Posts Tagged ‘capacitate’

Evaluare naţională 2016. Sesiunea specială iunie 2016

EvaluareDragul meu părinte, bine te-am regăsit.
Nu am mai scris nimic de mult timp şi pentru că se apropie cu paşi repezi examenul de capacitate pentru absolvenţii clasei a VIII-a m-am gândit în articolul de azi să rezolvăm exerciţiile date la sesiunea specială pentru olimpici care s-a desfăşurat săptămâna trecută.
Voi rezolva şi explica fiecare exerciţiu pas cu pas, menţionând şi punctajul aferent fiecarui exerciţiu conform baremului de corectare, astfel ca ţie să-ţi fie uşor să-i explici copilului tău cum să rezolve şi să trateze fiecare exerciţiu pentru a obţine un punctaj cât mai mare la examenul de capacitate care va avea loc pe data de 29 iunie 2016. (more…)

Subiectul 1

Pe foaia de examen trebuie completat doar răspunsul corect în spaţiul punctat.

  • 1. Rezultatul calculului 10×5 – 10 este egal cu …40 .

Rezolvare: 10×5 – 10 = 50-10 = 40

  • 2. Șase cărți de acelaşi fel costă în total 24 de lei. Trei dintre aceste cărți costă în total ..12 lei.

Rezolvare: Această problemă poate fi rezolvată in mai multe moduri:
Metoda I. 24 : 6=4 (Lei costă o carte)
3 x 4=12 (Lei costă 3 cărti)
Metoda II. Folosind Regula de trei simplă:
6 cărţi……………………24 lei
3 cărţi……………………x lei

x = \frac{(3\cdot24)}{6}=\frac{72}{6}=12 lei

  • 3. Cel mai mic număr natural care aparţine intervalului [1, 4] este egal cu …1 .

Rezolvare: Pentru că avem un interval închis (paranteza este pătrată) putem lua şi valoarea 1.

  • 4. Dreptunghiul ABCD are AB = 5 cm și BC = 3 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu …15  cm^{2}

Rezolvare:  Ştim că aria dreptunghiului este produsul dintre lungime şi lăţime.
A=L x l = 5 cm x 3 cm= 15  cm^{2}

  • 5. În Figura 1 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’. Măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA’ este egală cu ..90 ° .

sub 1 ex 5

Rezolvare: Ştim că A’ADD’ este dreptunghi deci măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA’ este egală cu măsura (<A’AD)= 90 °.

  • 6. În diagrama de mai jos este prezentată repartiţia după vârstă a elevilor unui club sportiv.Numărul elevilor acestui club sportiv care au vârsta de 7 ani este egal cu …120.

sub 1 ex 6

  • Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte.
  • Nu se acordă punctaje intermediare.

SUBIECTUL al II-lea 

  • Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

  • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

  •  Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Dragul meu părinte, acest subiect are in total 30 puncte. Spre deosebire de subiectul anterior, la acest subiect nu sunt punctate doar raspunsurile ci şi rezolvările şi formulele.

  • 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH .

ex 1 sub 2

Pentru desenarea corectă a cubului se obţin 4 puncte, iar notarea corectă a cubului se punctează cu 1 punct.

  • 2. Știind că \frac{a}{b}=4 , unde a și b sunt numere reale nenule, arătați că

 \frac{(3a-2b)}{b}=10 .

Rezolvare: Şi această problemă are 2 metode de rezolvare:
Metoda I.  Scriem 4 ca fracţie cu numitorul 1 şi îl scoatem pe “a” în funcţie de “b”.
\frac{a}{b}=\frac{4}{1}\Rightarrow a=4b

\frac{(3a-2b)}{b}=10 .
\frac{(3\cdot4b-2b)}{b}=10

\frac{(12b-2b)}{b}=10.
\frac{10b}{b}=10

10=10 (A)
Metoda II. Scoatem factor comun forţat pe b din a doua ecuaţie.

\frac{b(3\cdot\frac{a}{b}-2)}{b}=10

b se simplifică şi obţinem:

3\cdot\frac{a}{b}-2=10.

(3\cdot4\cdot2)=10

(12 - 2)=10.

10=10 (A)
Pentru efectuarea substituţiei sau a scoaterii factorului comun se obţin 3 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 2 puncte.

  • 3. Preţul unui obiect este de 360 lei. După o reducere cu p% din preţul obiectului, noul preț va fi de 324 lei. Determinați numărul p .

Rezolvare:
Aflam întâi suma cu care s-a ieftinit produsul.
360 lei - 324 lei = 36 lei..

\frac{p}{100}\cdot360 lei = 36 lei.

p=\frac{36\cdot100}{360}=\frac{3600}{360}=10

p = 10 %.

Pentru aflarea sumei cu care s-a ieftinit produsul se obţin 2 puncte, iar pentru scrierea corecta a ecuaţiei lui p si obţinerea rezultatului corect se punctează cu 3 puncte.

  • 4. Se consideră funcţia f :ℝ →ℝ, f (x) = x – 4 .

a) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de coordonate xOy .
b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel.
Rezolvare:
Calculăm intersecţia funcţiei cu cele 2 axe Ox şi Oy după care trasăm graficul funcţiei.

\cap Ox: y = 0 \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow x -4 = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow M(4 ; 0)
\cap Oy : x = 0 \Rightarrow f(0) = 0 - 4 \Rightarrow f(0) = - 4 \Rightarrow N(0 ; - 4)

grafic functie

Pentru reprezentarea fiecarui punct M şi N care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru trasarea graficului funcţiei f(x) se punctează cu 1 punct.

  • b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel.

Rezolvare: Segmentele OM = 4 u  şi ON = 4 u    → OM ≡ ON → triunghiul MON isoscel.

Pentru determinarea dimensiunilor fiecarui segment OM şi ON care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru demonstrarea triunghiului isoscel se punctează cu 1 punct.

  • 5. Se consideră expresia :

E(x)=(\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}) : \frac{5}{x+2} , unde x este număr real,
x ≠ -2 şi x ≠ 3. Arătați că E(x) = 2 , pentru orice x număr real, x ≠ -2 şi x ≠ 3.

Rezolvare: Pentru a rezolva expresia trebuie mai întâi să aducem la acelaşi numitor în paranteză şi să rezolvăm paranteza aplicând formulele de calcul prescurtat :

 (a+b)^{2}= a^{2}+2ab+ b^{2}

E(x)=(\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}) : \frac{5}{x+2}
E(x)=[\frac{(x+2)^2}{x-3}-\frac{(x-3)^2}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}] : \frac{5}{x+2}E(x)=(\frac{x^2+4x+4-x^2+6x-9-25}{(x+2)(x-3)}): \frac{5}{x+2}

E(x)=(\frac{10x-30}{(x+2)(x-3)})\cdot \frac{x+2}{5}

E(x)=\frac{10(x-3)}{(x+2)(x-3)}\cdot \frac{x+2}{5}

Simplificăm termenii asemenea şi obţinem:

E(x)=\frac{10}{5}

E(x)=2

Pentru aducerea la acelaşi numitor şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat se obţin 3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect al expresiei lui E(x) se punctează cu 2 puncte.

SUBIECTUL al III-lea

Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. (30 puncte)

  • 1. Figura 2 este schiţa unui teren. ABCD și BEFC sunt paralelograme cu AD=60m, AB = BE = 80m și punctele A, B și E coliniare. Se consideră punctele M și N pe laturile BE, respectiv CD, astfel încât MN \perp BC și BM = CN = 60 m .

Figura 2a) Arătați că perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu 280 m.
b) Demonstrați că unghiul DAB are măsura de 60° .
c) Demonstrați că aria suprafeței CMEF este mai mică decât 2600 m2 .
Rezolvare:

a) Notăm cu L_{{mare}} =AB=DC laturile mari ale paralelogramului şi cu L_{{mica}}= AD=BC

laturile mici ale paralelogramului.

 P_{ABCD} = 2(L_{mica}+L_{mare}) = 2( AB + AD) = 2 (80 m + 60m) = 2\cdot140m = 280 m.

Pentru scrierea şi  aplicarea formulei perimetrului dreptunghiului se obţin 2 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect al perimetrului se punctează cu 3 puncte.

 b) Ştim din datele problemei ca BM \equiv NC şi ca BM // NC deoarece ABCD şi BEFC sunt paralelograme\Rightarrow BMNC paralelogram şi pentru ca BC \perp MN \Rightarrow BMNC romb \Rightarrow BN≡CN=60m.

Dar ABCD paralelogram \Rightarrow  AD \equiv BC \Rightarrow BC=60 m.

În concluzie am demonstrat ca BN\equiv CN\equiv BC   \Rightarrow\Delta BMC echilateral \Rightarrow m(\lt BCN)= 60^{\circ}.

Dar ABCD paralelogram \Rightarrowm (< BCN)\equiv m (<DAB) \Rightarrow m(\lt DAB)= 60^{\circ}.

Pentru demonstrarea că   BMNC romb se obţin 2 puncte, iar pentru aflarea măsurii  unghiului m(\lt DAB)= 60^{\circ} se punctează cu 3 puncte.

c) Observăm ca MEFC este trapez, iar pentru a calcula Aria trapezului avem nevoie de înălţimea trapezului.

A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}

În cazul nostru B=CF, b=ME iar  h= EP. Pentru a afla dimensiunea lui EP aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ∆ EPF.

Ştim  AD // EF \Rightarrow EF = 60 m
\Delta EPF (< P = 90^{\circ}). Dar < EFP = 60^{\circ} \Rightarrow m( < PEF) = 30^{\circ} \Rightarrow PF = \frac{EF}{2}= \frac{60}{2}=30 m

\Delta EPF (< P = 90^{\circ} ) :  EF^{2}=EP ^{2} + PF ^{2}
 60^{2}=EP ^{2} + 30 ^{2}

3600=EP ^{2} + 900
EP ^{2} = 3600 – 900
EP ^{2} =2700
EP=\sqrt{2700}
EP=30\sqrt{3} m

A_{{CMEF}}=\frac{(ME+CF)\cdot EP}{2}

A_{{CMEF}}=\frac{(20+80)\cdot 30\sqrt{3} }{2}

A_{{CMEF}}=\frac{100\cdot 30\sqrt{3} }{2}

A_{{CMEF}}=1500\sqrt{3} m^2

1500\sqrt{3} \lt 2600
15\sqrt{3} \lt 26 | ^2

225 \cdot3 \lt 26^2

675 < 676

Pentru demonstrarea şi calcularea distanţei de la M la CF se obţin 2 puncte, iar pentru calcularea ariei  şi demonstrarea rezultatului corect   se punctează cu 3 puncte.

  • 2. În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată VABC , cu baza triunghiul ABC și AB =12m . Punctul M este mijlocul segmentului BC și VM = 6\sqrt{3} m , iar VO este înălțimea piramidei.piramida triunghiulara regulata

a) Arătați că aria laterală a piramidei VABC este egală cu 108\sqrt{3} m^2 .
b) Arătați că volumul piramidei VABC este egal cu 144\sqrt{2} m^3 .
c) Demonstrați că distanța de la mijlocul înălțimii VO la dreapta VA este mai mică decât 3m .

Rezolvare:

  • a) Pentru a afla aria laterală a piramidei regulate VABC aplicam formula:

A_{{l}}= \frac{P_{{b}}\cdot a_{{p}}}{2}
Pentru că este piramidă regulată triunghiul de la bază ABC este triunghi echilateral deci toate laturile triunghiului sunt egale cu 12.
Obţinem astfel: P_{{b}}=3\cdot l=3\cdot12=36 m, iar apotema piramidei ne-o spune problema

VM=6\sqrt{3}m.

A_{{l}}= \frac{P_{{b}}\cdot a_{{p}}}{2}= \frac{36\cdot 6\sqrt{3}}{2}=\frac{21 6\sqrt{3}}{2}=108\sqrt{3} m^2

Pentru scrierea formulei ariei laterale a piramidei triunghiulare regulate se obţin 2 puncte, iar pentru calcularea corectă a  rezultatului ariei se punctează cu 3 puncte.

  • b) Pentru a afla volumul piramidei regulate VABC aplicam formula:

V_{{p}}= \frac{A_{{b}}\cdot h_{{p}}}{3}
Pentru că este piramidă triunghiulară regulată aflăm aria triunghiului de la bază ABC cu ajutorul formulei:

A_{{b}}= \frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3} m^2
Pentru a afla volumul piramidei regulate VABC avem nevoie şi de dimensiunea înălţimei piramidei VO.
Pentru a calcula înălţimea piramidei VO avem nevoie de dimensiunea laturei OM care stim ca este egală cu 1/3 din AM.
AM este înălţime în triunghiul echilateral ABC şi pentru ai afla dimensiunea aplicăm formula :

AM=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} m

OM=\frac{1}{3}\cdot AM=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3} m=2\sqrt{3} m

Calculăm înălţimea VO aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM.
∆VOM(< O = 90^\circ ) :   VM^{{2}}=VO^2 +OM^2
(6\sqrt{3}) ^{{2}}=VO^2 +(2\sqrt{3}) ^{{2}}
VO^2 = 108-12
VO^2 = 96
VO^2 = \sqrt{96}

VO = 4\sqrt{6} m

V_{{p}}=\frac{A_{{b}}\cdot h_{{p}}}{3}=\frac{36\sqrt{3}m^2\cdot 4\sqrt{6}m}{3}=\frac{144\sqrt{18}m^3}{3}=\frac{144\cdot 3\sqrt{2}m^3}{3}=144\sqrt{2} m^3

Pentru aflarea dimensiunii înălţimii piramidei se obţin 2 puncte, iar pentru scrierea formulei volumului  piramidei triunghiulare regulate şi calcularea corectă a  volumului se punctează cu 3 puncte.

  • c)  Ştim că N mijlocul lui VO şi NP este distanţa de la N la VA → NP ⊥ VA (P ɛ VA) → că ∆VPN este asemenea cu ∆VOA conform criteriului de asemămare U.U obţinem următoarele rapoarte egale:

∆VPN ~ ∆VOA → \frac{VP}{{VO}}=\frac{VN}{{VA}}=\frac{NP}{{AO}}
Din aceste rapoarte egale putem să scoatem dimensiunea laturii NP.
Pentru a afla NP avem nevoie de dimensiunea muchiei VA care ştim că este egală cu muchia VB.
Aflăm VB din triunghiul dreptunghic VMB cu ajutorul teoremei lui Pitagora.
∆VMB (< M =  90^{\circ}) VB ^{2}= VM ^{2} + BM ^{2}

VB ^{2}= (6\sqrt{3}) ^{2} + 6 ^{2}
VB ^{2}= 108 + 36
VB ^{2}= 144

VB ^{2}=\sqrt{144} m

VB =12 m\Rightarrow VA=12 m

Pentru ca N este mijlocul lui VO → VN=\frac{VO}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6} m .

\frac{VN}{{VA}}=\frac{NP}{{AO}}\Rightarrow \frac{2\sqrt{6}}{{12}}=\frac{NP}{{4\sqrt{3}}} \Rightarrow NP=\frac{2\sqrt{6}\cdot4\sqrt{3} }{{12}} m=\frac{8\sqrt{18} }{{12}} m \Rightarrow

 \Rightarrow NP=\frac{24\sqrt{2}}{{12}} m \Rightarrow NP =2\sqrt{2} m

Dar noi trebuie să demonstrăm ca NP < 3m \Rightarrow2\sqrt{2} \lt 3 | ^{{2}}
8 < 9 (A)

Pentru identificarea corectă a rapoartelor lui Thales se obţin 2 puncte, iar calcularea corectă a  dimensiunii laturii NP şi demonstraţia ca  NP\lt 3 se punctează cu 3 puncte.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut pentru lucrare.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să treacă cu bine peste examenul de capacitate din acest an.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

Top 10 sfaturi despre cum îţi ajuţi copilul să depăşească frica de teză?

trust yourself

Dragul meu părinte, te salut cu drag după o scurtă perioadă în care nu am mai scris nimic.

De o săptămână am început pregătirile pentru teza semestrială la matematică, iar replica pe care am auzit-o de la copii cu care lucrez :” Am început tezele. Mor de frică”, m-a determinat să scriu un articol cu sfaturi pentru părinţii care vor să-şi ajute copii să depăşească teama de evaluarea  semestrială la matematică şi să obţină o notă bună.

De cele mai multe ori chiar părintele este un factor de stres pentru copilul care va susţine evaluarea semestrială la matematică.

(more…)

De aceea, prin acest articol încerc să trag un semnal de alarmă părinţilor, dar şi să îi ajut prin ai învăţa cum să procedeze astfel încât să-şi ajute micuţii scolari să gestioneze stresul tezelor şi al examenelor.De multe ori stresul tezelor şi al examenelor este principalul vinovat al notelor scăzute chiar dacă copilul este unul care depune eforturi foarte mari în a învăţa, care se străduieste să se ridice la un nivel forte ridicat.

De cele mai multe ori părinţii îmi spun:

„Nu îmi explic cum a luat nota asta mică, ştia totul foarte bine, l-am văzut cu ochii mei cât a învăţat!”

Iar eu le răspund:

„ Perfect adevărat, dar nu l-aţi văzut şi ce emoţii are? De ce nu l-aţi ajutat să depăşească frica de teză?”

Mulţi recunosc ori ca nu au observat frica copilului, ori că nu au luat în seamă că acestă teamă îi va infuenţa nota la evaluare, însă toţi rămân surprinşi când le spun că tu părinte drag poţi să îţi ajuţi copilul să depăsească stresul tezelor şi al examenelor.

  • Dragul meu părinte, hai să vedem cum se manifestă acest balaur invizibil numit stresul tezelor şi al examenelor.

De multe ori copii nu spun că le este frică de examene dar se vede din comportamentul lor : le transpiră palmele mai abundent, sunt palizi la faţă, au stari de leşin, transpiră mai mult decât in celelalte zile, au mâinile reci, acuză dureri de cap, stări de voma sau simt nevoia sa meargă la toaletă mai des, au impresia ca au uitat tot sau o parte din materia pe care au învătat-o, sunt ferm convinşi ca vor lua o notă mică, lipsa poftei de mâncare cu o zi două inainte de teză, lipsa somnului, coşmaruri ca sunt ironizaţi de colegi ca au luat o notă mică, iar lista poate continua….

Dar să vedem dragul meu părinte cum îl poţi ajuta să depăşească aceste stări negative.

  • Nu îl condiţiona asupra notei.

Aud adesea părinţi care spun: „ Dacă nu vine cu notă mare la teză, nu mai are ce căuta acasă” sau alte astfel de aberaţii. Chiar dacă va lua o notă mai mică decât cea pe care o aştepţi tu, tot copilul tău este.

  • Evită să scoţi în evidenţă efectele negative ale unui posibil esec

Cel mai probabil, copilul tău ştie deja că îi va iesi o medie mai mică dacă ratează evaluarea , iar acest lucru îl va influenţa negativ şi în viitor.

  • Nu îl lăsa să înveţe pănă la o oră târzie cu o seară înainte de ziua tezei.

Odihna este foarte importanta înaintea unei evaluări. În momentul în care creierul nu este suficient de odihnit, nu se oxigenează complet şi pot apărea momente de blank(stări în care nu îti mai aduci aminte).

  • Spune-i că este un om valoros indiferent de rezultat.

S-a demonstrat stiinţific că atitudinea este cheia succesului. Atunci când ai încredere în forţele proprii şi ştii că poţi depăşii singur un obstacol, nimic nu îţi va sta în cale. Spune-i copilului tău că ai încredere în el că va lua o notă mare la evaluare şi vei vedea rezultatul.

  • Interpretează tu rolul profesorului şi ascultă-l.

 

  • Ajută-l să îşi împartă materia pe care o are de învăţat pe mai multe zile.

Sfătuieşte-l să îsi împartă subiectele pe care le are de recapitulat lpe mai multe zile pentru a evita să recapituleze toate noţiunile în aceeaşi zi.

  • Pregăteşte-i un meniu alimentar uşor.
  • Supavegheaza-l şi asigură-te ca nu consumă prea multe alimente cu efect energizant gen Cola, Ciocolată,…
  • Cu o seară înainte de teză iesiţi la o plimbare în parc.

Oxigenarea creierului este esenţiala în buna funcţionare a acestuia. Şi unde ai putea obţine acest lucru dacă nu la o plimbare in natură, în parc. Astfel copilul tău se va relaxa , iar rezultatul se va vedea în nota de la teză.

  • Cu o seară înainte de teză oferă-i o ceaşcă cu ceai de tei sau lapte cald îndulcite cu miere.

Se cunosc efectele benefice asupra somnului ale ceaiului de tei sau laptelui caldut îndulcit cu o linguriţă de miere. Astfel copilul tău va avea un somn liniştit şi odihnitor, iar a doua zii la evaluare va fii fresh.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:

mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

Exerciții rezolvate la Adunarea Numerelor Naturale. Suma Gauss

Clasa a V-aDragul meu părinte, în acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat, frecvent întâlnite la lecţia Adunarea şi Scăderea numerelor naturale, având în vedere modul în care tu, părinte drag ar trebui te foloseşti de aceste informaţii şi să îi explici copilului tău aceste noţiuni.

(more…)

 EXERCIŢIUL 1:

  • Calculaţi suma:     1+2+3+4+…………………….+80 = ?

Rezolvare:

 

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare unul complicat, însă nu este un exerciţiu greu.

La prima vedere, mulţi copii sunt tentaţi să piardă vremea făcând adunatea termen cu termen, însă aşa cum bine îti dai seama acest lucru este imposibil, iar dacă ar fii posibil ar necesita foarte mult timp de lucru. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să-l abandoneze.

Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

 

  • 1+2+3+4+…………………….+80 = ?

Din proprietăţile adunării pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

  •    1+2+3+4+…………………….+80 = ?

putem scrie:

  • 1+80+2+79+3+78+4+77+………..= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” )  ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • (1+80)+(2+79)+(3+78)+(4+77)+………..= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 81, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • 81+81+81+81+………..= ?
  • Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 80 sunt 80 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 80:2 termeni, adică 40 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 40 de termeni de 81.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 81 adunat de 40 de ori:

  • 81+81+81+81+………..+81= ?

Adică putem scrie :

  • 40 x 81=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 3240

RĂSPUNS CORECT: 3240

EXERCIŢIUL 2:

  • Calculaţi suma: 1+3+5+…………………….+99= ?

Rezolvare:

Ca şi la exerciţiul anterior, acest exerciţiu este greu de calculat termen cu termen, asa că cea mai bună variantă este abordarea unei rezolvări utilizând proprietăţile matematicii:

  • 1+3+5+…………………….95+97+99= ?

Din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” ) ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

  • 1+3+5+…………………….+95+97+99 = ?

putem scrie:

  • 1+99+3+97+5+95+………..= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” )  ştim că adunarea este asociativă. Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • (1+99)+(3+97)+(5+95)+………..= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 100, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • 100+100+100+………..= ?
  • Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termenidintre care 50 sunt numere naturale pare, iar 50 sunt numere naturale impare.

În cazul acestui exerciţiu avem de calculat suma numerelor naturale impare cuprinse între numărul natural 1 şi numărul natural 100. În concluzie avem 50 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 50:2 termeni, adică 25 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 25 de termeni de 100.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru numărul natural 100 adunat de 25 de ori:

  • 100+100+100+100+………..+100= ?

Adică putem scrie :

  • 25 x 100=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 2500

RĂSPUNS CORECT: 2500

EXERCIŢIUL 3:

  • Calculaţi suma: 3+6+9+12+…………………….+2001 = ?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare şi mai complicat faţă de cele oreyentate anterior deoarece avem de calculat mult mai multe numere, însă nu este un exerciţiu greu.

Dacă la exerciţiile anterioare era dificil de efectuat o adunare termen cu termen, în cazul acestui exerciţiu este aproape imposibil să abordezi o astfel de metoda a adunării termen cu termen. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să abandoneze reuolvarea unui astfel de exerciţiu.

 Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

  • 3+6+9+12+…………………….+2001 = ?

După cum bine observi, dragul meu părinte, exerciţiul ne cere să adunăm termenii din 3 în 3, cuprinşi între numerele naturale 3 şi 2001.

Se pune problema câţi termeni numere naturale sunt între 3 şi 2001, număraţi din 3 în 3?

Pentru a afla răspunsul la acestă întrebare, îl împărţim pe 2001 la 3 si obţinem astfel:

  • 2001 : 3 = 667 termeni.

Observăm că numărul natural 667 este un număr impar, acest lucru înseamnă că dacă vrem să grupam termenii 2 câte 2, obţinem 666 termeni pe care îi grupăm 2 câte 2 plus încă un termen.

  • 667 : 2 = 333 termeni + 1 termen liber

Dar care este numărul natural care are rolul de termen liber?

Dacă încercăm să grupăm termenii 2 câte 2, obţinem:

  • 3+6+9+12+…………………….+1992+1995+1998+2001 = ?
  • 3+2001+6+1998+9+1995+12+1992+……………….= ?
  • (3+2001)+(6+1998)+(9+1995)+(12+1992)+………..+termenul liber = ?

Avem astfel 333 paranteze +termenul liber .termenul liber.

Observăm că rezultatul din fiecare paranteză este 2004.

Obţinem astfel 2004 adunat de 333 de ori + termenul liber .

  • 2004+2004+2004+2004+…………………….+termenul liber = ?

Adică:

  • 333 x 2004 + termenul liber = ?
  • Însă, dragul meu părinte, problema se pune ce număr natural este termenul liber?

Pentru a afla termenul liber, împărţim:

  • 2004 : 2 =1002

Obţinem astfel:

  • 333 x 2004 + 1002= ?

Efectuând calculele obţinem:

  • 667 332+ 1002= ?
  • 668 334.

RĂSPUNS CORECT: 668 334

PS: Dragul meu părinte, dacă vrei mai multe exemple rezolvate de exerciţii cu Suma Gauss descarcă Pdf-ul gratuit de aici:

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!