Posts Tagged ‘dividing integers’

Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural.

“Dimensiunea succesului tău este măsurata de puterea dorinței tale, de mărimea visului tău și de cum gestionezi dezamăgirile pe drumul către succes.”

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi revin cu o lecție pentru clasa a VI-a.

Copilul tău a învățat în clasa a V-a noțiunile de Divizor. Multiplu dar și Criteriile de divizibilitate pe care acum în clasa a VI-a le vom repeta.

(mai mult…)

Definiție:  Numărul natural “a”  este divizibil (sau se divide) cu numărul natural “b”, dacă există un număr natural “c” astfel încât: ”  a=b\cdot c” .

Observație:

Numărul natural “a”  nu este divizibil (sau nu se divide) cu numărul natural “b”, dacă există un număr natural “c” astfel încât: ”  a\neq b\cdot c” .

Divizori improprii. Divizori proprii.

Fie n \geq 2 un număr natural. Numerele 1 și n  se numesc divizori improprii ai numărului n .

Ceilalți divizori ai numărului n  (dacă există) se numesc divizori proprii.

Mulțimea divizorilor naturali ai numărului natural n este mulțimea D_{{n}} a tuturor numerelor naturale care divid pe n.

Se notează  D_{{n}}=\left \{ d \in N| n \ \vdots\ d \right \} .

Mulțimea multiplilor naturali ai numărului natural n  este mulțimea tuturor elementelor naturale care se divid cu n .

Se notează  M_{n}=\left \{ k\in N |\ \ \ \ \ \ \ k \ \vdots\ n \right \}.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Model Rezolvat Teza clasa a VIII-a Semestrul II

Şcoala trebuie să te înveţe a fi propriul tău dascăl, cel mai bun şi cel mai aspru.

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!  A început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(mai mult…)

Model Propus Teza clasa a VIII-a Semestrul II

 

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}  este:……………………………

Rezolvare:

\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}  =\sqrt{2\cdot 3}-3\sqrt{6} =\sqrt{6}-3\sqrt{6} =-2\sqrt{6}

Exercițiul 2 (1 punct):

Simplificând cu x^2+1  raportul : \frac{x^4-1}{{x^2+1}} se obține:……………………………….

Rezolvare:

Aplicăm formulele de calcul prescurtat pentru expresia: x^4-1 și se obține:

\frac{x^4-1}{{x^2+1}}=\frac{(x^2)^2-1^2}{{x^2+1}}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}^{(x^2+1}=\frac{x^2-1}{1}=x^2-1.

Exercițiul 3 (1 punct):

Soluția ecuației: x-\sqrt{3}=0 este: ………………………………….

Rezolvare:

x-\sqrt{3}=0 \Rightarrow x-\sqrt{3}=0 /-\sqrt{3} \Rightarrow x=-\sqrt{3}

Exercițiul 4 (1 punct):

Se considera funcția f : R \to R  ,  f (x)=x-3. Valoarea funcției în punctul x=3 este egală cu: …………………….

Rezolvare:

Pentru a afla valoarea functiei în punctul x=3 calculăm  f (3) (îl înlocuim pe x cu 3 în funcție.

 f (3)=3-3=0

Exercițiul 5 (1punct):

Volumul cubului cu lungimea diagonalei de \sqrt{12}cm este: ……………………

Rezolvare:

Știm că diagonala cubului este egală cu:

 d=l\sqrt{3}\Rightarrow  l\sqrt{3}=\sqrt{12}\Rightarrow   l\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot3}\Rightarrow   l\sqrt{3}=2\sqr{3}\Rightarrow  l\sqrt{3}=2\sqr{3} / :\sqr{3} \Rightarrow   l=2 cm

Știm că volumul cubului are formula:  V= l^3  ; înlocuim latura cu 2 cm și obținem:

 V= l^3 \Rightarrow  V= (2cm)^3 \Rightarrow V= 8cm^3 .

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete.

Exercițiul 1 (1,5 puncte):

Se consideră expresia: E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}.

a) Determina’i valorile reale ale lui x pentru care expresia E(x) este bine definită.

b) Demonstrați că E(x)=1,  (\forall ) x \in R \setminus \left \{ -2; 1\right \}.

Rezolvare:

E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}  \Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}

  • a)Punem condițiile de existență ale fracțiilor (numitorul fracției trebuie să fie diferit de 0):

 x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2

 3x-1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1 \Rightarrow 3x \neq \frac{1}{{3}}

 \Rightarrow x \in R\setminus \left \{ \frac{1}{{3}} , 2 \right \}

  • E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2

Înmulțim cu a doua fracție răsturnată.

  •  \Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}

Aducem la același numitor în paranteză.

  •  \Rightarrow E(x)=(_{{}}^{x-2)}\textrm{1}- _{{}}^{x-2)}\textrm{x}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}    \Rightarrow E(x)=(\frac{x-2}{x-2}- \frac{x(x-2)}{x-2}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}
  •  \Rightarrow E(x)=(\frac{x-2-x^2+2x+x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}
  •  \Rightarrow E(x)=\frac{3x-1}{x-2}\cdot \frac{x-2}{3x-1}
  •  \Rightarrow E(x)=1

Exercițiul 2 (1,5 puncte):

Se consideră funcția  f : R \to R , f(x)= -x+2 .

a) Calculați media aritmetică a numerelor a=f(0)  și b=f(2) .

b) Reprezentați grafic funcția f(x).

c) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției f(x) și axele de coordonate OX și OY.

Rezolvare:

  • a) f(0)=0+2=2

f(2)=-2+2=0

 M_{a}=\frac{f(0)+f(2)}{{2}} \Rightarrow  M_{a}=\frac{2+0}{{2}} \Rightarrow  M_{a}=\frac{2}{{2}} \Rightarrow M_{a}= 1

  • b) Pentru a reprezenta grafic funcția f(x) facem intersecția cu cele două axe OX și OY
  • \cap OX : y=0 \Rightarrow f(x)=0   \Rightarrow -x+2=0   \Rightarrow -x=-2  \Rightarrow x=2  \Rightarrow A(2;0)
  • \cap OY:   x=0 \Rightarrow f(0)=0+2=2\Rightarrow B(0;2)

Exercițiul 3 (1,5 puncte):

O piramidă triunghiulară regulată VABC are latura AB=4\sqrt{6} cm și VO=2\sqrt{6} cm, unde O este centrul bazei ABC. Calculați:

a) aria laterală a piramidei;

b) distanța de la O la planul (VBC)

c) distanța de la punctul A la planul (VBC)

d) măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC).

Rezolvare:

Scriem datele problemei și apoi le analizăm:

Realizăm și desenul:

  • a)  Știm formula arie laterale:  A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}.

Pentru a calcula A_{{l}} trebuie să aflăm mai întâi apotema piramidei a_{{p}}=VM.

VABC este piramidă triunghiulară regulată  \Rightarrow \bigtriangleup ABC  echilateral   \Rightarrow  AM înălțimea \bigtriangleup ABC  \Rightarrow AM=\frac{l\sqrt{3}}{{2}}  \Rightarrow AM=\frac{AB\sqrt{3}}{{2}}   \Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{{2}}  \Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6\cdot 3}}{{2}}    \Rightarrow AM=\frac{4\cdot 3\sqrt{2}}{{2}}   \Rightarrow AM=\frac{12\sqrt{2}}{{2}}   \Rightarrow AM=6\sqrt{2} cm

Știm că OM= \frac{1}{{3}}\cdot AM \Rightarrow OM= \frac{1}{{3}}\cdot 6\sqrt{2} cm \Rightarrow OM= \frac{6\sqrt{2}}{{3}} cm \Rightarrow OM= 2\sqrt{2}} cm.

Aplicăm Teorema lui Pitagora în \bigtriangleup VOM pentru a afla apotema VM.

\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ )\RightarrowT.P \Rightarrow VM^2=VO^2+OM^2  \Rightarrow VM^2= (2\sqrt{6} cm)^2 + (2\sqrt{2} cm)^2

\Rightarrow VM^2= 2^2\cdot (\sqrt{6})^2 cm^2 + 2^2\cdot (\sqrt{2})^2 cm^2

\Rightarrow VM^2= 4\cdot 6 cm^2 + 4\cdot 2 cm^2

\Rightarrow VM^2= 24 cm^2 + 8 cm^2

\Rightarrow VM^2= 32 cm^2   \Rightarrow VM= \sqrt{32 cm^2}  \Rightarrow VM= \sqrt{16 \cdot2} cm

 \Rightarrow VM= 4\sqrt{2} cm

Aflăm și perimetrul bazei. Pentru ca \bigtriangleup ABC  este echilateral  \Rightarrow P_{b}= 3 \cdot l  \Rightarrow P_{b}= 3 \cdot AB

 \Rightarrow P_{b}= 3 \cdot 4\sqrt{6} cm  \Rightarrow P_{b}= 12\sqrt{6} cm.

Înlocuim în aria laterală și obținem:

 A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{12\sqrt{6} cm\cdot 4\sqrt{2} cm}{2}   \Rightarrow A_{l}= \frac{12 \cdot 4 \sqrt{6\cdot 2} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{12} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{4 \cdot 3} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{48\cdot 2 \sqrt{ 3} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= 48\sqrt{ 3} cm^2

  • b) d(O; (VBC))=?

Știm că AM înălțime în \bigtriangleup ABC \Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]  și  \left \{ O \right \} \in AM\Rightarrow \left [ OM \right ]\perp \left [ BC \right ]

  • OM=2\sqrt{2}cm

 

  • c) d(A; (VBC))=?

Știm că AM înălțime în \bigtriangleup ABC \Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]

  • d) m(\widehat{ (VOM),(ABC)} )=?

\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ ) : sin (\widehat{VMO})= \frac{VO}{{VM}} =\frac{2\sqrt{6}cm}{4\sqrt{2}cm} =\frac{\sqrt{3}}{2}   \Rightarrow m((\widehat{VMO})= 60^\circ)  \Rightarrow m((\widehat{VMA})= 60^\circ).

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate „Reguli de Calcul cu puteri”

clasa a VI-aDragul meu părinte, în lecţia anterioară „Reguli de calcul cu puteri” am vorbit despre noţiunile pe care trebuie sa le reţină copilul tău la această lecţie.

In acest articol, vreau să îţi prezint câteva exemple de exerciţii cu un grad de dificultate diferit, explicate pas cu pas, pentru a te ajuta să-i explici şcolarului tău modul în care trebuiesc abordate exerciţiile de la această lecţie.

(mai mult…)

  • Exerciţiul 1:  Calculaţi:
  •  15^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

Dragul meu părinte, observăm că în acest exerciţiu avem operaţii de ridicare la putere care sunt operaţii de ordin III, operaţii de împărţire a numerelor naturale care sunt operaţii de ordinul II şi operaţia de scădere care este o operaţie de ordinul I.

Comform ordinii efectuarii operaţiilor numerelor naturale, mai întâi efectuăm operaţiile de ordinul III (ridicarea la putere), apoi operaţiile de ordinul II (împărţirea), iar la urmă efectuăm operaţiile de ordinul I (scăderea).

Pentru că avem ridicare la putere cu un exponent mare( şi ar dura mult timp) aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a simplifica rezolvarea exerciţiului, după cum urmează:

Astfel obţinem:

(5\cdot3) ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

5^{38}\cdot3 ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

1\cdot3 ^{38} - (3^{19})^{2}=

"1\cdot3

3 ^{38} - 3^{38}=0

Exerciţiul 2:  Calculaţi: a=(b-c) ^{2011}dacă :                                  b=[(2 ^{3})^{2}-1954^{0}] : 3^{2^{1^{7}}}-(4^{1^{2^{3}}}-1^{4^{3^{2}}})

c=32\cdot7 ^{5}-14^{5}+3<br /><br />

Rezolvare:

Mai întâi aducem la o formă mai simplă pe „b” şi pe „c”.

Avem :  1954 ^{0}=1

deoarece  ştim ca orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Deasemenea ştim că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1

Astfel obţinem:         b=(2 ^{3\cdot2}-1) : </p> <p>3 ^{2^{1}}-( </p> <p>4 ^{1^{8}}-1 ^{4^{9}}</p> <p>)

                                b=(2 ^{6}-1) : </p> <p>3 ^{2}-( </p> <p>4 ^{1}-1</p> <p>)

                               b=(64-1) : 9 - 3

                              b=63 : 9 - 3<br />

                              "b=

                              b=4<br />

                             c=32\cdot7 ^{5}-14 ^{5}+3

                             c=32\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                            c=2^{5}\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                           c=(2\cdot7) ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                           c=0+3

                           c=3

Calculăm numărul „a”:       a=(4-3) ^{2011}

                                          a=1 ^{2011}

                                          a=1

  • Exerciţiul 3:
  • Determinaţi numărul natural “n” pentru care sunt adevărate egalităţile:
  • "7

 

Dragul meu părinte, observăm ca in acest exerciţiu avem suma lui Gauss.

"11+12+13+..............+30=<br

"(11+30)+(12+29)+..............=<br

Avem 20 termeni grupati in 10 paranteze, iar suma fiecarei paranteze este egală cu 41.

"41+41+............+41=<br

(de 10 ori)

"10\cdot41<br

Astfel obţinem: 7 ^{10\cdot41}=7^{n\cdot3}\cdot7^{2}

7 ^{410}=7^{3n+2}   \Rightarrow410={3n+2}  /(-2)

410-2 =3n+2-2

408 =3n /: 3

408 : 3 =3n : 3

136 =n

  • Exerciţiul 4:
  • Demonstraţi că pentru orice număr natural “n” este adevărată relaţia:
  • 15 / A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

Pentru a demonstra că 15 divide numărul A trebuie să demonstrăm că numărul A este un multiplu de 15. Să aducem numărul A la o formă mai simplă.

 A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

Pentru început îl descompunem pe 72 in factori primi şi obţinem:

 A= (2 ^{3}\cdot3 ^{2}) ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri: "(a

A=2 ^{3(n+1)}\cdot3 ^{2(n+1)}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

A=2 ^{3n+3}\cdot3 ^{2n+2}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri:  a ^{m+n}=a ^{m}\cdot a ^{n}

A=2 ^{3n}\cdot2 ^{3}\cdot3 ^{2n}\cdot3 ^{2}+3 ^{2n}\cdot3 ^{1}\cdot2 ^{3n}\cdot2 ^{2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

La următorul pas dăm factor comun pe: 2 ^{3n}\cdot 3 ^{2n}

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(2 ^{3}\cdot3 ^{2}+3 \cdot2 ^{2}+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(8\cdot9+3 \cdot4+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(72+12+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}\cdot90<br />

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

REGULI DE CALCUL CU PUTERI

clasa a VI-aDragul meu părinte, copilul tău a învăţat prima oară această lecţie: „ Reguli de calcul cu puteri” în anul anterior, în clasa a V-a.

În acest an, în clasa a VI-a această lecţie este reamintită, deoarece noţiunile învăţate în această lecţie îi sunt utile copilului tău la următoarea lecţie: „ Criterii de diviozibilitate”.

(mai mult…)

Dar să vedem, dragul meu părinte, ce ar trebui să reţină copilul tău la această lecţie: „Reguli de calcul cu puteri”:

  • Definiţie:

    Fie „a” şi „n” , două numere naturale, cu n ≥ 2.Produsul a „n” factori egali cu „a” se numeşte puterea a n-a a numărului „a” şi se notează :

  • Se scrie:      a^{n}

  • Se citeşte: „ a la puterea n”.

  • a” se numeşte bază.

  • n” se numeşte exponent.

  • Exemplu:

                    a · a = a²

a · a · a= a³

a · a· a· …………….· a =   a^{n}

  • Excepţie:   a^{1}= a şi  a^{0} = 1
  • Orice număr la puterea 1 este egal cu el însuşi.
  • Orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Dar să vedem, dragul meu părinte, care sunt regulile cu puteri:

  • Înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază:

  •  a^{m}\cdot a ^{n}=a^{m+n}
  • – se scrie baza şi se adună exponenţii

  • Împărţirea puterilor cu aceeaşi bază:

  •  a^{m}\div a ^{n}=a^{m-n}
  • se scrie baza şi se scad exponenţii
  • Puterea unei puteri:

  • <br /><br /><br /><br /> (a^{m}) ^{n}=a^{m\cdot n}
  • -se scrie baza şi se înmulţesc exponenţii
  • Puterea unui produs:

  • <br /><br /><br /><br /> (a\cdot b) ^{n}=a^{n}\cdot b^{n}
  • Puterea unui cât:

  •  (a\div b) ^{n}=a^{n}\div b^{n}

Dragul meu părinte, la această lecţie, copilul tău trebuie să reţină şi prioritatea pe care o are ridicarea la putere în calcul.

  • Ridicarea la putere este o înmulţire repetată.

  • Exponentul arată de câte ori se repetă produsul prin care se calculează puterea.

  • Ridicarea la putere este o operaţie de ordinul III.

  • Dacă într-un exerciţiu nu există paranteze, atunci se efectuează întâi redicările la putere, apoi înmulţirile şi împărţirile, iar la final, adunările li scăderile.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te invit alături de mine în Clubul de Matematică “Math More Easy” sau accesează link-ul de mai jos: http://mathmoreeasy.ro/exercitii-rezolvate-la-reguli-de-calcul-cu-puteri/

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Exerciții rezolvate la Divizor. Multiplu

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, în articolul anterior am vorbit despre „Divizor. Multiplu”.

Iată şi câteva aplicaţii la lecţia „Divizor. Multiplu”, exerciţii cu grad diferit de dificultate, explicate pas cu pas, să te ajute să i le explici copilului tău.

(mai mult…)

  • EXERCIŢIUL 1:
  • Dacă „a” şi „b” sunt numere naturale şi x = 3· a + 6 · b arătaţi că x este multiplu de 3.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „x” ca un multiplu de 3.

  • x = 3 · a + 6 · b 
  • x = 3·( a + 2 · b)
  • x 3
  • EXERCIŢIUL 2:
  • Arătaţi că numărul „m + n” este divizibil cu 12, unde

m = 2 + 4 + 6 + ……. + 100, iar n = 11· (2 + 4 + 6 + ……. + 100).

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „m+n” ca un multiplu de 12. Dar, ca să-l scrie pe „m + n” ca un produs de numere dintre care un număr să fie 12, copilul tău trebuie să îl calculeze mai întâi pe „m” şi pe „n”.

Dragul meu părinte, observăm va „m” şi „n” sunt reprezentate de două numere scrise cu ajutorul sumei lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100.

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să ştie că între numărul 1 şi 100 sunt 100 de termeni dintre care 50 de termeni sunt numere pare şi 50 de termeni sunt numere impare.

  • m = 2 + 4 + 6 + ……. + 100   (m are 50 termeni)
  • Pentru a calcula Suma lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100 scriem astfel:
  • m = 2 + 4 + 6 + ……. 96+98+ 100.
  • Observăm că dacă adunăm:
  • 2 + 100 = 102.
  • 4 + 98 = 102.
  • 6 + 96 = 102.
  • …………………….
  • După care, dragul meu părinte, copilul tău va trebui să grupeze termenii 2 câte 2 astfel: primul termen cu ultimul termen, al doilea termen cu penultimul şi aşa mai departe.
  • m = (2 + 100) + (4+ 96)+(6+98)+…………….      .   (“m” are 25 paranteze)
  • Obţinem astfel 25 de paranteze, iar rezultatul fiecărei paranteze este 102.
  • Putem scrie:
  • m = 25 · 102
  • Efectuând înmulţirea obţinem: m = 2550.
  • Analog îl calculăm şi pe „n” .
  • Observăm dragul meu părinte ca n = 11· (2 + 4 + 6 + ……. + 100), adică
  • n = 11· m
  • n = 11· 2550
  • n = 28 050
  • Dragul meu părinte, calculând „m + n” obţinem:
  • m + n = 2550+28050 = 30 600
  • Dragul meu părinte, la începutul rezolvării acestui exerciţiu am spus că pentru a demonstra că m+n este divizibil cu 12, copilul tău trebuie să scrie numărul „m + n” ca un produs de două nu numere dintre care unul dintre numere să fie 12.
  • În cazul acestui exerciţiu, copilul tău trebuie să-l scrie pe 30 600 ca un produs de două numere dintre care unul trebuie să fie 12.
  • Păi să vedem, dragul meu părinte, se împarte exact 30 600 la 12?
  • 30 600 : 12 = ?
  • 30 600 : 12 = 2550
  • 30 600 = 12 · 2550
  • 30 600 12
  • EXERCIŢIUL 3:
  • Scrieţi toţi multiplii lui 7 cuprinşi între 15 şi 65.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să gasească toate numerele cuprinse între 15 şi 65 care se împart exact la 7.

Stim că:

  • 2 · 7 = 14 (dar 14 este mai mic decât 15 deci nu este bun).
  • 3· 7 = 21 ( 15 < 21 < 65)( 21 este un număr bun)
  • 4· 7 = 28 ( 15 < 28 < 65)( 28 este un număr bun)
  • 5· 7 = 35 ( 15 < 35 < 65)( 35 este un număr bun)
  • 6· 7 = 42 ( 15 < 42 < 65)( 42 este un număr bun)
  • 7· 7 = 49 ( 15 < 49 < 65)( 49 este un număr bun)
  • 8· 7 = 56 ( 15 < 56 < 65)( 56 este un număr bun)
  • 9· 7 = 62 ( 15 < 63 < 65)( 63 este un număr bun)
  • 10· 7 = 70 ( 15 < 65 < 70) (70 nu este un număr bun).
  • În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:
  • S = { 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}.
  • EXERCIŢIUL 4:
  • Un număr natural nenul „a” are printre divizorii săi numerele 3, 5 şi 7. Scrieţi încă 4 divizori diferiţi de aceştia ai numărului „a”.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stie că un număr natural nenul „a” care se divide în acelaşi timp cu numerele „b”, „c” şi „d” , atunci se divide şi cu produsul acestor numere.

În cazul nostru numărul „a” se divide cu numerele: 3, 5 şi 7 că numărul „a” se divide şi cu numărul 3 · 7 = 21, 3 · 5 = 15, 5· 7 = 35, 3 · 5 · 7 = 105.

În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:

S = { 15, 21, 35, 105}.

  • EXERCIŢIUL 5:
  • Dacă a / b şi b /c , atunci arătaţi că a /c.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău va lucra pe caz general ( nu stie ce valori au numerele „a”, „b” şi „c”). Aplicand definiţia divizibilităţii obţinem:

  • a / b     atunci “b” se împarte exact la „a”
  • b = a · m , m ϵ N   (relaţia 1)
  • b /c       atunci  “c” se împarte exact la „b”
  • c = b · n , n ϵ N     (relaţia  2 )

Dacă înlocuim în cea de-a doua relaţie pe numărul „b” obţinut în relaţia 1, obţinem:

  • c = a · (m· n)

În concluzie , obţinem că a /c.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

Exerciții rezolvate la Ordinea Efectuarii Operațiilor

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, în postarea anterioară am vorbit despre „Ordinea Efectuării Operaţiilor”.

Ţi-am reamintit care sunt operaţiile de gradul I, operaţiile de gradul al II-lea şi am vorbit despre ordinea efectuării operaţiilor într-un exerciţiu în care apar parantezele rotunde, pătrate şi acoladele.

Hai să vedem, dragul meu părinte şi câteva exerciţii la această lecţie.

Voi aborda câteva exemple de exerciţii cu grad diferit de dificultate şi pe care le voi explica pas cu pas, astfel încât ţie, dragul meu părinte, îţi va fii foarte uşor să le explici copilului tău.

(mai mult…)

  • Exerciţiul 1: Să se efectueze:

                        1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

Rezolvare:

  • Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

    1320 +[48 · 23 +(340 · 1160 ·5) – 235 ·7]=

     1320 + [ 48 · 23 + (3740300) – 235 ·7]=

  • Pasul doi:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

    1320 + [ 48 · 23 + (3740300) – 235 ·7]=

               1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

  • Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă.

    1320 + ( 48 · 23 + 3440235 ·7)=

    1320 + ( 1104 + 34401645)=

  • Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

    1320 + ( 1104 + 34401645)=

    1320 + ( 45441645)=

  • Pasul cinci:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

               1320 + ( 45441645)=

              1320 + 2899=

  • Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

    1320 + 2899=

  • 4219   Răspuns corect

  • Exerciţiul 2: Să se efectueze:

                                   2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 53 · 230)]}=

Rezolvare:

  • Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

    2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 53 · 230)]}=

     2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400690)]}=

  • Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă, în timp ce acolada va devenii paranteză pătrată.

    2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400690)]}=

               2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

  • Pasul trei: efectuăm operatiile de împărţire şi înmulţire din paranteza rotundă.

    2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

     2307 + [3702 + ( 90+ 2130)]=

  • Pasul patru: efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată va devenii paranteză rotundă.

    2307 + [3702 + ( 90 + 2130)]=

     2307 + (3702 + 2220)=

  • Pasul cinci: efectuăm operatia adunare din paranteza rotundă.

    2307 + (3702 + 2220)=

     2307 + 5922=

  • Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

    2307 + 5922=

  • 8229   Răspuns corect

  • Exerciţiul 3: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea        (320 + x) · 15 = 5100

Rezolvare:

  • Primul pas: împărţim întreaga egalitate la 15.

    (320 + x) · 15 = 5100 / : 15

    (320 + x) · 15 : 15= 5100 :15

     (320 + x ) · 1= 340

  • Pasul doi: efectuăm operatia de înmulţire din partea stângă a egalităţii si scăpăm de paranteza rotundă

                (320 + x ) · 1= 340

                 320 + x= 340

  • Pasul trei :scădem numărul natural 320 din ambele părţi ale egalităţii.

                320 + x= 340 / (- 320 )

                320 + x – 320= 340- 320

  • Pasul patru: efectuăm operatiiile de scădere din ambele părţi ale egalităţii.

    320 + x – 320= 340- 320

  •  x = 20

            x = 20    Răspuns corect

  • Exerciţiul 4: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea:
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Acest gen de exerciţiu se poate rezolva în 2 moduri.

  • Rezolvare primul mod:
  • Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, trebuie să începem rezolvarea exerciţiului de la coadă la cap, astfel.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25
  • Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150
  • Pasul doi: împărţim întreaga egalitate la 10 .

  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150 / :10
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] ·10 : 10= 150 :10
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15
  • Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.
  • [15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15
  • Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15 / (+120)
  • 15 · (10 · x – 11 ) – 120 + 120 = 15 + 120
  • 15 · (10 · x – 11 ) = 135

  • Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.
  • 15 · (10 · x – 11 ) = 135 / :15
  • 15 · (10 · x – 11 ) : 15 = 135 : 15
  • 1 · (10 · x – 11 ) = 9

  • Pasul şase: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza rotundă.
  • 10 · x – 11 = 9

  • Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.
  • 10 · x – 11 = 9 / (+11)
  • 10 · x – 11 + 11= 9 + 11
  • 10 · x = 20

  • Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

  • 10 · x = 20 / :10
  • 10 · x :10 = 20 :10
  • x = 2
  •  x = 2 Răspuns corect

Rezolvare al doilea mod:

  • Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, notăm paranteza (10 · x – 11 ) = a şi obţinem:[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25, după care rezolvăm ecuaţia în necunoscuta „a” astfel:
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25
  • Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)
  • [15 · a – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125
  • [15 · a – 120 ] · 10 = 150
  • Pasul doi:împărţim întreaga egalitate la 10 .

  • [15 · a – 120 ] · 10 = 150 / :10
  • [15 · a – 120 ] ·10 : 10= 150 :10
  • [15 · a – 120 ] · 1 = 15
  • Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.
  • [15 · a – 120 ] · 1 = 15
  • 15 · a – 120 = 15
  • Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.
  • 15 · a – 120 = 15 / (+120)
  • 15 · a– 120 + 120 = 15 + 120
  • 15 · a = 135

  • Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.
  • 15 · a = 135 / :15
  • 15 · a : 15 = 135 : 15
  • 1 · a = 9
  • a = 9

  • Pasul şase:revenim la notaţia (10 · x – 11 ) = a ştiind căa = 9 şi obţinem egalitatea:
  • 10 · x – 11 = 9

  • Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.
  • 10 · x – 11 = 9 / (+11)
  • 10 · x – 11 + 11= 9 + 11
  • 10 · x = 20

  • Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.
  • 10 · x = 20 / :10
  • 10 · x :10 = 20 :10
  • x = 2
  •  x = 2 Răspuns corect

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Ordinea Efectuării Operaţiilor

Clasa a V-aDragul meu părinte, noţiunile de la această lecţie nu îi sunt străine copilului tău. O parte din noţiunile de la această lecţie le-a învăţat şi în anul anterior de studiu, însă acum sunt completate şi de noţiuni noi. Dar să vedem, dragul meu părinte, ce trebuie să reţină copilul tău la această lecţie:

(mai mult…)

  • Adunarea şi Scăderea Numerelor Naturale sunt operaţii de de ordinul I

  • Înmulţirea este o adunare repetată.
  • Exemplu: 3 x 4 = 4 + 4 +4   (4 se adună de 3 ori)
  • Împărţirea este o scădere repetată.
  • Exemplu: 12 : 4 = 12 – 4 – 4 – 4 (4 se scade de 3 ori)
  • Înmulţirea şi Împărţirea sunt operaţii de de ordinul II.

  • Într-un exerciţiu fără paranteze, se efectuează întâi înmulţirile şi împărţirile , în ordinea în care sunt scrise; apoi adunările şi scăderile, în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu:   5 x 12 + 7 – 12 : 6 = 60 + 7 – 2 = 67 – 2 = 65

 

Cum utilizăm Parantezele?

Dragul meu părinte, copilul tău a învăţat în clasele anterioare ordinea efectuării operaţiilor, deci nu este pentru prima oară când intră în contact cu aceste informaţii.

Dacă avem de efectuat următorul calcul:

220- (2 · 3 + 7 · 2)

  • Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

  • Exemplu :

    220 – (2 · 3 + 7 · 2) = 220 – (6 +14) = 220 – 20 = 200

 

  • Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde si paranteze pătrate atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

 

  • Exemplu : 145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

  • Primul pas: efectuăm operatia de înmultire din paranteza rotundă

    145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

    145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

  • Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

    145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

               145 + 47 · (215 · 110 – 83 · 117 ) =

  • Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă,

               145 + 47 · (215 · 11083 · 117 ) =

               145 + 47 · (236509711 ) =

  • Pasul patru:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

              145 + 47 · (236509711 ) =

               145 + 47 · 13939 =

  • Pasul cinci: efectuăm operatia de înmulţire.

               145 + 47 · 13939 =

               145 + 655133 =

  • Pasul şase:efectuămoperatia de adunare.

              145 + 655133 =

  • 655278 Răspuns corect

  • Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, paranteze pătrate şi acolade atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde, după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, apoi operaţiile din acolade, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

    Exemplu :

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

  • Primul pas: efectuăm operatia de împărţire din paranteza rotundă

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

  • Pasul doi:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar acolada va deveni paranteză pătrată in timp ce paranteza patrată va devinii paranteza rotundă.

    {123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

    [123 · 35 + 10 · (47 + 10 · 444) – 2785] · 10=

  • Pasul trei:efectuăm operatia de înmulţire din paranteza rotundă.

    [123 · 35 + 10 · (47 + 10· 444) – 2785] · 10=

    [123 · 35 + 10 · (47 + 4440) – 2785] · 10=

  • Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă , iar paranteza pătrată se va transforma în paranteză rotundă.

    [123 · 35 + 10 · (47 + 4440 ) – 2785] · 10=

    (123 · 35 + 10 · 4487 – 2785)· 10=

  • Pasul cinci:efectuăm operaţiile de înmulţire din paranteza rotundă.

    (123 · 35+ 10 · 4487– 2785)· 10=

    (4305 + 44870 – 2785)· 10=

  • Pasul şase:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

    (4305 + 44870 – 2785)· 10=

    (49175 – 2785)· 10=

  • Pasul şapte:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

    (49175 – 2785)· 10=

                 46390 · 10=

  • Pasul opt:efectuăm operatia de înmulţire.

               46390· 10=

  •     463900   Răspuns corect.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te invit alături de mine în Clubul de Matematică “Math More Easy” sau accesează link-ul de mai jos: http://mathmoreeasy.ro/exercitii-rezolvate-la-ordinea-efectuarii-operatiilor/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

MULŢIMI DE NUMERE

Dragul meu părinte, această lecţie „Mulţimi de numere” este o lecţie recapitulativă.

Copilul tău a învăţat în clasele anterioare noţiunile folosite la această lecţie, însă este necesară recapitularea lor deoarece pe parcursul clasei a VIII-a vor fi des utilizate. (mai mult…)

La această lecţie copilul tău îşi va reaminti că:

  • Mulţimea „Numerelor Întregi” se notează cu Z şi

  • Z={-3,-2,-1,0,1,2,3,…….,…}.

  • Dacă adunăm, scădem sau înmulţim două sau mai multe numere întregi obţinem tot un număr întreg.

  •   \subseteq Z

Dragul meu părinte, tot la această lecţie copilul tau trebuie să-şi amintească şi „Relaţia de Divizibilitate în Z”.

Def: Un număr întreg „a” se numeşte „divizor” al unui număr întreg „b”, dacă există un număr întreg „c” astfel încât: b = a·c.

 

  •  Notăm:               Citim:
  • a | b”                  „a” divide „b” sau „a” este un divizor al lui „b”

  • b ⁞ a”                  „b” se divide cu „a” sau „b” este multiplu de „a”.

  • a | b”                  „a” nu divide pe „b” sau

                                       „b” nu este multiplu de „a”.

Pentru numere întregi nenule, relaţia de divizibilitate se poate exprima cu ajutorul relaţiei de împărţire astfel:

  • Dacă  a·b = c , atunci c : b=a şi c : a=b .

Însă, ce se întâmplă dacă deîmpărţitul nu este multiplu al împărţitorului?

Observăm în acest caz că rezultatul nu mai este un număr întreg.

Dragul meu părinte, copilul tău a învăţat în anii anteriori şi fracţiile, pe care este necesar să le amintim în această lecţie.

  • Mulţimea numerelor raţionale se notează cu Q şi

  • Q={x/ x=  \frac{m}{n}, m,  \in N }

  • Numerele raţionale se pot scrie în două forme echivalente: cu ajutorul liniei de fracţie (reprezentare fracţionară   \frac{m}{n} ) sau cu ajutorul virgulei (reprezentare zecimală m,n)

  •   \subseteq Q

  •   \subseteq   \subseteq Q

Dragul meu părinte, copilul tău a mai învăţat în anii anteriori şi „Numerele Iraţionale”.

  • Numerele Iraţionale nu pot fi reprezentate de fracţii în care numărătorul şi numitorul sunt numere întregi.

  • In scrierea cu virgulă, numerele iraţionale au o infinitate de zecimale care nu se repetă periodic.

  • Numerele raţionale împreună cu cele iraţionale formează „Mulţimea Numerelor Reale”.

  • Mulţimea Numerelor Reale” se notează cu R.

  • Suma, diferenţa şi produsul a două sau mai multe numere naturale sunt tot numere reale.

  • Rezultatul împărţirii a două sau mai multe numere reale nenule este tot un număr real.

  • N   \subseteq Z   \subseteq Q   \subseteq R.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com    mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

ÎMPĂRŢIREA A DOUĂ SAU MAI MULTE NUMERE NATURALE

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, la lecţia

„Împărţirea a două sau mai multe numere naturale” copilul tău trebuie să reţină Teorema Împărţirii cu Rest. De asemenea, la această lecţie, se vor folosi informaţii de la lecţia “Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”. De aceea, dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stapănească foarte bine noţiunile studiate la lectia: “Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”  pentru a putea să înţeleagă lecţia “Împărţirea a două sau mai multe numere naturale”.

(mai mult…)

  • Teorema Împărţirii cu Rest:

    Oricare două numere naturale „a” şi „b”, b0, există numerele naturale q şi r, unic determinate, astfel încât:

    • a = b· q + r             şi   r<b ,
  • unde „q” este câtul şi „r” este restul împărţirii lui „a” la „b”.

  • Dacă restul împărţirii lui „a” la „b”este 0 (r=0)spunem că „a” se împarte exact la „b”şi notăm :

a : b = q, 

unde “a” şi “b” sunt factorii câtului, iar “q” este câtul.

  • a” se numeşte deîmpărţit;

  • b” se numeşte împărţitor;

  • În acest caz, relaţiile: a=b·q şi a:q=b sunt echivalente.

De asemenea, este esenţial să mai reţină următoarele informaţii:

  • Împărţirea la 0: nu este definită (sau mai bine spus nu are sens).

a : 0= nu are sens

  • Oricare ar fi un număr natural b, b0, atunci:

0 : b = 0

  • Oricare ar fi numerele naturale „a”, „b” şi „c”, c0, dacă a şi b se împart exact la c, atunci:

 (a+b):c = a:c +b:c

  • iar dacă diferenta are sens (dacă a este mai mare decat b), atunci:

(a-b):c = a:c -b:c

  • Împărţirea nu este asociativă, nu este comuntativă şi nu are element neutru.

  • Ca şi înmulţirea, împărţirea este o operaţie de ordinul doi.

Exemplu:

Să împărţim numarul natural 31401 la numarul natural 250:impartire numere naturale

  • 31401=250 ·125 +151

Răspunsul la împărţirea lui 31401 la 250 obţinem câtul 125 şi restul 151.

  • Dragul meu părinte, iată şi câteva greşeli făcute frecvent de elevi la această lecţie:
  • Cea mai mare greşeală la această lecţie este să împartă un număr natural la 0, împărţire care nu are sens.

    • a : 0= nu are sens
  • O altă greşeală pe care o fac frecvent elevii la această lecţie este să considere ca împărţirea este asociatiativă şi comutativă

  • Altă greşeală des întâlnită la această lecţie este să îl considere pe 0 element neutru.

    • b : 0 = b este greşit

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.