impartirea numerelor naturale - Matematica Mai Usoara

Etichetă: impartirea numerelor naturale

18
ian.
2019

Exerciții rezolvate la Legătura dintre C.M.M.D.C și C.M.M.M.C

”Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncuși

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la Legătura dinte C.M.M.D.C și C.M.M.M.

Vezi lectia video aici: https://youtu.be/kVj29S1JkgA

Exercițiul 1:

Determinați numerele naturale a și b care verifică următoarele relații:

a) $(a,b)=6$ și    $a\cdot b=468$

b) $(a,b)=15$ și    $[a,b]=540$

c) $(a,b)=14$ și    $a + b=7$

d) $[a,b]=180$ și $a\cdot b=2160$

Rezolvare:

a) $(a,b)=6$ și $a\cdot b=468$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 6 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 6 $\Rightarrow a=6\cdot x$ și $b=6\cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =6.

Înlocuim a și b și obținem:

$6\cdot x\cdot 6\cdot y=468$ $\Rightarrow 36 \cdot xy=468 | \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow xy=468 \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow x\cdot y=13$

Astfel obținem posibilitățile:

Cazul I : $x=1 \Rightarrow a=6\cdot 1=6$ și $y=13 \Rightarrow b= 6\cdot 13= 78$

Cazul II: $x=13 \Rightarrow a= 6\cdot 13= 78$ și $y=1 \Rightarrow b= 6\cdot 1= 6$

b) $(a,b)=15$ și $[a,b]=540$

Știm formula: $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$ . Înlocuim în formulă și aflăm a și b.

$15 \cdot 540=a\cdot b$ $\Rightarrow a\cdot b= 8100$ .

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 15 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 15 $\Rightarrow a= 15 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 15 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =15.

Înlocuim a și b și obținem: $15\cdot x\cdot 15\cdot y=8100$ $\Rightarrow 225\cdot x\cdot y=8100| \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=8100 \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=36$ .

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 15\cdot 1= 15$ și $y=36 \Rightarrow b= 15\cdot 36= 540$

Cazul II: $x=4 \Rightarrow a= 15\cdot 4= 60$ și $y=9 \Rightarrow b= 15\cdot 9= 135$

Cazul III: $x=9 \Rightarrow a= 15\cdot 9= 135$ și $y=4 \Rightarrow b= 15\cdot 4= 60$

Cazul IV: $x=36 \Rightarrow a= 15\cdot 36= 540$ și $y=1 \Rightarrow b= 15\cdot 1= 15$

În acest caz nu putem lua perechile de numere $(2\ \ \ ;\ \ \ 18)$ și $(18\ \ \ ;\ \ \ 2)$ deoarece aceste numere nu sunt numere prime între ele.

c) $(a\ \ \ ;\ \ \ b) = 14$ și $a + b=7$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 14 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 14 $\Rightarrow a= 14 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 14 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Înlocuim în a și b și obținem:

$14 \cdot x+ 14\cdot y=98$ $\Rightarrow 14 \cdot (x+ y) =98 | \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =98 \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =7$

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 14\cdot 1= 14$ și $y=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$

Cazul II: $x=2 \Rightarrow a= 14\cdot 2= 28$ și $y=5 \Rightarrow b= 14\cdot 5= 70$

Cazul III: $x=3 \Rightarrow a= 14\cdot 3= 42$ și $y=4 \Rightarrow b= 14\cdot 4= 56$

Cazul IV: $x=4 \Rightarrow a= 14\cdot 4= 56$ și $y=3 \Rightarrow b= 14\cdot 3= 42$

Cazul IV: $x=5 \Rightarrow a= 14\cdot 5= 70$ și $y=2 \Rightarrow b= 14\cdot 2= 28$

Cazul V: $x=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$ și $y=1 \Rightarrow b= 14\cdot 1= 14$

Exercițiul 2: Determinați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la 48 dă restul 42 și împărțit la 56 dă restul 50.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

$x\ \ \ : \ \ \ 48 = c_{1}\ \ \ \ rest 42$ $\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42$

$x\ \ \ : \ \ \ 56 = c_{2}\ \ \ \ rest 50$ $\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50$ .

Observăm în ambele relații că trebuie să adunăm un 6 pentru a putea da factor comun pe 48 și pe 56.

$\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot c_{1}+ 48$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot (c_{1}+ 1)$

$\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot c_{2}+ 56$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot (c_{2}+ 1)$

Mai departe trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 48 și 56 pentru a afla cât este x+6.

Descompunem în factori primi numerele 48 și 56 și obținem:

$48= 2^4 \cdot 3$

$56= 2^3 \cdot 7$

$[48, 56]= 2^4\cdot 3\cdot 7= 16\cdot 3\cdot 7=336$

$\Rightarrow x+6 =336 | \ \ \ -6\Rightarrow x=336-6 \Rightarrow x=330$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Legătura dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Legatura dintre cmmdc si cmmmc

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

27
feb.
2017

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea la Fracții Zecimale.

categories: Fracții zecimale

"Ambiția este o pasiune atât de puternică a omului, încât oricât de sus am ajunge niciodată nu vom fi multumiți".

Nicollo Machiavelli

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea și scăderea fracțiilor zecimale.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Calculați:

$0,235 + 10,81$

$0,05+0,5+0,005$

$2+3,12+14,203$

$23,34-14,8$

$4,3-2,93$

Rezolvare:

Petru a aduna două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm fracțiile zecimale una sub alta, astfel încât partea întreagă să fie sub partea întreagă, virgula sub virgulă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi ș.a.m.d, iar apoi efectuăm adunarea ca la numere naturale.

$0,235 + 10,81=11,045$

$0,05+0,5+0,005=0,555$

adunarea fractiilor zecimale — fractii zecimale

$2+3,12+14,203=19,323$

Pentru a scădea două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm scăzătorul sub descăzut, astfel încât virgula să fie sub virgulă, scădem numerele ca și când ar fi numere naturale.

Dacă descăzutul are mai puține zecimale decât scăzătorul, atunci se adaugă la partea zecimală zerouri pentru a avea același număr de zecimale.

$23,34-14,8=8,54$

$4,3-2,93=1,37$

Exercițiul 2:

Rezolvare:

Asezăm termenii adunării unii sub alții astfel:

Exercițiul 3:

0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=

Observăm că sunt foarte multe numere și ca să le adunăm ne-ar lua timp foarte mult. Mai observăm ca este o Suma Gauss de fracții zecimale.

Așa că vom face un mic artificiu matematic și vom scrie fiecare fracție zecimală asa: spre exemplu $0,9=1 - 0,1$ iar pe $1,9=2 - 0,1$ , s.a.m.d.

Rezolvare:

$0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=$

$(1-0,1)+(2-0,1)+(3-0,1)+.............................+(100-0,1)=$

$1-0,1+2-0,1+3-0,1+.............................+100-0,1=$ $(1+2+2+.............+100) - (0,1+0,1+0,1+......................+0,1)=$

Observăm că prima paranteză este Suma Gauss a primelor 100 numere naturale consecutive, iar în a doua paranteză 0,1 se repetă de 100 de ori.

Aplicăm formula lui Gauss

$100\cdot (100+1) : 2 - 100\cdot 0,1=$

$100\cdot 101 : 2 - 10=$

$5050 - 10= 5040$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

16
feb.
2017

Fracții ordinare.

categories: Fracții Ordinare

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Astăzi deschid un nou capitol din programa la matematica pentru clasa a V-a: Numere Raționale Pozitive, iar prima lecție din acest capitol este lecția Fracții Ordinare. În acestă lecție vom afla ce este o Fracție și cum se clasifică Fracțiilor.

Definiție:

O parte dintr-un întreg, împărțit în părți egale, se numește unitate fracționară.

Exemple:

Definiție: O fracție ordinară este o pereche de două numere naturale m și n, cu $n \neq 0$ , scrisă sub forma: $\frac{m}{n}$ .

"m" se numește numărătorul fracției
"n" se numește numitorul fracției.

Numitorul unei fracții arată în câte părți egale a fost împărțit întregul.

Numărătorul arată câte părți egale sunt luate.

Clasificarea fracțiilor:

Fracții echiunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ , se numește echiunitară dacă $a=b$ numărătorul este egal cu numitorul.

Exemple:

Fracții subunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ se numește subunitară, dacă $a \lt b$ (numărătorul mai mic decât numitorul.

Exemple:

Fracții supraunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ se numețte supraunitară , dacă $a \gt b$ (numărătorul este mai mare decât numitorul).

Exemple:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

07
dec.
2016

Propunere Model Teza Semestriala (I) clasa a VII-a

categories: a VII-a

"Succesul înseamnă a fi în stare să mergi din eșec în eșec, fără să-ți pierzi entuziasmul" spunea Winston Churchill.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit!Pentru că a început perioada tezelor semestriale, iar copilul tău trebuie să repete toate noţiunile învăţate în acest semestru m-am gândit să vă ajut cu un model de teză care îl va ajuta să parcurgă materia studiată pâna în acest moment.

(mai mult…)

Toate subiectele sunt obligatorii.

Se acordă 10 puncte din oficiu.

Timp de lucru 50 minute.

Pe foaia de test se trec toate rezolvările.

Exerciţiul I: Calculaţi:

5p     1 .   $\left \{ (-\frac{3}{4}) - [(-\frac{2}{3})-(+\frac{5}{6})] \right \}:(-\frac{3}{8})$

10p     2.    $[(-\frac{1}{5}) ^{10}:(-\frac{1}{5}) ^{6}:(-\frac{1}{5}) ^{4}] ^{4}:(\frac{9}{5}-2) ^{3}:(1-\frac{2}{7})$

10p   3.     $0,1(6)-[(0,25-1\frac{1}{2})-(0,(3)-2\frac{1}{3})]$

10p 4. $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+.....+\frac{1}{99\cdot 100}$

Rezolvaţi ecuaţiile

10p      1.   $\frac{x+4}{{5}}-\frac{x+2}{{3}}=\frac{2x}{{15}}-\frac{x+1}{{3}}$

5p       2. $1\frac{1}{2}\cdot x-0,5=(-\frac{3}{{2}})^{2}$

10p       3. $\left \| 2x+1 \right \|=7$

10p        4. Un obiect se scumpeşte cu 20%. Ştiind că după scumpire preţul obiectului este de 30 lei, aflaţi preţul iniţial al obiectului.

Subiectul III. Pe foaia de test se trec rezolvările complete şi desenul:

20p 1. În trapezul isoscel ABCD $(AB\parallel CD, AB<CD)$ , AB = 5cm, BC = 6cm şi $m(\widehat{AOB})=60 ^{\circ}$ . Calculaţi:

a) Calculaţi dimensiunea laturii CD.

b) Dacă $AB\bigcap BC=\left \{ M \right \}$ , calculaţi perimetrul $\Delta MCD$ .

Ps: Dragul meu părinte, dacă copilul tău nu a înteles foarte bine Suma lui Gauss poţi descărca acest PDF gratuit pe care l-am conceput special pentru copii care au dificultăţi la aceste noţiuni şi care vă va ajuta să stăpâniţi la perfecţie aceste noţiuni matematice dificile .

Mult succes la rezolvarea acestei teze dar mai ales mult succes la teza de la şcoală!

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Poţi descărca teza în format pdf de aici:teza-de-evaluare-vii-semestriala-la-matematica

04
dec.
2016

Propunere Model Teza Semestriala (I) clasa a V-a

categories: a V-a

"Succesul înseamnă a fi în stare să mergi din eșec în eșec, fără să-ți pierzi entuziasmul" spunea Winston Churchill.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit!Pentru că de mâine începe perioada tezelor semestriale, iar copilul tău trebuie să repete toate noţiunile învăţate în acest semestru m-am gândit să vă ajut cu un model de teză care îl va ajuta să parcurgă materia studiată pâna în acest moment.

(mai mult…)

Toate subiectele sunt obligatorii.

Se acordă 20 puncte din oficiu.

Timp de lucru 50 minute.

Subiectul I. Pe foaia de test se trec numai rezultatele (30p):

5p 1 Rezultatul calculului 12 – 12 : 2 este………….

5p 2. Dacă 2x + 3 = 7 , atunci x= ……………...5p 3. Dintre numerele : $a=2 ^{72}$ şi $b=4 ^{37}$ mai mare este numărul: .....................………………….5p 4. Rotunjind prin lipsă la sute numărul 5247 obţinem: ...................5p 5. Restul împărţirii numărului natural 177 la 18 , este….…………….5p 6. Numărul divizorilor numărului natural 16 , este………………..

Subiectul II. Pe foaia de teză se alege răspunsul corect prin încercuire (20p):

5p 7.Numărul natural divizibil cu 2, dar care nu este divizibil cu 5, este :

80 82 85 87

5p 8.Media aritmetică a două numere natural este 14, atunci numerele sunt :

12 şi 18 18 şi 14 14 şi 16 12 şi 16

5p 9. Soluţia inecuaţiei $x \in N^{\star} , 7x + 12 < 26$ , este:

1 2 3 4

5p 10.Numărul natural 25487 aproximat , prin adaos la sute de unităţi este :

25000 25400 25500 30000

Subiectul III. Pe foaia de test se trec rezolvările complete(30p):

5p     9. O persoană cumpără de la piaţă 12 kg cartofi, 16 kg roşii şi 18 kg castraveţi. Ştiind că 1kg de cartofi costă 2 lei , 1 kg de roşii costă 6 lei , iar 1 kg de castraveţi costă 4 lei, determinaţi ce rest a primit persoana la o bacnotă de 200 lei.

10p   10. Efectuaţi: $102\cdot [ 4 + 5\cdot 3^{2} - 2^{7} + 4^{2}\cdot (49-3^{2}) : 2^{3} ] ^{}$

5p   11. Trei elevi au împreună 200 de timbre. Primul are 35 de timbre mai mult decât al doilea , iar al treilea are cu 45 de timbre mai mult decât al doilea . Calculaţi câte timbre are fiecare.

10p Arătaţi că numărul : b=1+3+5+7+.................+2011 este pătrat perfect.

Ps: Dragul meu părinte,dacă copilultău nu a înteles foarte bine Suma lui Gauss poţi descărca acest PDF gratuit pe care l-am conceput special pentru copii care au dificultăţi la aceste noţiuni şi care vă va ajuta să stăpâniţi la perfecţie aceste noţiuni matematice dificile .

Mult succes la rezolvarea acestei teze dar mai ales mult succes la teza de la şcoală!

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Poţi descărca teza în format pdf de aici: teza-de-evaluare-semestriala-la-matematica

08
nov.
2016

Criterii de divizibilitate

categories: DIVIZIBILITATE

Bine te-am regăsit dragul meu părinte! În articolul anterior ţi-am prezentat lecţia "Divizor.Multiplu". Am învăţat împreună care sunt divizorii unui număr, care sunt multiplii unui număr natural şi cum arătăm dacă un număr natural divide sau nu un alt număr natural. Astăzi voi continua cu o noua lecţie la acest capitol "Criterii de divizibilitate" .

Criteriul de divizibilitate cu 2

Un număr natural este divizibil cu 2 dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este o cifră pară.

Criteriul de divizibilitate cu 5

Un număr natural este divizibil cu 5 dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5

Criteriul de divizibilitate cu 10.

Un număr natural este divizibil cu 10 dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este 0.

Criteriul de divizibilitate cu 100(1000, 10000, etc).

Un număr natural este divizibil cu 100(respectiv 1000, 10000, etc) dacă şi numai dacă ultimile două )respectiv trei, patru, etc) cifre ale numărului sunt egale cu 0.

Criteriul de divizibilitate cu 3 (respectiv 9).

Un număr natural este divizibil cu 3 (respectiv 9) dacă şi numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 (respectiv 9).

Criteriul de divizibilitate cu 4.

Un număr natural este divizibil cu 4 dacă şi numai dacă numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4

Criteriul de divizibilitate cu 25.

Un număr natural este divizibil cu 25 dacă şi numai dacă ultimele două cifre ale sale sunt 00, 25, 50 sau 75.
Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

17
nov.
2014

REGULI DE CALCUL CU PUTERI

categories: Mulţimea numerelor naturale, Numere Naturale

Dragul meu părinte, copilul tău a învăţat prima oară această lecţie: „ Reguli de calcul cu puteri” în anul anterior, în clasa a V-a.

În acest an, în clasa a VI-a această lecţie este reamintită, deoarece noţiunile învăţate în această lecţie îi sunt utile copilului tău la următoarea lecţie: „ Criterii de diviozibilitate”.

(mai mult…)

Dar să vedem, dragul meu părinte, ce ar trebui să reţină copilul tău la această lecţie: „Reguli de calcul cu puteri”:

Definiţie:

Fie „a” şi „n” , două numere naturale, cu n ≥ 2.Produsul a „n” factori egali cu „a” se numeşte puterea a n-a a numărului „a” şi se notează :

Se scrie: $a^{n}$

Se citeşte: „ a la puterea n”.

„ a” se numeşte bază.

„n” se numeşte exponent.

Exemplu:

a · a = a²

a · a · a= a³

a · a· a· ................· a = $a^{n}$

Excepţie: $a^{1}$ = a şi $a^{0}$ = 1

Orice număr la puterea 1 este egal cu el însuşi.

Orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Dar să vedem, dragul meu părinte, care sunt regulile cu puteri:

Înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază:

$a^{m}\cdot a ^{n}=a^{m+n}$

- se scrie baza şi se adună exponenţii

Împărţirea puterilor cu aceeaşi bază:

$a^{m}\div a ^{n}=a^{m-n}$

se scrie baza şi se scad exponenţii

Puterea unei puteri:

$ (a^{m}) ^{n}=a^{m\cdot n}$

-se scrie baza şi se înmulţesc exponenţii

Puterea unui produs:

$ (a\cdot b) ^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

Puterea unui cât:

$(a\div b) ^{n}=a^{n}\div b^{n}$

Dragul meu părinte, la această lecţie, copilul tău trebuie să reţină şi prioritatea pe care o are ridicarea la putere în calcul.

Ridicarea la putere este o înmulţire repetată.

Exponentul arată de câte ori se repetă produsul prin care se calculează puterea.

Ridicarea la putere este o operaţie de ordinul III.

Dacă într-un exerciţiu nu există paranteze, atunci se efectuează întâi redicările la putere, apoi înmulţirile şi împărţirile, iar la final, adunările li scăderile.

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

02
nov.
2014

Exerciții rezolvate la Divizor. Multiplu

categories: DIVIZIBILITATE

Dragul meu părinte, în articolul anterior am vorbit despre „Divizor. Multiplu”.

Iată şi câteva aplicaţii la lecţia „Divizor. Multiplu”, exerciţii cu grad diferit de dificultate, explicate pas cu pas, să te ajute să i le explici copilului tău.

https://youtu.be/eHJq2pYv-4M

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:

Dacă „a” şi „b” sunt numere naturale şi x = 3· a + 6 · b arătaţi că x este multiplu de 3.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „x” ca un multiplu de 3.

x = 3 · a + 6 · b

x = 3·( a + 2 · b)

x ⁞ 3

EXERCIŢIUL 2:

Arătaţi că numărul „m + n” este divizibil cu 12, unde

m = 2 + 4 + 6 + ....... + 100, iar n = 11· (2 + 4 + 6 + ....... + 100).

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „m+n” ca un multiplu de 12. Dar, ca să-l scrie pe „m + n” ca un produs de numere dintre care un număr să fie 12, copilul tău trebuie să îl calculeze mai întâi pe „m” şi pe „n”.

Dragul meu părinte, observăm va „m” şi „n” sunt reprezentate de două numere scrise cu ajutorul sumei lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100.

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să ştie că între numărul 1 şi 100 sunt 100 de termeni dintre care 50 de termeni sunt numere pare şi 50 de termeni sunt numere impare.

m = 2 + 4 + 6 + ....... + 100 (m are 50 termeni)

Pentru a calcula Suma lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100 scriem astfel:

m = 2 + 4 + 6 + ....... 96+98+ 100.

Observăm că dacă adunăm:

2 + 100 = 102.

4 + 98 = 102.

6 + 96 = 102.

.........................

După care, dragul meu părinte, copilul tău va trebui să grupeze termenii 2 câte 2 astfel: primul termen cu ultimul termen, al doilea termen cu penultimul şi aşa mai departe.

m = (2 + 100) + (4+ 96)+(6+98)+................ . ("m" are 25 paranteze)

Obţinem astfel 25 de paranteze, iar rezultatul fiecărei paranteze este 102.

Putem scrie:

m = 25 · 102

Efectuând înmulţirea obţinem: m = 2550.

Analog îl calculăm şi pe „n” .

Observăm dragul meu părinte ca n = 11· (2 + 4 + 6 + ....... + 100), adică

n = 11· m

n = 11· 2550

n = 28 050

Dragul meu părinte, calculând „m + n” obţinem:

m + n = 2550+28050 = 30 600

Dragul meu părinte, la începutul rezolvării acestui exerciţiu am spus că pentru a demonstra că m+n este divizibil cu 12, copilul tău trebuie să scrie numărul „m + n” ca un produs de două nu numere dintre care unul dintre numere să fie 12.

În cazul acestui exerciţiu, copilul tău trebuie să-l scrie pe 30 600 ca un produs de două numere dintre care unul trebuie să fie 12.

Păi să vedem, dragul meu părinte, se împarte exact 30 600 la 12?

30 600 : 12 = ?

30 600 : 12 = 2550

30 600 = 12 · 2550

30 600 ⁞ 12

EXERCIŢIUL 3:

Scrieţi toţi multiplii lui 7 cuprinşi între 15 şi 65.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să gasească toate numerele cuprinse între 15 şi 65 care se împart exact la 7.

Stim că:

2 · 7 = 14 (dar 14 este mai mic decât 15 deci nu este bun).

3· 7 = 21 ( 15 < 21 < 65)( 21 este un număr bun)

4· 7 = 28 ( 15 < 28 < 65)( 28 este un număr bun)

5· 7 = 35 ( 15 < 35 < 65)( 35 este un număr bun)

6· 7 = 42 ( 15 < 42 < 65)( 42 este un număr bun)

7· 7 = 49 ( 15 < 49 < 65)( 49 este un număr bun)

8· 7 = 56 ( 15 < 56 < 65)( 56 este un număr bun)

9· 7 = 62 ( 15 < 63 < 65)( 63 este un număr bun)

10· 7 = 70 ( 15 < 65 < 70) (70 nu este un număr bun).

În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:

S = { 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}.

EXERCIŢIUL 4:

Un număr natural nenul „a” are printre divizorii săi numerele 3, 5 şi 7. Scrieţi încă 4 divizori diferiţi de aceştia ai numărului „a”.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stie că un număr natural nenul „a” care se divide în acelaşi timp cu numerele „b”, „c” şi „d” , atunci se divide şi cu produsul acestor numere.

În cazul nostru numărul „a” se divide cu numerele: 3, 5 şi 7 că numărul „a” se divide şi cu numărul 3 · 7 = 21, 3 · 5 = 15, 5· 7 = 35, 3 · 5 · 7 = 105.

În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:

S = { 15, 21, 35, 105}.

EXERCIŢIUL 5:

Dacă a / b şi b /c , atunci arătaţi că a /c.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău va lucra pe caz general ( nu stie ce valori au numerele „a”, „b” şi „c”). Aplicand definiţia divizibilităţii obţinem:

a / b     atunci “b” se împarte exact la „a”

b = a · m , m ϵ N   (relaţia 1)

b /c atunci “c” se împarte exact la „b”

c = b · n , n ϵ N     (relaţia 2 )

Dacă înlocuim în cea de-a doua relaţie pe numărul „b” obţinut în relaţia 1, obţinem:

c = a · (m· n)

În concluzie , obţinem că a /c.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy @yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

26
oct.
2014

DIVIZOR. MULTIPLU

categories: DIVIZIBILITATE

Dragul meu părinte, dacă primele lecţii din clasa aV-a au avut noţiuni recapitulative din anii anteriori de studiu, iatădiuai copilului tău, uată că a sosit timpul ca să apară şi lecţii în care noţiunile sunt complet noi pentru copilul tău.

Cei drept aceste noţiuni se bazează pe cunoştinţe aprofundate în anii anteriori de studiu, cum ar fi împărţirea şi înmulţirea numerelor naturale, dar în această lecţie copilul tău ia contact cu noţiuni complet noi cum ar fi termenul de divizor sau termenul de multiplu.

(mai mult…)

Dar hai să vedem, dragul meu parinte, ce este un divizor ?

Pentru a introduce noţiunea de divizor, să luăm întâi un exempu bazat pe cunoştinţele învăţate anterior de copilul tău.

Exemplu:    Într-o tabără merg 290 copii. Aceştia vor fi transportaţi cu autocare de 45 de locuri. De câte autocare ar fi nevoie?

Rezolvare:    290 : 45 = 6 (autocare)

   290 = 45 · 6

Spunem în acest caz că:

290 se divide cu 45 sau

290 este divizibil cu 45, sau

290 este multiplu de 45.

Dar să vedem, dragul meu părinte, cum se notează matematic aceste notiuni.

poza 2 divizor

Să observăm:

În general :

Numărul natural „b” divide numărul natural „a”, dacă există numărul natural „c”, astfel încât a = b · c.

Numărul natural „b” nu divide numărul natural „a”, dacă pentru orice număr natural „c”, a = b · c.

Exemplu:

Divizorii numărului 6 sunt: 1, 2, 3, 6.
Multiplii numărului 2 sunt: 0, 2, 4, 6, 8, ..................

Pentru m, d, c ϵ N care satisfac relaţia de mai jos, folosim denumirile:

Dar să vedem, dragul meu părinte cum putem afla dacă un număr este divizibil cu altul?

Exemplu:

Să verificăm dacă 154│ 14322 ?

Efectuăm împărţirea: 14322 : 154 = 93

14322 = 154∙ 93

Deci 154 │ 14322.

Să verificăm dacă 3727 ⁞ 25 ?

Efectuăm împărţirea: 3727 : 25 = 149 rest 2

3727 = 149∙ 25 + 2

Deci 3727 nu divide 25.

Dragul meu părinte, observăm că:

Pentru a afla dacă un număr natural „a” este divizibil cu un număr natural nenul „b” , împărţim „a” la „b” şi obţinem numerele naturale „c” şi „r”, astfel încât: a = b ∙ c + r, unde

r < b.

Dacă restul împărţirii lui „a” la „b” este 0, obţinem a = b ∙ c, deci a este divizibil cu b.

Dacă restul împărţirii lui „a” la „b” este diferit de 0, atunci a nu este divizibil cu b.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy @yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl

23
oct.
2014

Exerciții rezolvate la Ordinea Efectuarii Operațiilor

categories: Numere Naturale

Dragul meu părinte, în postarea anterioară am vorbit despre „Ordinea Efectuării Operaţiilor”.

Ţi-am reamintit care sunt operaţiile de gradul I, operaţiile de gradul al II-lea şi am vorbit despre ordinea efectuării operaţiilor într-un exerciţiu în care apar parantezele rotunde, pătrate şi acoladele.

Hai să vedem, dragul meu părinte şi câteva exerciţii la această lecţie.

Voi aborda câteva exemple de exerciţii cu grad diferit de dificultate şi pe care le voi explica pas cu pas, astfel încât ţie, dragul meu părinte, îţi va fii foarte uşor să le explici copilului tău.

(mai mult…)

Exerciţiul 1: Să se efectueze:

1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

Rezolvare:

Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

1320 + [ 48 · 23 + (3740 – 300) – 235 ·7]=
Pasul doi:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

1320 + [ 48 · 23 + (3740 – 300) – 235 ·7]=

1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă.

1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

1320 + ( 1104 + 3440 – 1645)=
Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

1320 + ( 1104 + 3440 – 1645)=

1320 + ( 4544– 1645)=
Pasul cinci:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

1320 + ( 4544 – 1645)=

1320 + 2899=

Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

1320 + 2899=
4219 Răspuns corect

Exerciţiul 2: Să se efectueze:

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 5 – 3 · 230)]}=

Rezolvare:

Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 5 – 3 · 230)]}=

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400 – 690)]}=
Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă, în timp ce acolada va devenii paranteză pătrată.

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400 – 690)]}=

2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

Pasul trei: efectuăm operatiile de împărţire şi înmulţire din paranteza rotundă.

2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

2307 + [3702 + ( 90+ 2130)]=
Pasul patru: efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată va devenii paranteză rotundă.

2307 + [3702 + ( 90 + 2130)]=

2307 + (3702 + 2220)=
Pasul cinci: efectuăm operatia adunare din paranteza rotundă.

2307 + (3702 + 2220)=

2307 + 5922=
Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

2307 + 5922=
8229 Răspuns corect

Exerciţiul 3: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea (320 + x) · 15 = 5100

Rezolvare:

Primul pas: împărţim întreaga egalitate la 15.

(320 + x) · 15 = 5100 / : 15

(320 + x) · 15 : 15= 5100 :15

(320 + x ) · 1= 340
Pasul doi: efectuăm operatia de înmulţire din partea stângă a egalităţii si scăpăm de paranteza rotundă

(320 + x ) · 1= 340

320 + x= 340

Pasul trei :scădem numărul natural 320 din ambele părţi ale egalităţii.

320 + x= 340 / (- 320 )

320 + x - 320= 340- 320

Pasul patru: efectuăm operatiiile de scădere din ambele părţi ale egalităţii.

320 + x - 320= 340- 320
x = 20

x = 20 Răspuns corect

Exerciţiul 4: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea:

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Acest gen de exerciţiu se poate rezolva în 2 moduri.

Rezolvare primul mod:

Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, trebuie să începem rezolvarea exerciţiului de la coadă la cap, astfel.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150

Pasul doi: împărţim întreaga egalitate la 10 .

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150 / :10

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] ·10 : 10= 150 :10

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15

Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15

15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15

Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.

15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15 / (+120)

15 · (10 · x – 11 ) – 120 + 120 = 15 + 120

15 · (10 · x – 11 ) = 135

Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.

15 · (10 · x – 11 ) = 135 / :15

15 · (10 · x – 11 ) : 15 = 135 : 15

1 · (10 · x – 11 ) = 9

Pasul şase: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza rotundă.

10 · x – 11 = 9

Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.

10 · x – 11 = 9 / (+11)

10 · x – 11 + 11= 9 + 11

10 · x = 20

Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

10 · x = 20 / :10

10 · x :10 = 20 :10

x = 2

x = 2 Răspuns corect

Rezolvare al doilea mod:

Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, notăm paranteza (10 · x – 11 ) = a şi obţinem:[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25, după care rezolvăm ecuaţia în necunoscuta „a” astfel:

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25

Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125

[15 · a – 120 ] · 10 = 150

Pasul doi:împărţim întreaga egalitate la 10 .

[15 · a – 120 ] · 10 = 150 / :10

[15 · a – 120 ] ·10 : 10= 150 :10

[15 · a – 120 ] · 1 = 15

Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.

[15 · a – 120 ] · 1 = 15

15 · a – 120 = 15

Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.

15 · a – 120 = 15 / (+120)

15 · a– 120 + 120 = 15 + 120

15 · a = 135

Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.

15 · a = 135 / :15

15 · a : 15 = 135 : 15

1 · a = 9

a = 9

Pasul şase:revenim la notaţia (10 · x – 11 ) = a ştiind căa = 9 şi obţinem egalitatea:

10 · x – 11 = 9

Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.

10 · x – 11 = 9 / (+11)

10 · x – 11 + 11= 9 + 11

10 · x = 20

Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

10 · x = 20 / :10

10 · x :10 = 20 :10

x = 2

x = 2 Răspuns corect

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Etichetă: impartirea numerelor naturale

Vezi lectia video aici: https://youtu.be/kVj29S1JkgA

"Succesul înseamnă a fi în stare să mergi din eșec în eșec, fără să-ți pierzi entuziasmul" spunea Winston Churchill.

"Succesul înseamnă a fi în stare să mergi din eșec în eșec, fără să-ți pierzi entuziasmul" spunea Winston Churchill.

https://youtu.be/eHJq2pYv-4M

Exemplu: Într-o tabără merg 290 copii. Aceştia vor fi transportaţi cu autocare de 45 de locuri. De câte autocare ar fi nevoie?