Posts Tagged ‘impartirea numerelor’

Exerciții rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural

“Zadarnic vei vrea să-l înveți

pe cel ce nu e dornic să fie învățat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăța.”

Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am vorbit despre cum putem afla Ultima cifră a unui număr natural. Azi îți propun câteva exemple de exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la această lecție dificilă pentru clasa a V-a.

(more…)

Exercițiul 1:

Calculați ultima cifră a numerelor:

a)  2^{1299}; \ \ \ 2^{2020};

b)  21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};

Rezolvare:

  • a) Pentru a calcula  2^{1299}; mai întâi privim atent puterile numărului 2.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim puterea 1299 la 4 și obținem:  1299 \ \ \ : \ \ \ 4=324 \ \ \ rest \ \ \ 3 \Rightarrow 1299=4\cdot 324 +3

Atunci putem scrie că: U(2^{1299})=U(2^{4\cdot 324 +3})=U[(2^{4})^{ 324} \cdot 2^3)] =U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)

Consultăm tabelul cu puterile lui 2 și observăm că 2^{4} are ultima cifră 6 astfel obținem:

 U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)=U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8

Consultăm tabelul cu puterile lui 6.

Observăm că  6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6 astfel obținem:

U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8=U(6 \cdot 8)=U(48)=8

Am obținut că U(2^{ 1299})=8

Calculăm acum pentru U(2^{ 2020})=?

Avem mai sus tabelul cu puterile lui 2 și am observat că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim puterea 2020 la 4 și obținem: 2020 \ \ \ : \ \ \ 4=505 \ \ \ rest \ \ \ 0

Atunci putem scrie că: U(2^{2020})=U(2^{4\cdot 505 +0})=U[(2^{4})^{ 505} \cdot 2^0)] .

Știm că orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1 \Rightarrow 2^{0}=1.

Am văzut mai sus că  2^{4} are ultima cifră 6 astfel obținem:

=U[(6^{ 505} \cdot 1)]=U(6 \cdot1)=6 .

Am obținut că: U(2^{ 2020}) = 6

b)   21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};

  • Calculăm  U(21^{ 324}) = ?

 U(21^{ 324}) = U(1^{ 324})

Știm că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1.  \Rightarrow U(1^{ 324}) = 1

  • Calculăm  U(19 ^{ 257}) = ?

 U(19 ^{ 257}) = U(9^{ 257}) =

Calculăm puterile lui 9.

Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2.

Împărțim 257 la 2 și obținem: 257 \ \ \ : \ \ \ 2 = 128 \ \ \ rest \ \ \ 1

Atunci putem scrie că: U(9^ {257})= U(9^ {2\cdot128+1})= U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)=

Consultând tabelul cu puterile lui 9 observăm că 9^2 are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem:  U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= U(1^{128})\ \ \ \cdot \ \ \ 9=U(1 \cdot 9 )=9

Am obținut că U(19^{ 257}) = 9

  • Calculăm U(17^{ 2020}) = ?

U(17^{ 2020}) = U(7^{ 2020}) = ?

Calculăm puterile lui 7.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim 2020 la 4 și obținem: 2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0

Atunci putem scrie că:  U(7^{ 2020}) = U[(7^4)^{ 505}]

Consultând tabelul cu puterile lui 7 observăm că 7^4 are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem:

U[(7^4)^{ 505}] = U(1^{505})=1

Am obținut că U(17^{ 2020})=1

Învăț pentru mine

Dragul meu părinte își propun câteva exerciții pe care să le rezolve copilul tău urmărind exemplele explicate și rezolvate mai sus!

Determină ultima cifră a numerelor:

a)  2^{99}; \ \ \ 2^{2018}; \ \ \ 2^{2024};

b)  41^{2017}; \ \ \ 125^{2017}; \ \ \ 2017^{2018};

c)  4^{1999}; \ \ \ 129^{2022}; \ \ \ 2016^{2018};

 

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

Mulțimea Numerelor Raționale.

Nu îți coborî așteptările pentru a se potrivi cu performanța ta. Ridică-ți nivelul de performananță pentru a se potrivi cu așteptările tale.” 

Ralph Marston

 

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi revin cu o lecție pentru clasa a VII-a. (more…)

Copilul tău a învățat în clasa a VI-a Numerele Raționale pe care le vom repeta și  acum în clasa a VII-a.

Începem clasa a VII-a cu recapitularea lecției  “Mulțimea numerelor Raționale. Forme de scriere a Numerelor Raționale.”

Definiție Număr Rațional: 

Un număr x se numește număr rațional dacă există o pereche de numere întregi (a,b) cu b\neq 0, astfel încât \frac{a}{b}=x.

  • Mulțimea numerelor raționale se notează cu Q și se poate defini astfel:
  • Q=\left \{ x| (\exists)\ \ \ a,\ b \in Z;\ \ b\neq 0 \ \ \ \ x=\frac{a}{b} \right \}

Observații: 

  • N \subset Z \subset Q
  •  Q^{{\star}}=Q \setminus \left \{ 0 \right \};
  •  Q^{{\star}} se numește mulțimea numerelor raționale nenule.
  • Q=Q_{{-}} \cup \left \{ 0\right \} \cup Q_{{+}}
  •  Q_{{-}} reprezintă mulțimea numerelor raționale negative
  •  Q_{{+}} reprezintă mulțimea numerelor raționale pozitive.
  • orice număr natural x se poate scrie ca un număr rațional cu numitor 1: x=\frac{x}{1}.

Scoaterea Întregilor din Fracție: 

  • Dacă avem un număr rațional x=\frac{a}{b} cu b\neq 0, pentru a scoate întregii din fracție efectuăm operația de împărțire a : b și obținem câtul c si restul r .
  • Putem scrie că  \frac{a}{b}=c\frac{r}{b}, unde c este partea întreagă , iar \frac{r}{b} este partea fracționară a numărului rațional \frac{a}{b} .

Exemplu:

  • Efectuăm operația de scoatere a întregilor din fracția  \frac{19}{4}
  • Efectuăm împărțirea 19\ \ \ :\ \ 4 = 4 \ \ \ rest \ \ 3
  • Putem scrie astfel: \frac{19}{4}=4\frac{3}{4}.

Introducerea Întregilor în fracție: 

Definiție : Numărul rațional scris sub forma a\frac{b}{c}  se poate scrie sub forma unei fracții ordinare astfel: a\frac{b}{c}= \frac{a\cdot c +b}{c}.

Exemplu:

  • Efectuăm operația de introducere a întregilor din fracție  pentru numărul rațional: 9\frac{3}{5}.
  • Conform definiției enunțate mai sus 9\frac{3}{5}= \frac{9 \cdot 5+3}{5}= \frac{45+3}{5}= \frac{48}{5} .

Forme de scriere:

Un număr rațional poate fi reprezentat prin fracții ordinare echivalente sau printr-o fracție zecimală finită sau periodică.

Teoremă:  Pentru orice număr rațional nenul “q”  există o unică fracție ireductibilă \frac{a}{b}, \ \ \ cu \ \ \ a\in Z \ \ \ si \ \ \ b\in Z^*, astfel încât q= \frac{a}{b}.

Transformarea Fracțiilor Ordinare în Fracții Zecimale:

Un număr rațional pozitiv reprezentat printr-o fracție ireductibilă \frac{a}{b} , cu  a,b \in N^{*}, b\geq 2, se poate transforma, folosind algoritmul de împărțire a numerelor naturale în:

  • fracție zecimală finită;
  • fracție periodică simplă;
  • fracție periodică mixtă.

Exemple: 

  • fracție zecimală finită;

\frac{39}{4}=9,75;

impartire

  • fracție periodică simplă;

\frac{122}{6}=20,(3)

  • fracție periodică mixtă.

\frac{125}{6}=20,8(3)

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural.

“Dimensiunea succesului tău este măsurata de puterea dorinței tale, de mărimea visului tău și de cum gestionezi dezamăgirile pe drumul către succes.”

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi revin cu o lecție pentru clasa a VI-a.

Copilul tău a învățat în clasa a V-a noțiunile de Divizor. Multiplu dar și Criteriile de divizibilitate pe care acum în clasa a VI-a le vom repeta.

(more…)

Definiție:  Numărul natural “a”  este divizibil (sau se divide) cu numărul natural “b”, dacă există un număr natural “c” astfel încât: ”  a=b\cdot c” .

Observație:

Numărul natural “a”  nu este divizibil (sau nu se divide) cu numărul natural “b”, dacă există un număr natural “c” astfel încât: ”  a\neq b\cdot c” .

Divizori improprii. Divizori proprii.

Fie n \geq 2 un număr natural. Numerele 1 și n  se numesc divizori improprii ai numărului n .

Ceilalți divizori ai numărului n  (dacă există) se numesc divizori proprii.

Mulțimea divizorilor naturali ai numărului natural n este mulțimea D_{{n}} a tuturor numerelor naturale care divid pe n.

Se notează  D_{{n}}=\left \{ d \in N| n \ \vdots\ d \right \} .

Mulțimea multiplilor naturali ai numărului natural n  este mulțimea tuturor elementelor naturale care se divid cu n .

Se notează  M_{n}=\left \{ k\in N |\ \ \ \ \ \ \ k \ \vdots\ n \right \}.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate „Reguli de Calcul cu puteri”

clasa a VI-aDragul meu părinte, în lecţia anterioară „Reguli de calcul cu puteri” am vorbit despre noţiunile pe care trebuie sa le reţină copilul tău la această lecţie.

In acest articol, vreau să îţi prezint câteva exemple de exerciţii cu un grad de dificultate diferit, explicate pas cu pas, pentru a te ajuta să-i explici şcolarului tău modul în care trebuiesc abordate exerciţiile de la această lecţie.

(more…)

  • Exerciţiul 1:  Calculaţi:
  •  15^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

Dragul meu părinte, observăm că în acest exerciţiu avem operaţii de ridicare la putere care sunt operaţii de ordin III, operaţii de împărţire a numerelor naturale care sunt operaţii de ordinul II şi operaţia de scădere care este o operaţie de ordinul I.

Comform ordinii efectuarii operaţiilor numerelor naturale, mai întâi efectuăm operaţiile de ordinul III (ridicarea la putere), apoi operaţiile de ordinul II (împărţirea), iar la urmă efectuăm operaţiile de ordinul I (scăderea).

Pentru că avem ridicare la putere cu un exponent mare( şi ar dura mult timp) aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a simplifica rezolvarea exerciţiului, după cum urmează:

Astfel obţinem:

(5\cdot3) ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

5^{38}\cdot3 ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

1\cdot3 ^{38} - (3^{19})^{2}=

"1\cdot3

3 ^{38} - 3^{38}=0

Exerciţiul 2:  Calculaţi: a=(b-c) ^{2011}dacă :                                  b=[(2 ^{3})^{2}-1954^{0}] : 3^{2^{1^{7}}}-(4^{1^{2^{3}}}-1^{4^{3^{2}}})

c=32\cdot7 ^{5}-14^{5}+3<br /><br />

Rezolvare:

Mai întâi aducem la o formă mai simplă pe „b” şi pe „c”.

Avem :  1954 ^{0}=1

deoarece  ştim ca orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Deasemenea ştim că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1

Astfel obţinem:         b=(2 ^{3\cdot2}-1) : </p> <p>3 ^{2^{1}}-( </p> <p>4 ^{1^{8}}-1 ^{4^{9}}</p> <p>)

                                b=(2 ^{6}-1) : </p> <p>3 ^{2}-( </p> <p>4 ^{1}-1</p> <p>)

                               b=(64-1) : 9 - 3

                              b=63 : 9 - 3<br />

                              "b=

                              b=4<br />

                             c=32\cdot7 ^{5}-14 ^{5}+3

                             c=32\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                            c=2^{5}\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                           c=(2\cdot7) ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                           c=0+3

                           c=3

Calculăm numărul „a”:       a=(4-3) ^{2011}

                                          a=1 ^{2011}

                                          a=1

  • Exerciţiul 3:
  • Determinaţi numărul natural “n” pentru care sunt adevărate egalităţile:
  • "7

 

Dragul meu părinte, observăm ca in acest exerciţiu avem suma lui Gauss.

"11+12+13+..............+30=<br

"(11+30)+(12+29)+..............=<br

Avem 20 termeni grupati in 10 paranteze, iar suma fiecarei paranteze este egală cu 41.

"41+41+............+41=<br

(de 10 ori)

"10\cdot41<br

Astfel obţinem: 7 ^{10\cdot41}=7^{n\cdot3}\cdot7^{2}

7 ^{410}=7^{3n+2}   \Rightarrow410={3n+2}  /(-2)

410-2 =3n+2-2

408 =3n /: 3

408 : 3 =3n : 3

136 =n

  • Exerciţiul 4:
  • Demonstraţi că pentru orice număr natural “n” este adevărată relaţia:
  • 15 / A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

Pentru a demonstra că 15 divide numărul A trebuie să demonstrăm că numărul A este un multiplu de 15. Să aducem numărul A la o formă mai simplă.

 A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

Pentru început îl descompunem pe 72 in factori primi şi obţinem:

 A= (2 ^{3}\cdot3 ^{2}) ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri: "(a

A=2 ^{3(n+1)}\cdot3 ^{2(n+1)}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

A=2 ^{3n+3}\cdot3 ^{2n+2}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri:  a ^{m+n}=a ^{m}\cdot a ^{n}

A=2 ^{3n}\cdot2 ^{3}\cdot3 ^{2n}\cdot3 ^{2}+3 ^{2n}\cdot3 ^{1}\cdot2 ^{3n}\cdot2 ^{2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

La următorul pas dăm factor comun pe: 2 ^{3n}\cdot 3 ^{2n}

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(2 ^{3}\cdot3 ^{2}+3 \cdot2 ^{2}+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(8\cdot9+3 \cdot4+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(72+12+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}\cdot90<br />

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

DIVIZOR. MULTIPLU

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, dacă primele lecţii din clasa aV-a au avut noţiuni recapitulative din anii anteriori de studiu, iatădiuai copilului tău, uată că a sosit timpul ca să apară şi lecţii în care noţiunile sunt complet noi pentru copilul tău.

Cei drept aceste noţiuni se bazează pe cunoştinţe aprofundate în anii anteriori de studiu, cum ar fi împărţirea şi înmulţirea numerelor naturale, dar în această lecţie copilul tău ia contact cu noţiuni complet noi cum ar fi termenul de divizor sau termenul de multiplu.

(more…)

  • Dar hai să vedem, dragul meu parinte, ce este un divizor ?

Pentru a introduce noţiunea de divizor, să luăm întâi un exempu bazat pe cunoştinţele învăţate anterior de copilul tău.

  • Exemplu:    Într-o tabără merg 290 copii. Aceştia vor fi transportaţi cu autocare de 45 de locuri. De câte autocare ar fi nevoie?

  • Rezolvare:    290 : 45 = 6 (autocare)

                             290 = 45 · 6

Spunem în acest caz că:

  • 290 se divide cu 45 sau
  • 290 este divizibil cu 45, sau
  • 290 este multiplu de 45.

Dar să vedem, dragul meu părinte, cum se notează matematic aceste notiuni.

poza 1 divizor

poza 2 divizor

Să observăm:

poza 3 divizor

În general :

  • Numărul natural „b” divide numărul natural „a”, dacă există numărul natural „c”, astfel încât a = b · c.

poa 4 divizor

  • Numărul natural „b” nu divide numărul natural „a”, dacă pentru orice număr natural „c”, a = b · c.

poza 5 divizor

Exemplu:

  • Divizorii numărului 6 sunt: 1, 2, 3, 6.

  • Multiplii numărului 2 sunt: 0, 2, 4, 6, 8, ………………

Pentru m, d, c ϵ N care satisfac relaţia de mai jos, folosim denumirile:

poza 6 divizor

Dar să vedem, dragul meu părinte cum putem afla dacă un număr este divizibil cu altul?

Exemplu:

  • verificăm dacă 154 14322 ?

Efectuăm împărţirea: 14322 : 154 = 93

                                  14322 = 154 93

                                  Deci 154 14322.

  • verificăm dacă 3727 25 ?

Efectuăm împărţirea: 3727 : 25 = 149 rest 2

                                  3727 = 149 25 + 2

                                   Deci 3727 nu divide 25.

Dragul meu părinte, observăm că:

Pentru a afla dacă un număr natural „a” este divizibil cu un număr natural nenul „b” , împărţim „a” la „b” şi obţinem numerele naturale „c” şi „r”, astfel încât: a = b c + r, unde

r < b.

  • Dacă restul împărţirii lui „a” la „b” este 0, obţinem a = b c, deci a este divizibil cu b.

  • Dacă restul împărţirii lui „a” la „b” este diferit de 0, atunci a nu este divizibil cu b.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl

 

Exerciții rezolvate la Ordinea Efectuarii Operațiilor

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, în postarea anterioară am vorbit despre „Ordinea Efectuării Operaţiilor”.

Ţi-am reamintit care sunt operaţiile de gradul I, operaţiile de gradul al II-lea şi am vorbit despre ordinea efectuării operaţiilor într-un exerciţiu în care apar parantezele rotunde, pătrate şi acoladele.

Hai să vedem, dragul meu părinte şi câteva exerciţii la această lecţie.

Voi aborda câteva exemple de exerciţii cu grad diferit de dificultate şi pe care le voi explica pas cu pas, astfel încât ţie, dragul meu părinte, îţi va fii foarte uşor să le explici copilului tău.

(more…)

  • Exerciţiul 1: Să se efectueze:

                        1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

Rezolvare:

  • Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

    1320 +[48 · 23 +(340 · 1160 ·5) – 235 ·7]=

     1320 + [ 48 · 23 + (3740300) – 235 ·7]=

  • Pasul doi:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

    1320 + [ 48 · 23 + (3740300) – 235 ·7]=

               1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

  • Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă.

    1320 + ( 48 · 23 + 3440235 ·7)=

    1320 + ( 1104 + 34401645)=

  • Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

    1320 + ( 1104 + 34401645)=

    1320 + ( 45441645)=

  • Pasul cinci:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

               1320 + ( 45441645)=

              1320 + 2899=

  • Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

    1320 + 2899=

  • 4219   Răspuns corect

  • Exerciţiul 2: Să se efectueze:

                                   2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 53 · 230)]}=

Rezolvare:

  • Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

    2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 53 · 230)]}=

     2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400690)]}=

  • Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă, în timp ce acolada va devenii paranteză pătrată.

    2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400690)]}=

               2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

  • Pasul trei: efectuăm operatiile de împărţire şi înmulţire din paranteza rotundă.

    2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

     2307 + [3702 + ( 90+ 2130)]=

  • Pasul patru: efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată va devenii paranteză rotundă.

    2307 + [3702 + ( 90 + 2130)]=

     2307 + (3702 + 2220)=

  • Pasul cinci: efectuăm operatia adunare din paranteza rotundă.

    2307 + (3702 + 2220)=

     2307 + 5922=

  • Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

    2307 + 5922=

  • 8229   Răspuns corect

  • Exerciţiul 3: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea        (320 + x) · 15 = 5100

Rezolvare:

  • Primul pas: împărţim întreaga egalitate la 15.

    (320 + x) · 15 = 5100 / : 15

    (320 + x) · 15 : 15= 5100 :15

     (320 + x ) · 1= 340

  • Pasul doi: efectuăm operatia de înmulţire din partea stângă a egalităţii si scăpăm de paranteza rotundă

                (320 + x ) · 1= 340

                 320 + x= 340

  • Pasul trei :scădem numărul natural 320 din ambele părţi ale egalităţii.

                320 + x= 340 / (- 320 )

                320 + x – 320= 340- 320

  • Pasul patru: efectuăm operatiiile de scădere din ambele părţi ale egalităţii.

    320 + x – 320= 340- 320

  •  x = 20

            x = 20    Răspuns corect

  • Exerciţiul 4: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea:
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Acest gen de exerciţiu se poate rezolva în 2 moduri.

  • Rezolvare primul mod:
  • Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, trebuie să începem rezolvarea exerciţiului de la coadă la cap, astfel.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25
  • Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150
  • Pasul doi: împărţim întreaga egalitate la 10 .

  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150 / :10
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] ·10 : 10= 150 :10
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15
  • Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15
  • Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15 / (+120)
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 + 120 = 15 + 120
  • 15 · (10 · x – 11 ) = 135

  • Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.
  • 15 · (10 · x – 11 ) = 135 / :15
  • 15 · (10 · x – 11 ) : 15 = 135 : 15
  • 1 · (10 · x – 11 ) = 9

  • Pasul şase: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza rotundă.
  • 10 · x – 11 = 9

  • Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.
  • 10 · x – 11 = 9 / (+11)
  • 10 · x – 11 + 11= 9 + 11
  • 10 · x = 20

  • Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

  • 10 · x = 20 / :10
  • 10 · x :10 = 20 :10
  • x = 2
  •  x = 2 Răspuns corect

Rezolvare al doilea mod:

  • Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, notăm paranteza (10 · x – 11 ) = a şi obţinem:[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25, după care rezolvăm ecuaţia în necunoscuta „a” astfel:
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25
  • Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125
  • [15 · a – 120 ] · 10 = 150
  • Pasul doi:împărţim întreaga egalitate la 10 .

  • [15 · a – 120 ] · 10 = 150 / :10
  • [15 · a – 120 ] ·10 : 10= 150 :10
  • [15 · a – 120 ] · 1 = 15
  • Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.
  • [15 · a – 120 ] · 1 = 15
  • 15 · a – 120 = 15
  • Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.
  • 15 · a – 120 = 15 / (+120)
  • 15 · a– 120 + 120 = 15 + 120
  • 15 · a = 135

  • Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.
  • 15 · a = 135 / :15
  • 15 · a : 15 = 135 : 15
  • 1 · a = 9
  • a = 9

  • Pasul şase:revenim la notaţia (10 · x – 11 ) = a ştiind căa = 9 şi obţinem egalitatea:
  • 10 · x – 11 = 9

  • Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.
  • 10 · x – 11 = 9 / (+11)
  • 10 · x – 11 + 11= 9 + 11
  • 10 · x = 20

  • Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.
  • 10 · x = 20 / :10
  • 10 · x :10 = 20 :10
  • x = 2
  •  x = 2 Răspuns corect

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Ordinea Efectuării Operaţiilor

Clasa a V-aDragul meu părinte, noţiunile de la această lecţie nu îi sunt străine copilului tău. O parte din noţiunile de la această lecţie le-a învăţat şi în anul anterior de studiu, însă acum sunt completate şi de noţiuni noi. Dar să vedem, dragul meu părinte, ce trebuie să reţină copilul tău la această lecţie:

(more…)

  • Adunarea şi Scăderea Numerelor Naturale sunt operaţii de de ordinul I

  • Înmulţirea este o adunare repetată.
  • Exemplu: 3 x 4 = 4 + 4 +4   (4 se adună de 3 ori)
  • Împărţirea este o scădere repetată.
  • Exemplu: 12 : 4 = 12 – 4 – 4 – 4 (4 se scade de 3 ori)
  • Înmulţirea şi Împărţirea sunt operaţii de de ordinul II.

  • Într-un exerciţiu fără paranteze, se efectuează întâi înmulţirile şi împărţirile , în ordinea în care sunt scrise; apoi adunările şi scăderile, în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu:   5 x 12 + 7 – 12 : 6 = 60 + 7 – 2 = 67 – 2 = 65

 

Cum utilizăm Parantezele?

Dragul meu părinte, copilul tău a învăţat în clasele anterioare ordinea efectuării operaţiilor, deci nu este pentru prima oară când intră în contact cu aceste informaţii.

Dacă avem de efectuat următorul calcul:

220- (2 · 3 + 7 · 2)

  • Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

  • Exemplu :

    220 – (2 · 3 + 7 · 2) = 220 – (6 +14) = 220 – 20 = 200

 

  • Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde si paranteze pătrate atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

 

  • Exemplu : 145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

  • Primul pas: efectuăm operatia de înmultire din paranteza rotundă

    145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

    145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

  • Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

    145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

               145 + 47 · (215 · 110 – 83 · 117 ) =

  • Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă,

               145 + 47 · (215 · 11083 · 117 ) =

               145 + 47 · (236509711 ) =

  • Pasul patru:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

              145 + 47 · (236509711 ) =

               145 + 47 · 13939 =

  • Pasul cinci: efectuăm operatia de înmulţire.

               145 + 47 · 13939 =

               145 + 655133 =

  • Pasul şase:efectuămoperatia de adunare.

              145 + 655133 =

  • 655278 Răspuns corect

  • Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, paranteze pătrate şi acolade atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde, după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, apoi operaţiile din acolade, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

    Exemplu :

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

  • Primul pas: efectuăm operatia de împărţire din paranteza rotundă

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

  • Pasul doi:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar acolada va deveni paranteză pătrată in timp ce paranteza patrată va devinii paranteza rotundă.

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

    [123 · 35 + 10 · (47 + 10 · 444) – 2785] · 10=

  • Pasul trei:efectuăm operatia de înmulţire din paranteza rotundă.

    [123 · 35 + 10 · (47 + 10· 444) – 2785] · 10=

    [123 · 35 + 10 · (47 + 4440) – 2785] · 10=

  • Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă , iar paranteza pătrată se va transforma în paranteză rotundă.

    [123 · 35 + 10 · (47 + 4440 ) – 2785] · 10=

    (123 · 35 + 10 · 4487 – 2785)· 10=

  • Pasul cinci:efectuăm operaţiile de înmulţire din paranteza rotundă.

    (123 · 35+ 10 · 4487– 2785)· 10=

    (4305 + 44870 – 2785)· 10=

  • Pasul şase:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

    (4305 + 44870 – 2785)· 10=

    (49175 – 2785)· 10=

  • Pasul şapte:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

    (49175 – 2785)· 10=

                 46390 · 10=

  • Pasul opt:efectuăm operatia de înmulţire.

               46390· 10=

  •     463900   Răspuns corect.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas accesează link-ul de mai jos:

http://mathmoreeasy.ro/exercitii-rezolvate-la-ordinea-efectuarii-operatiilor/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:

mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

ÎMPĂRŢIREA A DOUĂ SAU MAI MULTE NUMERE NATURALE

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, la lecţia

„Împărţirea a două sau mai multe numere naturale” copilul tău trebuie să reţină Teorema Împărţirii cu Rest. De asemenea, la această lecţie, se vor folosi informaţii de la lecţia “Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”. De aceea, dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stapănească foarte bine noţiunile studiate la lectia: “Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”  pentru a putea să înţeleagă lecţia “Împărţirea a două sau mai multe numere naturale”.

(more…)

  • Teorema Împărţirii cu Rest:

    Oricare două numere naturale „a” şi „b”, b0, există numerele naturale q şi r, unic determinate, astfel încât:

    • a = b· q + r             şi   r<b ,
  • unde „q” este câtul şi „r” este restul împărţirii lui „a” la „b”.

  • Dacă restul împărţirii lui „a” la „b”este 0 (r=0)spunem că „a” se împarte exact la „b”şi notăm :

a : b = q, 

unde “a” şi “b” sunt factorii câtului, iar “q” este câtul.

  • a” se numeşte deîmpărţit;

  • b” se numeşte împărţitor;

  • În acest caz, relaţiile: a=b·q şi a:q=b sunt echivalente.

De asemenea, este esenţial să mai reţină următoarele informaţii:

  • Împărţirea la 0: nu este definită (sau mai bine spus nu are sens).

a : 0= nu are sens

  • Oricare ar fi un număr natural b, b0, atunci:

0 : b = 0

  • Oricare ar fi numerele naturale „a”, „b” şi „c”, c0, dacă a şi b se împart exact la c, atunci:

 (a+b):c = a:c +b:c

  • iar dacă diferenta are sens (dacă a este mai mare decat b), atunci:

(a-b):c = a:c -b:c

  • Împărţirea nu este asociativă, nu este comuntativă şi nu are element neutru.

  • Ca şi înmulţirea, împărţirea este o operaţie de ordinul doi.

Exemplu:

Să împărţim numarul natural 31401 la numarul natural 250:impartire numere naturale

  • 31401=250 ·125 +151

Răspunsul la împărţirea lui 31401 la 250 obţinem câtul 125 şi restul 151.

  • Dragul meu părinte, iată şi câteva greşeli făcute frecvent de elevi la această lecţie:
  • Cea mai mare greşeală la această lecţie este să împartă un număr natural la 0, împărţire care nu are sens.

    • a : 0= nu are sens
  • O altă greşeală pe care o fac frecvent elevii la această lecţie este să considere ca împărţirea este asociatiativă şi comutativă

  • Altă greşeală des întâlnită la această lecţie este să îl considere pe 0 element neutru.

    • b : 0 = b este greşit

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.