Posts Tagged ‘#iubesceducatia’

Exerciții ușoare rezolvate la Adunarea și Scăderea Numerelor Întregi

“Victoriile adevărate nu sunt ale celor puternici, ci ale celor perseverenţi.”

Napoleon Bonaparte

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva Exerciții ușoare rezolvate la Adunarea și Scăderea Numerelor Întregi. (mai mult…)

Exercițiul 1: Calculați:

a)  -15 +4=

b) -12-6+8=

c) 13-20-18+6=

d) 17-(+19)=

e) -30+(-3)-(-13)=

Rezolvare: 

  • a) -15+ 4=-11

Dacă  numerele au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere.

  • b) -12-6+8=

Calculez primele două numere în ordinea în care sunt scrise. Pentru că primele două numere au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

-12-6+8=- 18+8=

Pentru că numerele au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere.  Astfel obțin :

 - 18+8=-10

  • c) 13-20-18+6-4+15=

Pentru că în fața numărului 13 nu este nici un semn asta înseamnă că este  semnul +.

+13-20-18+6-4+15=

Efectuez calculele în ordinea în care sunt scrise. Pentru că primele două numere au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere.  Astfel obțin :

-7-18+6-4+15=

Pentru că primele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

-25+6-4+15=

Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere.  Astfel obțin :

-19-4+15=

Pentru că următoarele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

-23+15=

Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere.  Astfel obțin :

-23+15=-8

  • d) (-30)+(-3)-(-13)=

Pentru că primele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

(-30)+(-3)-(-13)=(-33) -(-13)

Observ că în fața lui 13 am două semne  -(-13). Mai întâi reduc la un singur semn aplicând regula : (-)\cdot (-)=+.  Astfel obțin:

(-33)-(-13)=(-33)+13=

Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere.  Astfel obțin :

(-33)+13=-20.

Exercițiul 2: Să se efectueze:

a) 7-[3-(10-15)]=

b) -36 + \left \{ -2+[6+(-18-16)] \right \}=

Rezolvare: 

  • a) 7-[3-(10-15)]=

Mai întâi rezolvăm paranteza rotundă. Astfel obținem:

7-[3- (-5)]=

Pentru că în paranteza pătrată avem două semne succesive mai întâi stabilim semnul în paranteza pătrată. Știm că (-)\cdot (-) =+   și transform paranteza pătrată în paranteză rotundă astfel obținem:

7-[3- (-5)]=7-(3+5)=7-8=-1

  • b)   -36 + \left \{ -2+[6+(-18-16)] \right \}=

Efectuăm calculele din paranteza rotundă. Astfel obținem:

-36 + \left \{ -2+[6+(-34)] \right \}=

Stabilim semnul în paranteza pătrată tinând cont de regula  (-)\cdot (+)= (-). În același timp transform paranteza pătrată în rotundă și acolada în pătrată. Astfel obținem:

-36+\left [ -2+(6-34) \right ]=

Efectuăm calculele din paranteza rotundă. Astfel obținem:

-36+\left [ -2+(-28) \right ]=

Stabilim semnul în paranteza pătrată tinând cont de regula  (-)\cdot (+)= (-). În același timp transform paranteza pătrată în rotundă. Astfel obținem:

-36+( -2-28 )= -36+( -2-28 )= -36+ (-30)=-36-30=-66

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții Ușoare la Adunarea și Scăderea Numerelor Intregi  pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Adunarea numerelor intregi

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Transformarea fracțiilor zecimale (periodice)

„Cu un talent și o perseverență extraordinare toate lucrurile pot fi atinse.”

Thomas Foxwell Buxton

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la Transformarea fracțiilor zecimale în fracție ordinare. (mai mult…)

Exercițiul 1:  Transformați în fracții ordinare următoarele fracții zecimale:

a)7,5   ;             b)0,03 ;

c)13,(2) ;          d) 0,2(5) ;

e) 0,2(5);          f) 15,14(15);

Rezolvare: 

  • a) 7,5 este o fracție zecimală finită     \Rightarrow  7,5=\frac{75}{10}^{(5}=\frac{15}{2}

Pentru că avem o singură cifră după virgulă numitorul este 10. În cazul în care vom avea mai multe cifre după virgulă vom pune atâția dea 0 cate cifre avem după virgulă.

  • b) 0,03=\frac{3}{100}.

În acest caz avem două cifre după virgulă am pus doi de 0 la numitor.

  • c) 13,(2) este o fracție periodică simplă.

Pentru a transforma o fracție periodică simplă într-o fracție ordinară vom scrie la numărător întreg numărul (în cazul nostru 132) din care scădem numărul format din cifrele din fața virgulei (în cazul nostru 13), iar la numitor punem o cifră de 9 deoarece avem o singură cifră în perioadă. Astfel obținem:

13,(2)=\frac{132-12}{9}=\frac{119}{9}

Observație :   În  cazul în care avem mai multe cifre în perioadă punem atâția de 9 câte numere avem în perioadă.

  • d) 0,2(5)  este o fracție periodică mixtă (deoarece avem o cifră între virgulă și perioadă)

Pentru a transforma o fracție periodică mixtă într-o fracție ordinară vom scrie la numărător întreg numărul (în cazul nostru 25) din care scădem numărul format din cifrele din fața virgulei (în cazul nostru 2), iar la numitor punem o cifră de 9 deoarece avem o singură cifră în perioadă și o cifră de 0 deoarece avem o cifră între virgulă și perioadă. Astfel obținem:

0,2(5)=\frac{25-2}{90}=\frac{23}{90}

Observație :   În  cazul în care avem mai multe cifre în perioadă punem atâția de 9 câte numere avem în perioadă, iar dacă avem mai multe cifre între virgulă și perioadă punem atâția de 0 câte numere avem între virgulă și perioadă.

  • e) 10,12(3)=\frac{10123-1012}{900}=\frac{9111}{{900}}^{(3}=\frac{3037}{{300}}
  • f)  15,14(15)=\frac{151415-1514}{9900}=\frac{149901}{{9900}}^{(3}=\frac{49967}{{300}}

Exercițiul 2:  Se consideră numărul x=2,1(39).

a) Determinați a 2018-a zecimală a numărului x.

b) Calculați suma primelor 100 zecimale ale lui x.

c) Transformați numărul x în fracție ordinară.

Rezolvare:

Observăm că numărul x are după virgulă o cifră (1), iar în perioadă două cifre (39). Știm că cifra dintre virgulă și perioadă nu se repetă iar cifrele din perioada se repetă la nesfârșit.

Scris ca număr zecimal fară perioadă numărul x ar arăta așa:

x=2,1(39)=2,139393939..........39......

Pentru a determina a 2018-a zecimală a lui x scădem din 2018 - 1=2017 (deoarece avem o singură cifră între virgulă și perioadă).

După care împărțim 2017 la 2 (deoarece avem 2 cifre în perioadă).

2017\ \ \ :\ \ \ \ 2=1008 \ \ \ rest \ \ 1

Pentru că am obținut restul 1 a 2018-a zecimală a lui x este 3 (prima cifră din perioadă).

  • b) Pentru a calcula suma primelor 100 zecimale ale lui x scădem :

100-1=99 (deoarece avem o singură cifră între virgulă și perioadă)

După care împărțim 99 la 2 (deoarece avem 2 cifre în perioadă) și obținem:

99\ \ \ \ :\ \ \ \ 2=49 \ \ \ rest \ \ \ 1

Obținem că suma celor 100 de zecimale ale lui x sunt:

S=1+3+9+3+9+3+9+......+3 =

Pentru că 99\ \ \ \ :\ \ \ \ 2=49 \ \ \ rest \ \ \ 1  \Rightarrow 3+9 se repetă de 49 de ori.

Astfel putem scrie: S=1+49\cdot (3+9)+3 \Rightarrow S=1+49\cdot 12 +3 \Rightarrow S=1+588 +3  \Rightarrow S= 592

  • c)  x=2,1(39) \Rightarrow x=\frac{2139-21}{{990}}=\frac{2118}{{990}}^{(2}=\frac{1059}{{495}}^{(3}=\frac{353}{{165}}

Exercițiul 3:  Determinați cifra a știind că :

\overline{0,1a}+\overline{0,(a)}+\overline{0,a(1)} \in N

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

\overline{0,1a}+\overline{0,(a)}+\overline{0,a(1)} =\frac{\overline{1a}-1}{{90}}+ \frac{a}{9}+ \frac{\overline{a1}-a}{90}=

Aducem la același numitor prin amplificarea celei de-a doua fracții cu 10. Astfel obținem:

\frac{\overline{1a}-1}{{90}}+ ^{10)_}\textrm{\frac{a}{9}}+ \frac{\overline{a1}-a}{90}=\frac{\overline{1a}-1}{{90}}+ \frac{10a}{90}}+ \frac{\overline{a1}-a}{90}=\frac{\overline{1a}-1+10a+\overline{a1}-a}{{90}}

Desfacem în baza 10 numerele: \overline{1a} și \overline{a1} astfel:\overline{1a}= 10 +a iar \overline{a1}= 10a +1.

Obținem: \frac{10 +a -1+10a+10a+1 -a}{{90}} =\frac{10+20a}{{90}}= =\frac{10\cdot(1+2a)}{{90}}^{(10}= =\frac{1+2a}{{9}} \in N\Rightarrow 1+2a=9 |\ \ -1

\Rightarrow 2a=9 -1   \Rightarrow 2a=8 \ \ | \ \ \ \ :\ \ \ 2     \Rightarrow a=8 \ \ \ \ :\ \ \ 2   \Rightarrow a=4.

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții Ușoare Transformarea  fracților zecimale în fracții ordinare  pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru fractii periodice

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Legătura dintre C.M.M.D.C și C.M.M.M.C

”Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncuși

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!
Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții  la Legătura dinte C.M.M.D.C și C.M.M.M.

(mai mult…)

Exercițiul 1:
Determinați numerele naturale a și b care verifică următoarele relații:
a)  (a,b)=6     și    a\cdot b=468
b)  (a,b)=15   și   [a,b]=540
c)  (a,b)=14  și   a + b=7
d)  [a,b]=180  și  a\cdot b=2160
Rezolvare:
  • a)   (a,b)=6     și    a\cdot b=468

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 6 \Rightarrow a și b sunt multipli lui 6 \Rightarrow a=6\cdot x și  b=6\cdot y , iar ( x, y )=1 .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =6.

Înlocuim a și b și obținem:

6\cdot x\cdot 6\cdot y=468 \Rightarrow 36 \cdot xy=468 | \ \ \ \ : \ \ \ 36 \Rightarrow xy=468 \ \ \ \ : \ \ \ 36 \Rightarrow x\cdot y=13

Astfel obținem posibilitățile:

Cazul I :   x=1 \Rightarrow a=6\cdot 1=6   și    y=13 \Rightarrow b= 6\cdot 13= 78

Cazul II:   x=13 \Rightarrow a= 6\cdot 13= 78   și    y=1 \Rightarrow b= 6\cdot 1= 6

  • b)   (a,b)=15 și [a,b]=540

Știm formula: (a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b. Înlocuim în formulă și aflăm a și b.

15 \cdot 540=a\cdot b \Rightarrow a\cdot b= 8100.

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 15 \Rightarrow a și b sunt multipli lui 15 \Rightarrow a= 15 \cdot x și \Rightarrow b= 15 \cdot y , iar ( x, y )=1 .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =15.

Înlocuim a și b și obținem: 15\cdot x\cdot 15\cdot y=8100 \Rightarrow 225\cdot x\cdot y=8100| \ \ \ :\ \ \ 225\Rightarrow x\cdot y=8100 \ \ \ :\ \ \ 225\Rightarrow x\cdot y=36.

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I:   x=1 \Rightarrow a= 15\cdot 1= 15 și  y=36 \Rightarrow b= 15\cdot 36= 540

Cazul II:  x=4 \Rightarrow a= 15\cdot 4= 60 și   y=9 \Rightarrow b= 15\cdot 9= 135

Cazul III:   x=9 \Rightarrow a= 15\cdot 9= 135  și   y=4 \Rightarrow b= 15\cdot 4= 60

Cazul IV:  x=36 \Rightarrow a= 15\cdot 36= 540  și  y=1 \Rightarrow b= 15\cdot 1= 15

În acest caz nu putem lua perechile de numere (2\ \ \ ;\ \ \ 18) și (18\ \ \ ;\ \ \ 2) deoarece aceste numere nu sunt numere prime între ele.

  • c) (a\ \ \ ;\ \ \ b) = 14 și  a + b=7

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 14 \Rightarrow a și b sunt multipli lui 14  \Rightarrow a= 14 \cdot x și  \Rightarrow b= 14 \cdot y ,   iar ( x, y )=1 .

Înlocuim în a și b și obținem:

14 \cdot x+ 14\cdot y=98\Rightarrow 14 \cdot (x+ y) =98 | \ \ \ :\ \ \ 14 \Rightarrow (x+ y) =98 \ \ \ :\ \ \ 14\Rightarrow (x+ y) =7

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I:   x=1 \Rightarrow a= 14\cdot 1= 14  și  y=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84

Cazul II:  x=2 \Rightarrow a= 14\cdot 2= 28  și   y=5 \Rightarrow b= 14\cdot 5= 70

Cazul III:  x=3 \Rightarrow a= 14\cdot 3= 42 și  y=4 \Rightarrow b= 14\cdot 4= 56

Cazul IV:  x=4 \Rightarrow a= 14\cdot 4= 56 și  y=3 \Rightarrow b= 14\cdot 3= 42

Cazul IV:  x=5 \Rightarrow a= 14\cdot 5= 70 și  y=2 \Rightarrow b= 14\cdot 2= 28

Cazul V:  x=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84  și  y=1 \Rightarrow b= 14\cdot 1= 14

 

Exercițiul 2: Determinați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la 48 dă restul  42 și împărțit la 56 dă restul 50.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

x\ \ \ : \ \ \ 48 = c_{1}\ \ \ \ rest 42 \Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42

x\ \ \ : \ \ \ 56 = c_{2}\ \ \ \ rest 50  \Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50.

Observăm  în ambele relații  că trebuie să adunăm un 6 pentru a putea da factor comun pe 48 și pe 56.

\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6 \Rightarrow x+6 =48 \cdot c_{1}+ 48 \Rightarrow x+6 =48 \cdot (c_{1}+ 1)

\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6   \Rightarrow x+6 =56 \cdot c_{2}+ 56  \Rightarrow x+6 =56 \cdot (c_{2}+ 1)

Mai departe trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 48 și 56 pentru a afla cât este x+6.

Descompunem în factori primi numerele 48 și 56 și obținem:

48= 2^4 \cdot 3

56= 2^3 \cdot 7

[48, 56]= 2^4\cdot 3\cdot 7= 16\cdot 3\cdot 7=336

\Rightarrow x+6 =336 | \ \ \ -6\Rightarrow x=336-6 \Rightarrow x=330

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții Ușoare la Legătura dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c  pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Legatura dintre cmmdc si cmmmc

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Înmulțirea și Împărțirea Fracțiilor

„Sclavul are doar un stăpân. Ambiţiosul are atâţia stăpâni câţi oameni îi pot fi de folos carierei sale.” 

Jean de la Bruyere

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!
Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții  la “Înmulțirea și Împărțirea Numerelor Raționale (Fracțiilor)”

(mai mult…)

Exercițiul 1:  Efectuați următoarele înmulțiri și împărțiri:

a)  \frac{5}{34} \cdot \frac{17}{49} \cdot \frac{7}{25}

b)  2\cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{9}{14}

c) \frac{7}{11} \ \ \ : \ \ \ \frac{14}{33}

d) 1,5 \cdot \frac{2}{3}\cdot 2,5

e) 3,5 \cdot 9\frac{1}{5}

f) 4,5 \ \ \ \ :\ \ \ \ 3\frac{1}{9}

Rezolvare:

  • a) \frac{5}{34} \cdot \frac{17}{49} \cdot \frac{7}{25}

La înmulțirea a două sau mai multe fracții înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei după care simplificăm fractia până obținem o fracție ireductibilă.

Astfel obținem:

\frac{5}{34} \cdot \frac{17}{49} \cdot \frac{7}{25}=\frac{5\cdot 17\cdot 7 }{34\cdot 49\cdot 25}  =\frac{595 }{41650} ^{(5}=\frac{119 }{8330} ^{(7}=\frac{17 }{1190} ^{(17}=\frac{1 }{70}

  • b)  2\cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{9}{14}

Observăm că primul număr este un număr natural.

La înmulțirea  unui număr natural cu o fracție înmulțim numărul natural cu numărătorul și păstrăm numitorul. (Sau transformăm numărul natural în număr rațional cu numitorul 1)

Astfel obținem:

2\cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{9}{14}=\frac{2\cdot 7}{4} \cdot \frac{9}{14}=\frac{14}{4} \cdot \frac{9}{14}=\frac{14\cdot 9}{4\cdot 14}=\frac{126}{56} ^{(2}=\frac{63}{28} ^{(7}=\frac{9}{4}

(Sau putem să mai efectuăm calculele astfel:

2\cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{9}{14}=\frac{2}{1} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{9}{14}=  \frac{2\cdot 7\cdot 9 }{1\cdot 4\cdot 14}=\frac{126}{56} ^{(2}=\frac{63}{28} ^{(7}=\frac{9}{4}  ).

  • c)  \frac{7}{11} \ \ \ : \ \ \ \frac{14}{33}

La împărțirea a două fracții pastrăm prima fracție intactă și o înmulțim cu inversa celei de-a doua fracții.

Inversa unei fracției  \frac{a}{b}  înseamnă fracția  \frac{b}{a}.

Astfel obținem:

 \frac{7}{11} \ \ \ : \ \ \ \frac{14}{33}=\frac{7}{11} \cdot \frac{33}{14}=\frac{7\cdot 33}{11\cdot 14}=\frac{231}{154} ^{(7}=\frac{33}{22}^{(11}=\frac{3}{2}

 

  • d) 1,5 \cdot \frac{2}{3}\cdot 2,5

Mai întâi transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare.

 1,5 \cdot \frac{2}{3}\cdot 2,5=\frac{15}{10} \cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{25}{10}=\frac{15\cdot2 \cdot 25 }{10\cdot 3 \cdot 10 = \frac{750}{300}^{(10}= \frac{75}{30}^{(5}= \frac{15}{6}^{(3}= \frac{5}{2}

  • e) 3,5 \cdot 9\frac{1}{5}

Transformăm fractia zecimală în fracție ordinară și introducem întregul  în fracția ordinară. Astfel obținem:

3,5 \cdot 9\frac{1}{5}= \frac{35}{10} \cdot \frac{9 \cdot 5+1}{5}= \frac{35}{10} \cdot \frac{46}{5}= \frac{35 \cdot 46}{10 \cdot 5} = \frac{1610}{50}^{(10}=\frac{161}{5}

  • f) 4,5 \ \ \ \ :\ \ \ \ 3\frac{1}{9}

Transformăm fractia zecimală în fracție ordinară și introducem întregul  în fracția ordinară. Astfel obținem:

4,5 \ \ \ \ :\ \ \ \ 3\frac{1}{9}= \frac{45}{10} \ \ \ \ :\ \ \ \ \frac{3\cdot 9+1}{9}= \frac{45}{10} \ \ \ \ :\ \ \ \ \frac{28}{9}=   \frac{45}{10}\cdot \frac{9}{28}= \frac{45\cdot 9}{10\cdot 28}= \frac{405}{280}^{(5}=\frac{81}{56}

Exercițiul 2: Efectuați:

a)  (3\frac{3}{{4}}) \ \ \ : \ \ \ (5\frac{1}{{2}}+ 0,5) \cdot (1\frac{1}{{3}} )

b)  [(1,(5)-0,(5))]\cdot 1,(6)\ \ \ :\ \ \ 2\frac{1}{2} =

Rezolvare:

  • a)  (3\frac{3}{{4}}) \ \ \ : \ \ \ (5\frac{1}{{2}}+ 0,5) \cdot (1\frac{1}{{3}} )

Mai întâi introducem întregii în fracții și transformăm fracția zecimală în fracție ordinară.

Astfel obținem:

 (3\frac{3}{{4}}) \ \ \ : \ \ \ (5\frac{1}{{2}}+ 0,5) \cdot (1\frac{1}{{3}} )= (\frac{3\cdot 4+3}{{4}}) \ \ \ : \ \ \ (\frac{5\cdot 2+1}{{2}}+ \frac{5}{10}) \cdot (\frac{1\cdot 3+1}{{3}})  =  \frac{15}{{4}} \ \ \ : \ \ \ (\frac{11}{{2}}+ \frac{5}{10}) \cdot \frac{4}{{3}}

Mai întâi efectuăm adunarea din paranteza rotundă.

 = (\frac{15}{{4}}) \ \ \ : \ \ \ (\frac{11}{{2}}+ \frac{5}{10}^{(5} )\cdot (\frac{4}{{3}})

 = \frac{15}{{4}} \ \ \ : \ \ \ (\frac{11}{{2}}+ \frac{1}{2})\cdot \frac{4}{{3}}

 = \frac{15}{{4}}\ \ \ : \ \ \ \frac{12}{{2}}\cdot \frac{4}{{3}}

 = \frac{15}{{4}}\cdot \frac{2}{{12}}\cdot \frac{4}{{3}}

 = \frac{15\cdot 2\cdot 4}{{4\cdot 12\cdot 3}} = \frac{120}{{144}}^{(2} = \frac{60}{{72}}^{(2} = \frac{30}{{36}}^{(2} = \frac{5}{{6}}

  •  [(1,(5)-0,(5))]\cdot 1,(6)\ \ \ :\ \ \ 2\frac{1}{2} =

Mai întâi transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare și  introducem întregii în fracție.

Astfel obținem:

 [(1,(5)-0,(5))]\cdot 1,(6)\ \ \ :\ \ \ 2\frac{1}{2} = [(\frac{15-1}{9} -\frac{5}{9})]\cdot \frac{16-1}{9}\ \ \ :\ \ \ \frac{2\cdot2+ 1}{2} =

 (\frac{14}{9} -\frac{5}{9})\cdot \frac{15}{9}\ \ \ :\ \ \ \frac{5}{2} =  \frac{6}{9} \cdot \frac{15}{9}\ \ \ :\ \ \ \frac{5}{2} =   \frac{6 \cdot 15}{9\cdot 9}\ \ \ :\ \ \ \frac{5}{2} =

 \frac{90}{81}\ \ \ :\ \ \ \frac{5}{2} =   \frac{90}{81} \cdot \frac{2}{5} =

 \frac{90\cdot 2}{81\cdot 5} =  \frac{180}{405}^{(5} =  \frac{36}{81}^{(9} =  \frac{4}{9}

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții Ușoare la Înmulțirea și Împărțirea Numerelor Raționale   pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Inmultirea

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Cel Mai Mic Multiplu Comun (c.m.m.m.c)

„Un om educat se deosebeşte de un om needucat, asa cum un om viu se deosebeşte de un om mort.”

 Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!
Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții  la Cel  Mai  Mic Multiplu Comun (c.m.m.m.c).

(mai mult…)

Exercițiul 1: Aflați cel mai mic multiplu comun al următoarelor numere:

a) 24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18

b) 28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63

c) 120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360

d) 121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49

Rezolvare:   Pentru a putea determina c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

a) 24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18

24=2^3\cdot 3

12=2^2\cdot 3

18=2^1\cdot 3^2

Cel mai mic multiplu comun este produsul tuturor factorilor comuni și necomuni luați o singură dată la puterea cea mai mare.

[24, 12, 18]=2^3\cdot 3^2=8 \cdot 9=72

  • b) 28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

28=2^2\cdot 7

147=3\cdot 7^2

63=3^2\cdot 7

[28, 147, 63]=2^2\cdot 3^2 \cdot 7^2=4\cdot 9\cdot 49=1764

  • c) 120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

120=2^3\cdot 3\cdot 5

240= 2^4\cdot 3\cdot 5

360= 2^3\cdot 3^2\cdot 5

[120, 240, 360]= 2^4\cdot 3^2\cdot 5=16 \cdot 9\cdot 5=720

  • d) 121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

121= 11^2

330= 2\cdot 3\cdot 5\cdot 11

49= 7^2

[121, 330, 49]= 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2\cdot 11^2=2\cdot 3\cdot 5\cdot 49\cdot 121= 177870

Exercițiul 2: Aflați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit pe rând la 6, 16 și 12 dă de fiecare dată restul 5.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

x\ \ \ :\ \ \ 6=c_{{1}}\ \ \ rest \ \ \ 5 . Aplicăm teorema împărțirii cu rest și obținem: x =6\cdot c_{{1}} + 5

Mai știm: x\ \ \ :\ \ \ 16=c_{{2}}\ \ \ rest \ \ \ 5  \Rightarrow x=16\cdot c_{{2}}+ 5

x\ \ \ :\ \ \ 12=c_{{3}}\ \ \ rest \ \ \ 5  \Rightarrow x=12\cdot c_{{3}}+ 5.

Scădem din fiecare relație câte un 5 și obținem:

\Rightarrow x-5=6\cdot c_{{1}}

\Rightarrow x-5=16\cdot c_{{2}}

\Rightarrow x-5=12\cdot c_{{3}}

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 6, 16 și 12.

Mai întâi descompunem în factori primi numerele:

6=2\cdot 3

16=2^4

12=2^2 \cdot 3

\left [ 6,16,12 \right ]= 2^4 \cdot 3=16\cdot 3=48

Obținem astfel:

 x-5 = 48 | \ \ \ +5   \Rightarrow x=48+5  \Rightarrow x=53

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții Ușoare la Cel  Mai  Mic Multiplu Comun pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru CMMMC

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exercitii rezolvate la Mărimi Invers Proporționale

„Fără educaţie, ce este omul? Un splendid sclav, un sălbatic al raţiunii.”

Joseph Addison 

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva Exerciții rezolvate la marimi invers proporționale.

Exercițiul 1:   Suma a trei numere este egală cu 20.Aflați numerele știind că acestea sunt invers proporționale cu numerele 3; 2,(4); și 11.

Rezolvare:

Considerăm trei numere a; b și c.

Știm din enunțul problemei că suma celor trei numere este egală cu 20 \Rightarrow a+b+c=20

Tot din enunțul problemei știm:

\left \{ a;\ \ \ b;\ \ \ c \right \} \overset{i.p}{\rightarrow} \left \{ 3;\ \ \ \ 2,(4);\ \ \ \ 11 \right \}

 \Rightarrow a\cdot 3=b\cdot 2,(4)=c \cdot 11=k

 \Rightarrow a\cdot 3=k \Rightarrow a=\frac{k}{{3}}

 \Rightarrow b\cdot 2,(4)=k

Transformăm fracția periodică în fracție ordinară astfel:

2,(4)=\frac{24-2}{{9}}=\frac{22}{{9}}  . Astfel obținem:

 \Rightarrow b\cdot \frac{22}{{9}}=k \ \ \ |\ \ \ : \ \ \ \frac{22}{{9}}   \Rightarrow b=k \ \ \ : \ \ \ \frac{22}{{9}}   \Rightarrow b=k \cdot \frac{9}{{22}}     \Rightarrow b=\frac{9k}{{22}}

 \Rightarrow c\cdot 11=k \Rightarrow c=\frac{k}{{11}}

Înlocuim a, b și c  în relația a+b+c=20  și aflăm valoarea lui k. Astfel obținem:

\frac{k}{{3}} + \frac{9k}{{22}} +\frac{k}{{11}}=20

Aducem fracția la același numitor calculând c.m.m.m.c-ul numerelor de la numitor.

3=3

22=2 \cdot 11

11=11

\left [3,22,11 \right ]=3\cdot 2 \cdot 11=66. Astfel obținem:

 {22)}^_{{\frac{k}{{3}}}}+ 3)^_{{\frac{9k}{{22}}}}+ 6)^_{{\frac{k}{{11}}}}=66)^_{{\frac{20}{{1}}}}

22k+27k+6k=1320   \Rightarrow 55k=1320 | \ \ \ : \ \ \ 55 \Rightarrow k=1320 \ \ : \ \ \ 55   \Rightarrow k=24

Înlocuim k și aflăm valorile lui a, b și c. Astfel obținem:

\Rightarrow a= \frac{24}{{3}}\Rightarrow a= 8

 \Rightarrow b= \frac{9\cdot 24}{{22}}\Rightarrow b= \frac{216}{{22}}^{(2}\Rightarrow b= \frac{108}{{11}}

 \Rightarrow c= \frac{ 24}{{11}}

Exercițiul 2:    Produsul a trei numere este egal cu 1. Aflați numerele știind că acestea sunt invers proporționale cu numerele 4; 16; și 27.

Rezolvare:

Considerăm trei numere a; b și c.

Știm din enunțul problemei că produsul celor trei numere este egal cu 1.\Rightarrow a \cdot b \cdot c =1

Tot din enunțul problemei știm:

\left \{ a;\ \ \ b;\ \ \ c \right \} \overset{i.p}{\rightarrow} \left \{ 4;\ \ \ \ 16;\ \ \ \ 27 \right \} \Rightarrow a \cdot 4= b \cdot 16= c \cdot 27 = k

 \Rightarrow a\cdot 4 = k \Rightarrow a=\frac{k}{{4}}

\Rightarrow b \cdot 16 = k \Rightarrow b=\frac{k}{{16}}

\Rightarrow c \cdot 27 = k \Rightarrow c =\frac{k}{{27}}

Înlocuim a, b și c  în relația a \cdot b \cdot c =1 și aflăm valoarea lui k. Astfel obținem:

\frac{k}{{4}} \cdot \frac{k}{{16}} \cdot \frac{k}{{27}} =1  \Rightarrow \frac{k^3}{{1728}} =1 |\ \ \ \cdot 1728

 \Rightarrow k^3 = 1728    \Rightarrow k^3 = 12^3 \Rightarrow k=12

Înlocuim k și aflăm valorile lui a, b și c. Astfel obținem:

\Rightarrow a=\frac{12}{{4}} \Rightarrow a= 3

\Rightarrow b=\frac{12}{{16}}^{(4 }\Rightarrow b=\frac{3}{{4}}

\Rightarrow c=\frac{12}{{27}}^{(3 }\Rightarrow c=\frac{4}{{9}}

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții Ușoare la Mărimi invers proporționale  pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa usoara marimi invers proportionale

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la modulul unui număr întreg

“Inteligența nu înseamnă să nu faci greșeli, ci să vezi repede cum poți să le îndrepți”

Brelot Breckt

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas  împreună cateva exerciții la “Modulul unui număr intreg”. (mai mult…)

Exercițiul 1: Completați pentru a obține propoziții adevarate:

a) \left \ | -11 \right \ |=?

b) \left \ | 13 \right \ |=?

c) \left \ | 0 \right \ |=?

d) \left \ | (-2)^2 \right \ |=?

e) \left \ | -3^4 \right \ |=?

f) \left \ | -7 +11 \right \ |=?

g) \left \ | -15 -6 \right \ |=?

h) \left \ | -2^2+3^2 \right \ |=?

i) \left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |=?

Rezolvare: 

Știm că modulul sau valoarea absolută  a unui număr întreg este valoarea pozitivă a acelui număr.

a) \left \| -11 \right \ |=11   ;     b) \left \ | 13 \right \ |=13   ;    c) \left \ | 0 \right \ |=0    ;        

d) \left \ | (-2)^2 \right \ |=?

Știm că semnul minus la putere pară obținem semnul + , astfel  (-2)^2=+ 4. Astfel obținem:

\left \ | (-2)^2 \right \ |=\left \ | 4 \right \ |=4

e)  \left \ | -3^4 \right \ |=?

Știm că semnul minus la putere impară obținem semnul – , astfel   -3^4=-81. Astfel obținem:

\left \ | -3^4 \right \ |=\left \ | -81 \right \ |=81

f) \left \ | -7 +11 \right \ |=?

Efectuăm calculele din modul după care explicităm modulul.

Știm că la adunarea a două numere întregi păstrăm semnul celui mai mare și efectuăm scădere între termini. Astfel obținem:

\left \ | -7 +11 \right \ |= \left \ | +4 \right \ |= 4

g) \left \ | -15 -6 \right \ |= ?

Efectuăm calculele din modul după care explicităm modulul.

Știm că la scăderea a două numere întregi negative păstrăm semnul  și efectuăm adunare între termini. Astfel obținem:

\left \ | -15 -6 \right \ |= \left \ | - 21 \right \ | = 21

h) \left \ | -2^2+3^2 \right \ |= ?

Mai întâi ridicăm numerele întregi la putere, apoi facem calculele după care explicităm modulul. Astfel obținem:

\left \ | -2^2+3^2 \right \ |= \left \ | - 4+9\right \ | = \left \ | +5\right \ | = 5

i) \left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |= ?

Pentru a putea explicita modului trebuie mai întâi să comparăm puterile:

Comparăm 2^{164}   cu  3^{123} .

Observăm că 164=4 \cdot 41 ,  iar  123= 3\cdot 41. Astfel obținem:

2^{4\cdot 41}   comparat cu 3^{3\cdot 41}. Aplicăm regulile de calcul cu puteri și obținem:

(2^{4})^{41} comparat cu  (3^{3})^{41}  \Rightarrow 16^{41} comparat cu  \Rightarrow 27^{41} .

Pentru că am obținut același exponent, comparăm bazele iar numărul cu baza mai mare va fii mai mare. Obținem astfel că : 2^{164} \lt 3^{123} \Rightarrow semnul rezultatului din modul va fii negative. În acest caz vom scoate termenii de sub modul cu semen schimbate.

\left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |= - 2^{164}+3^{123}

Pentru că avem puteri foarte mari lăsăm așa răspunsul final.

Exercițiul 2:  Rezolvați în Z ecuațiile:

a)   \left \| x \right \|=5

b) \left \| 2x-17 \right \|=21

c) 29-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4

d) 3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7

Rezolvare: 

a)  \left \| x \right \|=5 \Rightarrow x= \pm 5

b)  \left \| 2x-17 \right \|=21

Egalăm pe rând valoarea din modul cu 21 și cu -21.

  • \left \| 2\cdot x-17 \right \|=21 \Rightarrow 2\cdot x-17=21  \Rightarrow 2\cdot x=21+17 \Rightarrow 2\cdot x=38 \Rightarrow x=38 \ \ \ : \ \ \ 2 \Rightarrow x=19
  • \left \| 2x-17 \right \|=21\Rightarrow 2x-17=-21 \Rightarrow 2\cdot x=- 21+17 \Rightarrow 2\cdot x=- 4 \Rightarrow x=-4 \ \ \ : \ \ \ 2 \Rightarrow x=-2

x\in \left \{-2 \ \ ; \ \ 19 \right \}

d) 3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7

Aplicăm metoda mersului invers.

3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7 \ \ \ \ \ \ | \ \ +8

3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=7+8

3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=15

3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=15\ \ \ \ \ \ | \ \ : \ \ 3

 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9=15 \ \ : \ \ 3

 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9=5 \ \ \ \ \ \ | \ \ +9

 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | =5 +9

 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | =14 \ \ \ \ \ \ | \ \ :2

 \left \ | 2x- 3 \right \ | =14 \ \ \ :\ \ \ 2

 \left \ | 2x- 3 \right \ | = 7

Egalăm pe rând valoarea din modul cu 7 și cu -7.

 \left \ | 2x- 3 \right \ | = 7\Rightarrow 2\cdot x-3=-7 \ \ \ | \ \ \ +3\Rightarrow 2\cdot x=-4 \ \ \ | \ \ \ : \ \ \ \ 2 \Rightarrow x=-2

 \left \ | 2x- 3 \right \ | = 7\Rightarrow 2\cdot x-3=7 \ \ \ | \ \ \ +3  \Rightarrow 2\cdot x=10 \ \ \ | \ \ \ : \ \ \ \ 2 \Rightarrow x=5

x\in \left \{ -2\ \ \ ;\ \ \ 5 \right \}

Exercițiul 3 :  Rezolvați în mulțimea numerelor întregi inecuațiile:

a) \left \| x \right \|\leq 5

b) \left \| x-6 \right \|\ \ \ \lt \ \ \ 3

c) 29- 3\cdot \left \| 2x-7 \right \| \geq -4

Rezolvare: 

a) \left \| x \right \|\leq 5 \Rightarrow -5 \leq x\leq 5 \Rightarrow x\in \left \{ -5\ ;\ \ \ -4\ ; \ \ \ -3;\ -2;\ -1;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1;\ \ \ \ 2;\ \ \ 3;\ \ \ \ 4;\ \ \ \ 5 \right \}

b) \left \| x-6 \right \|\ \ \ \lt \ \ \ 3 \Rightarrow -3\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x-6\ \ \ \ \lt \ \ \ \3\ \ \ \ | \ \ \ +6\Rightarrow -3+6\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x\ \ \ \ \lt \ \ \ \3+6\ \  \Rightarrow 3\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x\ \ \ \ \lt \ \ \ \9\ \\Rightarrow x\in \left \{ 4 \ ;\ \ \ \5\ ;\ \ \ \6\ ;\ \ \ \7\ ;\ \ \ \8 \right \}

c) 29-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4\ \ \ | \ \ \ -29

-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4-29

-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -33 \ \ \ | \ \ \ \ :(-3)

În momentul în care înmulțim o inecuație cu un număr negativ se schimbă semnul. Astfel obținem:

\left \ | 2x-7 \right \ | \leq -33 \ \ \ \ :\ \ \ (-3)

\left \ | 2x-7 \right \ | \leq 11  \Rightarrow -11\leq 2x-7 \leq 11 \ \ \ | \ \ \ +7 \Rightarrow -11+7 \leq \ \ \ 2x \leq \ \ \ \ 11+7  \Rightarrow -4 \leq \ \ \ 2x \leq \ \ \ \ 18 \ \ \ | \ \ \ :\ \ 2  \Rightarrow -4\ \ \ :\ \ \ 2 \leq \ \ \ x \leq \ \ \ \ 18 \ \ \ :\ \ 2\Rightarrow - 2 \leq \ \ \ x \leq \ \ \ \ 9

\Rightarrow x\in \left \{ -2 \ ;\ \ \ \ -1\ ;\ \ \ \ 0 \ ;\ \ \ \ 1 \ ;\ \ 2 \ \ ;\ \ \ 3 \ ;\ \ \ \ 4\ ;\ \ \ \ 5\ ;\ \ \ \ 6\ ;\ \ \ \ 7\ ;\ \ \ \ 8\ ;\ \ \ \ 9\ \right \}

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea Fracțiilor

“Învată tot ce poți, în orice moment disponibil, de la oricine și întotdeuna va veni o vreme când te vei simți recompensat pentru ceea ce ai învațat”

Sarah Caldwel

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas  împreună cateva exerciții la “Adunarea și Scăderea Fracțiilor”. (mai mult…)

Exercițiul 1:        Calculați:

a) \frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=

b) -\frac{10}{9}+\frac{11}{9}+(-\frac{7}{9})=

c) -\frac{3}{{5}}+(-\frac{5}{{6}})+(+\frac{1}{{2}})+(+\frac{4}{{15}})=

d)-\frac{13}{{18}}+(-\frac{5}{{108}})+(-\frac{14}{{5}})+(-\frac{7}{{36}})=

Rezolvare:

  • a) \frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=

Observăm că cele 3 fracții au acelasi numitor, în acest caz efectuez calculele între numărători și pastrez numitorul.

  • -\frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}= \frac{7+2+5}{13}= \frac{14}{13}

 

  • b) -\frac{10}{9}+\frac{11}{9}+(-\frac{7}{9})=\frac{-10+11-7}{9}=

Avem la numărător -10+11-7 numere întregi cu semne diferite așa că vom respecta regula de adunare dacă termenii au semne diferite pastrăm semnul celui mai mare și efectuăm scădere. Noi avem -10+11   păstrăm semnul + și efectuîm 11-10

\frac{-10+11-7}{9}=\frac{+1-7}{9}=\frac{-6}{9}= \frac{-6}{9}^{(3}= \frac{-2}{3}

  • c) -\frac{3}{{5}}+(-\frac{5}{{6}})+(+\frac{1}{{2}})+(+\frac{4}{{15}})=

Observăm că în acest exercițiu fracțiile au numitor diferit așa că trebuie să determinăm numitorul comun.

Pentru a determina numitorul comun trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor de la numitor 5, 6, 2, 15.

Descompunem în factori primi cele 4 numere:

5=5

6=2\cdot3

2=2

15=3\cdot5

Calculăm c.m.m.m.c\left [ 5,6,2,15 \right ]=2\cdot3\cdot5=30

Deci numitorul comun este 30.

Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem  numitorul 30.

-_{{}}^{6)}\textrm{\frac{3}{{5}}}+(-_{{}}^{5)}\textrm{\frac{5}{{6}}})+ (+_{{}}^{15)}\textrm{\frac{1}{{2}}})+(+_{{}}^{2)}\textrm{\frac{4}{{15}}}) =

-\frac{18}{{30}}}+(-{\frac{25}{{30}}})+ (+{\frac{15}{{30}}})+(+{\frac{8}{{30}}})=

Știm că semnul (+) înmulțit cu semnul (-) obținem (-) , iar semnul (+) înmulțit cu semnul (+) obținem (+) . Astfel obținem:

  • -\frac{18}{{30}}}+(-{\frac{25}{{30}}})+ (+{\frac{15}{{30}}})+(+{\frac{8}{{30}}})=
  • -\frac{18}{{30}}}-{\frac{25}{{30}}}+ {\frac{15}{{30}}}+{\frac{8}{{30}}}=
  • \frac{-18-25+15+8}{{30}}}=
  •   \frac{-43+15+8}{{30}}}=
  •  \frac{- 28+8}{{30}}}=  \frac{- 20}{{30}}}^{(10} =- \frac{ 2}{{3}}}

d)      -\frac{13}{{18}}+(-\frac{5}{{108}})+(-\frac{14}{{5}})+(-\frac{7}{{36}})=

Determinăm numitorul comun:

18= 2\cdot 3^2

108= 2^2\cdot 3^3

5=5

36= 2^2\cdot 3^2

[18, 108, 5, 36]= 2^2\cdot 3^3\cdot 5=4\cdot 27\cdot 5=540

Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem  numitorul 540.

-_^{30)}\textrm{\frac{13}{{18}}}+(-_^{5)}\textrm{\frac{5}{{108}}})+(-_^{108)}\textrm{\frac{14}{{5}}})+(-_^{15)}\textrm{\frac{7}{{36}}})=

-{\frac{13\cdot30}{{18\cdot 30}}}+(-{\frac{5\cdot 5}{{108\cdot 5}}})+(-{\frac{14\cdot 108}{{5\cdot 108}}})+(-{\frac{7\cdot 15}{{36\cdot 15}}})=

-{\frac{390}{{540}}}+(-{\frac{25}{{540}}})+(-{\frac{1512}{{540}}})+(-{\frac{105}{{540}}})=

{\frac{-390-25-1512-105}{{540}}}=  {\frac{-(390+25+1512+105)}{{540}}}=  {\frac{-2032}{{540}}}^{(2}=  {\frac{-1016}{{270}}}^{(2}=  {\frac{-508}{{135}}}

 

Exercițiul 2:  Efectuați calculele:

a) [-3\frac{1}{{2}} +1\frac{1 }{{15}} ] + [-1\frac{1}{{7}}+2\frac{7 }{{3}} ]=

Introducem întregii în fracție:

(-\frac{3\cdot2+1}{{2}} +\frac{1\cdot 15+1 }{{15}} ) + (-\frac{1\cdot7+1}{{7}}+\frac{2\cdot3+7 }{{3}} )=

(-\frac{7}{{2}} +\frac{16 }{{15}} ) + (-\frac{8}{{7}}+\frac{13}{{3}} )=

Determinăm numitorul comun și aducem fracțiile la același numitor:

Știm că 2,3,7 și 5 sunt numere prime între ele. Numitorul comun este 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7= 210

Amplificăm fracțiile și obținem:

(-_{{}}^{105)}\textrm{\frac{7}{{2}}}+_{{}}^{14)}\textrm{\frac{16}{{15}}})+(-_{{}}^{30)}\textrm{\frac{8}{{7}}}+_{{}}^{70)}\textrm{\frac{13}{{3}}})=  (-{\frac{735}{{210}}}+{\frac{224}{{210}}})+(-{\frac{240}{{210}}}+{\frac{910}{{210}}})=

{\frac{-735+224}{{210}}}+{\frac{-240+910}{{210}}}=  {\frac{-511}{{210}}}+{\frac{670}{{210}}}=  {\frac{-511+670}{{210}}}= {\frac{159}{{210}}}^{(3}= {\frac{53}{{70}}}

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Cel Mai Mare Divizor Comun (c.m.m.d.c)

„Dacă oamenii ar învăța să meargă și să vorbească așa cum sunt învățați să scrie și să citească, toată lumea ar șchiopăta și s-ar bâlbâi.”
Mark Twain
Dragul meu părinte bine te-am regăsit!
Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții  la cel mai mare divisor comun (c.m.m.d.c).

(mai mult…)

Exercițiul 1: Aflați cel mai mare divizor comun al următoarelor numere:

a) 24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18

b) 28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63

c) 120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360

d) 121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49

Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.d.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri. 

  • a) 24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18

24=2^3\cdot 3

12=2^2\cdot 3

18=2\cdot 3^2

(24,12,18)=2\cdot 3=6

Cel mai mare divizor comun este produsul factorilor comuni luați o singură dată la puterea cea mai mică. 

Analizând descompunerile observăm că 2 și 3 se repeată în toate cele 3 descompuneri asa că îi considerăm factori comuni, iar cea mai mica putere este 1. 

b) 28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63

28=2^2 \cdot 7

147=3 \cdot 7^2

63=3^2 \cdot 7

(28, 147, 63)=7

c) 120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360

120=2^3\cdot 3\cdot 5

240=2^4\cdot 3\cdot 5

360=2^3\cdot 3^2\cdot 5

(120, 240, 360)= 2^3 \cdot 3\cdot 5= 8\cdot 3\cdot 5=120

d) 121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49

121=11^2

330=2\cdot 3\cdot 5\cdot 11

49=7^2

(121, 330, 49)= 1

  • Observăm că nu avem factori comuni așa că c.m.m.d.c-ul este 1.

Exercițiul 2: Determinați 5 numere naturale care divid simultan următoarele numere: 1260, 3780, 6300.

Rezolvare:  Descompunem în factori primi numerele.

1260= 2^2\cdot 3^2\cdot5\cdot 7

3780= 2^2\cdot 3^3\cdot5\cdot 7

6300= 2^2\cdot 3^3\cdot5^2\cdot 7

(1260, 3780, 6300)= 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7==4\cdot 9\cdot 5\cdot 7= 36\cdot 5\cdot 7=180\cdot 7=1260

Toate numerele formate din factorii c.m.m.d.c-ului mai mici decat 1260 vor divide cele trei numere.

Formam astfel 5 numere naturale:

2^2\cdot 5=4\cdot 5=20  \Rightarrow 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

2^2\cdot 7=4\cdot 7=28 \Rightarrow 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

3^2\cdot 5=9\cdot 5=45 \Rightarrow 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

3^2\cdot 7= 9\cdot 7=63 \Rightarrow 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180 \Rightarrow 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

Exercițiul 3:  Află două numere naturale care îndeplinesc simultan condițiile: 

(a,b)=25 și a-b=50      a; b \gt 101;    a;b\lt 199

Rezolvare: 

Dacă (a; b )=25  \Rightarrow a= 25\cdot x și  b= 25\cdot y iar (x,y)=1.

Înlocuim în cea de-a doua relație pe care trebuie să o respectăm și obținem:

25\cdot x-25\cdot y=50

Dăm factor comun pe 25 și obținem:

25\cdot (x-y)=50 \ \ \ \ | \ \ \ :\ \ \ 25

 (x-y)=50 \ \ \ :\ \ \ 25

 x-y=2

Dar exercițiul ne spune în enunț că a și b sunt cuprinse între numerele 101 și 199.

In acest caz cel mai mic număr ar fi 125 \ \ \ \vdots \ \ \ 25 ., iar cel mai mare număr este 175 \ \ \ \vdots \ \ \ 25 .

Din această informație deduce că: x=5 \Rightarrow y=3 \Rightarrow a=125\Rightarrow b=75

Pentru x=6 \Rightarrow y=4 \Rightarrow (6,4)=2 \Rightarrow această variant nu este convenabilă.

Pentru x=7 \Rightarrow y=5 \Rightarrow a=175\Rightarrow b=125

Exercițiul 4: Calculați c.m.m.d.c-ul numerelor a și b știind că:

a=2^n\cdot 3^{n+2}+5^2\cdot 2^{n+1}\cdot3^n+7\cdot 6^n și b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}

Rezolvare: 

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot (2\cdot3)^n

a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot 2^n\cdot 3^n

Observăm că 2^n\cdot 3^n se repeată în toți termenii adunării așa că îi vom da factor comun:

a=2^n\cdot 3^n\cdot(3^2+5^2\cdot2^1+7)

a=2^n\cdot 3^n\cdot(9+25\cdot2+7)

a=2^n\cdot 3^n\cdot 66

a=2^n\cdot 3^n\cdot 2\cdot 3\cdot 11

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

Calculăm b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}

Aplicăm regulile de calcul cu puteri si obținem:

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+(5\cdot 7)^n\cdot 5^2+(5\cdot 7)^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+35^n\cdot 5^2+35^n\cdot 7^1

Observăm că 35^n se repeat în toți termenii și îl dăm factor comun:

b=35^n(2\cdot 35^1+5^2+7^1)

b=35^n\cdot (70+25+7)

b=35^n\cdot 102

b=(5\cdot 7)^n\cdot 102

b=5^n \cdot 7^n \cdot 102

Calculăm c.m.m.d.c-ul celor două numere:

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

b=5^n \cdot 7^n \cdot 102

Descompunem 102 și obținem:

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

b=5^n \cdot 7^n \cdot 2\cdot 3\cdot17

(a,b)= 2\cdot 3= 6

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Cel Mai Mare Divizor Comun  pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru CMMDC

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural

“Educaţia ar fi mult mai eficientă dacă scopul acesteia ar fi ca la ieşirea din şcoală, fiecare copil să conştientizeze cât de multe lucruri nu ştie şi să fie cuprins de o dorinţă permanentă să le afle. – William Haley

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la lecția Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural. (mai mult…)

Exercițiul 1: Scrieți divizorii proprii și divizorii improprii ai numărului 21.

Rezolvare: 

Divizorii proprii ai lui 21 sunt: 3 și 7.

Divizorii improprii ai lui 21 sunt: 1 și 21.

Exercițiul 2 :

Determinați numărul natural x știind că x-3 este divizorul numărului natural 15. 

Rezolvare: 

 x-3 \in D_{15} \Rightarrow x-3 \in \left \{ 1,3,5,15 \right \}

Deoarece pe noi ne interesează valorile pe care le poate lua x vom egala cu fiecare număr si vom afla multimea valorilor lui x.

 x-3=1 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=1+3 \Rightarrow x=4

 x-3=3 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=3+3 \Rightarrow x=6

 x-3=5 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=5+3 \Rightarrow x=8

 x-3=15 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=15+3 \Rightarrow x=18

Soluție: x\in \left \{ 4, 6, 8, 18 \right \}

Exercițiul 3:  Determinați: 

a)  D_{{28}} \cup D_{{12}}

b)  D_{{28}} \cap D_{{12}};

Rezolvare: 

Scriem mulțimea divizorilor lui 28.

D_{{28}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}

Scriem mulțimea divizorilor lui 12.

D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}

a) Reunim cele două mulțimi și obținem: D_{{28}} \cup D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}

  • Reamintim că Reuniunea a două mulțimi A și B este mulțimea notată A \cup B, formată din toate elementele celor două mulțimi comune și necomune, luate o singură dată.

b)  Intersectăm cele două mulțimi și obținem: D_{{28}} \cap D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \right \}

  • Reamintim că  Intersecția: a două mulțimi A și B este mulțimea notată A\cap B , formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură data.

Exercițiul 4:  Se consider inecuația 4\cdot x -1 \leq 39-x

a) Care dintre soluțiile inecuației sunt divizori ai numărului natural 12?

b) Care dintre soluțiile inecuației sunt multiplii lui 3?

Rezolvare: 

Rezolvăm inecuația: 4\cdot x -1 \leq 39-x.

Mutăm toți termenii care îl conțin pe x într-o parte iar ceilalti termini în cealaltă parte având grijă să schimbăm semnele.

4\cdot x +x \leq 39 +1

5\cdot x \leq 40

5\cdot x \leq 40 \ \ \ /\ \ \ :\ \ 5

x \leq 40 \ \ \ :\ \ 5 \Rightarrow x \leq 8  \Rightarrow x \in \left \{ 0\ \ \ ;\ \ \ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ \ ;\ \ \ \ 4\ \ \ ; \ \ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 8\ \ \ \right \}

a) Scriem mulțimea divizorilor lui 12:

D_{{12}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}

Acum intersectăm cele două mulțimi și obținem mulțimea

 \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}

b) Scriem mulțimea multiplilor lui 3

M_{3} =\left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 9\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 18\ ............ \right \}

Intersectăm mulțimea valorilor lui x cu mulțimea multiplilor lui 3 și obținem mulțimea: \left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

1 2 3 7