Posts Tagged ‘adunarea numerelor naturale’

Unități de Măsură pentru Arie. Aria Pătratului și Aria dreptunghiului.

“Invatatul este asemeni navigarii in amonte: daca nu avansezi esti tras inapoi.”
Proverb chinezesc

Dragul meu părinte bine te-am regăsit.Ultimul capitol din programa la matematică de clasa a V-a este rezervat Elementelor de Geometrie.

Cele mai vechi urme ale geometriei se găsesc în Egiptul Antic și Babilon, în jurul anului 3000 î.Hr și a fost descoperită din nevoia de a măsura pământul. De aici și denumirea de Geometrie: în limba Greacă geo = pământ, metria = măsură. (more…)

Dragul meu părinte, te invit azi să aprofundăm noțiunile despre: Unități de Măsură pentru Arie. Aria Pătratului și Aria dreptunghiului.

Exercițiul 1: Determinați x din: 10^4 cm^2 + 10^6 mm^2- x=1,6 m^2

Rezolvare:

Prima oară transformăm cm^2  și mm^2  în m^2 .

Pentru a face transformările desenăm scara unităților de măsură:

Scara unitati de masura pentru arie

Pentru a transforma cm^2  în m^2  urcăm 2 trepte deci împărțim la 100^2 .

 10^4 cm ^2=10^4 \div 100^2=10^4 \div (10^2)^2=10^4 \div 10^4=1 m^2

Pentru a transforma mm^2  în m^2  urcăm 3 trepte deci împărțim la 100^3.

10^6 mm ^2=10^6 \div 100^3=10^6 \div (10^2)^6=10^6 \div 10^6=1 m^2

Înlocuim în ecuația noastră și obținem:

10^4 cm^2 + 10^6 mm^2- x=1,6 m^2 \Rightarrow 1 m^2 + 1 m^2- x=1,6 m^2 \Rightarrow 2 m^2 - x=1,6 m^2 \Rightarrow x=2 m^2 - 1,6 m^2 \Rightarrow x=2,0 m^2 - 1,6 m^2 \Rightarrow x =0,4 m^2

Exercițiul 2: Determinați x din:  5 \cdot x - 3 \cdot 0,0004 Km^2= 315 m^2

Rezolvare:

Pentru a transforma Km^2 în m^2  coborâm 3 trepte deci înmulțim cu 100^3.

 0,0004 Km^2= 0,0004 \cdot 100^3 = 0,0004 \cdot 1000000   =0,000400 \cdot 1000000= 400 m^2

Înlocuim în ecuația noastră și obținem:

5 \cdot x - 3 \cdot 0,0004 Km^2= 315 m^2  \Rightarrow 5 \cdot x - 3 \cdot 400 m^2= 315 m^2  \Rightarrow 5 \cdot x - 1200 m^2= 315 m^2  \Rightarrow 5 \cdot x = 315 m^2 + 1200 m^2  \Rightarrow 5 \cdot x = 1515 m^2   >\Rightarrow 5 \cdot x = 1515 m^2 / : 5  \Rightarrow x = 1515 m^2 \div 5  \Rightarrow x = 303 m^2

Exercițiul 3: Determinați x din:  x + 23,615 ha= 2363 ari

Rezolvare:

 1 ar = 1 dam^2 \Rightarrow 2363 ari = 2363 dam ^2

 1 ha = 1 hm^2 \Rightarrow 23,615 ha = 23,615 hm ^2 \Rightarrow  23,615 hm ^2= 23,615 \cdot 10^2 = 2361,5 dam^2

Înlocuim în ecuația dată și obținem:

x + 2361,5 dam^2= 2363 dam^2

x + 2361,5 dam^2= 2363 dam^2 / -2361,5 dam^2

x = 2363 dam^2 -2361,5 dam^2

x = 1,5 dam^2

Exercițiul 4: Calculați aria unui pătrat ce are perimetrul egal cu 5,92 m.

Rezolvare:

 P_{{ ABCD}}= 4\cdot l \Rightarrow 4\cdot l = 5,92 m \Rightarrow   l = 5,92 m : 4 \Rightarrow l = 1,48 m

 A_{ABCD}= l^2 \Rightarrow A_{ABCD}= (1,48 m)^2 \Rightarrow    A_{ABCD}= 1,48 m \cdot 1,48 m \Rightarrow A_{ABCD}= 2,1904 m^2

Exercițiul 5: Câte plăci de beton în formă de pătratică având latura de 50 cm sunt necesare pentru a pava curtea unei case care are formă de dreptunghi cu dimensiunile de 47 m lungime și 21m lățime.

Rezolvare:

Pentru a rezolva problema facem mai întâi suprafața curții, adică Aria dreptunghiului.

 A_{curte}= L \cdot l \Rightarrow A_{curte}= 47m \cdot 21 m \Rightarrow A_{curte}= 987 m^2   \Rightarrow A_{curte}= 987 \cdot 10 000 \Rightarrow A_{curte}= 9870000 cm^2

Calculăm și aria plăcii de beton.

A_{placa beton}= l^2 \Rightarrow A_{placa beton}= (50 cm)^2   \Rightarrow A_{placa beton}= 2500 cm^2

 A_{curte} \div A_{placa beton}= 9870000 cm^2 : 2500 cm^2 \Rightarrow

 A_{curte} \div A_{placa beton}= 98700 : 25 \Rightarrow   A_{curte} \div A_{placa beton}= 3948  bucăți plăci beton.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Model Rezolvat Teza clasa a VIII-a Semestrul II

Şcoala trebuie să te înveţe a fi propriul tău dascăl, cel mai bun şi cel mai aspru.

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!  A început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(more…)

Model Propus Teza clasa a VIII-a Semestrul II

 

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}  este:……………………………

Rezolvare:

\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}  =\sqrt{2\cdot 3}-3\sqrt{6} =\sqrt{6}-3\sqrt{6} =-2\sqrt{6}

Exercițiul 2 (1 punct):

Simplificând cu x^2+1  raportul : \frac{x^4-1}{{x^2+1}} se obține:……………………………….

Rezolvare:

Aplicăm formulele de calcul prescurtat pentru expresia: x^4-1 și se obține:

\frac{x^4-1}{{x^2+1}}=\frac{(x^2)^2-1^2}{{x^2+1}}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}^{(x^2+1}=\frac{x^2-1}{1}=x^2-1.

Exercițiul 3 (1 punct):

Soluția ecuației: x-\sqrt{3}=0 este: ………………………………….

Rezolvare:

x-\sqrt{3}=0 \Rightarrow x-\sqrt{3}=0 /-\sqrt{3} \Rightarrow x=-\sqrt{3}

Exercițiul 4 (1 punct):

Se considera funcția f : R \to R  ,  f (x)=x-3. Valoarea funcției în punctul x=3 este egală cu: …………………….

Rezolvare:

Pentru a afla valoarea functiei în punctul x=3 calculăm  f (3) (îl înlocuim pe x cu 3 în funcție.

 f (3)=3-3=0

Exercițiul 5 (1punct):

Volumul cubului cu lungimea diagonalei de \sqrt{12}cm este: ……………………

Rezolvare:

Știm că diagonala cubului este egală cu:

 d=l\sqrt{3}\Rightarrow  l\sqrt{3}=\sqrt{12}\Rightarrow   l\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot3}\Rightarrow   l\sqrt{3}=2\sqr{3}\Rightarrow  l\sqrt{3}=2\sqr{3} / :\sqr{3} \Rightarrow   l=2 cm

Știm că volumul cubului are formula:  V= l^3  ; înlocuim latura cu 2 cm și obținem:

 V= l^3 \Rightarrow  V= (2cm)^3 \Rightarrow V= 8cm^3 .

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete.

Exercițiul 1 (1,5 puncte):

Se consideră expresia: E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}.

a) Determina’i valorile reale ale lui x pentru care expresia E(x) este bine definită.

b) Demonstrați că E(x)=1,  (\forall ) x \in R \setminus \left \{ -2; 1\right \}.

Rezolvare:

E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}  \Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}

  • a)Punem condițiile de existență ale fracțiilor (numitorul fracției trebuie să fie diferit de 0):

 x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2

 3x-1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1 \Rightarrow 3x \neq \frac{1}{{3}}

 \Rightarrow x \in R\setminus \left \{ \frac{1}{{3}} , 2 \right \}

  • E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2

Înmulțim cu a doua fracție răsturnată.

  •  \Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}

Aducem la același numitor în paranteză.

  •  \Rightarrow E(x)=(_{{}}^{x-2)}\textrm{1}- _{{}}^{x-2)}\textrm{x}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}    \Rightarrow E(x)=(\frac{x-2}{x-2}- \frac{x(x-2)}{x-2}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}
  •  \Rightarrow E(x)=(\frac{x-2-x^2+2x+x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}
  •  \Rightarrow E(x)=\frac{3x-1}{x-2}\cdot \frac{x-2}{3x-1}
  •  \Rightarrow E(x)=1

Exercițiul 2 (1,5 puncte):

Se consideră funcția  f : R \to R , f(x)= -x+2 .

a) Calculați media aritmetică a numerelor a=f(0)  și b=f(2) .

b) Reprezentați grafic funcția f(x).

c) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției f(x) și axele de coordonate OX și OY.

Rezolvare:

  • a) f(0)=0+2=2

f(2)=-2+2=0

 M_{a}=\frac{f(0)+f(2)}{{2}} \Rightarrow  M_{a}=\frac{2+0}{{2}} \Rightarrow  M_{a}=\frac{2}{{2}} \Rightarrow M_{a}= 1

  • b) Pentru a reprezenta grafic funcția f(x) facem intersecția cu cele două axe OX și OY
  • \cap OX : y=0 \Rightarrow f(x)=0   \Rightarrow -x+2=0   \Rightarrow -x=-2  \Rightarrow x=2  \Rightarrow A(2;0)
  • \cap OY:   x=0 \Rightarrow f(0)=0+2=2\Rightarrow B(0;2)

Exercițiul 3 (1,5 puncte):

O piramidă triunghiulară regulată VABC are latura AB=4\sqrt{6} cm și VO=2\sqrt{6} cm, unde O este centrul bazei ABC. Calculați:

a) aria laterală a piramidei;

b) distanța de la O la planul (VBC)

c) distanța de la punctul A la planul (VBC)

d) măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC).

Rezolvare:

Scriem datele problemei și apoi le analizăm:

Realizăm și desenul:

  • a)  Știm formula arie laterale:  A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}.

Pentru a calcula A_{{l}} trebuie să aflăm mai întâi apotema piramidei a_{{p}}=VM.

VABC este piramidă triunghiulară regulată  \Rightarrow \bigtriangleup ABC  echilateral   \Rightarrow  AM înălțimea \bigtriangleup ABC  \Rightarrow AM=\frac{l\sqrt{3}}{{2}}  \Rightarrow AM=\frac{AB\sqrt{3}}{{2}}   \Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{{2}}  \Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6\cdot 3}}{{2}}    \Rightarrow AM=\frac{4\cdot 3\sqrt{2}}{{2}}   \Rightarrow AM=\frac{12\sqrt{2}}{{2}}   \Rightarrow AM=6\sqrt{2} cm

Știm că OM= \frac{1}{{3}}\cdot AM \Rightarrow OM= \frac{1}{{3}}\cdot 6\sqrt{2} cm \Rightarrow OM= \frac{6\sqrt{2}}{{3}} cm \Rightarrow OM= 2\sqrt{2}} cm.

Aplicăm Teorema lui Pitagora în \bigtriangleup VOM pentru a afla apotema VM.

\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ )\RightarrowT.P \Rightarrow VM^2=VO^2+OM^2  \Rightarrow VM^2= (2\sqrt{6} cm)^2 + (2\sqrt{2} cm)^2

\Rightarrow VM^2= 2^2\cdot (\sqrt{6})^2 cm^2 + 2^2\cdot (\sqrt{2})^2 cm^2

\Rightarrow VM^2= 4\cdot 6 cm^2 + 4\cdot 2 cm^2

\Rightarrow VM^2= 24 cm^2 + 8 cm^2

\Rightarrow VM^2= 32 cm^2   \Rightarrow VM= \sqrt{32 cm^2}  \Rightarrow VM= \sqrt{16 \cdot2} cm

 \Rightarrow VM= 4\sqrt{2} cm

Aflăm și perimetrul bazei. Pentru ca \bigtriangleup ABC  este echilateral  \Rightarrow P_{b}= 3 \cdot l  \Rightarrow P_{b}= 3 \cdot AB

 \Rightarrow P_{b}= 3 \cdot 4\sqrt{6} cm  \Rightarrow P_{b}= 12\sqrt{6} cm.

Înlocuim în aria laterală și obținem:

 A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{12\sqrt{6} cm\cdot 4\sqrt{2} cm}{2}   \Rightarrow A_{l}= \frac{12 \cdot 4 \sqrt{6\cdot 2} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{12} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{4 \cdot 3} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{48\cdot 2 \sqrt{ 3} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= 48\sqrt{ 3} cm^2

  • b) d(O; (VBC))=?

Știm că AM înălțime în \bigtriangleup ABC \Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]  și  \left \{ O \right \} \in AM\Rightarrow \left [ OM \right ]\perp \left [ BC \right ]

  • OM=2\sqrt{2}cm

 

  • c) d(A; (VBC))=?

Știm că AM înălțime în \bigtriangleup ABC \Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]

  • d) m(\widehat{ (VOM),(ABC)} )=?

\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ ) : sin (\widehat{VMO})= \frac{VO}{{VM}} =\frac{2\sqrt{6}cm}{4\sqrt{2}cm} =\frac{\sqrt{3}}{2}   \Rightarrow m((\widehat{VMO})= 60^\circ)  \Rightarrow m((\widehat{VMA})= 60^\circ).

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Model Rezolvat Teza clasa a V-a Semestrul II

Dacă A reprezintă succesul în viață, Atunci A= x+y+z, în care x reprezintă munca, y reprezintă joaca, iar z să știi să-ți ții gura. – Albert Einstein.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi este ultima zi de vacantă! De mâine începe școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(more…)

Model Propus Teza clasa a V-a Semestrul II

Exercițiul 1 (1punct):

Scrieți sub formă de fracție ordinară numerele: 0,3;     2,07;     2,1(3).

Rezolvare:

 0,3=\frac{3}{10} ;

   2,07=\frac{207}{100} ; 

2,1(3)=\frac{213-21}{90}=  \frac{192}{90}^{{(2}}=  \frac{96}{45}^{{(3}}=  \frac{32}{15}

Exercițiul 2 (1punct):

Calculați: 9,35 : 5 - 0,87=

  • Rezolvare:

9,35 : 5 - 0,87=1,87 - 0,87=1

Exercițiul 3 (1punct):

Aflați numărul x care este soluție a ecuației:

7,18-x=3,21

Rezolvare:

 7,18-x=3,21 \Rightarrow x=7,18 - 3,21 \Rightarrow x=3,97

Exercițiul 4 (1,5puncte):

Calculați:  1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (3,1^2-4,61) \right ] : 2=

Rezolvare:

Conform ordinii efectuarii operațiilor,mai întâi trebuie să ridicăm la putere.

 1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (3,1^2-4,61) \right ] : 2=

 1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (9,61-4,61) \right ] : 2=

Următoarea operație pe care trebuie să o facem este scăderea din paranteza rotundă. Pentru că am efectuat toate operațiile din paranteza rotundă, transformăm paranteza pătrată în paranteză rotundă.

 1,5\cdot (6,4+2,2\cdot 5 ) : 2=

Următoarea  operație este înmulțirea din paranteza rotundă.

 1,5\cdot (6,4+11 ) : 2=

Apoi adunarea din paranteza rotundă.

 1,5\cdot 17,4 : 2=

Pentru că înmulțirea și împărțirea sunt operații de același ordin și nu mai avem nici o paranteză efectuăm operațiile în ordinea în care sunt scrise. Astfel obținem:

26,10 : 2=13,05

Exercițiul 5 (1,5 puncte):

Rezolvați ecuația:  \left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2

Rezolvare:

Această ecuație se rezolvă pe metoda pasului invers.

 \left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2

Prima oară îl eliminăm pe 1,5 prin operația inversă împărțirii, adică înmulțim întreaga relație cu 1,5.

 \left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2 / \cdot1.5

 \left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] = 7,2\cdot1.5

Putem elimina și paranteza pătrată.

 3\cdot(x+2,7)-4,2 = 10,8

La pasul II scăpăm de 4,2 prin operația inversă scăderii și anume adunare.

 3\cdot(x+2,7)-4,2 = 10,8 / +4,2

 3\cdot(x+2,7) = 10,8 +4,2

 3\cdot(x+2,7) = 15

Următorul pas (III) împărțim cu trei întreaga relație.

 3\cdot(x+2,7) = 15 / :3

 (x+2,7) = 15 :3

 x+2,7 = 5

Ultima operație scădem 2,7.

 x+2,7 = 5 / -2,7

 x= 5-2,7

 x= 2,3

Exercițiul 6 (1,5 puncte):

Media aritmetică a două numere este 8,6. Aflați cele două numere dacă se știe că diferența lor este 1,5.

  • Rezolvare:
  • Notăm cu a și b cele două numere.
  • Scriem formula mediei aritmetice pentru cele două numere

M_{{a}}= \frac{a+b}{2}

M_{{a}}=8,6 \Rightarrow  \frac{a+b}{2}=8,6 \Rightarrow  \frac{a+b}{2}=8,6 / \cdot2 \Rightarrow    a+b=8,6 \cdot 2

\Rightarrow  a+b=17,2

Dar mai știm din enunțul problemei că diferența celor două numere este 1,5.

Astfel obținem următoarea relație:  a-b=1,5.

Dar mai sus am obținut și relația:    a+b=17,2

Adunăm cele două relații și obținem:  a+b+a-b=17,2+1,5 \Rightarrow

 2a=18,7 \Rightarrow  a=18,7:2 \Rightarrow   a=9,35

Înlocuim a în prima relație și îl aflăm pe b.

 9,35 +b =17,2 \Rightarrow b= 17,2 - 9,35 \Rightarrow  b=7,85

Exercițiul 7 (1 punct):

Calculați și exprimați rezultatul în  m^{2}: 0,07 dam^2 -2,3 m^2+140 dm^2=?m^2

Rezolvare:

Transformăm  0,07 dam^2  și 140 dm^2  în m^2 .

Știm că 1 dam =10 m atunci 1 dam^2 =100 m^2

și 1 dm =0,1 m atunci 1 dm^2 =0,01 m^2

Astfel 0,07 dam^2 =7 m^2 și 140 dm^2 =1,4 m^2

Înlocuim și obținem: 0,07 dam^2 -2,3 m^2+140 dm^2=7m^2 -2,3 m^2 +1,4 m^2

4,7m^2 +1,4 m^2=6,1 m^2

Exercițiul 7 (1,5 puncte):

Un dreptunghi are perimetrul egal cu 16 dm. Știind că lățimea este egală cu o treime din lungime, aflați aria dreptunghiului.

Rezolvare:

dreptunghi

Știm că perimetrul este suma laturilor și că P_{{ABCD}}=2\cdot L+2\cdot l

Din datele problemei mai știm l = \frac{1}{3}\cdot L   \Rightarrow L =3\cdot l

Înlocuim în formula perimetrului și aflăm lățimea.

P_{{ABCD}}=2\cdot L+2\cdot l \Rightarrow  P_{{ABCD}}=2\cdot 3\cdot l+2\cdot l \Rightarrow  P_{{ABCD}}=6\cdot l+2\cdot l \Rightarrow  P_{{ABCD}}=8\cdot l \Rightarrow  8\cdot l = 16 dm \Rightarrow l= 16 dm :8  l= 2 dm

Înlocuim și aflăm lungimea :  L =3\cdot l \Rightarrow L=3\cdot 2 dm \Rightarrow L=6 dm

Știm Aria dreptunghiului : A_{{ABCD}}=L \cdot l \Rightarrow  A_{{ABCD}}=6dm \cdot 2dm \Rightarrow  A_{{ABCD}}=12dm^2

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate la Suma Gauss a Fracțiilor Zecimale

“Îi poți da unui elev câte o lecție în fiecare zi, dar dacă îl poți îndruma să învețe stârnindu-i curiozitatea, el își va dedica întreaga viață învățăturii.”
Clay P. Bedford

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea fracțiilor zecimale, exerciții cu un grad de dificultate ridicat în care apare Suma Gauss.

(more…)

Exercițiul 1:

Efectuați următoarele calcule:

1,1 + 2,2 + 3,3 + ………………..+ 9,9 =

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

  •  \frac{11}{10}+\frac{22}{10}+\frac{33}{10}+.....................+\frac{99}{10}=
  • \frac{11+22+33+...................+99}{10}=
  •  \frac{1\cdot 11+2\cdot 11+3\cdot 11+...................+9\cdot 11}{10}=
  •  \frac{11\cdot (1 + 2 +3 +...................+9)}{10}=

Observăm că am obținut Suma Gauss a primelor 9 numere naturale consecutive, aplicăm formula lui Gauss și obținem:

  •  \frac{11\cdot [9\cdot (9+1): 2]}{10}=
  •  \frac{11\cdot [9\cdot 10 : 2]}{10}=
  •  \frac{11\cdot (90 : 2)}{10}=
  •  \frac{11\cdot 45}{10}=
  •  \frac{495}{10}=49,5

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Exercițiul 2:

Efectuați următoarele calcule:

1,11+2,22+3,33+.............+9,99

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

  • \frac{111}{100}+\frac{222}{100}+\frac{333}{100}+.....................+\frac{999}{100}=
  • \frac{111+222+333+.........+999}{100}=
  •  \frac{111\cdot 1+111\cdot 2+111\cdot 3+.........+111\cdot 9}{100}=
  •  \frac{111\cdot (1+ 2+ 3+.........+ 9)}{100}=

Observăm că am obținut Suma Gauss a primelor 9 numere naturale consecutive, aplicăm formula lui Gauss și obținem:

  •  \frac{111\cdot [9 \cdot (9+1)]:2}{100}=
  •  \frac{111\cdot (9 \cdot 10:2)}{100}=
  •  \frac{111\cdot (90 : 2)}{100}=
  •  \frac{111\cdot 45}{100}=
  •  \frac{4995}{100}=49,95

PDF Gratuit: Suma Gauss – Explicatie, Definitie si Exercitii rezolvate

Exercițiul 3:

Calculați suma:

Rezolvare:

Dacă efectuăm înmulțirile obținem:

  • 5 \cdot 200 = 1000

Exercițiul 4:

Calculați suma:

Rezolvare:

Dacă adunăm primele două fracții zecimale obținem:

Adunăm următoarele 2 fracții zecimale și obținem:

Suma Gauss a fracțiilor zecimale

Adunăm următoarele 2 fracții zecimale și obținem:

Observăm că am adunat până în acest moment 4 fracții zecimale iar cifra 8 se repetă de 3 ori. Dacă continuăm adunarea și adunăm toate fracțiile zecimale obținem:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Înmulțirea fracțiilor zecimale

„Este uimitor ce pot face oamenii obişnuiţi dacă se apucă de treabă fără idei preconcepute.” — Charles F. Kettering
Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Data trecută am efectuat exerciții la “Adunarea și Scăderea Fracțiilor Zecimale”.  Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la Înmulțirea fracțiilor zecimale.

(more…)

Exercițiul 1:
Efectuați următoarele înmulțiri:
  1.  2,75 \cdot 3=
  2.  125,75 \cdot 33=
  3.  0,7 \cdot 3,8=
  4.  2,57 \cdot 1,77=
  5.  12,4 \cdot 3,5 \cdot 5,2=
  • Rezolvare:
  1.    2,75 \cdot 3=

 

 

 

 

  • Înmulțim numerele ca la numerele naturale (facem excepție de virgulă).

  • Pentru că fracția zecimală 2,5  are o zecimală punem la produs virgula după o cifră numărând de la dreapta la stânga.

2.   125,75 \cdot 33=

  • Înmulțim numerele ca la numerele naturale (facem excepție de virgulă)

  • Pentru că fracția zecimală  125,75   are două zecimale punem la produs virgula după două cifre numărând de la dreapta la stânga.

  •  0,7 \cdot 3,8=

  • Pentru că fracția zecimală 0,7   are o zecimală după virgulă iar fracția zecimală 3,8  are tot o zecimală după virgulă, am pus la produs virgula după două cifre numărând de la dreapta la stânga.
  •   2,57 \cdot 1,77 =

  • Pentru că fracția zecimală 2,57   are două zecimale după virgulă iar fracția zecimală 1,77   are tot două zecimale după virgulă, am pus la produs virgula după patru cifre numărând de la dreapta la stânga.
  •  12,4 \cdot 3,5 \cdot 5,2=

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea la Fracții Zecimale.

“Ambiția este o pasiune atât de puternică a omului, încât oricât de sus am ajunge niciodată nu vom fi multumiți”.

Nicollo Machiavelli

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea și scăderea fracțiilor zecimale.

(more…)

Exercițiul 1:

Calculați:

  • 0,235 + 10,81
  • 0,05+0,5+0,005
  • 2+3,12+14,203
  • 23,34-14,8
  • 4,3-2,93

Rezolvare:

Petru a aduna două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm fracțiile zecimale una sub alta, astfel încât partea întreagă să fie sub partea întreagă, virgula sub virgulă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi ș.a.m.d, iar apoi efectuăm adunarea ca la numere naturale.

  • 0,235 + 10,81=11,045

  • 0,05+0,5+0,005=0,555
adunarea fractiilor zecimale

fractii zecimale

 

  • 2+3,12+14,203=19,323

 

Pentru a scădea două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm scăzătorul sub descăzut, astfel încât virgula să fie sub virgulă, scădem numerele ca și când ar fi numere naturale.

Dacă descăzutul are mai puține zecimale decât scăzătorul, atunci se adaugă la partea zecimală zerouri pentru a avea același număr de zecimale.

  • 23,34-14,8=8,54

  • 4,3-2,93=1,37

Exercițiul 2:

Rezolvare:

Asezăm termenii adunării unii sub alții astfel:

Exercițiul 3:

0,9+1,9+2,9+3,9+………………………………….+99,9=

Observăm că sunt foarte multe numere și ca să le adunăm ne-ar lua timp foarte mult. Mai observăm ca este o Suma Gauss de fracții zecimale.

Așa că vom face un mic artificiu matematic și vom scrie fiecare fracție zecimală asa: spre exemplu  0,9=1 - 0,1   iar pe 1,9=2 - 0,1 , s.a.m.d.

Rezolvare:

0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=

(1-0,1)+(2-0,1)+(3-0,1)+.............................+(100-0,1)=

1-0,1+2-0,1+3-0,1+.............................+100-0,1=(1+2+2+.............+100) - (0,1+0,1+0,1+......................+0,1)=

Observăm că prima paranteză este Suma Gauss a primelor 100 numere naturale consecutive, iar în a doua paranteză 0,1 se repetă de 100 de ori.

Aplicăm formula lui Gauss

100\cdot (100+1) : 2 - 100\cdot 0,1=

100\cdot 101 : 2 - 10=

5050 - 10= 5040

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere.Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

Clasa a VIII-aDragul meu părinte bine te-am regăsit! În cel de-al doilea capitol de algebră în clasa a VIII-a se studiază “Calcule cu numere reale reprezentate prin litere”, iar prima lecţie din acest capitol este de “Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere”. Totuşi copilul tău nu este străin de acest tip de calcul al numerelor reprezentate prin litere, ele au mai fost studiate şi în clasele anterioare doar ca în acest capitol aplicăm aceste informaţii pe “mulţimea numerelor reale”

  • Definiţie:Se numeşte expresie algebrică o succesiune de numere şi sau litere legate între ele prin operaţii aritmetice (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere).

Observaţii:

Expresia algebrică obţinută prin înmulţirea unui număr cu o literă se numeşte “termen al expresiei algebrice”.

  • Exemplu: 7\cdot x, 4x, 2\cdot\sqrt{3}\cdot x, 3\cdot\sqrt{5}\cdot x - 9z ^{3}.

Numărul care apare în scrierea unui termen se numeşte “coeficientul termenului”.

Literele care intră în componenţa unui termen alcătuiesc “partea literală”.

exemplu-nr-reprezentate-prin-litereObservaţie: Cu numerele reale reprezentate prin litere se pot efectua  operaţii de:
adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere, ele având aceleşi proprietăţi ca şi la numere reale.

Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

Definiţie:Se numesc termeni asemenea acei termeni care conţin aceeaşi parte literală la acelaşi exponent.

termeni-asemenea-nr-reale

 

  • Adunarea şi scăderea cu termeni asemenea se numeşte “operaţia de reducere a termenilor asemenea”.
  • “Operaţia de reducere a termenilor asemenea” este operaţia prin care se obţine un termen asemenea celor doi, iar coeficientul noului termen este obţinut prin efectuarea operaţiei indicate asupra celor doi termeni asemenea.
  • “Forma canonică”  este expresia algebrică care nu conţine termeni asemenea

forma-canonica-buna

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Exerciții rezolvate „Reguli de Calcul cu puteri”

clasa a VI-aDragul meu părinte, în lecţia anterioară „Reguli de calcul cu puteri” am vorbit despre noţiunile pe care trebuie sa le reţină copilul tău la această lecţie.

In acest articol, vreau să îţi prezint câteva exemple de exerciţii cu un grad de dificultate diferit, explicate pas cu pas, pentru a te ajuta să-i explici şcolarului tău modul în care trebuiesc abordate exerciţiile de la această lecţie.

(more…)

  • Exerciţiul 1:  Calculaţi:
  •  15^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

Dragul meu părinte, observăm că în acest exerciţiu avem operaţii de ridicare la putere care sunt operaţii de ordin III, operaţii de împărţire a numerelor naturale care sunt operaţii de ordinul II şi operaţia de scădere care este o operaţie de ordinul I.

Comform ordinii efectuarii operaţiilor numerelor naturale, mai întâi efectuăm operaţiile de ordinul III (ridicarea la putere), apoi operaţiile de ordinul II (împărţirea), iar la urmă efectuăm operaţiile de ordinul I (scăderea).

Pentru că avem ridicare la putere cu un exponent mare( şi ar dura mult timp) aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a simplifica rezolvarea exerciţiului, după cum urmează:

Astfel obţinem:

(5\cdot3) ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

5^{38}\cdot3 ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

1\cdot3 ^{38} - (3^{19})^{2}=

"1\cdot3

3 ^{38} - 3^{38}=0

Exerciţiul 2:  Calculaţi: a=(b-c) ^{2011}dacă :                                  b=[(2 ^{3})^{2}-1954^{0}] : 3^{2^{1^{7}}}-(4^{1^{2^{3}}}-1^{4^{3^{2}}})

c=32\cdot7 ^{5}-14^{5}+3<br /><br />

Rezolvare:

Mai întâi aducem la o formă mai simplă pe „b” şi pe „c”.

Avem :  1954 ^{0}=1

deoarece  ştim ca orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Deasemenea ştim că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1

Astfel obţinem:         b=(2 ^{3\cdot2}-1) : </p> <p>3 ^{2^{1}}-( </p> <p>4 ^{1^{8}}-1 ^{4^{9}}</p> <p>)

                                b=(2 ^{6}-1) : </p> <p>3 ^{2}-( </p> <p>4 ^{1}-1</p> <p>)

                               b=(64-1) : 9 - 3

                              b=63 : 9 - 3<br />

                              "b=

                              b=4<br />

                             c=32\cdot7 ^{5}-14 ^{5}+3

                             c=32\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                            c=2^{5}\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                           c=(2\cdot7) ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                           c=0+3

                           c=3

Calculăm numărul „a”:       a=(4-3) ^{2011}

                                          a=1 ^{2011}

                                          a=1

  • Exerciţiul 3:
  • Determinaţi numărul natural “n” pentru care sunt adevărate egalităţile:
  • "7

 

Dragul meu părinte, observăm ca in acest exerciţiu avem suma lui Gauss.

"11+12+13+..............+30=<br

"(11+30)+(12+29)+..............=<br

Avem 20 termeni grupati in 10 paranteze, iar suma fiecarei paranteze este egală cu 41.

"41+41+............+41=<br

(de 10 ori)

"10\cdot41<br

Astfel obţinem: 7 ^{10\cdot41}=7^{n\cdot3}\cdot7^{2}

7 ^{410}=7^{3n+2}   \Rightarrow410={3n+2}  /(-2)

410-2 =3n+2-2

408 =3n /: 3

408 : 3 =3n : 3

136 =n

  • Exerciţiul 4:
  • Demonstraţi că pentru orice număr natural “n” este adevărată relaţia:
  • 15 / A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

Pentru a demonstra că 15 divide numărul A trebuie să demonstrăm că numărul A este un multiplu de 15. Să aducem numărul A la o formă mai simplă.

 A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

Pentru început îl descompunem pe 72 in factori primi şi obţinem:

 A= (2 ^{3}\cdot3 ^{2}) ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri: "(a

A=2 ^{3(n+1)}\cdot3 ^{2(n+1)}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

A=2 ^{3n+3}\cdot3 ^{2n+2}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri:  a ^{m+n}=a ^{m}\cdot a ^{n}

A=2 ^{3n}\cdot2 ^{3}\cdot3 ^{2n}\cdot3 ^{2}+3 ^{2n}\cdot3 ^{1}\cdot2 ^{3n}\cdot2 ^{2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

La următorul pas dăm factor comun pe: 2 ^{3n}\cdot 3 ^{2n}

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(2 ^{3}\cdot3 ^{2}+3 \cdot2 ^{2}+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(8\cdot9+3 \cdot4+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(72+12+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}\cdot90<br />

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

REGULI DE CALCUL CU PUTERI

clasa a VI-aDragul meu părinte, copilul tău a învăţat prima oară această lecţie: „ Reguli de calcul cu puteri” în anul anterior, în clasa a V-a.

În acest an, în clasa a VI-a această lecţie este reamintită, deoarece noţiunile învăţate în această lecţie îi sunt utile copilului tău la următoarea lecţie: „ Criterii de diviozibilitate”.

(more…)

Dar să vedem, dragul meu părinte, ce ar trebui să reţină copilul tău la această lecţie: „Reguli de calcul cu puteri”:

  • Definiţie:

    Fie „a” şi „n” , două numere naturale, cu n ≥ 2.Produsul a „n” factori egali cu „a” se numeşte puterea a n-a a numărului „a” şi se notează :

  • Se scrie:      a^{n}

  • Se citeşte: „ a la puterea n”.

  • a” se numeşte bază.

  • n” se numeşte exponent.

  • Exemplu:

                    a · a = a²

a · a · a= a³

a · a· a· …………….· a =   a^{n}

  • Excepţie:   a^{1}= a şi  a^{0} = 1
  • Orice număr la puterea 1 este egal cu el însuşi.
  • Orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Dar să vedem, dragul meu părinte, care sunt regulile cu puteri:

  • Înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază:

  •  a^{m}\cdot a ^{n}=a^{m+n}
  • – se scrie baza şi se adună exponenţii

  • Împărţirea puterilor cu aceeaşi bază:

  •  a^{m}\div a ^{n}=a^{m-n}
  • se scrie baza şi se scad exponenţii
  • Puterea unei puteri:

  • <br /><br /><br /><br />
(a^{m}) ^{n}=a^{m\cdot n}
  • -se scrie baza şi se înmulţesc exponenţii
  • Puterea unui produs:

  • <br /><br /><br /><br />
(a\cdot b) ^{n}=a^{n}\cdot b^{n}
  • Puterea unui cât:

  • 
(a\div b) ^{n}=a^{n}\div b^{n}

Dragul meu părinte, la această lecţie, copilul tău trebuie să reţină şi prioritatea pe care o are ridicarea la putere în calcul.

  • Ridicarea la putere este o înmulţire repetată.

  • Exponentul arată de câte ori se repetă produsul prin care se calculează puterea.

  • Ridicarea la putere este o operaţie de ordinul III.

  • Dacă într-un exerciţiu nu există paranteze, atunci se efectuează întâi redicările la putere, apoi înmulţirile şi împărţirile, iar la final, adunările li scăderile.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Exerciții rezolvate la Divizor. Multiplu

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, în articolul anterior am vorbit despre „Divizor. Multiplu”.

Iată şi câteva aplicaţii la lecţia „Divizor. Multiplu”, exerciţii cu grad diferit de dificultate, explicate pas cu pas, să te ajute să i le explici copilului tău.

(more…)

  • EXERCIŢIUL 1:
  • Dacă „a” şi „b” sunt numere naturale şi x = 3· a + 6 · b arătaţi că x este multiplu de 3.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „x” ca un multiplu de 3.

  • x = 3 · a + 6 · b 
  • x = 3·( a + 2 · b)
  • x 3
  • EXERCIŢIUL 2:
  • Arătaţi că numărul „m + n” este divizibil cu 12, unde

m = 2 + 4 + 6 + ……. + 100, iar n = 11· (2 + 4 + 6 + ……. + 100).

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „m+n” ca un multiplu de 12. Dar, ca să-l scrie pe „m + n” ca un produs de numere dintre care un număr să fie 12, copilul tău trebuie să îl calculeze mai întâi pe „m” şi pe „n”.

Dragul meu părinte, observăm va „m” şi „n” sunt reprezentate de două numere scrise cu ajutorul sumei lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100.

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să ştie că între numărul 1 şi 100 sunt 100 de termeni dintre care 50 de termeni sunt numere pare şi 50 de termeni sunt numere impare.

  • m = 2 + 4 + 6 + ……. + 100   (m are 50 termeni)
  • Pentru a calcula Suma lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100 scriem astfel:
  • m = 2 + 4 + 6 + ……. 96+98+ 100.
  • Observăm că dacă adunăm:
  • 2 + 100 = 102.
  • 4 + 98 = 102.
  • 6 + 96 = 102.
  • …………………….
  • După care, dragul meu părinte, copilul tău va trebui să grupeze termenii 2 câte 2 astfel: primul termen cu ultimul termen, al doilea termen cu penultimul şi aşa mai departe.
  • m = (2 + 100) + (4+ 96)+(6+98)+…………….      .   (“m” are 25 paranteze)
  • Obţinem astfel 25 de paranteze, iar rezultatul fiecărei paranteze este 102.
  • Putem scrie:
  • m = 25 · 102
  • Efectuând înmulţirea obţinem: m = 2550.
  • Analog îl calculăm şi pe „n” .
  • Observăm dragul meu părinte ca n = 11· (2 + 4 + 6 + ……. + 100), adică
  • n = 11· m
  • n = 11· 2550
  • n = 28 050
  • Dragul meu părinte, calculând „m + n” obţinem:
  • m + n = 2550+28050 = 30 600
  • Dragul meu părinte, la începutul rezolvării acestui exerciţiu am spus că pentru a demonstra că m+n este divizibil cu 12, copilul tău trebuie să scrie numărul „m + n” ca un produs de două nu numere dintre care unul dintre numere să fie 12.
  • În cazul acestui exerciţiu, copilul tău trebuie să-l scrie pe 30 600 ca un produs de două numere dintre care unul trebuie să fie 12.
  • Păi să vedem, dragul meu părinte, se împarte exact 30 600 la 12?
  • 30 600 : 12 = ?
  • 30 600 : 12 = 2550
  • 30 600 = 12 · 2550
  • 30 600 12
  • EXERCIŢIUL 3:
  • Scrieţi toţi multiplii lui 7 cuprinşi între 15 şi 65.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să gasească toate numerele cuprinse între 15 şi 65 care se împart exact la 7.

Stim că:

  • 2 · 7 = 14 (dar 14 este mai mic decât 15 deci nu este bun).
  • 3· 7 = 21 ( 15 < 21 < 65)( 21 este un număr bun)
  • 4· 7 = 28 ( 15 < 28 < 65)( 28 este un număr bun)
  • 5· 7 = 35 ( 15 < 35 < 65)( 35 este un număr bun)
  • 6· 7 = 42 ( 15 < 42 < 65)( 42 este un număr bun)
  • 7· 7 = 49 ( 15 < 49 < 65)( 49 este un număr bun)
  • 8· 7 = 56 ( 15 < 56 < 65)( 56 este un număr bun)
  • 9· 7 = 62 ( 15 < 63 < 65)( 63 este un număr bun)
  • 10· 7 = 70 ( 15 < 65 < 70) (70 nu este un număr bun).
  • În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:
  • S = { 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}.
  • EXERCIŢIUL 4:
  • Un număr natural nenul „a” are printre divizorii săi numerele 3, 5 şi 7. Scrieţi încă 4 divizori diferiţi de aceştia ai numărului „a”.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stie că un număr natural nenul „a” care se divide în acelaşi timp cu numerele „b”, „c” şi „d” , atunci se divide şi cu produsul acestor numere.

În cazul nostru numărul „a” se divide cu numerele: 3, 5 şi 7 că numărul „a” se divide şi cu numărul 3 · 7 = 21, 3 · 5 = 15, 5· 7 = 35, 3 · 5 · 7 = 105.

În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:

S = { 15, 21, 35, 105}.

  • EXERCIŢIUL 5:
  • Dacă a / b şi b /c , atunci arătaţi că a /c.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău va lucra pe caz general ( nu stie ce valori au numerele „a”, „b” şi „c”). Aplicand definiţia divizibilităţii obţinem:

  • a / b     atunci “b” se împarte exact la „a”
  • b = a · m , m ϵ N   (relaţia 1)
  • b /c       atunci  “c” se împarte exact la „b”
  • c = b · n , n ϵ N     (relaţia  2 )

Dacă înlocuim în cea de-a doua relaţie pe numărul „b” obţinut în relaţia 1, obţinem:

  • c = a · (m· n)

În concluzie , obţinem că a /c.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

1 2