilul tău o gasești aici:Fisa de lucru probleme cu Procente

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Unghiuri opuse la vârf

” Nu e destul să știm, trebuie să și aplicăm. Nu e destul să ne dorim, trebuie să facem.”

Goethe

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună și să explicăm pas cu pas 3 Exerciții  rezolvate la Unghiuri opuse la vârf !  (mai mult…)

Exercițiul1:

Fie unghiurile  \widehat{AOB} și  \widehat{COD} două unghiuri opuse la vârf. Știind că  m(\widehat{AOB})=59^\circ aflați  m(\widehat{AOC})=? și  m(\widehat{BOD})=?

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Din datele problemei știm că  \widehat{AOB} și  \widehat{COD} opuse la vârf \Rightarrow

 m(\widehat{COD}) \equiv m(\widehat{AOB}) =59^{\circ}

Analizând figura observăm că punctele A,\ \ \ O și D sunt coliniare:  m(\widehat{AOC}) + m(\widehat{AOB})=180^\circ \Rightarrow m(\widehat{AOC})+59^\circ=180^\circ \Rightarrow m(\widehat{AOC})=180^\circ- 59^\circ\Rightarrow m(\widehat{AOC})=121^\circ

m(\widehat{AOC})\equiv m(\widehat{BOD})\Rightarrow m(\widehat{BOD})=121^\circ

Exercițiul 2:

Fie \widehat{AOB} și \widehat{COD} opuse la vârf și dreptele AD \cap BC=\left \{ O \right \}. Știind că m(\widehat{AOC})=21^\circ+x  și m(\widehat{AOB})=97^\circ+x aflați : m(\widehat{AOB}) șim(\widehat{AOC}).

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Din datele problemei știm că \widehat{AOB} și \widehat{COD} opuse la vârf și  AD \cap BC=\left \{ O \right \} \Rightarrow B\ \ , \ \ O și C coliniare \Rightarrow m(\widehat{BOC})=180^\circ

Dacă privim atent desenul observăm: \Rightarrow m(\widehat{BOC})=m(\widehat{AOB})+m(\widehat{AOC})\Rightarrow m(\widehat{AOB})+m(\widehat{AOC})=180^\circ \Rightarrow 97^\circ+x+21^\circ+x=180^\circ

\Rightarrow 2x+ 118^\circ=180^\circ \Rightarrow 2x=180^\circ-118^\circ \Rightarrow 2x=62^\circ \Rightarrow x=62^\circ\ \ \ :\ \ \ 2 \Rightarrow x=31^\circ

m(\widehat{AOC})=21^\circ+x \Rightarrow m(\widehat{AOC})=21^\circ+31^\circ\Rightarrow m(\widehat{AOC})=52^\circ

m(\widehat{AOB})=97^\circ+x\Rightarrow m(\widehat{AOB})=97^\circ+31^\circ  \Rightarrow m(\widehat{AOB})=128^\circ

 

Exercițiul 3:

Dacă AB\cap CD= \left \{ O \right \} și \frac{ m(\widehat{AOD})}{ m(\widehat{AOC})}=\frac{4}{{5}} află m(\widehat{BOC}) și m(\widehat{BOD}).

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Problema ne spune că \frac{ m(\widehat{AOD})}{ m(\widehat{AOC})}=\frac{4}{{5}} \Rightarrow 5\cdot m(\widehat{AOD})}= 4\cdot m(\widehat{AOC})

\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})

Dar AB\cap CD= \left \{ O \right \} \Rightarrow C\ \ , \ \ O \ \ și D coliniare  \Rightarrow m(\widehat{COD})= 180^\circ

Analizând desenul observăm că m(\widehat{COD})= m(\widehat{AOC})+ m(\widehat{AOD})

\Rightarrow m(\widehat{AOC})+ m(\widehat{AOD})=180^\circ \Rightarrow m(\widehat{AOC})+ \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})=180^\circ | \ \ \ \cdot 5

\Rightarrow 5\cdot m(\widehat{AOC})+ 4\cdot m(\widehat{AOC})=5\cdot 180^\circ  \Rightarrow 9\cdot m(\widehat{AOC})=900 ^\circ | \ \ \ :\ \ \ 9  \Rightarrow m(\widehat{AOC})=100 ^\circ

Știm că  m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot 100^\circ \Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4\cdot 100^\circ}{5}\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{400^\circ}{5}\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= 80^\circ

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Factorul Comun la Puteri

“Un ratat nu știe ce va face dacă pierde, dar vorbește despre ce va face dacă va castiga. Un învingător nu vorbește despre ce va face dacă va caștiga, dar știe ce va face dacă pierde.”
Eric Berne
Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună cateva exerciții la “Factorul comun la Puteri”.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Efectuați calculele, folosind factorul comun:

a) 3^{96}+3^{98}+3^{100}

b) 2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}

c) 8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}

d) 3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}

e) 6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}

  • Rezolvare: 
  • a) 3^{96}+3^{98}+3^{100}
  • Adunarea este o operație de gradul I și ridicarea la putere este o operație de gradul III, iar ordinea efectuării operațiilor ne spune că trebuie să facem mai întâi operațiile de gradul III și apoi cele de gradul I

Observăm că avem puteri foarte mari și nu putem ridica la putere așa că ne vom folosi de factorul comun și vom da factor comun puterea cea mai mică.

Observăm că 3^{96} este puterea cea mai mică asa ca îl dăm factor comun pe 3^{96} și obținem:

3^{96}\cdot(3^{96-96}+3^{98-96}+3^{100-96})

Scădem puterile și obținem:

3^{96}\cdot(3^{0}+3^{2}+3^{4})

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

3^{96}\cdot(1+9+81)=3^{96}\cdot91

  • b)      2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}

Observăm că  2^{47} este puterea cea mai mică așa că îl dăm factor comun pe 2^{47} și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot2^{47-47}+3\cdot2^{48-47}+2^{50-47})

Scădem puterile și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot2^{0}+3\cdot2^{1}+2^{3})

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot 1+3\cdot2+8)

Efectuăm  înmulțirile și obținem:

2^{47}\cdot(2+6+8)=

Efectuăm adunarea din paranteză și obținem:

2^{47}\cdot 16=

Știm că 16 îl putem scrie în baza 2 ca 2^{4} și obținem

2^{47}\cdot2^{4}=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și scriem baza și adunam exponenții:

2^{47+4}=2^{51}

  • c)   8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}

Observăm că 8^{297} este cea mai mică putere, îl dăm factor comun pe 8^{297} și obținem:

8^{297}\cdot(8^{300-297}-24\cdot8^{298-297}-64\cdot8^{297-297})

Scădem puterile și obținem:

8^{297}\cdot(8^{3}-24\cdot8^{1}-64\cdot8^{0})

Ridicăm la putere termenii din paranteză și obținem:

8^{297}\cdot(512-24\cdot8-64\cdot1) =

Efectuăm înmulțirile din paranteză și obținem:

  • 8^{297}\cdot(512-192-64) =

Efectuăm scăderea din paranteza rotundă și obținem:

8^{297}\cdot 256 =

Știm că putem scrie 8=2^3 și 256=2^8 și obținem:

(2^3)^{297}\cdot 2^8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri înmulțim puterile și obținem:

2^{3\cdot297}\cdot 2^8=2^{891}\cdot 2^8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, scriem baza și adunam puterile și obținem astfel:

2^{891+8}=2^{899}

  • d)  3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

3^{2n}\cdot3^2+7\cdot 3^{2n}\cdot3^1-6\cdot3^{2n}=

Observăm că se repetă în fiecare termen al adunării 3^{2n},  îl dăm factor comun și obținem:

3^{2n}\cdot(3^2+7\cdot3^1-6\cdot1)=

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

3^{2n}\cdot(9+7\cdot3-6)=

Efectuăm Înmulțirea din paranteză și obținem:

3^{2n}\cdot(9+21-6)=

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

3^{2n}\cdot 24=3^{2n}\cdot 3\cdot8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri scriem baza și adunăm exponenții și obținem:

3^{2n+1}\cdot8

  • d) 6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri  transformăm bazele pe 6 îl scriem 6=2\cdot3 , pe 4=2^2, 9=3^2 , pe  18=2\cdot3^2  și obținem:

(2\cdot3)^{2n+1}+6\cdot (2^2)^{n+1}\cdot (3^2)^{n+2}+(2\cdot3^2)^{n+1}\cdot2^{n+1}

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, distribuim puterea și obținem:

2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2\cdot(n+1)}\cdot 3^{2\cdot(n+2)}+2^{n+1}\cdot3^{2(n+1)}\cdot2^{n+1}

2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2n+2}\cdot 3^{2n+4}+2^{n+1}\cdot3^{2n+2}\cdot2^{n+1}

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^2\cdot2^{n}\cdot2^1

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n+n}\cdot2^{1+1}\cdot3^{2n}\cdot3^2

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{2n}\cdot2^{2}\cdot3^{2n}\cdot3^2

Observăm că se repeta 2^{2n}\cdot3^{2n} și îl dăm factor comun, astfel obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2^1\cdot3^1+6\cdot2^2\cdot3^4+2^{2}\cdot3^2)

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2\cdot3+6\cdot4\cdot81+4\cdot9)

Efectuăm înmulțirile din paranteza rotundă și obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(6+1944+36)

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot 1986=(2\cdot3)^{2n}\cdot 6\cdot331=(6)^{2n}\cdot 6^1\cdot331=(6)^{2n+1}\cdot331

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în Clubul de “Matematică Math More Easy.” 

1 2 3 4