Posts Tagged ‘algebra’

Relații între mulțimi de numere


Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Operații cu mulțimi. Am invățat ce operații putem face intre mulțimi, despre reuniunea a două mulțimi, despre intersecția a două mulțimi și diferența a două mulțimi dar și diferența simetrică a  două mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Relații între Mulțimi, să vedem ce sunt mulțimile egale și mulțimile disjuncte dar și mulțimile finite și mulțimile infinite.

(mai mult…)

Două mulțimi A și B sunt egale, dacă sunt formate din același elemente. Se notează A=B.

  • Observație: Orice element care aparține mulțimii A este și element al mulțimii B și reciproc orice element care aparține mulțimii B este și element al mulțimii A.
  • Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține mulțimii B sau invers, se spune ca mulțimile A și B sunt diferite și se notează: A \neq B .

Dacă intersecția a două mulțimi A și B este mulțimea vidă (cele două mulțimi A și B nu au nici un element comun) atunci mulțimile A și B sunt disjuncte.

  • Incluziunea: Mulțimea A este inclusă în mulțimea B și se notează : A\subset B , dacă orice element al mulțimii A aparține mulțimii B.

  • Dacă mulțimea B include mulțimea se notează: B \supset A
  • Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține și mulțimii B spunem că mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B și notăm: A \not \subseteq B  sau spunem că B nu include mulțimea A și notăm: B \not \supset \ A .

  • Observații:
  • Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime       \not \bigcirc\subset A
  • Orice mulțime este inclusă în ea însăși         A \subset A .
  • Dacă A și B sunt două mulțimi, astfel încât A \subset B  și B \subset A  atunci  A=B .
  • Dacă A, B și C sunt trei mulțimi, astfel încât A \subset B  și B \subset C ,  atunci A \subset C .

Submulțimi:

  • Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, adică A \subset B  se spune că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B.

  • Observații:
  • Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
  • Numărul submulțimilor unei mulțimi A este egal cu  2^{{card A}}
  • Mulțimea submulțimilor (părților) lui A se notează cu P(A).

Exemplu:  Fie mulțimea M=\left \{ 1,3,5 \right \}. CArdinalul mulțimii M Card M =3 . Mulțimea M are  2^{3}=8 submulțimi.

\not\bigcirc, \left \{ 1 \right \}, \left \{ 3 \right \}, \left \{ 5 \right \}, \left \{ 1,3 \right \}, \left \{ 1,5 \right \}, \left \{ 3,5 \right \}, M.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

clasa a VII-aDragul meu părinte, bine te-am regăsit!Până în clasa a VII-a copilul tău a studiat următoarele Mulţimi de Numere: Mulţimea Numerelor Naturale, Mulţimea Numerelor Întregi şi Mulţimea Numerelor Raţionale.Capitolul II din programa de matematica pentru clasa a VII-a prevede studierea Numerelor Reale. Prima lecţie din acest capitol este Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect. (mai mult…)

  • Definiţie:Un număr natural “a” se numeşte pătrat perfect dacă există un număr natural “n” astfel încât : n ^{2}=a
  • Rădăcina Pătrată:

    Fie “a” un număr natural pătrat perfect. Numărul natural “n” cu proprietatea: n ^{2}=a se numeşte rădăcină pătrată a numărului “a” şi se notează: n=\sqrt{a}

  • Exemple:   \sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}=5
  •  \sqrt{100}=\sqrt{10^{2}}=10
  •  \sqrt{0}=\sqrt{0^{2}}=0

Observaţie:

 

Evident numai unul este număr natural : \sqrt{n}=n

 

 

 

 

 

 \sqrt{ 25\cdot a^{4}\cdot b^{2}}=\sqrt{ (5\cdot a^{2}\cdot b)^{2}}=\left \| 5\cdot a^{2}\cdot b \right \|=5\cdot a^{2}\cdot \left \| b \right \|

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

 

 

 

Exerciții rezolvate la numere reale!

Clasa a VIII-aBine te-am regăsit dragul meu părinte! În articolul pe care l-am publicat luni pe blog am rezolvat trei exerciţii la lecţia mulţimea numerelor reale. Astăzi revin cu un nou articol în care mai explic pas cu pas doua exemple de exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat pentru a veni în ajutorul tău şi al copilului tău.

 

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Determinaţi elementele mulţimilor:

A=\left \{ x\epsilon N|  \frac{15}{2x+1}\epsilon N \} şi B=\left \{ x\epsilon Z| \frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.

Rezolvare: Să aflăm întâi mulţimea A.

A=\left \{ x\epsilon N|  \frac{15}{2x+1}\epsilon N \}

Exerciţiul îmi cere să găsesc toate valorile numere naturale care îndeplinesc condiţia: \frac{15}{2x+1}\epsilon N \Rightarrow2x+1 \epsilon D_{{15}}.

Numitorul 2x+1 trebuie să aparţină mulţimii divizorilor lui 15, deoarece împărţirea 15 la 2x+1 trebuie să fie o împărţire exactă, astfel încât rezultatul să aparţină mulţimii numerelor naturale.

 D_{{15}}=\left \{ 1,3,5,15 \right \}

2x+1=1 | -1 \Rightarrow 2x=1-1 \Rightarrow2x=0| :2 \Rightarrow x=0

2x+1=3 | -1 \Rightarrow 2x=3 -1 \Rightarrow 2x=2 | :2 \Rightarrow x=1

2x+1=5 | -1 \Rightarrow 2x=5 -1 \Rightarrow 2x=4 | :2 \Rightarrow x=2

2x+1=15 | -1 \Rightarrow 2x=15 -1 \Rightarrow 2x=14 | :2 \Rightarrow x=7

Soluţie :x \epsilon \left \{ 0, 1,2,7\right \}.

  • Determinăm şi mulţimea B=\left \{ x\epsilon Z| \frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.

La această mulţime trebuie să prelucrăm numărătorul în funcţie de numitor, astfel încât să găsim  mulţimea divizorilor unui număr întreg.

\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow\frac{6x+18}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow\frac{6x-9+27}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow\frac{3(2x-3)}{2x-3}+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow3+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z

Deoarece 3\epsilon Z ,  este suficient să demonstrez că \frac{27}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow{2x-3}\epsilon D_{27}

Deoarece sunt pe multimea Z, \Rightarrow D_{27}=\left \{ \pm1, \pm3,\pm9, \pm27 \right \}

2x-3=1| +3 \Rightarrow 2x=1+3 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2

2x-3=-1| +3 \Rightarrow 2x=-1+3 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1

2x-3=3| +3 \Rightarrow 2x=3+3 \Rightarrow 2x=6| :2 \Rightarrow x=3

 2x-3=-3| +3 \Rightarrow 2x=-3+3 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0

 2x-3=9|+3 \Rightarrow 2x=9+3 \Rightarrow 2x=12| :2 \Rightarrow x=6 2x-3=-9|+3 \Rightarrow 2x=-9+3 \Rightarrow 2x=-6| :2 \Rightarrow x=-3

2x-3=27|+3 \Rightarrow 2x=27+3 \Rightarrow 2x=30| :2 \Rightarrow x=15

2x-3=-27|+3 \Rightarrow 2x=-27+3 \Rightarrow 2x=-24| :2 \Rightarrow x=-12

Soluţie : x\in \left \{ -12;-3;0;1;2;6;15 \right \}

 

EXERCIŢIUL 2: Determinaţi x\in Z pentru care \frac{\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{52-14\sqrt{3}}}{2x-1}\in Z

Rezolvare: Pentru a determina valorile pe care le poate lua x trebuie sa determinam numarătorul. Vom scrie cei doi radicali de la numărător cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat ca un număr la puterea a doua.

Astfel vom scrie \sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2} , iar \sqrt{52-14\sqrt{3}}=\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}.

Obţinem astfel: \frac{\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}+\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}}{2x-1}\in Z \Rightarrow\frac{\left \| 2+\sqrt{3} \right \|+\left \| 7-\sqrt{3} \right \|}{2x-1}\in Z

Considerăm \sqrt{3}\simeq 1,73 obţinem: 2+ 1,73 =3,73 şi 7-1,73 =5,27

Deoarece \left \| 2+\sqrt{3} \right \| şi \left \| 7-\sqrt{3} \right \| sunt numere pozitive, sunt mai mari decît 0,ambele numere  ies de sub modul cu sumnul +, adica 2+\sqrt{3} şi 7-\sqrt{3}.

Obţinem astfel: \frac{ 2+\sqrt{3} +7-\sqrt{3} }{2x-1}\in Z \Rightarrow\frac{ 2 +7 }{2x-1}\in Z \Rightarrow\frac{ 9 }{2x-1}\in Z \Rightarrow2x-1\in D_{9} .

D_{9} =\left \{ \pm1;\pm3;\pm9 \right \}.

 

2x-1=1| +1 \Rightarrow 2x=1 +1 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1
2x-1=-1| +1 \Rightarrow 2x=-1 +1 \Rightarrow 2x=0| :2 \Rightarrow x=0

2x-1=3| +1 \Rightarrow 2x=3 +1 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2

2x-1=-3| +1 \Rightarrow 2x=-3 +1 \Rightarrow 2x=-2| :2 \Rightarrow x=-1

2x-1=9| +1 \Rightarrow 2x=9 +1 \Rightarrow 2x=10| :2 \Rightarrow x=5 2x-1=-9| +1 \Rightarrow 2x=-9 +1 \Rightarrow 2x=-8| :2 \Rightarrow x=-4

Soluţie: x\in \left \{ -4;-1; 0; 1; 2; 5 \right \}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Exerciții Rezolvate la Numere Reale

Clasa a VIII-a

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

În ultimul articol pe care l-am  postat am vorbit despre multimea numerelor reale. Astăzi te invit să rezolvăm împreună câteva aplicaţii la această lecţie. Unele exerciţii au un grad de dificultate mai scăzut, iar unele au grad de dificultate ridicat. De aceea o să le explic pas cu pas, pentru a veni în ajutorul tuturor celor care nu înţeleg foarte bine matematica.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:Se dau următoarele fracţii: \frac{1}{2} , \frac{61}{37}\frac{2}{6}\frac{55}{1133}\frac{4}{21}\frac{3}{9}\frac{8}{15}\frac{14}{2\cdot7}\frac{85}{15}\frac{35}{56}\frac{19}{72}\frac{4\cdot3\cdot5}{60}

Determinaţi din şirul de fracţii de mai sus  fracţiile:

–  ireductibile; subunitare;supraunitare;echiumitare.

Rezolvare: Observăm că unele fracţii pot fi simplificate aşa că mai întâi vom aduce şirul la forma cea mai simplă simplificând fracţiile care permit această operaţie:

 \frac{2}{6}^{(2}=\frac{1}{3} \frac{55}{1133}^{(11}=\frac{5}{103} \frac{3}{9}^{(3}=\frac{1}{3};

 \frac{14}{2\cdot7}=\frac{14}{14}^{(14}=\frac{1}{1}=1;   \frac{85}{15}^{(5}=\frac{17}{3};   \frac{35}{56}^{(7}=\frac{5}{8} \frac{4\cdot3\cdot5}{60}=\frac{60}{60}^{(60}=1

Obţinem astfel şirul: \frac{1}{2} , \frac{61}{37} \frac{1}{3} \frac{5}{103}\frac{4}{21}, \frac{1}{3} , \frac{8}{15}1\frac{17}{3}\frac{5}{8}\frac{19}{72}1.

– fracţii ireductibile: (fracţii care nu se poate simplifica, numărătorul şi numitorul , sunt numere prime între ele):

\frac{1}{2} , \frac{61}{37}\frac{4}{21}, \frac{8}{15}\frac{19}{72}.

-fracţii subunitare: (fracţii care au numărătorul mai mic decât numitorul):

\frac{1}{2} \frac{2}{6}\frac{55}{1133}\frac{4}{21},\frac{3}{9} , \frac{8}{15}\frac{35}{56}\frac{19}{72}

 

– fracţii supraunitare: (fracţii care au numărătorul mai mare decât numitorul):

\frac{61}{37}; \frac{85}{15}

– fracţii echiunitare: (fracţii care au numărătorul egal cu numitorul):

\frac{14}{2\cdot7}; \frac{4\cdot3\cdot5}{60}.

EXERCIŢIUL 2: Amplificaţi fracţiile: \frac{7}{15}, \frac{3}{12}, \frac{5}{16}, \frac{3}{10}, \frac{11}{24} , astfel încât să aibă acelaşi numitor comun.

Rezolvare: Determinăm numitorul comun calculând c.m.m.m.c (cel mai mic multiplu comun) al numerelor de la numitor.

Pentru a determina c.m.m.m.c-ul numitorilor trebuie sa desfacem în factori primi numerele după care luăm toate numerele prime o singură dată la puterea cea mai mare.exercitiul-2-aplicatii-nr-reale

 

În concluzie putem scrie:

15= 3\cdot5

12= 2^{2}\cdot3

16= 2^{4}

10= 2\cdot5

24= 2 ^{3}\cdot3

c.m.m.m.c= 2 ^{4}\cdot3\cdot5=16\cdot3\cdot5=240.

Pentru a ştii cu cât amplific fiecare fracţie impart 240 la numitor:ex-2-nr-reale-impartiriObţin astfel următoarele fracţii:

ex-2-nr-reale-amplificarea

EXERCIŢIUL 3:Fie mulţimeaA= \left \{ (-2)^{2}\right \ ; (-3)^{-2} ; \sqrt{0,09} ; \sqrt{5\frac{5}{9}} ;  (-1)^{4}; \sqrt{18} ; \sqrt{1\frac{2}{25}} ; (-\frac{1}{{2}}) ^{-1}; \sqrt{5\frac{3}{9}}  \}.

Calculaţi:  A\bigcap_{}^{}N ; A\bigcap_{}^{}Z; A\bigcap_{}^{}Q; A\bigcap_{}^{}(Q\setminus Z); A\bigcap_{}^{}R; A\bigcap_{}^{}(R\setminus Q)

Rezolvare: Observăm că trebuie să rescriem mulţimea efectuând calculele:

(-2) ^{2}= 4

(-3) ^{-2}= \frac{1}{3 ^2}=\frac{1}{9}

\sqrt{0,09}= 0,3 =\frac{3}{10}

\sqrt{5\frac{5}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+5}{9}}}=\sqrt{\frac{50}{9}}}=\frac{5\sqrt2}{3}

 (-1)^{4}= 1

\sqrt{18}= \sqrt{9\cdot2}=3 \sqrt{2}

\sqrt{1\frac{2}{25}}= \sqrt{\frac{1\cdot25+2}{25}}}=\sqrt{\frac{27}{25}}}=\frac{3\sqrt3}{5}

(-\frac{1}{2}) ^{-1}=(-2)

\sqrt{5\frac{3}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+3}{9}}}=\sqrt{\frac{48}{9}}}=\frac{4\sqrt3}{3}

Obţinem astfel mulţimea: A= \left \{ 4;\frac{1}{9} ; \frac{3}{10} ; \frac{5\sqrt{2}}{3} ; 1; 3\sqrt{2} ; \frac{3\sqrt{3}}{5} ; (-2); \frac{4\sqrt{3}}{3} \}.

A\bigcap {N}= \left \{ 4;1 \right \}

A\bigcap {Z}= \left \{-2;1; 4 \right \}

A\bigcap {Q}= \left \{ 4; \frac{1}{{9}}; \frac{3}{10}; 1; (-2)  \}

A\bigcap(Q\setminus Z)= \left \{ \frac{1}{9};\frac{3}{10} \right \}

A\bigcap {R}= A

A\bigcap {(R\setminus Q)}= \left \{\frac{5\sqrt{2}}{3};3\sqrt{2};\frac{3\sqrt{3}}{5}; \frac{4\sqrt{3}}{3} \right \} .

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să aibă numai note bune in  noul an şcolar.

Dacă ţi-a plăcut articolul te invit sa distribui acest material şi să inviţi şi alţi părinţi să viziteze acest blog!

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com
De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:
https://www.facebook.com/MathMoreEasy

 

Mulţimi de numere reale.

Clasa a VIII-a

Dragul meu părinte, bine te-am regasăsit. Revin după o pauză cam lungă, cu un nou articol.
De data aceasta prima lecţie de algebră pentru clasa a VIII-a: “Mulţimi de numere reale”.

 

(mai mult…)

 

  •  În clasa a V-a s-a studiat “Mulţimea numerelor Naturale” pe care am notat-o cu N={0,1,2,3,4,5,………, +∞}.
  • În clasa a VI-a s-a studiat Mulţimea Numerelor Întregi pe care am notat-o cu:  Z={-∞, ……., -2,-1,0,1,2,3,4,5,………, +∞}.
  • În clasa a VII-a s-a studiat Mulţimea Numerelor Raţionale pe care am notat-o cu: Q={\frac{a}{{b}} ∕ a \in Z, b \in Z*}.

 

  • Observaţie:– Mulţimea Numerelor Raţionale este stabilă în raport cu operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire, adică suma, diferenţa, înmulţirea şi împărţirea a două numere raţionale sunt tot numere raţionale.

 

Observaţie: Pentru orice număr rational nenul “q” , există o unică fracţie ireductibilă   \frac{a}{b} , cu a  \in Z, b  \in Z*  astfel încât q =\frac{a}{b} .

  • Un număr raţional poate fi reprezentat prin fractii ordinare echivalente sau printr-o fracţie zecimală finită sau periodică.

Exemplu:

  • Fracţie ordinară: \frac{5}{6}
  • Fracţie zecimală finită: 2,4
  • Fracţie zecimală periodică: 41,(6)

Mulţimea numerelor reale se notează cu R.
Mulţimea numerelor reale nenule se notează cu R*.

Mulţimea numerelor iraţionale se notează cu R\Q.

  • Observaţie:ℕ ⊂ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
  • Observaţie: Orice număr irational este reprezentat de o fracţie zecimală infinită şi neperiodică.
  • Observaţie: Reciproc, dacă un număr real este reprezentat de o fracţie zecimală infinită şi neperiodică, atunci numărul este irational.

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!