Posts Tagged ‘formule’

Mulţimi de Numere

Dragul meu părinte, bine te-am găsit! În cel de-al doilea capitol din programa de matematică pentru clasa a V-a se va studia Mulţimile de Numere!

 

O mulţime este o grupare de obiecte, simboluri etc., bine definite şi distincte, numite elementele mulţimii. (mai mult…)

  • Mulţimea numerelor naturale:
  • Mulţimea ale cărei elemente sunt toate numere naturale se numeşte Mulţimea Numerelor Naturale.
  • Se notează:
  • Mulţimea numerelor naturale nenule:
  • Mulţimea ale cărei elemente sunt toate numere naturale mai puţin 0 se numeşte “Mulţimea Numerelor Naturale Nenule”.

 

  • Relaţii între element şi mulţime:
  • Dacă A este o mulţime şi x este un element al mulţimii M, se spune că elementul x aparţine mulţimii A (sau x aparţine lui A) şi se notează:

 

  • Mulţimea vidă: Mulţimea care nu are nici un element se numeşte Mulţimea Vidă şi se notează: \oslash
  • Mulţimile Finite sunt mulţimile cu un număr finit (limitat) de elemente.
  • Mulţimile Infinite sunt mulţimile care nu au un număr finit de elemente (spunem că au un infinit de numere)
  • Cardinalul unei mulţimi finite A:
  • este numărul de elemente al unei mulţimi.
  • se notează card A.
  • Moduri de definire a mulţimilor:
  • enuntarea unei propietăţi A=\left \{ x/x\in N si 3\cdot x+1\leq 10 \right \}
  • enumerarea elementelor: A=\left \{ 1, 2, 3,10 \right \}
  • prin enumerarea elementelor în interiorul unei diagrame numită diagrama Venn-Euler.

    Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

    De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

    https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

    Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

    Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate la formulele de calcul prescurtat

Clasa a VIII-aBine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul anterior ţi-am prezentat “Formulele de Calcul Prescurtat” pentru numere reale.

Dragul meu părinte, ţi-am spus că aceste formule sunt foarte importante deoarece le vom folosi în Operaţiile cu rapoarte? Aceste rapoarte de numere compun un exerciţiu care se dă şi la examenul de capacitate. (Cel puţin în anul anterior  Examenul de Evaluare Naţională 2016 a avut un exerciţiu cu rapoarte).

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:  Folosind formula pentru pătratul sumei sau diferenţei a doi termeni, calculaţi:

  • a)       (x+1) ^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru: a=x şi b=+1. Aplicând formula obţinem:

 (x+1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot (+1)+(+1)^{2}

 (x+1)^{2}=x^{2}+2 x+1

  •     b)  (x - 2)^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=x şi b=-2. Aplicând formula obţinem:

 (x - 2)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 2 +(-2)^{2}

 (x - 2)^{2}=x^{2}-4 x +4

  • c)  (2x+\sqrt{3})^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru: a=2x şi b=\sqrt{3}. Aplicând formula obţinem:

 (2x+\sqrt{3})^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}

 (2x+\sqrt{3})^{2}=4x^{2}+4\sqrt{3} x+3

  • d)  (5x-\sqrt{2})^{2}

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=5x şi b=\sqrt{2}. Aplicând formula obţinem:

 (5x-\sqrt{2})^{2}=(5x)^{2}-2\cdot 5x\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}

 (5x-\sqrt{2})^{2}=25x^{2}-10 \sqrt{2}x+2

  • e) (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru:  a=\frac{2}{3}x şi  b=\frac{1}{3} . Aplicând formula obţinem:

 (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=(\frac{2}{3}x)^{2}+2\cdot \frac{2}{3}x\cdot \frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}

 (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}x^{2}+ \frac{4}{9}x +\frac{1}{9}

  • f) (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru:  a=\frac{2}{7}x şi  b=\frac{7}{4}. Aplicând formula obţinem:

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=(\frac{2}{7}x)^{2}-2\cdot \frac{2}{7}x\cdot \frac{7}{4}+(\frac{7}{4})^{2}

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-\frac{28}{28}x+\frac{49}{16}

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-x+\frac{49}{16}

f)  (x+7)(x-7)

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a+b)(a-b)= a^{2}-b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=x şi b=7. Aplicând formula obţinem:

 (x+7)(x-7)= x^{2}-7^{2}

 (x+7)(x-7)= x^{2}-49

EXERCIŢIUL 2:  Efectuaşi calculele :

  •  a)  (x+2)^{2}+ (x-1)^{2}

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

 (x+2)^{2}+ (x-1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 2+ 2^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot 1+1^{2}= aplicatii-formule-de-calcul-prescurtat-ex-2

  •  b) (x-\sqrt{2}) ^{2}-(\sqrt{2}x+1) ^{2}

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

aplicatii-formule-de-calcul-prescurtat-ex-2-pct-b

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Formulele de calcul prescurtat

Clasa a VIII-aDragul meu părinte, bine te-am regăsit. În articolul anterior ţi-am explicat  cum facem “Operaţii între numerele reale  reprezentate prin litere”. Am explicat pas cu pas cum facem “Adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere” , dar şi Înmulţirea, Împărţirea, ridicarea la puterea a numerelor reale reprezentate prin litere” . În articolul de azi vreau să îţi prezint formulele de calcul prescurtat pentru numere reale.

(mai mult…)

Aceste formule sunt foarte importante deoarece le vom folosi în Operaţiile cu rapoarte. Aceste rapoarte compun un exerciţiu care se dă şi la examenul de capacitate. (Cel puţin în anul anterior  Examenul de Evaluare Naţională 2016 a avut un exerciţiu cu rapoarte).

Avem următoarele formule:

 (a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}

 (a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

 a^{2}-b^{2}=(a- b)(a+b)

 (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c

 (a-b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c-2\cdot b\cdot c

 (a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot a\cdot b-2\cdot a\cdot c-2\cdot b\cdot c

 (a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot b-2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c

 (a+b)^{3}=a^{3}+3\cdot a^{2}\cdot b+3\cdot a\cdot b^{2}+b^{3}

 (a-b)^{3}=a^{3}-3\cdot a^{2}\cdot b+3\cdot a\cdot b^{2}-b^{3}

a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})

a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})

Acestea  sunt cele mai importante şi uzuale formule de calcul prescurtat pentru numerele reale. În curând voi reveni şi cu un articol cu Aplicaţii la formulele de calcul prescurtat în care voi prezenta câteva exerciţii cu un grad de dificultate diferit.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Ridicarea la putere a unui număr natural

Clasa a V-aDragul meu părinte, bine te-am regăsit! Până acum copilul tău a învăţat adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea numerelor naturale. În clasele primare a învăţat că înmulţirea este o adunare repetată.

Iată că a sosit timpul să înveţe şi noţiuni noi cum ar fi ridicarea la putere a unui număr natural.

(mai mult…)

Să observăm:

ridicarea-la-putere-foto-1

  • Definiţie:Puterea “n” a unui număr natural “a” este produsul a n-factori egali cu numărul “a”  ridicarea-la-putere-foto-2
  • Convenţie matematică: a ^{1}=a
  •                                     a ^{0}=1    ; pentru orice    a\neq 0

ridicarea-la-putere-foto-3

  • Citim “a la puterea n”

ridicarea-la-putere-foto-4

  •  Putem reprezenta 16=4^{2}=4\cdot 4 printr-un pătrat cu 4 linii şi 4 coloane.reprezentare-16
  • O importanţă deosebită au puterile lui 10. Acestea se folosesc pentru a compara numerele foarte mari:

puterile-lui-10

  • Ce priorităţi au puterile în calcul?

rezolvare-corectarezolvare-corecta-2

 

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te invit alături de mine în Clubul de Matematică “Math More Easy” sau accesează link-ul de mai jos:

http://mathmoreeasy.ro/exercitii-rezolvate-la-reguli-de-calcul-cu-puteri/ 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!