Posts Tagged ‘fractii’

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea Fracțiilor

“Învată tot ce poți, în orice moment disponibil, de la oricine și întotdeuna va veni o vreme când te vei simți recompensat pentru ceea ce ai învațat”

Sarah Caldwel

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas  împreună cateva exerciții la “Adunarea și Scăderea Fracțiilor”. (mai mult…)

Exercițiul 1:        Calculați:

a) \frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=

b) -\frac{10}{9}+\frac{11}{9}+(-\frac{7}{9})=

c) -\frac{3}{{5}}+(-\frac{5}{{6}})+(+\frac{1}{{2}})+(+\frac{4}{{15}})=

d)-\frac{13}{{18}}+(-\frac{5}{{108}})+(-\frac{14}{{5}})+(-\frac{7}{{36}})=

Rezolvare:

  • a) \frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=

Observăm că cele 3 fracții au acelasi numitor, în acest caz efectuez calculele între numărători și pastrez numitorul.

  • -\frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}= \frac{7+2+5}{13}= \frac{14}{13}

 

  • b) -\frac{10}{9}+\frac{11}{9}+(-\frac{7}{9})=\frac{-10+11-7}{9}=

Avem la numărător -10+11-7 numere întregi cu semne diferite așa că vom respecta regula de adunare dacă termenii au semne diferite pastrăm semnul celui mai mare și efectuăm scădere. Noi avem -10+11   păstrăm semnul + și efectuîm 11-10

\frac{-10+11-7}{9}=\frac{+1-7}{9}=\frac{-6}{9}= \frac{-6}{9}^{(3}= \frac{-2}{3}

  • c) -\frac{3}{{5}}+(-\frac{5}{{6}})+(+\frac{1}{{2}})+(+\frac{4}{{15}})=

Observăm că în acest exercițiu fracțiile au numitor diferit așa că trebuie să determinăm numitorul comun.

Pentru a determina numitorul comun trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor de la numitor 5, 6, 2, 15.

Descompunem în factori primi cele 4 numere:

5=5

6=2\cdot3

2=2

15=3\cdot5

Calculăm c.m.m.m.c\left [ 5,6,2,15 \right ]=2\cdot3\cdot5=30

Deci numitorul comun este 30.

Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem  numitorul 30.

-_{{}}^{6)}\textrm{\frac{3}{{5}}}+(-_{{}}^{5)}\textrm{\frac{5}{{6}}})+ (+_{{}}^{15)}\textrm{\frac{1}{{2}}})+(+_{{}}^{2)}\textrm{\frac{4}{{15}}}) =

-\frac{18}{{30}}}+(-{\frac{25}{{30}}})+ (+{\frac{15}{{30}}})+(+{\frac{8}{{30}}})=

Știm că semnul (+) înmulțit cu semnul (-) obținem (-) , iar semnul (+) înmulțit cu semnul (+) obținem (+) . Astfel obținem:

  • -\frac{18}{{30}}}+(-{\frac{25}{{30}}})+ (+{\frac{15}{{30}}})+(+{\frac{8}{{30}}})=
  • -\frac{18}{{30}}}-{\frac{25}{{30}}}+ {\frac{15}{{30}}}+{\frac{8}{{30}}}=
  • \frac{-18-25+15+8}{{30}}}=
  •   \frac{-43+15+8}{{30}}}=
  •  \frac{- 28+8}{{30}}}=  \frac{- 20}{{30}}}^{(10} =- \frac{ 2}{{3}}}

d)      -\frac{13}{{18}}+(-\frac{5}{{108}})+(-\frac{14}{{5}})+(-\frac{7}{{36}})=

Determinăm numitorul comun:

18= 2\cdot 3^2

108= 2^2\cdot 3^3

5=5

36= 2^2\cdot 3^2

[18, 108, 5, 36]= 2^2\cdot 3^3\cdot 5=4\cdot 27\cdot 5=540

Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem  numitorul 540.

-_^{30)}\textrm{\frac{13}{{18}}}+(-_^{5)}\textrm{\frac{5}{{108}}})+(-_^{108)}\textrm{\frac{14}{{5}}})+(-_^{15)}\textrm{\frac{7}{{36}}})=

-{\frac{13\cdot30}{{18\cdot 30}}}+(-{\frac{5\cdot 5}{{108\cdot 5}}})+(-{\frac{14\cdot 108}{{5\cdot 108}}})+(-{\frac{7\cdot 15}{{36\cdot 15}}})=

-{\frac{390}{{540}}}+(-{\frac{25}{{540}}})+(-{\frac{1512}{{540}}})+(-{\frac{105}{{540}}})=

{\frac{-390-25-1512-105}{{540}}}=  {\frac{-(390+25+1512+105)}{{540}}}=  {\frac{-2032}{{540}}}^{(2}=  {\frac{-1016}{{270}}}^{(2}=  {\frac{-508}{{135}}}

 

Exercițiul 2:  Efectuați calculele:

a) [-3\frac{1}{{2}} +1\frac{1 }{{15}} ] + [-1\frac{1}{{7}}+2\frac{7 }{{3}} ]=

Introducem întregii în fracție:

(-\frac{3\cdot2+1}{{2}} +\frac{1\cdot 15+1 }{{15}} ) + (-\frac{1\cdot7+1}{{7}}+\frac{2\cdot3+7 }{{3}} )=

(-\frac{7}{{2}} +\frac{16 }{{15}} ) + (-\frac{8}{{7}}+\frac{13}{{3}} )=

Determinăm numitorul comun și aducem fracțiile la același numitor:

Știm că 2,3,7 și 5 sunt numere prime între ele. Numitorul comun este 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7= 210

Amplificăm fracțiile și obținem:

(-_{{}}^{105)}\textrm{\frac{7}{{2}}}+_{{}}^{14)}\textrm{\frac{16}{{15}}})+(-_{{}}^{30)}\textrm{\frac{8}{{7}}}+_{{}}^{70)}\textrm{\frac{13}{{3}}})=  (-{\frac{735}{{210}}}+{\frac{224}{{210}}})+(-{\frac{240}{{210}}}+{\frac{910}{{210}}})=

{\frac{-735+224}{{210}}}+{\frac{-240+910}{{210}}}=  {\frac{-511}{{210}}}+{\frac{670}{{210}}}=  {\frac{-511+670}{{210}}}= {\frac{159}{{210}}}^{(3}= {\frac{53}{{70}}}

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții Rezolvate la Scăderea Fracțiilor (Numerelor Raționale)

“Dacă nu esti dispus sa inveți nimeni nu te poate ajuta. Dacă esti determinat să înveți, numeni nu te  poate opri.”

Zig Ziglar.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva Eerciții Rzolvate la Scăderea fracțiilor (Numerelor Raționale)!

(mai mult…)

Exercițiul 1: Efectuați scăderile:

a)  \frac{9}{3}}-\frac{5}{3}}=?

b) \frac{17}{5}}-\frac{3}{5}}-\frac{7}{5}}=?

c) \frac{36}{5}}-\frac{7}{3}}=?

d)  \frac{5}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=?

e)  \frac{17}{15}}-\frac{3}{20}}-\frac{7}{12}}=?

Rezolvare:

a) Observăm că avem două fracții care au același numitor.

  • La scăderea a două sau mai multe fracții care au același numitor, scădem numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:
  •        \frac{9}{3}}-\frac{5}{3}}=\frac{9-5 }{3}}=\frac{4}{3}}

b)      \frac{17}{5}}-\frac{3}{5}}-\frac{7}{5}}=\frac{17-3-7}{5}}  =\frac{7}{5}}

c)   Observăm că avem două fracții care au numitori diferiți.

La scăderea a două sau mai multe fracții care au numitori diferiți mai întâi aducem fracțiile la același numitor determinăm c.m.m.m.c-ul numitorilor , amplificăm fracțiile pentru a le aduce la același numitor , apoi  scădem fracțiile folosind regula de mai sus  scădem numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:

\frac{36}{5}}-\frac{7}{3}}=?

Observăm că numitorul comun este 15; prima fracție o amplificăm cu 3 iar a doua cu 5.

 _{}^{3)}\textrm{\frac{36}{5}}-_{}^{5)}\textrm{\frac{7}{3}}= \frac{3\cdot 36}{3\cdot 5}-\frac{5\cdot 7}{5\cdot 3}= \frac{108}{15}-\frac{35}{15}= \frac{108-35}{15}= \frac{73}{15}

d)  Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

\frac{5}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=?

Știm că 3 și 4 sunt numere prime între ele. În acest caz numitorul comun este 12.

Prima fracție o amplificăm cu 6, a doua cu 4 iar a treia cu 3. Astfel obținem:

_{}^{6)}\textrm{\frac{5}{2}} -_{}^{4)}\textrm{\frac{2}{3}} -_{}^{3)}\textrm{\frac{3}{4}}= {\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}} - \frac{4 \cdot 2}{4\cdot 3}} -\frac{3\cdot 3}{3\cdot 4}}= {\frac{30}{12}} - \frac{8}{12}} -\frac{9}{12}}= {\frac{30- 8 - 9}{12}}= {\frac{13}{12}}

e) Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

 \frac{17}{15}}-\frac{3}{20}}-\frac{7}{12}}=?

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 15, 20, 12.Pentru a putea calcula c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi.

Asadar am obținut numitorul comun 60.Prima fracție o amplificăm cu 4, a doua fracție o amplificăm cu 3 , iar a treia fracție o amplificăm cu 5. Astfel obținem:

 _{}^{4)}\textrm{\frac{17}{15}} -_{}^{3)}\textrm{\frac{3}{20}} -_{}^{5)}\textrm{\frac{7}{12}}=  \frac{4\cdot 17}{4\cdot 15}} -\frac{3\cdot3}{3\cdot20}} -\frac{5\cdot 7}{5\cdot12}}=  \frac{68}{60}} -\frac{9}{60}} -\frac{35}{60}=  \frac{68-9-35}{60}} = \frac{24}{60}}^{(2} =  \frac{12}{30}}^{(2} =  \frac{6}{15}}^{(3} = \frac{2}{5}}

Exercițiul 2:  Efectuați calculele:

a) 5\frac{1}{4}} -3\frac{1}{3}} -\frac{5}{6}} = ?

b) 3\frac{1}{2}} -\frac{5}{3}} -1\frac{1}{9}} = ?

Rezolvare: 

Primul pas introducem întregii în fracție.

\frac{5\cdot4+1}{4}} -\frac{3\cdot3+1}{3}} -\frac{5}{6}} =  \frac{20+1}{4}} -\frac{9+1}{3}} -\frac{5}{6}} = \frac{21}{4}} -\frac{10}{3}} -\frac{5}{6}} =

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 4; 3; 6 astfel:

4= 2^2

3= 1\cdot3

6= 2\cdot3

\left [ 4; 3; 6 \right ]= 2^2 \cdot 3=4\cdot 3=12

Prima fracție o amplificăm cu 3, a doua fracție o amplificăm cu 4, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

_{}^{3)}\textrm{\frac{21}{{4}}}-_{}^{4)}\textrm{\frac{10}{{3}}}-_{}^{2)}\textrm{\frac{5}{{6}}}= {\frac{3\cdot 21}{{3\cdot 4}}}-{\frac{4\cdot 10}{{4\cdot 3}}}-{\frac{2\cdot 5}{{2\cdot 6}}}=  {\frac{63}{{12}}}-{\frac{40}{{12}}}-{\frac{10}{{12}}}=  {\frac{63-40-10 }{{12}}}= {\frac{13 }{{12}}}

b) 3\frac{1}{2}} -\frac{5}{3}} -1\frac{1}{9}} = ?

Primul pas introducem întregii în fracție.

\frac{3\cdot 2+1}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{1\cdot 9+1}{9}} =  \frac{6+1}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{9+1}{9}} =  \frac{7}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{10}{9}} =

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 2; 3; 9. Știm că 9=3^2   atunci obținem c.m.m.m.c-ul numerelor:

\left [ 2; 3; 9 \right ]= 2\cdot 3^2= 2\cdot 9=18

Prima fracție o amplificăm cu 9, a doua fracție o amplificăm cu 6, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

_{}^{9)}\textrm{\frac{7}{2}}}-_{}^{6)}\textrm{\frac{5}{3}}}-_{}^{2)}\textrm{\frac{10}{9}}}= {\frac{9\cdot 7}{9\cdot 2}}}-{\frac{6\cdot 5}{6\cdot 3}}}-{\frac{2\cdot 10}{2\cdot 9}}}= {\frac{63}{18}}}-{\frac{30}{18}}}-{\frac{20}{18}}}= {\frac{63-30-20}{18}}}={\frac{13}{18}}}

Exercițiul 3: Calculați:

S={\frac{3}{1\cdot4}}}+{\frac{3}{4\cdot7}}}+{\frac{3}{7\cdot10}}}+............+{\frac{3}{96\cdot99}}}

Rezolvare: 

Observăm ca numărătorul reprezintă diferența numerelor de la numitor si o vom scrie chiar așa:

S={\frac{3}{1\cdot4}}}+{\frac{3}{4\cdot7}}}+{\frac{3}{7\cdot10}}}+............+{\frac{3}{96\cdot99}}}

S={\frac{4-1}{1\cdot4}}}+{\frac{7-4}{4\cdot7}}}+{\frac{10-7}{7\cdot10}}}+............+{\frac{99-96}{96\cdot99}}}

S={\frac{4}{1\cdot4}}}-{\frac{1}{1\cdot4}}}+{\frac{7}{4\cdot7}}}-{\frac{4}{4\cdot7}}}+{\frac{10}{7\cdot10}}}-{\frac{7}{7\cdot10}}}+............+{\frac{99}{96\cdot99}}}-{\frac{96}{96\cdot99}}}

Observăm că se reduc termenii și obținem:

Observăm că ne rămâne prima și ultima fracție:

S={\frac{1}{1}}}-{\frac{1}{99}}}

Aducem la același numitor și obținem:

S=_{}^{99)}\textrm{{\frac{1}{1}}}}-{\frac{1}{99}}}= {{\frac{99}{99}}}}-{\frac{1}{99}}}={\frac{98}{99}}}

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Scăderea  fracțiilor  pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Scaderea fractiilor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Aducerea fracțiilor la același numitor

„Învățătorii îți deschid ușa, însă numai tu însuți poți trece dincolo de ea.”

-Proverb chinezesc

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate  la Aducerea fracțiilor la același numitor!

(mai mult…)

Exercițiul 1: Se consider fracțiile:    \frac{3}{48}\frac{7}{72} ;  \frac{5}{56} ;  \frac{1}{45};

a) Calculați c.m.m.m.c-ul numitorilor fractiilor de mai sus;

b) Aduce-ți fracțiile la acelasi numitor.

Rezolvare:

a)  \frac{3}{48}\frac{7}{72} ;  \frac{5}{56} ;  \frac{1}{45};

Descompunem in factori primi numitorii:

Scriem numitorii ca produs de puteri:

48=2^{4} \cdot 3

72=2^{3} \cdot 3^{2}

56=2^{3} \cdot 7

45=3^{2} \cdot 5

Pentru a determina  c. m.m.m.c- ul luăm toate bazele la puterea cea mai mare.  [48; 72; 56; 45]=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1}   \Rightarrow [48; 72; 56; 45]=16 \cdot 9\cdot 5\cdot 7   \Rightarrow [48; 72; 56; 45]=5140

b) Pentru a aduce la același numitor fracțiile de mai sus trebuie sa le amplificam astfel incăt la numitor să obținem valoarea c.m.m.m.c-ului.Pentru a afla cu cat trebuie să amplificăm fiecare fracție împărțim valoarea c.m.m.m.c-ului la fiecare numitor.

5140 \ \ \ : \ \ \ 48=105 \Rightarrow Prima fracție o amplificăm cu 105.

5140 \ \ \ : \ \ \ 72=70  \Rightarrow A doua  fracție o amplificăm cu 70

5140 \ \ \ : \ \ \ 56 = 90  \Rightarrow A treia  fracție o amplificăm cu 90

5140 \ \ \ : \ \ \ 45 = 112 \Rightarrow A patra  fracție o amplificăm cu 112.

Astfel obținem:

_{}^{105)}\frac{3}{48}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{70)}\frac{7}{72}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{90)}\frac{5}{56}\ \ \ ; \ \ _{}^{112)}\frac{1}{45}\ \ \ \ ;     \Rightarrow \frac{105 \cdot 3}{{105 \cdot 48}}\ \ \ ; \ \ \frac{70 \cdot 7}{{70 \cdot 72}}\ \ \ ; \ \ \frac{90 \cdot 5}{{90 \cdot 56}}\ \ \ ; \ \ \frac{112 \cdot 1}{{112 \cdot 45}}

\Rightarrow \frac{315}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{490}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{450}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{112}{{5140}}

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Aducerea fracțiilor la același numitor pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Aducerea fractiilor la acelasi numitor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

 

 

 

 

Mulțimea Numerelor Raționale.

Nu îți coborî așteptările pentru a se potrivi cu performanța ta. Ridică-ți nivelul de performananță pentru a se potrivi cu așteptările tale.” 

Ralph Marston

 

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi revin cu o lecție pentru clasa a VII-a. (mai mult…)

Copilul tău a învățat în clasa a VI-a Numerele Raționale pe care le vom repeta și  acum în clasa a VII-a.

Începem clasa a VII-a cu recapitularea lecției  “Mulțimea numerelor Raționale. Forme de scriere a Numerelor Raționale.”

Definiție Număr Rațional: 

Un număr x se numește număr rațional dacă există o pereche de numere întregi (a,b) cu b\neq 0, astfel încât \frac{a}{b}=x.

  • Mulțimea numerelor raționale se notează cu Q și se poate defini astfel:
  • Q=\left \{ x| (\exists)\ \ \ a,\ b \in Z;\ \ b\neq 0 \ \ \ \ x=\frac{a}{b} \right \}

Observații: 

  • N \subset Z \subset Q
  •  Q^{{\star}}=Q \setminus \left \{ 0 \right \};
  •  Q^{{\star}} se numește mulțimea numerelor raționale nenule.
  • Q=Q_{{-}} \cup \left \{ 0\right \} \cup Q_{{+}}
  •  Q_{{-}} reprezintă mulțimea numerelor raționale negative
  •  Q_{{+}} reprezintă mulțimea numerelor raționale pozitive.
  • orice număr natural x se poate scrie ca un număr rațional cu numitor 1: x=\frac{x}{1}.

Scoaterea Întregilor din Fracție: 

  • Dacă avem un număr rațional x=\frac{a}{b} cu b\neq 0, pentru a scoate întregii din fracție efectuăm operația de împărțire a : b și obținem câtul c si restul r .
  • Putem scrie că  \frac{a}{b}=c\frac{r}{b}, unde c este partea întreagă , iar \frac{r}{b} este partea fracționară a numărului rațional \frac{a}{b} .

Exemplu:

  • Efectuăm operația de scoatere a întregilor din fracția  \frac{19}{4}
  • Efectuăm împărțirea 19\ \ \ :\ \ 4 = 4 \ \ \ rest \ \ 3
  • Putem scrie astfel: \frac{19}{4}=4\frac{3}{4}.

Introducerea Întregilor în fracție: 

Definiție : Numărul rațional scris sub forma a\frac{b}{c}  se poate scrie sub forma unei fracții ordinare astfel: a\frac{b}{c}= \frac{a\cdot c +b}{c}.

Exemplu:

  • Efectuăm operația de introducere a întregilor din fracție  pentru numărul rațional: 9\frac{3}{5}.
  • Conform definiției enunțate mai sus 9\frac{3}{5}= \frac{9 \cdot 5+3}{5}= \frac{45+3}{5}= \frac{48}{5} .

Forme de scriere:

Un număr rațional poate fi reprezentat prin fracții ordinare echivalente sau printr-o fracție zecimală finită sau periodică.

Teoremă:  Pentru orice număr rațional nenul “q”  există o unică fracție ireductibilă \frac{a}{b}, \ \ \ cu \ \ \ a\in Z \ \ \ si \ \ \ b\in Z^*, astfel încât q= \frac{a}{b}.

Transformarea Fracțiilor Ordinare în Fracții Zecimale:

Un număr rațional pozitiv reprezentat printr-o fracție ireductibilă \frac{a}{b} , cu  a,b \in N^{*}, b\geq 2, se poate transforma, folosind algoritmul de împărțire a numerelor naturale în:

  • fracție zecimală finită;
  • fracție periodică simplă;
  • fracție periodică mixtă.

Exemple: 

  • fracție zecimală finită;

\frac{39}{4}=9,75;

impartire

  • fracție periodică simplă;

\frac{122}{6}=20,(3)

  • fracție periodică mixtă.

\frac{125}{6}=20,8(3)

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.

„Fii încăpățânat! Uneori, perseverența face minuni.” — Donald Trump.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție la capitolul Fracții care ridică ceva dificultăți elevilor de clasa a V-a: Exerciții Rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.

Am să explic pas cu pas rezolvarea unor exerciții cu un grad de dificultate mai ridicat la care elevii întâmpină dificultăți.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:  Amplificați cu 3 următoarele fracții:

\frac{2x}{3y} , \frac{x+2}{y+1} , \frac{a+b}{x+y}

Rezolvare:

EXERCIŢIUL 2:  Simplificați  următoarele fracții, obținând fracții ireductibile:

\frac{20}{30} , \frac{5a}{10b}, \frac{10a+10b}{25x+25y}, \frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11} , \frac{6^3 }{10^4}

Rezolvare:

 \frac{20 }{30}^{(10}=\frac{2 }{3}

 \frac{5a }{10b}^{(5}=\frac{a }{2b}

 \frac{10a+10b }{25x+25y}

Observație: Nu avem voie să simplificăm decât dacă dăm factor comun și la numărător și la numitor. Observăm că la  numărător putem da factor comun pe 10, iar la numitor îl putem da factor comun pe 25.

 \frac{10a+10b }{25x+25y}=    \frac{10\cdot (a+b) }{25\cdot (x+y)}^{{(5}}=  \frac{2\cdot (a+b) }{5\cdot (x+y)}

\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}

Această fracție o simplificăm prin bazele care se repetă și la numărător și la numitor la puterea cea mai mică. Pentru că prin simplificare trebuie să fac operația de împărțire, scriu baza și scad exponentii.

\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11} ^{(2^7\cdot3^2\cdot5^2}=     \frac{2^0\cdot3^0\cdot5^2 }{2^0\cdot3^1\cdot5^0\cdot11} =    \frac{1 \cdot1\cdot25 }{1\cdot3\cdot1\cdot11} = \frac{25 }{33}

\frac{6^3 }{10^4}

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

\frac{6^3 }{10^4} =  \frac{(2\cdot 3)^3 }{(2\cdot 5)^4} =  \frac{2^3\cdot 3^3 }{2^4\cdot 5^4} =  \frac{2^3\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^3\cdot5^4}^{{( 2^3}}=  \frac{2^0\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^0\cdot5^4}=  \frac{1\cdot 3^3 }{2\cdot 1\cdot5^4}=  \frac{ 3^3 }{2\cdot5^4}

 

EXERCIŢIUL 3:  Simplificați  următoarea fracție,  obținând fracție ireductibilă:

 \frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

 

 \frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}=   \frac{(2^2)^{{25}}+{(2^3)^{{17}}}}{2^{{52}}-(2^4)^{{12}}}}=  \frac{2^{{2\cdot 25}}+{2^{{3\cdot 17}}}}{2^{{52}}-2^{{4\cdot12}}}}= \frac{2^{{50}}+{2^{{51}}}}{2^{{52}}-2^{{48}}}}= \frac{2^{{50}}(1+{2^{{51-50}})}}{2^{{52}}(2^{{52-48}}-1) }}=\frac{2^{{50}}\cdot(1+{2)}}{2^{{48}}\cdot(2^{{4}} -1)}}=  \frac{2^{{50}}\cdot3}{2^{{48}}\cdot 15}}^{{(2^{{48}}}}=  \frac{2^{{50-48}}\cdot3}{2^{{48-48}}\cdot 15}}= \frac{2^{{2}}\cdot3}{2^{{0}}\cdot 15}}^{{(3}}=   \frac{2^{{2}}}{1 \cdot 5}}=  \frac{4}{5}}

 

EXERCIŢIUL 4:  Simplificați  următoarea fracție,  obținând fracție ireductibilă:

\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}}

Rezolvare:

Observăm că la numărător și la numitor avem câte o sumă Gauss. La numărător putem da factor comun pe 2, iar la numitor putem da factor comun pe 3.

\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}} =  \frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}

Calculăm Suma Gauss cu formula  S= n\cdot(n+1) : 2

S=1+2+3+..........+200

S=200\cdot(200+1) : 2

S=200\cdot201 : 2

S=100\cdot201

\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}=   \frac{2\cdot 100\cdot 201 }{3\cdot 100 \cdot 201}} ^{{(100\cdot 201}}=  \frac{2}{3}

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 4:  Simplificați  următoarea fracție,  obținând fracție ireductibilă:

 \frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}}

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

 \frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}} =   \frac{(2\cdot3)^{n}+(2\cdot3)^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (3+7-1)} =   \frac{6^{n}+6^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (10-1)} =   \frac{6^{n}(1+5+ 6)}{6^{n}\cdot 9} =   \frac{6^{n}\cdot12}{6^{n}\cdot 9}^{(6^{n}} = \frac{12}{ 9}^{(3}} =  \frac{4}{ 3}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Fracții ordinare.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Astăzi deschid un nou capitol din programa la matematica pentru clasa a V-a: Numere Raționale Pozitive, iar prima lecție din acest capitol este lecția Fracții Ordinare.  În acestă lecție vom afla ce este o Fracție și cum se clasifică  Fracțiilor.

(mai mult…)

  • Definiție:

O parte dintr-un întreg, împărțit în părți egale, se numește unitate fracționară.

  • Exemple:

Definiție: O fracție ordinară este o pereche de două numere naturale m și n, cu n \neq 0 , scrisă sub forma: \frac{m}{n}.

  • “m” se numește numărătorul fracției
  • “n” se numește numitorul fracției.

Numitorul unei fracții arată în câte părți egale a fost împărțit întregul.

Numărătorul arată câte părți egale sunt luate.

Clasificarea fracțiilor:

Fracții echiunitare:

Fracția \frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}, se numește echiunitară dacă a=b numărătorul este egal cu numitorul.

  • Exemple:

Fracții subunitare:

Fracția \frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}} se numește subunitară, dacă a \lt b (numărătorul mai mic decât numitorul.

  • Exemple:

Fracții supraunitare:

Fracția \frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}} se numețte supraunitară , dacă a \gt b  (numărătorul este mai mare decât numitorul).

  • Exemple:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții Rezolvate la Numere Reale

Clasa a VIII-a

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

În ultimul articol pe care l-am  postat am vorbit despre multimea numerelor reale. Astăzi te invit să rezolvăm împreună câteva aplicaţii la această lecţie. Unele exerciţii au un grad de dificultate mai scăzut, iar unele au grad de dificultate ridicat. De aceea o să le explic pas cu pas, pentru a veni în ajutorul tuturor celor care nu înţeleg foarte bine matematica.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:Se dau următoarele fracţii: \frac{1}{2} , \frac{61}{37}\frac{2}{6}\frac{55}{1133}\frac{4}{21}\frac{3}{9}\frac{8}{15}\frac{14}{2\cdot7}\frac{85}{15}\frac{35}{56}\frac{19}{72}\frac{4\cdot3\cdot5}{60}

Determinaţi din şirul de fracţii de mai sus  fracţiile:

–  ireductibile; subunitare;supraunitare;echiumitare.

Rezolvare: Observăm că unele fracţii pot fi simplificate aşa că mai întâi vom aduce şirul la forma cea mai simplă simplificând fracţiile care permit această operaţie:

 \frac{2}{6}^{(2}=\frac{1}{3} \frac{55}{1133}^{(11}=\frac{5}{103} \frac{3}{9}^{(3}=\frac{1}{3};

 \frac{14}{2\cdot7}=\frac{14}{14}^{(14}=\frac{1}{1}=1;   \frac{85}{15}^{(5}=\frac{17}{3};   \frac{35}{56}^{(7}=\frac{5}{8} \frac{4\cdot3\cdot5}{60}=\frac{60}{60}^{(60}=1

Obţinem astfel şirul: \frac{1}{2} , \frac{61}{37} \frac{1}{3} \frac{5}{103}\frac{4}{21}, \frac{1}{3} , \frac{8}{15}1\frac{17}{3}\frac{5}{8}\frac{19}{72}1.

– fracţii ireductibile: (fracţii care nu se poate simplifica, numărătorul şi numitorul , sunt numere prime între ele):

\frac{1}{2} , \frac{61}{37}\frac{4}{21}, \frac{8}{15}\frac{19}{72}.

-fracţii subunitare: (fracţii care au numărătorul mai mic decât numitorul):

\frac{1}{2} \frac{2}{6}\frac{55}{1133}\frac{4}{21},\frac{3}{9} , \frac{8}{15}\frac{35}{56}\frac{19}{72}

 

– fracţii supraunitare: (fracţii care au numărătorul mai mare decât numitorul):

\frac{61}{37}; \frac{85}{15}

– fracţii echiunitare: (fracţii care au numărătorul egal cu numitorul):

\frac{14}{2\cdot7}; \frac{4\cdot3\cdot5}{60}.

EXERCIŢIUL 2: Amplificaţi fracţiile: \frac{7}{15}, \frac{3}{12}, \frac{5}{16}, \frac{3}{10}, \frac{11}{24} , astfel încât să aibă acelaşi numitor comun.

Rezolvare: Determinăm numitorul comun calculând c.m.m.m.c (cel mai mic multiplu comun) al numerelor de la numitor.

Pentru a determina c.m.m.m.c-ul numitorilor trebuie sa desfacem în factori primi numerele după care luăm toate numerele prime o singură dată la puterea cea mai mare.exercitiul-2-aplicatii-nr-reale

 

În concluzie putem scrie:

15= 3\cdot5

12= 2^{2}\cdot3

16= 2^{4}

10= 2\cdot5

24= 2 ^{3}\cdot3

c.m.m.m.c= 2 ^{4}\cdot3\cdot5=16\cdot3\cdot5=240.

Pentru a ştii cu cât amplific fiecare fracţie impart 240 la numitor:ex-2-nr-reale-impartiriObţin astfel următoarele fracţii:

ex-2-nr-reale-amplificarea

EXERCIŢIUL 3:Fie mulţimeaA= \left \{ (-2)^{2}\right \ ; (-3)^{-2} ; \sqrt{0,09} ; \sqrt{5\frac{5}{9}} ;  (-1)^{4}; \sqrt{18} ; \sqrt{1\frac{2}{25}} ; (-\frac{1}{{2}}) ^{-1}; \sqrt{5\frac{3}{9}}  \}.

Calculaţi:  A\bigcap_{}^{}N ; A\bigcap_{}^{}Z; A\bigcap_{}^{}Q; A\bigcap_{}^{}(Q\setminus Z); A\bigcap_{}^{}R; A\bigcap_{}^{}(R\setminus Q)

Rezolvare: Observăm că trebuie să rescriem mulţimea efectuând calculele:

(-2) ^{2}= 4

(-3) ^{-2}= \frac{1}{3 ^2}=\frac{1}{9}

\sqrt{0,09}= 0,3 =\frac{3}{10}

\sqrt{5\frac{5}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+5}{9}}}=\sqrt{\frac{50}{9}}}=\frac{5\sqrt2}{3}

 (-1)^{4}= 1

\sqrt{18}= \sqrt{9\cdot2}=3 \sqrt{2}

\sqrt{1\frac{2}{25}}= \sqrt{\frac{1\cdot25+2}{25}}}=\sqrt{\frac{27}{25}}}=\frac{3\sqrt3}{5}

(-\frac{1}{2}) ^{-1}=(-2)

\sqrt{5\frac{3}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+3}{9}}}=\sqrt{\frac{48}{9}}}=\frac{4\sqrt3}{3}

Obţinem astfel mulţimea: A= \left \{ 4;\frac{1}{9} ; \frac{3}{10} ; \frac{5\sqrt{2}}{3} ; 1; 3\sqrt{2} ; \frac{3\sqrt{3}}{5} ; (-2); \frac{4\sqrt{3}}{3} \}.

A\bigcap {N}= \left \{ 4;1 \right \}

A\bigcap {Z}= \left \{-2;1; 4 \right \}

A\bigcap {Q}= \left \{ 4; \frac{1}{{9}}; \frac{3}{10}; 1; (-2)  \}

A\bigcap(Q\setminus Z)= \left \{ \frac{1}{9};\frac{3}{10} \right \}

A\bigcap {R}= A

A\bigcap {(R\setminus Q)}= \left \{\frac{5\sqrt{2}}{3};3\sqrt{2};\frac{3\sqrt{3}}{5}; \frac{4\sqrt{3}}{3} \right \} .

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să aibă numai note bune in  noul an şcolar.

Dacă ţi-a plăcut articolul te invit sa distribui acest material şi să inviţi şi alţi părinţi să viziteze acest blog!

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com
De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:
https://www.facebook.com/MathMoreEasy

 

MULŢIMI DE NUMERE

Dragul meu părinte, această lecţie „Mulţimi de numere” este o lecţie recapitulativă.

Copilul tău a învăţat în clasele anterioare noţiunile folosite la această lecţie, însă este necesară recapitularea lor deoarece pe parcursul clasei a VIII-a vor fi des utilizate. (mai mult…)

La această lecţie copilul tău îşi va reaminti că:

  • Mulţimea „Numerelor Întregi” se notează cu Z şi

  • Z={-3,-2,-1,0,1,2,3,…….,…}.

  • Dacă adunăm, scădem sau înmulţim două sau mai multe numere întregi obţinem tot un număr întreg.

  •   \subseteq Z

Dragul meu părinte, tot la această lecţie copilul tau trebuie să-şi amintească şi „Relaţia de Divizibilitate în Z”.

Def: Un număr întreg „a” se numeşte „divizor” al unui număr întreg „b”, dacă există un număr întreg „c” astfel încât: b = a·c.

 

  •  Notăm:               Citim:
  • a | b”                  „a” divide „b” sau „a” este un divizor al lui „b”

  • b ⁞ a”                  „b” se divide cu „a” sau „b” este multiplu de „a”.

  • a | b”                  „a” nu divide pe „b” sau

                                       „b” nu este multiplu de „a”.

Pentru numere întregi nenule, relaţia de divizibilitate se poate exprima cu ajutorul relaţiei de împărţire astfel:

  • Dacă  a·b = c , atunci c : b=a şi c : a=b .

Însă, ce se întâmplă dacă deîmpărţitul nu este multiplu al împărţitorului?

Observăm în acest caz că rezultatul nu mai este un număr întreg.

Dragul meu părinte, copilul tău a învăţat în anii anteriori şi fracţiile, pe care este necesar să le amintim în această lecţie.

  • Mulţimea numerelor raţionale se notează cu Q şi

  • Q={x/ x=  \frac{m}{n}, m,  \in N }

  • Numerele raţionale se pot scrie în două forme echivalente: cu ajutorul liniei de fracţie (reprezentare fracţionară   \frac{m}{n} ) sau cu ajutorul virgulei (reprezentare zecimală m,n)

  •   \subseteq Q

  •   \subseteq   \subseteq Q

Dragul meu părinte, copilul tău a mai învăţat în anii anteriori şi „Numerele Iraţionale”.

  • Numerele Iraţionale nu pot fi reprezentate de fracţii în care numărătorul şi numitorul sunt numere întregi.

  • In scrierea cu virgulă, numerele iraţionale au o infinitate de zecimale care nu se repetă periodic.

  • Numerele raţionale împreună cu cele iraţionale formează „Mulţimea Numerelor Reale”.

  • Mulţimea Numerelor Reale” se notează cu R.

  • Suma, diferenţa şi produsul a două sau mai multe numere naturale sunt tot numere reale.

  • Rezultatul împărţirii a două sau mai multe numere reale nenule este tot un număr real.

  • N   \subseteq Z   \subseteq Q   \subseteq R.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com    mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.