Posts Tagged ‘examen matematica’

Exerciții rezolvate la Cel Mai Mare Divizor Comun (c.m.m.d.c)

„Dacă oamenii ar învăța să meargă și să vorbească așa cum sunt învățați să scrie și să citească, toată lumea ar șchiopăta și s-ar bâlbâi.”
Mark Twain
Dragul meu părinte bine te-am regăsit!
Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții  la cel mai mare divisor comun (c.m.m.d.c).

(mai mult…)

Exercițiul 1: Aflați cel mai mare divizor comun al următoarelor numere:

a) 24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18

b) 28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63

c) 120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360

d) 121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49

Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.d.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri. 

  • a) 24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18

24=2^3\cdot 3

12=2^2\cdot 3

18=2\cdot 3^2

(24,12,18)=2\cdot 3=6

Cel mai mare divizor comun este produsul factorilor comuni luați o singură dată la puterea cea mai mică. 

Analizând descompunerile observăm că 2 și 3 se repeată în toate cele 3 descompuneri asa că îi considerăm factori comuni, iar cea mai mica putere este 1. 

b) 28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63

28=2^2 \cdot 7

147=3 \cdot 7^2

63=3^2 \cdot 7

(28, 147, 63)=7

c) 120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360

120=2^3\cdot 3\cdot 5

240=2^4\cdot 3\cdot 5

360=2^3\cdot 3^2\cdot 5

(120, 240, 360)= 2^3 \cdot 3\cdot 5= 8\cdot 3\cdot 5=120

d) 121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49

121=11^2

330=2\cdot 3\cdot 5\cdot 11

49=7^2

(121, 330, 49)= 1

  • Observăm că nu avem factori comuni așa că c.m.m.d.c-ul este 1.

Exercițiul 2: Determinați 5 numere naturale care divid simultan următoarele numere: 1260, 3780, 6300.

Rezolvare:  Descompunem în factori primi numerele.

1260= 2^2\cdot 3^2\cdot5\cdot 7

3780= 2^2\cdot 3^3\cdot5\cdot 7

6300= 2^2\cdot 3^3\cdot5^2\cdot 7

(1260, 3780, 6300)= 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7==4\cdot 9\cdot 5\cdot 7= 36\cdot 5\cdot 7=180\cdot 7=1260

Toate numerele formate din factorii c.m.m.d.c-ului mai mici decat 1260 vor divide cele trei numere.

Formam astfel 5 numere naturale:

2^2\cdot 5=4\cdot 5=20  \Rightarrow 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

2^2\cdot 7=4\cdot 7=28 \Rightarrow 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

3^2\cdot 5=9\cdot 5=45 \Rightarrow 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

3^2\cdot 7= 9\cdot 7=63 \Rightarrow 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180 \Rightarrow 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

Exercițiul 3:  Află două numere naturale care îndeplinesc simultan condițiile: 

(a,b)=25 și a-b=50      a; b \gt 101;    a;b\lt 199

Rezolvare: 

Dacă (a; b )=25  \Rightarrow a= 25\cdot x și  b= 25\cdot y iar (x,y)=1.

Înlocuim în cea de-a doua relație pe care trebuie să o respectăm și obținem:

25\cdot x-25\cdot y=50

Dăm factor comun pe 25 și obținem:

25\cdot (x-y)=50 \ \ \ \ | \ \ \ :\ \ \ 25

 (x-y)=50 \ \ \ :\ \ \ 25

 x-y=2

Dar exercițiul ne spune în enunț că a și b sunt cuprinse între numerele 101 și 199.

In acest caz cel mai mic număr ar fi 125 \ \ \ \vdots \ \ \ 25 ., iar cel mai mare număr este 175 \ \ \ \vdots \ \ \ 25 .

Din această informație deduce că: x=5 \Rightarrow y=3 \Rightarrow a=125\Rightarrow b=75

Pentru x=6 \Rightarrow y=4 \Rightarrow (6,4)=2 \Rightarrow această variant nu este convenabilă.

Pentru x=7 \Rightarrow y=5 \Rightarrow a=175\Rightarrow b=125

Exercițiul 4: Calculați c.m.m.d.c-ul numerelor a și b știind că:

a=2^n\cdot 3^{n+2}+5^2\cdot 2^{n+1}\cdot3^n+7\cdot 6^n și b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}

Rezolvare: 

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot (2\cdot3)^n

a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot 2^n\cdot 3^n

Observăm că 2^n\cdot 3^n se repeată în toți termenii adunării așa că îi vom da factor comun:

a=2^n\cdot 3^n\cdot(3^2+5^2\cdot2^1+7)

a=2^n\cdot 3^n\cdot(9+25\cdot2+7)

a=2^n\cdot 3^n\cdot 66

a=2^n\cdot 3^n\cdot 2\cdot 3\cdot 11

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

Calculăm b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}

Aplicăm regulile de calcul cu puteri si obținem:

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+(5\cdot 7)^n\cdot 5^2+(5\cdot 7)^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+35^n\cdot 5^2+35^n\cdot 7^1

Observăm că 35^n se repeat în toți termenii și îl dăm factor comun:

b=35^n(2\cdot 35^1+5^2+7^1)

b=35^n\cdot (70+25+7)

b=35^n\cdot 102

b=(5\cdot 7)^n\cdot 102

b=5^n \cdot 7^n \cdot 102

Calculăm c.m.m.d.c-ul celor două numere:

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

b=5^n \cdot 7^n \cdot 102

Descompunem 102 și obținem:

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

b=5^n \cdot 7^n \cdot 2\cdot 3\cdot17

(a,b)= 2\cdot 3= 6

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural

“Educaţia ar fi mult mai eficientă dacă scopul acesteia ar fi ca la ieşirea din şcoală, fiecare copil să conştientizeze cât de multe lucruri nu ştie şi să fie cuprins de o dorinţă permanentă să le afle. – William Haley

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la lecția Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural. (mai mult…)

Exercițiul 1: Scrieți divizorii proprii și divizorii improprii ai numărului 21.

Rezolvare: 

Divizorii proprii ai lui 21 sunt: 3 și 7.

Divizorii improprii ai lui 21 sunt: 1 și 21.

Exercițiul 2 :

Determinați numărul natural x știind că x-3 este divizorul numărului natural 15. 

Rezolvare: 

 x-3 \in D_{15} \Rightarrow x-3 \in \left \{ 1,3,5,15 \right \}

Deoarece pe noi ne interesează valorile pe care le poate lua x vom egala cu fiecare număr si vom afla multimea valorilor lui x.

 x-3=1 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=1+3 \Rightarrow x=4

 x-3=3 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=3+3 \Rightarrow x=6

 x-3=5 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=5+3 \Rightarrow x=8

 x-3=15 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=15+3 \Rightarrow x=18

Soluție: x\in \left \{ 4, 6, 8, 18 \right \}

Exercițiul 3:  Determinați: 

a)  D_{{28}} \cup D_{{12}}

b)  D_{{28}} \cap D_{{12}};

Rezolvare: 

Scriem mulțimea divizorilor lui 28.

D_{{28}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}

Scriem mulțimea divizorilor lui 12.

D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}

a) Reunim cele două mulțimi și obținem: D_{{28}} \cup D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}

  • Reamintim că Reuniunea a două mulțimi A și B este mulțimea notată A \cup B, formată din toate elementele celor două mulțimi comune și necomune, luate o singură dată.

b)  Intersectăm cele două mulțimi și obținem: D_{{28}} \cap D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \right \}

  • Reamintim că  Intersecția: a două mulțimi A și B este mulțimea notată A\cap B , formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură data.

Exercițiul 4:  Se consider inecuația 4\cdot x -1 \leq 39-x

a) Care dintre soluțiile inecuației sunt divizori ai numărului natural 12?

b) Care dintre soluțiile inecuației sunt multiplii lui 3?

Rezolvare: 

Rezolvăm inecuația: 4\cdot x -1 \leq 39-x.

Mutăm toți termenii care îl conțin pe x într-o parte iar ceilalti termini în cealaltă parte având grijă să schimbăm semnele.

4\cdot x +x \leq 39 +1

5\cdot x \leq 40

5\cdot x \leq 40 \ \ \ /\ \ \ :\ \ 5

x \leq 40 \ \ \ :\ \ 5 \Rightarrow x \leq 8  \Rightarrow x \in \left \{ 0\ \ \ ;\ \ \ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ \ ;\ \ \ \ 4\ \ \ ; \ \ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 8\ \ \ \right \}

a) Scriem mulțimea divizorilor lui 12:

D_{{12}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}

Acum intersectăm cele două mulțimi și obținem mulțimea

 \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}

b) Scriem mulțimea multiplilor lui 3

M_{3} =\left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 9\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 18\ ............ \right \}

Intersectăm mulțimea valorilor lui x cu mulțimea multiplilor lui 3 și obținem mulțimea: \left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers

“Învingătorii nu renunță, iar cei care renunță nu ajung învingători!”

Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate  la Metoda Mersului Invers! (mai mult…)

Exercițiul 1:     3(x+2) - 7=14

Rezolvare:  Știm din clasele mici că într-un exerciţiu în care sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise. Analizând exercițiul nostru observăm că nu putem efectua calculele din paranteza rotunda deoarece avem o necunoscută. În acest caz pentru a-l afla pe x prima oară îl mutăm pe 7 cu semn schimbat în partea dreaptă a egalului.

3(x+2) - 7=14   / +7  \Rightarrow   3(x+2)=14+7 \Rightarrow

3(x+2)=21/ :\ \ \ \ 3  \Rightarrow   x+2=21 \ \ \ :\ \ \ 7  \Rightarrow

x+2=3/ -2  \Rightarrow   x=3-2   \Rightarrow   x=1

Exercițiul 2:    100\cdot [25-6\cdot (x-3)+2]\ \ \ : \ \ \ 3=300

Rezolvare: 

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] \ \ \ : \ \ \ 3=300   / \ \ \ \cdot 3

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] = 300 \cdot 3

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] = 900 / \ \ \ : \ \ \ 100

25-6\cdot (x-3)+3 = 900\ \ \ : \ \ \ 100

25-6\cdot (x-3)+3 = 9   / - 3

25- 6\cdot (x-3) = 9 - 3

25- 6\cdot (x-3) = 6

Deoarece necunoscuta mea este în pozitia scăzătorului atunci vom scrie:

 6\cdot (x-3) =25 - 6  \Rightarrow    6\cdot (x-3) =18     / \ \ \ :\ \ \ 6  \Rightarrow

x-3 =18\ \ \ :\ \ \ 6  \Rightarrow   x-3 =3   /+3  \Rightarrow   x =3+3  \Rightarrow   x =6

Exercițiul 3:  90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212

Rezolvare: De data aceasta primul termen mutat cu semn schimbat este 90 cu semnul –

90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212    /-90

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212-90

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=122    /\cdot 4

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] =122 \cdot 4

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18 =488 / - 18

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=488-18

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=470   / \ \ \ :\ \ \ 2

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=470 \ \ \ :\ \ \ 2   \Rightarrow (420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=235

\Rightarrow (205+5\cdot a)=235   / - 205

\Rightarrow 5\cdot a=235 -205   \Rightarrow 5\cdot a=30  / \ \ \ : \ \ \ 5

\Rightarrow a=30 \ \ \ :\ \ \ 5   \Rightarrow a=6

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Metoda Mersului  Invers  pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Metoda Mersului Invers

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.” 

Exerciții Rezolvate la Graficul Funcției

“Nu îmi învăț niciodată studenții; tot ce fac este să le creez condițiile pentru ca ei să învețe.”
Albert Einstein

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții la Graficul unei Funcții! (mai mult…)

Exercițiul 1:

Fie funcția f \ \ \ : \ \ \ R \rightarrow R , f (x)=-2x+1.

a) Reprezentați grafic funcția.

b)Determinați numărul real a \in R, știind că punctul A(2a-1,\ \ \ a-2) este situate pe graficul funcției f(x).

c) Calculați suma S=f(0)+f(1)+f(2)+..........+f(2011)

Rezolvare:

a) Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca  y=0 \Rightarrow f(x)=0 .

  •  \cap OX :   y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow -2\cdot x+ 1=0

\Rightarrow  -2\cdot x=-1    \Rightarrow x=\frac{-1}{{-2}}

\Rightarrow   x=\frac{1}{{2}}   \Rightarrow A( \frac{1}{{2}} \ ; 0)

  • Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca  x=0
  • \cap OY:  x=0  \Rightarrow  f(0)= -2\cdot 0+ 1 = 1
  •                        B(0\ \ ;\ \ \ 1)

b) Pentru a arăta că punctul A(2a-1,\ \ \ a-2) aparține graficului funcției f(x) punem condiția ca : f(2a-1)= a-2 adică în forma funcției f(x)  înlocuim x cu 2a-1 și obținem:

f(2a-1)= a-2 \Rightarrow -2\cdot (2a-1) + 1 = a-2 \Rightarrow -4\cdot a+2 + 1 = a-2

\Rightarrow -4a+3 = a-2

Trecem toți termenii cu a într-o parte și toți termenii fară a în cealaltă parte.

\Rightarrow -4a-a=-2-3  \Rightarrow -5a=- 5 \ \ \ \ /:(-5)   \Rightarrow a= 1

c)  S=f(0)+f(1)+f(2)+... . . . . + f(2011)

Calculăm f(0), f(1), f(2), . . . . . , f(2011) și observăm că obținem Suma Gauss.

f(0)= -2 \cdot 0 + 1= 0+1=1

f(1)= -2 \cdot 1 + 1= - 2 +1= -1

f(2)= -2 \cdot 2 + 1= - 4 +1= -3

. . . . . . ..  .. . . . . . . .. . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .

 f(2011)= -2 \cdot 2011 + 1= - 4 022+1= -4021

Obținem :

S= 1-1-3-5-. . .. . . . -4021  \Rightarrow S= -(3+5+. . .. . . . +4021)

Aplicăm Suma Gauss a numerelor impare :

n= (4021-3) \ \ \ : \ \ \ 2 +1  \Rightarrow n= 4018 \ \ \ : \ \ \ 2 +1  \Rightarrow n= 2009 +1 = 2010 (termeni)

S=-[2010\cdot (4021+3) \ \ \ : \ \ \ 2]

S=-[2010\cdot 4024 \ \ \ : \ \ \ 2]

S=-[2010\cdot 2012]

S=- 4 044 120

Exercițiul 2:

Se consideră funcția    f : R\rightarrow R  , f(x)= -\sqrt{3}x+2\sqrt{3}

a) Reprezentați grafic funcția

b) Determinați aria triunghiului format de graficul funcției și axele de coordinate.c

c) Determinați distanța de la punctul  O(0,0)   la graficul funcției f(x).

Rezolvare:

  • a) \cap OX :   y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow -\sqrt{3}\cdot x+2\sqrt{3} = 0

\Rightarrow -\sqrt{3}x=-2\sqrt{3}

\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

\Rightarrow   x= __{{}}^{\sqrt{3})}\textrm{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} }

\Rightarrow   x=2  \Rightarrow A(2\ \ \ ; \ \ \ 0 )

  • \cap OY:  x=0  \Rightarrow  f(0)= -\sqrt{3}\cdot 0+2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}
  •                        \Rightarrow B(0 , 2\sqrt{3})

b) Calculăm  A_{\bigtriangleup AOB }. Observăm că \bigtriangleup AOB este dreptunghic în unghiul O astfel putem aplica formula:

 A_{{\bigtriangleup AOB}}= \frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}= \frac{OA\cdot OB}{2}= \frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} u.m^{{2}}

c)  Știm că distanța de la un punct la o dreaptă este perpendiculara din acel punct pe dreaptă. Adică înălțimea triunghiului AOB. Pentru a afla înălțimea ne folosim de aria triunghiului pe care am calculate-o deja. Folosim formula:

 A_{\triangle AOB}= \frac{b \cdot h}{{2}}   = \frac{AB \cdot OM}{{2}}

Calculăm  AB cu formula distanței dintre punctele A(2,0) și  B(0, 2\sqrt{3}) astfel:

AB= \sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}

x_{{A}}=2   și  y_{{A}}=0 iar x_{{B}}=0 și y_{B}=2\sqrt{3} , înlocuim in formula și obținem:

AB=\sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}

AB=\sqrt{{(2-0})^2+(2\sqrt{3}-0})^2}}   \Rightarrow AB=\sqrt{{2^2+(2\sqrt{3})^2}}

\Rightarrow AB=\sqrt{{4+2^2 \cdot 3}}  \Rightarrow AB=\sqrt{{4+12}}  \Rightarrow AB=\sqrt{{16}} = 4

Înlocuim în formula ariei și aflăm OM.

2\sqrt{3}u.m^2= \frac{4 u.m \cdot OM}{2} \ \ \ \ \ / \cdot 2

2 \cdot 2\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM  \Rightarrow 4\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM \ \ \ \ / \ \ : \ \ 4 u.m

\Rightarrow OM = \sqrt{3} \ \ u.m

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Graficul unei funcții  pentru copilul tău o gasești aici:Fisa de lucru Graficul unei functii

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.” 

Transformarea unei fracții ordinare într-o fracție periodică

„Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la transformarea unei fracții ordinare în fracție periodică.

(mai mult…)

Exercițiul 1: Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice simple:

a) \frac{31}{9}   ;   b)  \frac{517}{99}  ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) \frac{31}{9}   Împărțim 31 la 9 și obținem:

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{31}{9}=3,(4) și citim trei virgulă perioadă patru.

b)   \frac{517}{99}=

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{517}{99}=5,(2) .

Exercițiul 2 : Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice mixte:

a) \frac{233}{45} ;   b) \frac{553}{60}  ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a)  \frac{233}{45}

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 7. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{233}{45}=5,1(7) și citim cinci virgulă unu perioadă șapte.

b) \frac{553}{60}

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 6. În aceste cazuri spunem că rezultatul     \frac{553}{60}=9,21(6).

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Mărimi direct proporționale

„Nu zi niciodată nu se poate, ci începe cu să vedem.”

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva probleme Exerciții rezolvate la Marimi direct proporționale. (mai mult…)

Exercițiul 1:

Media aritmetică a două numere este egală cu 24.Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele 3 și 9.

Rezolvare:

Considerăm două numere a și b.

Scriem formula pentru media arithmetică a celor două numere.

M_{a}=\frac{a+b}{2}    \Rightarrow \frac{a+b}{2}=24 /\ \ \ \cdot 2   \Rightarrow a+ b=48

\left \{ a,b \right \} \overset{d.p}{\rightarrow} \left \{ 3,9 \right \}   \Rightarrow \frac{a}{{3}}=\frac{b}{{9}}=k

\Rightarrow \frac{a}{{3}}=k \Rightarrow a=3\cdot k

\Rightarrow \frac{b}{{9}}=k \Rightarrow b=9\cdot k

Înlocuim a și b în ecuația a+b=48 și obținem:

3 \cdot k + 9 \cdot k=48 \Rightarrow 12 \cdot k=48 / \ \ \ : \ \ 12  \Rightarrow k=48 \ \ \ : \ \ 12    \Rightarrow k=4

Înlocuim în  a și b și obținem:

 \Rightarrow a=3 \cdot k=3 \cdot 4  \Rightarrow a=12

 \Rightarrow b=9 \cdot k=9 \cdot 4   \Rightarrow b=36.

Exercițiul 2:

Suma a trei numere este 84. Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele: 1,(4)\ \ ; \ \ \ \ 1,(5) \ \ \ \ ; \ \ 1,(6)

Rezolvare:

Considerăm trei  numere a , b și c.

Problema ne spune ca suma lor este 84.

a+b+c=84

\left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ 1,(4): \ \ 1,(5); \ \ 1,(6)\right \}

Transformăm fracțiile periodice în fracții ordinare:

 1,(4) =\frac{14-1}{{9}}= \frac{13}{{9}}

 1,(5) =\frac{15-1}{{9}}= \frac{14}{{9}}

 1,(6) =\frac{16-1}{{9}}= \frac{15}{{9}}

Și obținem:  \left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ \frac{13}{{9}}; \ \ \frac{14}{{9}}; \ \ \frac{15}{{9}}\right \}  \Rightarrow

\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=\frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=\frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k

Scoatem numerele a, b ;I c ]n func’ie de valoarea lui k.

\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=k   \Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{13}{{9}}}}=k \Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{13}}}}=k  \Rightarrow \frac{9a}{{13}} =k  \Rightarrow a = \frac{13 \cdot k}{{9}}

\Rightarrow \frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=k  \Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{14}{{9}}}}=k  \Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{14}}}}=k   \Rightarrow \frac{9\cdot b}{{14}} =k  \Rightarrow b = \frac{14 \cdot k}{{9}}

\Rightarrow \frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k  \Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{15}{{9}}}}=k  \Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{15}}}}=k  \Rightarrow \frac{9\cdot c}{{15}} =k  \Rightarrow c = \frac{15 \cdot k}{{9}}

Înlocuim a, b și c în sumă și determinăm valoarea lui k.

a+b+c=84 \Rightarrow \frac{13 \cdot k}{{9}} + \frac{14\cdot k}{{9}} + \frac{15 \cdot k}{{9}} = 84

\Rightarrow \frac{13 \cdot k+14\cdot k+15\cdot k}{{9}} = 84  \Rightarrow \frac{42 \cdot k}{{9}} = 84

\Rightarrow 42 \cdot k = 84 \cdot 9 \Rightarrow 42 \cdot k = 756 \Rightarrow 42 \cdot k = 756 / \ \ \ : \ \ \ 42

\Rightarrow k = 756 \ \ \ : \ \ \ 42

\Rightarrow k = 18

Înlocuim valoarea lui k în numerele natural și determinăm valoare lui a, b și c.

 a = \frac{13 \cdot k}{{9}}   \Rightarrow a = \frac{13 \cdot 18}{{9}}  \Rightarrow a = \frac{234}{{9}}  \Rightarrow a = 26

 b = \frac{14 \cdot k}{{9}}   \Rightarrow b = \frac{14 \cdot 18}{{9}}   \Rightarrow b = \frac{252}{{9}}   \Rightarrow b = 28

 c = \frac{15 \cdot k}{{9}}   \Rightarrow c = \frac{15 \cdot 18}{{9}}  \Rightarrow c = \frac{270}{{9}}   \Rightarrow c = 30

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Mărimi direct proporționale  pentru copilul tău o gasești aici  Fisa de lucru marimi direct proportionale 

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Probleme cu Procente Rezolvate

“Un copil inteligent nu este un copil care învață absolut tot, ci un copil căruia nu îi este frică să învețe orice”

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva probleme cu procente rezolvate. Acest tip de Probleme cu Procente s-au dat de multe ori  la Examenul de Evaluare Națională. (mai mult…)

Problema 1:

O rochie costă 540 lei. Prețul rochiei se reduce cu 15%. Cât va costa rochia după reducere?

Rezolvare:

Calculăm cât reprezintă 15% din 540 lei.

15% \ \ din \ \ \ 540= \frac{15}{{100}} \cdot 540= \frac{15}{{10\emptyset}} \cdot \frac{54\emptyset}{{1}}= \frac{15\cdot 54}{{10}}= \frac{81\emptyset}{{1\emptyset}}= 81 lei

Pentru că prețul rochiei se reduce scădem din prețul initial cei 81 lei.

540\ \ lei - 81 \ \ lei=459 \ \ lei (noul preț al rochiei)

Problema 2: Un călător parcurge o distanţă în 3 zile astfel: în prima zi parcurge 20% din drum, a doua zi parcurge 50% din rest şi în a treia zi parcurge ultimii 60 km.

a) Aflaţi lungimea totală pe care călătorul a parcurs-o în cele trei zile.

b) Cât la sută din lungimea totală a parcurs călătorul a doua zi dacă tot traseul are 150km?

Rezolvare:

a) Notăm cu x lungimea inițială a drumului.

Calculăm câți km i-au rămas călătorului după prima zi.

x- 20% din x= x - \frac{20}{{100}}\cdot x= x - \frac{1}{{5}}\cdot x= ^{5)}\textrm{x - \frac{1}{{5}}\cdot x=} \frac{5\cdot x }{{5}}- \frac{1\cdot x }{{5}}= \frac{4\cdot x }{{5}}  (rest)

Calculăm câți km i-au rămas călătorului după a doua zi.

Din restul rămas după prima zi scădem 50% din acest rest!

\frac{4\cdot x }{{5}} - 50% \ \ \cdot \ \ \frac{4\cdot x }{{5}}=\frac{4\cdot x }{{5}} - (\frac{50 }{{100}} \ \ \cdot \ \ \frac{4\cdot x }{{5}} )= \frac{4\cdot x }{{5}} - (\frac{1 }{{2}} \ \ \cdot \ \ \frac{4\cdot x }{{5}} )= \frac{4\cdot x }{{5}} - \frac{4\cdot x }{{10}}= _{{}}^{2)}\textrm{\frac{4\cdot x }{{5}} - \frac{4\cdot x }{{10}}=} \frac{8\cdot x }{{10}} - \frac{4\cdot x }{{10}}=  \frac{4\cdot x }{{10}}  (al doilea rest care reprezintă ultimii km parcurși in a treia zi)

Egalăm ultimul rest cu 60km.

 \frac{4\cdot x }{{10}} = 60 km \Rightarrow \frac{4\cdot x }{{10}} = 60 km / \cdot 10  \Rightarrow 4\cdot x = 600 km / \ \ : \ \ 4

 \Rightarrow x = 600\ \ km \ \ : \ \ 4  \Rightarrow x = 150\ \ km

b)  \frac{4}{10} \cdot 150 \ \ km =   \frac{4}{1\emptyset} \cdot 15\emptyset \ \ km =  60\ \ km  

Problema 3:

Un aparat  costă 960 lei . Prețul se majorează cu 40%  apoi scade cu 25%.

a) Care este noul preț al aparatului ?

b) Care este procentul final de majorare ?

Rezolvare:

a)  Calculăm prețul după prima majorare.

960 + 40% din 960 = 960 + \frac{40}{{100}}\cdot 960= 960 + \frac{4\emptyset}{{1\emptyset\emptyset}}\cdot 96\emptyset=960 + 4 \cdot 96=

960 + 384=  1344 (prețul după prima majorare)

Calculăm prețul după scăderea cu 25%.

1344- (25% din 1344)=   1344 - \frac{25}{{100}}\cdot 1344=  1344 - \frac{25\cdot 1344}{{100}}=  1344 - \frac{33600}{{100}}= 1344 - \frac{336\emptyset\emptyset}{{1\emptyset\emptyset}}=  1344 - 336=1008  (preț final)

b) Trebuie să aflăm p%.

960 + p% din 960 = 1008\Rightarrow 960 + p% din 960 = 1008 / -960

\Rightarrow p% din 960 = 1008 -960

\Rightarrow p% din \ \ 960 = 48\Rightarrow \frac{p}{{100}}\cdot 960 = 48

\Rightarrow \frac{p}{{10\emptyset}}\cdot 96\emptyset = 48 \Rightarrow \frac{p}{{10}}\cdot 96= 48 / \cdot 10

 \Rightarrow p\cdot 96= 480   \Rightarrow p\cdot 96= 480 / \ \ : \ \ 96

 \Rightarrow p= 480 \ \ : \ \ 96  \Rightarrow p= 5 %

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Probleme cu Procente pentru copilul tău o gasești aici:Fisa de lucru probleme cu Procente

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții Rezolvate la Unghiuri complementare. Unghiuri Suplementare

Cel mai mare neajuns al nostru este că renunțăm prea repede. Cel mai corect drum către succes este să mai încerci o dată.” Thomas Edison

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun o nouă lecție de geometrie în plan și te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva exerciții la “Unghiuri Complementare. Unghiuri Suplementare”. (mai mult…)

Exercițiul 1 :

Unghiul  \widehat{MON} și  \widehat{NOP} sunt adiacente și complementare. Știind că  m(\widehat{MON}) este \frac{3}{2} din  m(\widehat{NOP}) să se calculeze   m(\widehat{NOP})   și  m(\widehat{MON}) ..

  • Rezolvare: 
  • Scriem datele problemei:
  • Realizăm desenul:
  • Analizând desenul observăm că  m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})=90^\circ
  • Știm că  m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})  \Rightarrow \frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOP})=90^\circ \ \ \ | \ \ \cdot \ \ 2
  •  \Rightarrow 3\cdot m(\widehat{NOP})+2 \cdot m(\widehat{NOP})=2\cdot 90^\circ
  •  \Rightarrow 5\cdot m(\widehat{NOP})=180^\circ \ \ \ | \ \ \ \cdot \ \ \ 5
  •  \Rightarrow m(\widehat{NOP})=180^\circ\ \ \ : \ \ \ 5
  •  \Rightarrow m(\widehat{NOP})=36^\circ
  • Înlocuim și  aflăm și măsura unghiului  \widehat{MON}
  •  m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP}) \Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot 36^\circ \Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3\cdot36^\circ}{{2}} \Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{108^\circ}{{2}}=54^\circ
  • m(\widehat{MOP})= m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})
  •  m(\widehat{MOP})=36^\circ+54^\circ=90^\circ

Exercițiul 2:

Măsura m(\widehat{XOY}) este \frac{7}{8} din măsura suplementului său unghiul m(\widehat{YOZ}). Aflați măsura m(\widehat{XOY}) și m(\widehat{YOZ}).

  • Rezolvare:
  • Scriem datele problemei:
  • Realizăm desenul:
  • Analizând desenul observăm că: m(\widehat{XOY})+m(\widehat{YOZ})=180^\circ
  • Știm că m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})
  • \Rightarrow\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})+m(\widehat{YOZ})= 180^\circ \ \ \ | \ \ \cdot8
  • \Rightarrow 7\cdot m(\widehat{YOZ})+8\cdot m(\widehat{YOZ})=8\cdot180^\circ
  • \Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ
  • \Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ \ | \ \ : \ \ \ 15
  • \Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ : \ \ \ 15
  • \Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 96^\circ
  • Înlocuim și aflăm măsura  m(\widehat{XOY}):
  • m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ}) \Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot 96^\circ \Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7\cdot 96^\circ}{{8}}\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{672^\circ}{{8}}=84^\circ

Exercițiul 3: 

Determinați măsura unghiului m(\widehat{MON}) știind că măsura complementului suplementului său este de 63^\circ.

  • Rezolvare:
  • Dacă citim atent enunțul problemei aceasta ne precizează că complementul suplementului unghiului  \widehat{MON} este 63^\circ . Scriem matematic această informație:
  • Notăm suplementul unghiului \widehat{MON} cu \widehat{NOP} și obținem informația:
  • m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ
  • Notăm complementul unghiului \widehat{NOP} cu \widehat{NOQ} și obținem informația:
  • m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ
  • Scriem datele problemei:
  • Realizăm desenul:
  • Plecăm de la informația furnizată de enunțul problemei că:
  • m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ
  • Știm că m(\widehat{NOQ})=63^\circ \Rightarrow m(\widehat{NOP})+63 ^\circ=90^\circ \ \ \ | \ \ -63^\circ \Rightarrow m(\widehat{NOP})=90^\circ -63^\circ \Rightarrow m(\widehat{NOP})=27^\circ
  • Mai știm din enunțul problemei că: m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ
  • Înlocuim m(\widehat{NOP})=27^\circ și obținem:
  • m(\widehat{MON})+27^\circ=180^\circ \ \ \ | \ \ -27^\circ
  • \Rightarrow m(\widehat{MON})=180^\circ -27^\circ
  • \Rightarrow m(\widehat{MON})=153^\circ

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în Clubul de “Matematică Math More Easy”.

Exerciții rezolvate la Unghiuri Adiacente. Bisectoarea unui unghi

Fără educație, ce este omul? Un splendid sclav, un sălbatic al rațiunii.”

Joseph Addison

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun câteva exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la o lecție nouă de Geometrie: “Exerciții rezolvate la Unghiuri Adiacente. Bisectoarea unui unghi”. (mai mult…)

Exercițiul 1:

În figura de mai jos unghiurile \widehat{XOY} și \widehat{YOZ} sunt adiacente. Știind că m(\widehat{XOY} )=69^\circ și m(\widehat{XOZ} )=123^\circ , determinați m(\widehat{YOZ} ).

  • Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Analizând desenul observăm că îl putem determina  m(\widehat{YOZ} ) ca fiind:

m(\widehat{YOZ} )=m(\widehat{XOZ} )-m(\widehat{XOY} )\Rightarrow m(\widehat{YOZ} )=123^\circ - 69^\circ=54^\circ

 

Exercițiul 2:

 Unghiurile \widehat{ABC} și \widehat{CBD} sunt adiacente astfel încât m(\widehat{ABC})=45^\circ iar m(\widehat{CBD})=25 % \ \ \ din \ \ \ 180^\circ. Demonstrați că \left [ BC este bisectoarea unghiului \widehat{ABD}.

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Ca să arătăm că \left [ BC este bisectoarea unghiului  \widehat{ABD} trebuie să arătăm că \widehat{ABC}\equiv \widehat{CBD}.

Calculăm dimensiunea unghiului m(\widehat{CBD}) = 25 % \ \ \ din \ \ \ 180^\circ

 m(\widehat{CBD}) = \frac{25}{{100}}\cdot 180^\circ  \Rightarrow m(\widehat{CBD}) = \frac{25\cdot180^\circ}{{100}}  \Rightarrow m(\widehat{CBD}) = \frac{4500^\circ}{{100}}=45^\circ \Rightarrow m(\widehat{CBD}) \equiv m(\widehat{ABC})  \Rightarrow \left [ BC bisectoarea   \widehat{ABD}.

Realizăm desenul:

Exercițiul 3:

Se dau două unghiuri adiacente  \widehat{AOB} și  \widehat{BOC}. Știind că bisectoarele \left [ OM și \left [ ON ale celor două unghiuri sunt perpendiculare și că m( \widehat{AOB})=5\cdot m( \widehat{BOC}) să se determine m( \widehat{AOB}) și m( \widehat{BOC}).

Rezolvare: 

  • Scriem datele problemei:
  • Analizând datele problemei observăm că nu știm exact dimensiunile unghiurilor  \widehat{AOB} și  \widehat{BOC} deci este destul de greu de realizat desenul.
  • Dar știm că bisectoarele celor două unghiuri sunt perpendiculare deci formează un unghi   \widehat{MON}=90^\circ
  • Mai știm că \left [ MO bisectoarea  \widehat{AOB}  \Rightarrow \widehat{AOM}\equiv \widehat{MOB}
  • Și că \left [ ON bisectoarea  \widehat{BOC} \Rightarrow \widehat{BON}\equiv \widehat{NOC}
  • Dar  \widehat{MOB}+\widehat{BON}=90^\circ
  • Din aceste relații \Rightarrow 2m ( \widehat{MOB})+2 m ( \widehat{BON})=m( \widehat{AOC})
  •  \Rightarrow 2[m ( \widehat{MOB})+ m ( \widehat{BON})]=m( \widehat{AOC})
  • \Rightarrow 2\cdot m ( \widehat{MON})=m( \widehat{AOC})
  • \Rightarrow 2\cdot 90^\circ=m( \widehat{AOC})  \Rightarrow m( \widehat{AOC})=180^\circ .
  • Realizăm desenul:
  • Observăm din desen că m( \widehat{AOB})+m( \widehat{BOC})=m( \widehat{AOC})
  • \Rightarrow 5\cdot m( \widehat{BOC})+m( \widehat{BOC})=180^\circ
  • \Rightarrow 6\cdot m( \widehat{BOC})=180^\circ  \Rightarrow m( \widehat{BOC})=180^\circ\ \ \ :\ \ \ 6 \ \Rightarrow m( \widehat{BOC})=30^\circ
  • Știm că \Rightarrow m( \widehat{AOB})=5 \cdot m( \widehat{BOC}) \Rightarrow m( \widehat{AOB})=5 \cdot 30^\circ=150^\circ

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți 

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un 

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te 

invit să te înscrii în Clubul de “Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Factorul Comun la Puteri

“Un ratat nu știe ce va face dacă pierde, dar vorbește despre ce va face dacă va castiga. Un învingător nu vorbește despre ce va face dacă va caștiga, dar știe ce va face dacă pierde.”
Eric Berne
Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună cateva exerciții la “Factorul comun la Puteri”.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Efectuați calculele, folosind factorul comun:

a) 3^{96}+3^{98}+3^{100}

b) 2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}

c) 8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}

d) 3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}

e) 6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}

  • Rezolvare: 
  • a) 3^{96}+3^{98}+3^{100}
  • Adunarea este o operație de gradul I și ridicarea la putere este o operație de gradul III, iar ordinea efectuării operațiilor ne spune că trebuie să facem mai întâi operațiile de gradul III și apoi cele de gradul I

Observăm că avem puteri foarte mari și nu putem ridica la putere așa că ne vom folosi de factorul comun și vom da factor comun puterea cea mai mică.

Observăm că 3^{96} este puterea cea mai mică asa ca îl dăm factor comun pe 3^{96} și obținem:

3^{96}\cdot(3^{96-96}+3^{98-96}+3^{100-96})

Scădem puterile și obținem:

3^{96}\cdot(3^{0}+3^{2}+3^{4})

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

3^{96}\cdot(1+9+81)=3^{96}\cdot91

  • b)      2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}

Observăm că  2^{47} este puterea cea mai mică așa că îl dăm factor comun pe 2^{47} și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot2^{47-47}+3\cdot2^{48-47}+2^{50-47})

Scădem puterile și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot2^{0}+3\cdot2^{1}+2^{3})

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot 1+3\cdot2+8)

Efectuăm  înmulțirile și obținem:

2^{47}\cdot(2+6+8)=

Efectuăm adunarea din paranteză și obținem:

2^{47}\cdot 16=

Știm că 16 îl putem scrie în baza 2 ca 2^{4} și obținem

2^{47}\cdot2^{4}=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și scriem baza și adunam exponenții:

2^{47+4}=2^{51}

  • c)   8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}

Observăm că 8^{297} este cea mai mică putere, îl dăm factor comun pe 8^{297} și obținem:

8^{297}\cdot(8^{300-297}-24\cdot8^{298-297}-64\cdot8^{297-297})

Scădem puterile și obținem:

8^{297}\cdot(8^{3}-24\cdot8^{1}-64\cdot8^{0})

Ridicăm la putere termenii din paranteză și obținem:

8^{297}\cdot(512-24\cdot8-64\cdot1) =

Efectuăm înmulțirile din paranteză și obținem:

  • 8^{297}\cdot(512-192-64) =

Efectuăm scăderea din paranteza rotundă și obținem:

8^{297}\cdot 256 =

Știm că putem scrie 8=2^3 și 256=2^8 și obținem:

(2^3)^{297}\cdot 2^8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri înmulțim puterile și obținem:

2^{3\cdot297}\cdot 2^8=2^{891}\cdot 2^8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, scriem baza și adunam puterile și obținem astfel:

2^{891+8}=2^{899}

  • d)  3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

3^{2n}\cdot3^2+7\cdot 3^{2n}\cdot3^1-6\cdot3^{2n}=

Observăm că se repetă în fiecare termen al adunării 3^{2n},  îl dăm factor comun și obținem:

3^{2n}\cdot(3^2+7\cdot3^1-6\cdot1)=

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

3^{2n}\cdot(9+7\cdot3-6)=

Efectuăm Înmulțirea din paranteză și obținem:

3^{2n}\cdot(9+21-6)=

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

3^{2n}\cdot 24=3^{2n}\cdot 3\cdot8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri scriem baza și adunăm exponenții și obținem:

3^{2n+1}\cdot8

  • d) 6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri  transformăm bazele pe 6 îl scriem 6=2\cdot3 , pe 4=2^2, 9=3^2 , pe  18=2\cdot3^2  și obținem:

(2\cdot3)^{2n+1}+6\cdot (2^2)^{n+1}\cdot (3^2)^{n+2}+(2\cdot3^2)^{n+1}\cdot2^{n+1}

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, distribuim puterea și obținem:

2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2\cdot(n+1)}\cdot 3^{2\cdot(n+2)}+2^{n+1}\cdot3^{2(n+1)}\cdot2^{n+1}

2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2n+2}\cdot 3^{2n+4}+2^{n+1}\cdot3^{2n+2}\cdot2^{n+1}

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^2\cdot2^{n}\cdot2^1

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n+n}\cdot2^{1+1}\cdot3^{2n}\cdot3^2

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{2n}\cdot2^{2}\cdot3^{2n}\cdot3^2

Observăm că se repeta 2^{2n}\cdot3^{2n} și îl dăm factor comun, astfel obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2^1\cdot3^1+6\cdot2^2\cdot3^4+2^{2}\cdot3^2)

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2\cdot3+6\cdot4\cdot81+4\cdot9)

Efectuăm înmulțirile din paranteza rotundă și obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(6+1944+36)

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot 1986=(2\cdot3)^{2n}\cdot 6\cdot331=(6)^{2n}\cdot 6^1\cdot331=(6)^{2n+1}\cdot331

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în Clubul de “Matematică Math More Easy.” 

1 2 3 4