Posts Tagged ‘geometrie clasa a VI-a’

Exerciții rezolvate la Unghiuri opuse la vârf

” Nu e destul să știm, trebuie să și aplicăm. Nu e destul să ne dorim, trebuie să facem.”

Goethe

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună și să explicăm pas cu pas 3 Exerciții  rezolvate la Unghiuri opuse la vârf !  (mai mult…)

Exercițiul1:

Fie unghiurile  \widehat{AOB} și  \widehat{COD} două unghiuri opuse la vârf. Știind că  m(\widehat{AOB})=59^\circ aflați  m(\widehat{AOC})=? și  m(\widehat{BOD})=?

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Din datele problemei știm că  \widehat{AOB} și  \widehat{COD} opuse la vârf \Rightarrow

 m(\widehat{COD}) \equiv m(\widehat{AOB}) =59^{\circ}

Analizând figura observăm că punctele A,\ \ \ O și D sunt coliniare:  m(\widehat{AOC}) + m(\widehat{AOB})=180^\circ \Rightarrow m(\widehat{AOC})+59^\circ=180^\circ \Rightarrow m(\widehat{AOC})=180^\circ- 59^\circ\Rightarrow m(\widehat{AOC})=121^\circ

m(\widehat{AOC})\equiv m(\widehat{BOD})\Rightarrow m(\widehat{BOD})=121^\circ

Exercițiul 2:

Fie \widehat{AOB} și \widehat{COD} opuse la vârf și dreptele AD \cap BC=\left \{ O \right \}. Știind că m(\widehat{AOC})=21^\circ+x  și m(\widehat{AOB})=97^\circ+x aflați : m(\widehat{AOB}) șim(\widehat{AOC}).

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Din datele problemei știm că \widehat{AOB} și \widehat{COD} opuse la vârf și  AD \cap BC=\left \{ O \right \} \Rightarrow B\ \ , \ \ O și C coliniare \Rightarrow m(\widehat{BOC})=180^\circ

Dacă privim atent desenul observăm: \Rightarrow m(\widehat{BOC})=m(\widehat{AOB})+m(\widehat{AOC})\Rightarrow m(\widehat{AOB})+m(\widehat{AOC})=180^\circ \Rightarrow 97^\circ+x+21^\circ+x=180^\circ

\Rightarrow 2x+ 118^\circ=180^\circ \Rightarrow 2x=180^\circ-118^\circ \Rightarrow 2x=62^\circ \Rightarrow x=62^\circ\ \ \ :\ \ \ 2 \Rightarrow x=31^\circ

m(\widehat{AOC})=21^\circ+x \Rightarrow m(\widehat{AOC})=21^\circ+31^\circ\Rightarrow m(\widehat{AOC})=52^\circ

m(\widehat{AOB})=97^\circ+x\Rightarrow m(\widehat{AOB})=97^\circ+31^\circ  \Rightarrow m(\widehat{AOB})=128^\circ

 

Exercițiul 3:

Dacă AB\cap CD= \left \{ O \right \} și \frac{ m(\widehat{AOD})}{ m(\widehat{AOC})}=\frac{4}{{5}} află m(\widehat{BOC}) și m(\widehat{BOD}).

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Problema ne spune că \frac{ m(\widehat{AOD})}{ m(\widehat{AOC})}=\frac{4}{{5}} \Rightarrow 5\cdot m(\widehat{AOD})}= 4\cdot m(\widehat{AOC})

\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})

Dar AB\cap CD= \left \{ O \right \} \Rightarrow C\ \ , \ \ O \ \ și D coliniare  \Rightarrow m(\widehat{COD})= 180^\circ

Analizând desenul observăm că m(\widehat{COD})= m(\widehat{AOC})+ m(\widehat{AOD})

\Rightarrow m(\widehat{AOC})+ m(\widehat{AOD})=180^\circ \Rightarrow m(\widehat{AOC})+ \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})=180^\circ | \ \ \ \cdot 5

\Rightarrow 5\cdot m(\widehat{AOC})+ 4\cdot m(\widehat{AOC})=5\cdot 180^\circ  \Rightarrow 9\cdot m(\widehat{AOC})=900 ^\circ | \ \ \ :\ \ \ 9  \Rightarrow m(\widehat{AOC})=100 ^\circ

Știm că  m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot 100^\circ \Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4\cdot 100^\circ}{5}\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{400^\circ}{5}\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= 80^\circ

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Unghiuri Adiacente. Bisectoarea unui unghi

Fără educație, ce este omul? Un splendid sclav, un sălbatic al rațiunii.”

Joseph Addison

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun câteva exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la o lecție nouă de Geometrie: “Exerciții rezolvate la Unghiuri Adiacente. Bisectoarea unui unghi”. (mai mult…)

Exercițiul 1:

În figura de mai jos unghiurile \widehat{XOY} și \widehat{YOZ} sunt adiacente. Știind că m(\widehat{XOY} )=69^\circ și m(\widehat{XOZ} )=123^\circ , determinați m(\widehat{YOZ} ).

  • Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Analizând desenul observăm că îl putem determina  m(\widehat{YOZ} ) ca fiind:

m(\widehat{YOZ} )=m(\widehat{XOZ} )-m(\widehat{XOY} )\Rightarrow m(\widehat{YOZ} )=123^\circ - 69^\circ=54^\circ

 

Exercițiul 2:

 Unghiurile \widehat{ABC} și \widehat{CBD} sunt adiacente astfel încât m(\widehat{ABC})=45^\circ iar m(\widehat{CBD})=25 % \ \ \ din \ \ \ 180^\circ. Demonstrați că \left [ BC este bisectoarea unghiului \widehat{ABD}.

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Ca să arătăm că \left [ BC este bisectoarea unghiului  \widehat{ABD} trebuie să arătăm că \widehat{ABC}\equiv \widehat{CBD}.

Calculăm dimensiunea unghiului m(\widehat{CBD}) = 25 % \ \ \ din \ \ \ 180^\circ

 m(\widehat{CBD}) = \frac{25}{{100}}\cdot 180^\circ  \Rightarrow m(\widehat{CBD}) = \frac{25\cdot180^\circ}{{100}}  \Rightarrow m(\widehat{CBD}) = \frac{4500^\circ}{{100}}=45^\circ \Rightarrow m(\widehat{CBD}) \equiv m(\widehat{ABC})  \Rightarrow \left [ BC bisectoarea   \widehat{ABD}.

Realizăm desenul:

Exercițiul 3:

Se dau două unghiuri adiacente  \widehat{AOB} și  \widehat{BOC}. Știind că bisectoarele \left [ OM și \left [ ON ale celor două unghiuri sunt perpendiculare și că m( \widehat{AOB})=5\cdot m( \widehat{BOC}) să se determine m( \widehat{AOB}) și m( \widehat{BOC}).

Rezolvare: 

  • Scriem datele problemei:
  • Analizând datele problemei observăm că nu știm exact dimensiunile unghiurilor  \widehat{AOB} și  \widehat{BOC} deci este destul de greu de realizat desenul.
  • Dar știm că bisectoarele celor două unghiuri sunt perpendiculare deci formează un unghi   \widehat{MON}=90^\circ
  • Mai știm că \left [ MO bisectoarea  \widehat{AOB}  \Rightarrow \widehat{AOM}\equiv \widehat{MOB}
  • Și că \left [ ON bisectoarea  \widehat{BOC} \Rightarrow \widehat{BON}\equiv \widehat{NOC}
  • Dar  \widehat{MOB}+\widehat{BON}=90^\circ
  • Din aceste relații \Rightarrow 2m ( \widehat{MOB})+2 m ( \widehat{BON})=m( \widehat{AOC})
  •  \Rightarrow 2[m ( \widehat{MOB})+ m ( \widehat{BON})]=m( \widehat{AOC})
  • \Rightarrow 2\cdot m ( \widehat{MON})=m( \widehat{AOC})
  • \Rightarrow 2\cdot 90^\circ=m( \widehat{AOC})  \Rightarrow m( \widehat{AOC})=180^\circ .
  • Realizăm desenul:
  • Observăm din desen că m( \widehat{AOB})+m( \widehat{BOC})=m( \widehat{AOC})
  • \Rightarrow 5\cdot m( \widehat{BOC})+m( \widehat{BOC})=180^\circ
  • \Rightarrow 6\cdot m( \widehat{BOC})=180^\circ  \Rightarrow m( \widehat{BOC})=180^\circ\ \ \ :\ \ \ 6 \ \Rightarrow m( \widehat{BOC})=30^\circ
  • Știm că \Rightarrow m( \widehat{AOB})=5 \cdot m( \widehat{BOC}) \Rightarrow m( \widehat{AOB})=5 \cdot 30^\circ=150^\circ

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți 

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un 

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te 

invit să te înscrii în Clubul de “Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Mijlocul unui Segment.

“Perseverența este obiceiul succesului dobândit prin muncă susținută.” -Herbert Harris

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva probleme la o lecție de geometrie foarte importantă: “Mijlocul unui segment dat”. (mai mult…)

Exercițiul 1:

Se dau patru puncte M, N, P,Q coliniare în această ordine, astfel încât \left [ MP \right ]=18 \ cm\left [ NP \right ]=8 \ cm\left [ PQ \right ]=6 \ cm și punctul X mijlocul segmentului \left [ MN \right ], iar punctul Y mijlocul segmentului \left [ NQ\right ]. Calculați lungimea segmentului \left [ XY\right ].

Rezolvare: 

  • Scriem datele problemei:
  • Realizăm desenul respectând datele problemei:
  • Analizând atent desenul realizat observăm că segmentul \left [ XY\right ]=\left [ XN\right ]+\left [ NY\right ]
  • Pentru ca nu cunoaștem demensiunile celor două segmente: \left [ XN\right ] și \left [ NY\right ] vom face cateva calcule ca să le aflăm.
  • Știm că punctul X \ \ \ mijloc \ \ \ de \ \ \ \left [ MN \right ]  \Rightarrow \left [ MX \right ] \equiv \left [ XN \right ]=\frac{\left [ MN \right ]}{2}
  • Nu știu dimensiunea segmentului \left [ MN \right ] dar cunosc dimensiunile segmentelor: \left [ MP \right ]=18 \ cm și \left [ NP \right ]=8 \ cm și îl pot afla pe \left [ MN \right ].
  • \left [ MN \right ]=\left [ MP \right ]-\left [ NP \right ]=18 cm - 8 cm =10 cm
  • Acum îl pot afla pe  \left [ XN \right ]= \frac{ \left [ MN \right ]}{2}=\frac{10 cm}{2}=5 cm
  • Trebuie sa îl aflăm și pe \left [ NY\right ].
  • Știu că Y \ \ \ mijloc \ \ \ de \ \ \ \left [ NQ \right ]\Rightarrow \left [ NY \right ] \equiv \left [ YQ \right ]  =\frac{\left [ NQ \right ]}{2}
  • Nu știu dimensiunea segmentului  \left [ NQ \right ] dar cunosc dimensiunile segmentelor  \left [ NP \right ] și  \left [ PQ \right ] și îl pot afla pe  \left [ NQ \right ].
  •  \left [ NQ \right ]= \left [ NP \right ]+ \left [ PQ \right ]= 8 cm + 6 cm =14 cm
  • Acum îl pot afla pe \left [ NY\right ]=\frac{\left [ NQ\right ]}{2}=\frac{14 cm}{2}=7 cm
  • Înlocuim în: \left [ XY\right ]=\left [ XN\right ]+\left [ NY\right ]=5 cm +7 cm=12 cm

Exercițiul 2:

Pe o dreaptă d se consideră trei puncte A, B, C coliniare în această ordine, astfel încât \left [ AB \right ]=8cm\left [ AC \right ]=20cm . Știind că M este mijlocul lui \left [ AB \right ] și N este mijlocul lui \left [ AC \right ], calculați lungimea segmentului \left [ MN \right ].

  • Rezolvare:
  • Scriem datele problemei:
  • Realizăm desenul:
  • Știm că M este mijlocul lui \left [ AB \right ]\Rightarrow \left [ AM \right ]\equiv \left [ MB \right ]=\frac{ \left [ AB \right ]}{{2}} =\frac{ 8 cm}{{2}}=4 cm.
  • Știm că N este mijlocul lui \left [ AC \right ]\Rightarrow \left [ AN \right ]\equiv \left [ NC \right ] =\frac{\left [ AC \right ]}{2}=\frac{20 cm}{2}= 10 cm
  • Analizând atent desenul observăm că \left [ BN\right ]=\left [ AN\right ]-\left [ AB\right ]=10 cm - 8 cm=2 cm
  • \left [ MN \right ]=\left [ MB \right ]+\left [ BN \right ]
  • \left [ MN \right ]=4 cm+2 cm=6 cm

Exercițiul 3: 

Pe o dreaptă d se consideră punctele: X, Y, Z, T coliniare în această ordine astfel încât \left [ XY\right ]=12 cm\left [ YZ\right ]=5 cm\left [ ZT\right ]=3 cm. Se știe că punctele M, N și P sunt mijloacele segmentelor: \left [ XY\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YZ\right ] și respectiv \left [ ZT\right ]. Aflați lungimea segmentelor: \left [ XZ\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ XT\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YT\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ XN\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YP\right ]

  • Rezolvare:
  • Scriem datele problemei
  • Realizăm desenul respectând datele problemei:

 

 

 

 

  • Analizând desenul realizat observăm că:\left [ XZ\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YZ\right ]=12 cm +5 cm =17 cm
  • \left [ XT\right ]= \left [ XZ\right ]+\left [ ZT\right ]=17 cm +3 cm =20 cm
  • \left [ YT\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZT\right ]=5 cm +3 cm =8 cm
  • \left [ XN\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YN\right ]
  • Nu îl știm pe \left [ YN\right ] dar știm că N este mijlocul segmentului \left [ YZ\right ]\Rightarrow \left [ YN \right ]\equiv \left [ NZ \right ] \Rightarrow \left [ YN \right ]=\frac{\left [ YZ \right ]}{2}\Rightarrow \left [ YN \right ]=\frac{5 cm}{2}= 2,5 cm
  • \left [ XN\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YN\right ]= 12 cm + 2,5 cm=14,5 cm
  • \left [ YP\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZP\right ]
  • Nu cunoaștem dimensiunea lui \left [ ZP\right ] dar știm că punctul P este mijlocul lui \left [ ZT\right ] \Rightarrow \left [ ZP\right ]\equiv \left [ PT\right ]\Rightarrow \left [ ZP\right ]=\frac{\left [ ZT\right ]}{2}\Rightarrow \left [ ZP\right ]=\frac{\left [3 cm ]}{2}=1,5 cm
  • \left [ YP\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZP\right ]
  • \left [ YP\right ]= 5 cm +1,5 cm= 6,5 cm

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy”.

Segment de dreaptă. Semidreapta

“Singurul lucru mai rău decât să începi ceva și să ratezi…….. este să nu începi acel ceva”

Seth Godin

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție de Geometrie în Plan.  În articolele anterioare am vorbit despre Dreaptă și Plan. Azi îți propun lecția  “Segment de dreaptă. Semidreapta”.

Segment de dreaptă:

  • Este o porțiune din acea dreaptă delimitat de două puncte distincte numite extremitățile segmentului sau capetele segmentului.
  • Se notează : \left [ AB \right ]

Segmentul de dreaptă închis:

  • Se notează: \left [ AB \right ]
  • Include cele două puncte A și B

Segmentul de dreaptă deschis:

  • Se notează: \left ( AB \right )
  • nu include cele două puncte A și B.

Segmentul de dreaptă nul:

  • Este segmentul de dreaptă care are proprietatea că punctele care delimitează segmentul coincid.

Semidreapta: 

  • Este un segment de dreaptă mărginit la un singur capăt.
  • Se notează: \left [ MN
  • M se numește origine

Semidreaptă închisă: 

  • Este semidreapta care își conține originea
  • Se notează: \left [ MN

Semidreaptă deschisă:

  • Este semidreapta care nu își conține originea.
  • Se notează: \left ( MN

Semidrepte opuse:

  • Sunt două semidrepte conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și sensuri diferite.

Semidrepte identice:

  • Sunt două semidrepte de acelasi fel (închise sau deschise), conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și același sens.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții și probleme cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematic[ Math More Easy”.