Probleme rezolvate cu Teorema lui Thales

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. In articolul de ieri am discutat despre Teorema lui Thales, despre Reciproca Teoremei lui Thales, despre Teorema Bisectoarei și ți-am povestit și legenda Teoremei lui Thales. Astăzi vreau să rezolvăm împreuna câteva probleme de geometrie în care se aplică teoremele menționate mai sus.

Problema 1:

În  \Delta ABC se dau AB=52 cm, AC=72 cm și  P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38 . Dacă  M \in (AB),  N \in (AC) astfel încât MN \parallel BC , și   P_{{\Delta MNP}}=50 cm  calculați lungimile segmentelor [AM], [AN] și [MN].

Rezolvare:

Această problemă se rezolvă cu teorema lui Thales.

Observăm că  P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38   este o sumă Gauss. Rezolvăm Suma Gauss pentru a afla perimetrul.

 P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38 .

Observăm că putem da factor comun pe 2.

 P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot(1+3+5+7+......+19)

Calculăm numărul de termeni cu formula lui Gauss.

n=(19-1) : 2 +1

n=18 : 2 +1

n=9 +1

n=10 (termeni)

Calculăm Suma Gauss cu formula

 P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot (19+1) :2]

 P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot 20 :2]

 P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[200 :2]

 P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot 100

 P_{{ \Delta ABC}}=200 cm .

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Din perimetru putem afla dimensiunea laturii BC.

 P_{{ \Delta ABC}}=AB +AC +BC

 200 cm = 52 cm + 72 cm +BC

 BC= 200 cm - 124 cm

 BC= 76 cm

Știm din datele problemei că  MN \parallel BC  deci putem aplica teorema lui Thales

 MN \parallel BC \Rightarrow \frac{AM}{{AB}}=\frac{AN}{{AC}}=\frac{MN}{{BC}}=k

\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=\frac{AN}{{72cm}}=\frac{MN}{{76cm}}=k

\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=k    \Rightarrow AM=52cm \cdot k

\Rightarrow \frac{AN}{{72cm}}=k    \Rightarrow AN= 72cm\cdot k

\Rightarrow \frac{MN}{{76cm}}=k \Rightarrow MN= 76cm\cdot k

 P_{{ \Delta MNP}}= MN +MP +NP

50 cm = 52cm \cdot k+ 72 cm \cdot k+76 cm \cdot k

50 cm = 200cm \cdot k

k = 200cm : 50 cm

k=\frac{1}{4}

\Rightarrow AM=52cm \cdot k=52cm \cdot \frac{1}{{4}}   \Rightarrow AM=13cm

\Rightarrow AN=72cm \cdot k=72cm \cdot \frac{1}{{4}}  \Rightarrow AN=18cm

\Rightarrow MN=76cm \cdot k=76cm \cdot \frac{1}{{4}}  \Rightarrow MN=19cm

Problema 2:

Un trapez ABCD, AB \parallel CD, AB \gt CD are AB = 26 cm și linia mijlocie MN = 18 cm, M \in (AD), N \in (BC).

a) Calculați lungimea bazei mici a trapezului.

b) Dacă P și Q sunt două puncte, P \in (AB), Q \in (DC) și PQ \cap MN= \left \{ R \right \}, arătați că R este mijlocul lui \left [ PQ \right ].

Rezolvare:

a) Știm că MN este linie mijlocie.

MN=\frac{AB+CD}{{2}}     \Rightarrow 2\cdot MN=AB+CD    \Rightarrow 2\cdot 18 cm=26 cm+CD  \Rightarrow 36cm -26 cm=CD   \Rightarrow CD = 10 cm

b)

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Leave a Reply