Tag: #calcul cu puteri

Suma Gauss la Puteri

 

"Nu am dat greş. Pur şi simplu am descoperit 10.000 de idei care nu funcţionează."

Thomas Edison

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună cateva exerciții la "Suma Gauss  la Puteri".

Suma Gauss la Puteri

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi  !

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții Rezolvate la Descompunerea În Factori Primi

"Descurajarea și înfrângerile sunt unele dintre cele mai sigure căi către succes."

Dale Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție  extrem de importanta Descompunerea în Factori Primi a unui Număr Natural.

Exercițiul 1 :

Descompuneți în produs de factori primi următoarele numere naturale:

a) 120

b) 3528;

c)36000

Rezolvare: 

  • a) Pentru că 120 se divide cu 10 (numărul 120 se termină in 0), iar 10 nu este număr prim vom împărți mai întâi prin 2\cdot 5
  • Rămâne 12 care este un număr par și se divide cu 2.
  • Deci 120 descompus în factori primi este: 120=2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1
  • b) 3528

  • Pentru că 3528 este un număr par de divide cu 2.
  • Pentru că 441 este un număr impar și  nu se mai divide cu 2, verificăm criteriul de divizibilitate cu 3.
  • 4+4+1=9\ \ \ \vdots\ \ \ 3
  • Mai departe împărțim prin 3.
  • Pentru că 49 nu se mai divide cu 3 și nu se divide nici cu 5 încercăm cu următorul număr prim cu 7.
  • Astfel obținem 3528 descompus în factori primi: 3528=2^3 \cdot 3^2 \cdot7^2
  • c) 36000
  • Pentru că 36000 se termină în trei cifre de 0 înseamnă că de divide cu  1000=10^3=(2\cdot5)^3=2^3 \cdot 5^3
  • Deci obținem:
  • Astfel putem scrie 36000=2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^3

 

Exercițiul 2 :

Determinați  numerele naturale "m", "n" și "p"astfel încât să obțineți propoziții adevărate:

a) 36=2^n \cdot 3^p

b) 360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m

c) 720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m

Rezolvare:

Descompunem în factori primi numerele 36, 360 și 720.

descompunere in factori primi
  • Obținem astfel:
  • a) 36=2^n \cdot 3^p
  •  36=2^2\cdot 3^2 \Rightarrow n=2 și  p=2
  • b) 360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m
  •  360=2^3 \cdot 3^2\cdot 5^1 \Rightarrow n=3 \ \ \ ; \ \ \ p=2 și m=1
  • c) 720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m
  •  720=2^4 \cdot 3^2\cdot 5^1\Rightarrow n=4 \ ; \ \ \ p=2 și m=1

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în "Clubul de Matematică Math More Easy".  

Exerciții rezolvate la Pătrate Perfecte!

"Nu poți împinge pe nimeni să urce pe o scară dacă nu este dispus să o urce singur "

Andrew Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior am prezentat cateva "Exerciții Rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural". Astăzi te invit să rezolvăm și să explicăm câteva exerciții la Pătrate Perfecte. Să vedem cum putem arăta că un număr foarte mare poate fi sau nu pătrat perfect!
 
Exercițiul 1: 

Arătați că numărul a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002) este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "a" este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul "a"se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că în paranteză avem  Suma Gauss a primelor 2002 numere naturale consecutive așa că vom aplica formula de calcul a lui Gauss.
  • a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002)
  • a=2003 + 2\cdot [2002\cdot (2002+1)\ : \ 2]
  • a=2003 + 2\cdot [2002\cdot 2003 \ : \ 2]
  • Pentru că înmulțirea și împărțirea sunt operații de același ordin putem efectua mai întâi operația de împărțire.
  • a=2003 + 2\cdot [2002\ \ : \ 2 \cdot 2003]
  • a=2003 + 2\cdot 1001 \cdot 2003
  • a=2003 + 2002 \cdot 2003
  • Dăm factor comun pe 2003.
  • a=2003\cdot (1 + 2002)
  • a=2003\cdot 2003
  • a=2003^2.
  • \Rightarrow numarul \ este pătrat perfect.
Exercițiul 2: 

Arătați că numărul  a=81+81 \cdot 2+ 81 \cdot 3+.....................+81 \cdot 49 este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "a" este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul "n"se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că 81 se repetă și îl putem da factor comun.
  • a=81\cdot (1+ 2+ 3+.....................+49).
  • În paranteză obținem   Suma Gauss a primelor 49 numere naturale consecutive așa că vom aplica metoda de calcul a lui Gauss.
  • a=81\cdot [49 \cdot(49+1) \ \ : \ 2 ]
  • a=81\cdot [49 \cdot 50 \ \ : \ 2 ]
  • a=81\cdot 49 \cdot 25
  • a=9^2\cdot 7^2 \cdot 5^2
  • Aplicăm Regulile de Calcul cu Puteri și obținem:
  • a=(9\cdot 7 \cdot 5)^2
  • a=315^2
Exercițiul 3:  

Arătați că numărul   n= 27^9 \cdot 32^{11} \ \ : \ \ 2 - 16^6\cdot 2\cdot 6^{27} este pătrat perfect.

  • Rezolvare:  Pentru a arăta că numărul "n" este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că pe 27 îl putem scrie ca bază 3, pe 16 și 32 îi putem scrie ca baza 2 iar pe 6 îl putem scrie ca produsul 2\cdot 3
  • n= (3^3)^9 \cdot (2^5)^{11} \ \ : \ \ 2^1 - (2^4)^6\cdot 2^1 \cdot (2\cdot3)^{27}
  • Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:
  • n= 3^{3\cdot9} \cdot 2^{5\cdot 11} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{4\cdot 6}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{55} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{24}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{55-1} - 2^{24+1+27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{54} - 2^{52}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 2^2 - 2^{52}\cdot 3^{27}
  • Observăm că se repetă  3^{27} \cdot 2^{52} și îi dăm factor comun.
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (2^2 - 1)
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (4 - 1)
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3^1
  • n= 3^{27+1} \cdot 2^{52}
  • n= 3^{28} \cdot 2^{52}
  • n= (3^{14} \cdot 2^{26} )^2 \Rightarrow n este pătrat perfect
Exercițiul 4:  

Arătați că numărul  n= 2^{2011}- 2^{2010}-2^{2009}-2^{2008}  este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "n" este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Aplicând Regulile de Calcul cu Puteri  putem scrie: 2^{2011}= 2^{2008}\cdot 2^{3}2^{2010}= 2^{2008}\cdot 2^{2} și 2^{2009}= 2^{2008}\cdot 2^{1}. Obținem astfel:
  •  n= 2^{2008}\cdot 2^{3} - 2^{2008}\cdot 2^{2} - 2^{2008}\cdot 2^{1} -2^{2008}
  • Observăm că se repetă  2^{2008} și putem sa îl dăm factor comun:
  •  n= 2^{2008}\cdot (2^{3} - 2^{2} - 2^{1} - 1)
  •  n= 2^{2008}\cdot (8 - 4 - 2 - 1)
  •  n= 2^{2008}\cdot 1
  •  n= 2^{2008}
  •   n= (2^{1004})^2 \Rightarrow n este pătrat perfect

 

Exercițiul 5: 

Arătați că numărul a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002}   nu este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Observăm că avem Suma Gauss a puterilor lui 2. Pentru a rezolva acest exercițiu înmultim întreaga expresie matematică cu un 2. 
  • a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002} | \ \ \ \cdot2
  • 2\cdot a= 2\cdot 2^{1504} + 2\cdot 2^{1505} + 2\cdot 2^{1506} +..............+2\cdot 2^{2002}
  • 2\cdot a= 2^{1504+1} + 2^{1505+1} + 2^{1506+1} +..............+ 2^{2002+1}
  • 2\cdot a= 2^{1505} + 2^{1506} + 2^{1507} +.............+2^{2002}+ 2^{2003}
  • Scădem cele două relații și obținem:
  • suma gauss a puteror lui 2
  •  a = 2^{2003} - 2^{1504}
  • Pentru a demonstra că numărul  a = 2^{2003} - 2^{1504} nu este pătrat perfect trebuie să arătăm că Ultima cifră a lui a aparține mulțimii: \left \{ 2,3, 7,8 \right \}.
  • Calculăm Ultima cifră a numărului a = 2^{2003} - 2^{1504}
  •  U(a) = U(2^{2003} - 2^{1504})
  •  U(a) = U(2^{2003}) - U(2^{1504})
  • Calculăm  U(2^{2003}) .
  • Mai întâi calculăm puterilelui 2.
  • Observăm că ultima cifră se schimbă din 4 în 4.
  • Împărțim 2003 la 4 și obținem câtul 500 și restul 3.
  •  U(2^{2003})=U(2^{4\cdot 500+3})=U[(2^4)^{500}\cdot 2^3]=U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)
  • Dacă privim atent puterile lui 2 observăm ca ultima cifră a lui 2^4 este 6 și astfel obținem:
  • U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)= U[U(6^{500})\cdot 8]
  • Știm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifra tot 6.
  • Și obținem: U[U(6^{500})\cdot 8]=U(6 \cdot 8)= U(48)=8
  • Am obținut că  U(2^{2003})=8
  • Calculăm  U(2^{1504}).
  • Împărțim 1504 la 4 și obținem câtul 376.
  •  U(2^{1504})=U(2^{4\cdot 376})=U[(2^4)^{376}]
  • U(2^4)=6\Rightarrow U[(2^4)^{376}]=U(6^{376})=6
  • Am obținut astfel:  U(a) = U(2^{2003}) - U(2^{1504})=8-6=2
  • Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi 2 \Rightarrow  a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002} nu este pătrat perfect

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate la Formulele de Calcul Prescurtat

"Invata tot ce poti, in orice moment disponibil, de la oricine si intotdeuna va veni o vreme cand te vei simti recompensat pentru ceea ce ai invatat."
Sarah Caldwel

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. Azi te invit să efectuăm  împreună câteva exerciții la formulele de calcul prescurtat.

 EXERCIŢIUL 1: Efectuați, folosind formula de calcul prescurtat: 

  • a)       (2x+1) ^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru: a=2x şi b=+1. Aplicând formula obţinem:

 (2x+1)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot (+1)+(+1)^{2}

 (2x+1)^{2}=4x^{2}+4 x+1

  •     b)  (4x - 7y)^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=4x şi b=7y . Aplicând formula obţinem:

 (4x - 7y)^{2}=(4x)^{2}-2\cdot 4x\cdot 7y +(7y)^{2}

 

 (4x - 7y)^{2}=16x^{2}-56xy +49y^{2}

  • c)  (2x+\sqrt{3})^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru: a=2x şi b=\sqrt{3}. Aplicând formula obţinem:

 (2x+\sqrt{3})^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}

 (2x+\sqrt{3})^{2}=4x^{2}+4\sqrt{3} x+3

  • d)  (5x-\sqrt{2})^{2}

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=5x şi b=\sqrt{2}. Aplicând formula obţinem:

 (5x-\sqrt{2})^{2}=(5x)^{2}-2\cdot 5x\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}

 (5x-\sqrt{2})^{2}=25x^{2}-10 \sqrt{2}x+2

  • e) (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru:  a=\frac{2}{3}x şi  b=\frac{1}{3} . Aplicând formula obţinem:

 (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=(\frac{2}{3}x)^{2}+2\cdot \frac{2}{3}x\cdot \frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}

 (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}x^{2}+ \frac{4}{9}x +\frac{1}{9}

  • f) (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru:  a=\frac{2}{7}x şi  b=\frac{7}{4}. Aplicând formula obţinem:

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=(\frac{2}{7}x)^{2}-2\cdot \frac{2}{7}x\cdot \frac{7}{4}+(\frac{7}{4})^{2}

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-\frac{28}{28}x+\frac{49}{16}

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-x+\frac{49}{16}

f)  (x+9)(x-9)

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a+b)(a-b)= a^{2}-b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=x şi b=9. Aplicând formula obţinem:

 (x+9)(x-9)= x^{2}-9^{2}

 (x+9)(x-9)= x^{2}-81

EXERCIŢIUL 2:  Efectuaşi calculele :

  •  a)  (x+2)^{2}+ (x-1)^{2}

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

 (x+2)^{2}+ (x-1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 2+ 2^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot 1+1^{2}= aplicatii-formule-de-calcul-prescurtat-ex-2

  •  b) (2\sqrt{2}-3\sqrt{3}) ^{2}-2(\sqrt{3}+3\sqrt{2}) ^{2}

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

 [(2\sqrt{2})^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{3}+(3\sqrt{3})^{2}]-2[(\sqrt{3})^{2}+2\cdot \sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}] =

 (4\cdot 2-12\sqrt{2\cdot3}+9\cdot 3)-2(3+6 \sqrt{2\cdot3}+9\cdot2)=

 8-12\sqrt{6}+27-6+12 \sqrt{6}-36=

 8+27-6+12 -36=5

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!