Exerciții Rezolvate la “Operaţii cu Numere Reale Reprezentate prin Litere”

Clasa a VIII-aDragul meu părinte bine te-am regăsit! Săptămâna aceasta ti-am prezentat în două articole “adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere”  şi “înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere” , azi te invit să efectuăm împreună cateva exerciţii cu numere reale reprezentate prin litere.

(more…)

EXERCIŢIUL 1: Calculaţi:

a) x ^{2} y ^{2}\cdot (-2 y z ^{2})=

Înmulţim coeficientii între ei iar la partea literală scriem literele o singură dată şi adunăm exponenţii.

x ^{2} y ^{2}\cdot (-2 y z ^{2})=1\cdot (-2) x ^{2+0} y ^{2+1}z ^{0+2}=-2 x ^{2} y ^{3}z ^{2}

b)  \sqrt{3}x\cdot (-\sqrt{12}xy)=

Înmulţim coeficientii între ei  iar la partea literală scriem literele o singură dată şi adunăm exponenţii.

 \sqrt{3}x\cdot (-\sqrt{12}xy)=\sqrt{3}\cdot (-\sqrt{12})x^{1+1}y^{0+1}==(-\sqrt{3\cdot12})x^{2}y^{1}=(-\sqrt{36})x^{2}y^{1}=-6x^{2}y^{1}

c)  \frac{1}{2}xy \cdot 1\frac{1}{3}x^{2}y=

Mai întâi introducem întregul în fracţie la termenul al doilea, după care înmulţim coeficienţii între ei (fracţiile),  iar la partea literală scriem literele o singură dată şi adunăm exponenţii.

 \frac{1}{2}xy \cdot 1\frac{1}{3}x^{2}y=\frac{1}{2}xy \cdot \frac{1\cdot3+1}{3}x^{2}y=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} x^{1+2}y^{1+1}=\frac{4}{6} x^{3}y^{2}=\frac{2}{3} x^{3}y^{2}

d) 54 a^{3} b^{3}: (-6a^{2} b)=

Împărţim coeficienţii între ei, iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

54 a^{3} b^{3}: (-6a^{2} b)=54 :(-6) a^{3-2} b^{3-1}=(-9) a b^{2}

e)  -35x^{3}y z^{3} :(-7x^{2}y z)=

Împărţim coeficienţii între ei, iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

 -35x^{3}y z^{3} :(-7x^{2}y z)=-35:(-7)x^{3-2}y^{1-1} z^{3-1}=5x^{1}y^{0} z^{2}=5x z^{2}

f) \sqrt{27} x^{5}y ^{2}:(-\sqrt{3} x^{3})=

Împărţim coeficienţii între ei (radicalii), iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

\sqrt{27} x^{5}y ^{2}:(-\sqrt{3} x^{3})=\sqrt{27}:(-\sqrt{3}) x^{5-3}y ^{2-0}}=-\sqrt{27:3}x^{2}y ^{2}}=-\sqrt{9}x^{2}y ^{2}}=-3x^{2}y ^{2}}

g) (-1\frac{1}{2}a ^{3} b^{3}):(-1\frac{1}{3}a ^{3} b^{2})=

Mai întâi introducem întregul în fracţie în cei doi termeni, după care împărţim coeficienţii între ei (fracţiile),  iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

(-1\frac{1}{2}a ^{3} b^{3}):(-1\frac{1}{3}a ^{3} b^{2})=(-\frac{1\cdot2+1}{2}a ^{3} b^{3}):(-\frac{1\cdot3+1}{3}a ^{3} b^{2})

=(-\frac{3}{2}a ^{3} b^{3}):(-\frac{4}{3}a ^{3} b^{2})=-\frac{3}{2}: (-\frac{4}{3})a ^{3-3} b^{3-2}=

=-\frac{3}{2}\cdot (-\frac{3}{4})a ^{3-3} b^{3-2}=\frac{3\cdot 3}{2\cdot 4}a ^{0} b^{1}=\frac{9}{8}b

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

Clasa a VIII-aBine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul pe care l-am postat ieri pe blog am vorbit despre “adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere”.

În articolul de azi am să îţi vorbesc despre înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

(more…)

Observaţie:Prin “Inmulţirea a două numere reale reprezentate prin litere” (nu neapărat termeni asemenea)  se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu produsul coeficienţilor termenilor daţi, iar partea literală este formată din toate literele luate o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea suma exponenţilor pe care  i-a avut în termenii daţi.

inmultirea-nr-reale-reprezentate-prin-litere

Observaţie: Prin “Împărţirea a două numere reale reprezentate prin litere” (nu neapărat termeni asemenea)  se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu câtul coeficienţilor termenilor daţi, iar partea literală este formată din toate literele luate o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea diferenţa exponenţilor pe care  i-a avut în termenii daţi.

impartirea-nr-reale-reprezentate-prin-litere

Observaţie: Prin “Ridicarea la puterea întreagă a unui număr real reprezentat prin litere”   se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu puterea întreagă a coeficienţului iniţial, iar partea literală este formată din aceleaşi litere ca ale temenului iniţial, fiecare literă având exponent egal cu produsul dintre exponentul iniţial şi puterea la care s-a ridicat numărul real reprezentat prin literă.

ridicarea-la-putere-a-nr-reale

Observaţie: 

  • Operaţiile de adunare, scădere, înmulţire, împărţire şi ridicare la putere a expresiilor algebrice îşi pastrează aceleaşi reguli şi proprietăţi ca la numere reale.
  • La înmulţirea unui factor cu o paranteză (proprietatea de distributivitate a înmulţirii faţă de adunare şi scădere) înmulţim factorul din faţa parantezei cu fiecare termen din paranteză.
  • La înmulţirea a două paranteze înmulţim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din cea de-a doua paranteză, iar la final reducem termenii asemenea.
  • La împărţirea unei paranteze cu un factor împărţim fiecare termen din paranteză la factor, dacă operaţia de împărţire este posibilă, dacă nu scriem termenii ca fracţie.

inmultirea-si-impartirea-numerelor-reprezentate-prin-litereimpartirea-unei-paranteze-la-un-factor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere.Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

Clasa a VIII-aDragul meu părinte bine te-am regăsit! În cel de-al doilea capitol de algebră în clasa a VIII-a se studiază “Calcule cu numere reale reprezentate prin litere”, iar prima lecţie din acest capitol este de “Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere”. Totuşi copilul tău nu este străin de acest tip de calcul al numerelor reprezentate prin litere, ele au mai fost studiate şi în clasele anterioare doar ca în acest capitol aplicăm aceste informaţii pe “mulţimea numerelor reale”

(more…)

  • Definiţie:Se numeşte expresie algebrică o succesiune de numere şi sau litere legate între ele prin operaţii aritmetice (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere).

Observaţii:

Expresia algebrică obţinută prin înmulţirea unui număr cu o literă se numeşte “termen al expresiei algebrice”.

  • Exemplu: 7\cdot x, 4x, 2\cdot\sqrt{3}\cdot x, 3\cdot\sqrt{5}\cdot x - 9z ^{3}.

Numărul care apare în scrierea unui termen se numeşte “coeficientul termenului”.

Literele care intră în componenţa unui termen alcătuiesc “partea literală”.

exemplu-nr-reprezentate-prin-litereObservaţie: Cu numerele reale reprezentate prin litere se pot efectua  operaţii de:
adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere, ele având aceleşi proprietăţi ca şi la numere reale.

Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

Definiţie:Se numesc termeni asemenea acei termeni care conţin aceeaşi parte literală la acelaşi exponent.

termeni-asemenea-nr-reale

 

  • Adunarea şi scăderea cu termeni asemenea se numeşte “operaţia de reducere a termenilor asemenea”.
  • “Operaţia de reducere a termenilor asemenea” este operaţia prin care se obţine un termen asemenea celor doi, iar coeficientul noului termen este obţinut prin efectuarea operaţiei indicate asupra celor doi termeni asemenea.
  • “Forma canonică”  este expresia algebrică care nu conţine termeni asemenea

forma-canonica-buna

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Exerciții rezolvate la numere reale!

Clasa a VIII-aBine te-am regăsit dragul meu părinte! În articolul pe care l-am publicat luni pe blog am rezolvat trei exerciţii la lecţia mulţimea numerelor reale. Astăzi revin cu un nou articol în care mai explic pas cu pas doua exemple de exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat pentru a veni în ajutorul tău şi al copilului tău.

 

(more…)

EXERCIŢIUL 1: Determinaţi elementele mulţimilor:

A=\left \{ x\epsilon N|  \frac{15}{2x+1}\epsilon N \} şi B=\left \{ x\epsilon Z| \frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.

Rezolvare: Să aflăm întâi mulţimea A.

A=\left \{ x\epsilon N|  \frac{15}{2x+1}\epsilon N \}

Exerciţiul îmi cere să găsesc toate valorile numere naturale care îndeplinesc condiţia: \frac{15}{2x+1}\epsilon N \Rightarrow2x+1 \epsilon D_{{15}}.

Numitorul 2x+1 trebuie să aparţină mulţimii divizorilor lui 15, deoarece împărţirea 15 la 2x+1 trebuie să fie o împărţire exactă, astfel încât rezultatul să aparţină mulţimii numerelor naturale.

 D_{{15}}=\left \{ 1,3,5,15 \right \}

2x+1=1 | -1 \Rightarrow 2x=1-1 \Rightarrow2x=0| :2 \Rightarrow x=0

2x+1=3 | -1 \Rightarrow 2x=3 -1 \Rightarrow 2x=2 | :2 \Rightarrow x=1

2x+1=5 | -1 \Rightarrow 2x=5 -1 \Rightarrow 2x=4 | :2 \Rightarrow x=2

2x+1=15 | -1 \Rightarrow 2x=15 -1 \Rightarrow 2x=14 | :2 \Rightarrow x=7

Soluţie :x \epsilon \left \{ 0, 1,2,7\right \}.

  • Determinăm şi mulţimea B=\left \{ x\epsilon Z| \frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.

La această mulţime trebuie să prelucrăm numărătorul în funcţie de numitor, astfel încât să găsim  mulţimea divizorilor unui număr întreg.

\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow\frac{6x+18}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow\frac{6x-9+27}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow\frac{3(2x-3)}{2x-3}+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow3+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z

Deoarece 3\epsilon Z ,  este suficient să demonstrez că \frac{27}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow{2x-3}\epsilon D_{27}

Deoarece sunt pe multimea Z, \Rightarrow D_{27}=\left \{ \pm1, \pm3,\pm9, \pm27 \right \}

2x-3=1| +3 \Rightarrow 2x=1+3 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2

2x-3=-1| +3 \Rightarrow 2x=-1+3 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1

2x-3=3| +3 \Rightarrow 2x=3+3 \Rightarrow 2x=6| :2 \Rightarrow x=3

 2x-3=-3| +3 \Rightarrow 2x=-3+3 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0

 2x-3=9|+3 \Rightarrow 2x=9+3 \Rightarrow 2x=12| :2 \Rightarrow x=6 2x-3=-9|+3 \Rightarrow 2x=-9+3 \Rightarrow 2x=-6| :2 \Rightarrow x=-3

2x-3=27|+3 \Rightarrow 2x=27+3 \Rightarrow 2x=30| :2 \Rightarrow x=15

2x-3=-27|+3 \Rightarrow 2x=-27+3 \Rightarrow 2x=-24| :2 \Rightarrow x=-12

Soluţie : x\in \left \{ -12;-3;0;1;2;6;15 \right \}

 

EXERCIŢIUL 2: Determinaţi x\in Z pentru care \frac{\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{52-14\sqrt{3}}}{2x-1}\in Z

Rezolvare: Pentru a determina valorile pe care le poate lua x trebuie sa determinam numarătorul. Vom scrie cei doi radicali de la numărător cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat ca un număr la puterea a doua.

Astfel vom scrie \sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2} , iar \sqrt{52-14\sqrt{3}}=\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}.

Obţinem astfel: \frac{\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}+\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}}{2x-1}\in Z \Rightarrow\frac{\left \| 2+\sqrt{3} \right \|+\left \| 7-\sqrt{3} \right \|}{2x-1}\in Z

Considerăm \sqrt{3}\simeq 1,73 obţinem: 2+ 1,73 =3,73 şi 7-1,73 =5,27

Deoarece \left \| 2+\sqrt{3} \right \| şi \left \| 7-\sqrt{3} \right \| sunt numere pozitive, sunt mai mari decît 0,ambele numere  ies de sub modul cu sumnul +, adica 2+\sqrt{3} şi 7-\sqrt{3}.

Obţinem astfel: \frac{ 2+\sqrt{3} +7-\sqrt{3} }{2x-1}\in Z \Rightarrow\frac{ 2 +7 }{2x-1}\in Z \Rightarrow\frac{ 9 }{2x-1}\in Z \Rightarrow2x-1\in D_{9} .

D_{9} =\left \{ \pm1;\pm3;\pm9 \right \}.

 

2x-1=1| +1 \Rightarrow 2x=1 +1 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1
2x-1=-1| +1 \Rightarrow 2x=-1 +1 \Rightarrow 2x=0| :2 \Rightarrow x=0

2x-1=3| +1 \Rightarrow 2x=3 +1 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2

2x-1=-3| +1 \Rightarrow 2x=-3 +1 \Rightarrow 2x=-2| :2 \Rightarrow x=-1

2x-1=9| +1 \Rightarrow 2x=9 +1 \Rightarrow 2x=10| :2 \Rightarrow x=5 2x-1=-9| +1 \Rightarrow 2x=-9 +1 \Rightarrow 2x=-8| :2 \Rightarrow x=-4

Soluţie: x\in \left \{ -4;-1; 0; 1; 2; 5 \right \}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Exerciții Rezolvate la Numere Reale

Clasa a VIII-a

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

În ultimul articol pe care l-am  postat am vorbit despre multimea numerelor reale. Astăzi te invit să rezolvăm împreună câteva aplicaţii la această lecţie. Unele exerciţii au un grad de dificultate mai scăzut, iar unele au grad de dificultate ridicat. De aceea o să le explic pas cu pas, pentru a veni în ajutorul tuturor celor care nu înţeleg foarte bine matematica.

(more…)

EXERCIŢIUL 1:Se dau următoarele fracţii: \frac{1}{2} , \frac{61}{37}\frac{2}{6}\frac{55}{1133}\frac{4}{21}\frac{3}{9}\frac{8}{15}\frac{14}{2\cdot7}\frac{85}{15}\frac{35}{56}\frac{19}{72}\frac{4\cdot3\cdot5}{60}

Determinaţi din şirul de fracţii de mai sus  fracţiile:

–  ireductibile; subunitare;supraunitare;echiumitare.

Rezolvare: Observăm că unele fracţii pot fi simplificate aşa că mai întâi vom aduce şirul la forma cea mai simplă simplificând fracţiile care permit această operaţie:

 \frac{2}{6}^{(2}=\frac{1}{3} \frac{55}{1133}^{(11}=\frac{5}{103} \frac{3}{9}^{(3}=\frac{1}{3};

 \frac{14}{2\cdot7}=\frac{14}{14}^{(14}=\frac{1}{1}=1;   \frac{85}{15}^{(5}=\frac{17}{3};   \frac{35}{56}^{(7}=\frac{5}{8} \frac{4\cdot3\cdot5}{60}=\frac{60}{60}^{(60}=1

Obţinem astfel şirul: \frac{1}{2} , \frac{61}{37} \frac{1}{3} \frac{5}{103}\frac{4}{21}, \frac{1}{3} , \frac{8}{15}1\frac{17}{3}\frac{5}{8}\frac{19}{72}1.

– fracţii ireductibile: (fracţii care nu se poate simplifica, numărătorul şi numitorul , sunt numere prime între ele):

\frac{1}{2} , \frac{61}{37}\frac{4}{21}, \frac{8}{15}\frac{19}{72}.

-fracţii subunitare: (fracţii care au numărătorul mai mic decât numitorul):

\frac{1}{2} \frac{2}{6}\frac{55}{1133}\frac{4}{21},\frac{3}{9} , \frac{8}{15}\frac{35}{56}\frac{19}{72}

 

– fracţii supraunitare: (fracţii care au numărătorul mai mare decât numitorul):

\frac{61}{37}; \frac{85}{15}

– fracţii echiunitare: (fracţii care au numărătorul egal cu numitorul):

\frac{14}{2\cdot7}; \frac{4\cdot3\cdot5}{60}.

EXERCIŢIUL 2: Amplificaţi fracţiile: \frac{7}{15}, \frac{3}{12}, \frac{5}{16}, \frac{3}{10}, \frac{11}{24} , astfel încât să aibă acelaşi numitor comun.

Rezolvare: Determinăm numitorul comun calculând c.m.m.m.c (cel mai mic multiplu comun) al numerelor de la numitor.

Pentru a determina c.m.m.m.c-ul numitorilor trebuie sa desfacem în factori primi numerele după care luăm toate numerele prime o singură dată la puterea cea mai mare.exercitiul-2-aplicatii-nr-reale

 

În concluzie putem scrie:

15= 3\cdot5

12= 2^{2}\cdot3

16= 2^{4}

10= 2\cdot5

24= 2 ^{3}\cdot3

c.m.m.m.c= 2 ^{4}\cdot3\cdot5=16\cdot3\cdot5=240.

Pentru a ştii cu cât amplific fiecare fracţie impart 240 la numitor:ex-2-nr-reale-impartiriObţin astfel următoarele fracţii:

ex-2-nr-reale-amplificarea

EXERCIŢIUL 3:Fie mulţimeaA= \left \{ (-2)^{2}\right \ ; (-3)^{-2} ; \sqrt{0,09} ; \sqrt{5\frac{5}{9}} ;  (-1)^{4}; \sqrt{18} ; \sqrt{1\frac{2}{25}} ; (-\frac{1}{{2}}) ^{-1}; \sqrt{5\frac{3}{9}}  \}.

Calculaţi:  A\bigcap_{}^{}N ; A\bigcap_{}^{}Z; A\bigcap_{}^{}Q; A\bigcap_{}^{}(Q\setminus Z); A\bigcap_{}^{}R; A\bigcap_{}^{}(R\setminus Q)

Rezolvare: Observăm că trebuie să rescriem mulţimea efectuând calculele:

(-2) ^{2}= 4

(-3) ^{-2}= \frac{1}{3 ^2}=\frac{1}{9}

\sqrt{0,09}= 0,3 =\frac{3}{10}

\sqrt{5\frac{5}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+5}{9}}}=\sqrt{\frac{50}{9}}}=\frac{5\sqrt2}{3}

 (-1)^{4}= 1

\sqrt{18}= \sqrt{9\cdot2}=3 \sqrt{2}

\sqrt{1\frac{2}{25}}= \sqrt{\frac{1\cdot25+2}{25}}}=\sqrt{\frac{27}{25}}}=\frac{3\sqrt3}{5}

(-\frac{1}{2}) ^{-1}=(-2)

\sqrt{5\frac{3}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+3}{9}}}=\sqrt{\frac{48}{9}}}=\frac{4\sqrt3}{3}

Obţinem astfel mulţimea: A= \left \{ 4;\frac{1}{9} ; \frac{3}{10} ; \frac{5\sqrt{2}}{3} ; 1; 3\sqrt{2} ; \frac{3\sqrt{3}}{5} ; (-2); \frac{4\sqrt{3}}{3} \}.

A\bigcap {N}= \left \{ 4;1 \right \}

A\bigcap {Z}= \left \{-2;1; 4 \right \}

A\bigcap {Q}= \left \{ 4; \frac{1}{{9}}; \frac{3}{10}; 1; (-2)  \}

A\bigcap(Q\setminus Z)= \left \{ \frac{1}{9};\frac{3}{10} \right \}

A\bigcap {R}= A

A\bigcap {(R\setminus Q)}= \left \{\frac{5\sqrt{2}}{3};3\sqrt{2};\frac{3\sqrt{3}}{5}; \frac{4\sqrt{3}}{3} \right \} .

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să aibă numai note bune in  noul an şcolar.

Dacă ţi-a plăcut articolul te invit sa distribui acest material şi să inviţi şi alţi părinţi să viziteze acest blog!

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com
De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:
https://www.facebook.com/MathMoreEasy

 

Mulţimi de numere reale.

Clasa a VIII-a

Dragul meu părinte, bine te-am regasăsit. Revin după o pauză cam lungă, cu un nou articol.
De data aceasta prima lecţie de algebră pentru clasa a VIII-a: “Mulţimi de numere reale”.

 

(more…)

 

  •  În clasa a V-a s-a studiat “Mulţimea numerelor Naturale” pe care am notat-o cu N={0,1,2,3,4,5,………, +∞}.
  • În clasa a VI-a s-a studiat Mulţimea Numerelor Întregi pe care am notat-o cu:  Z={-∞, ……., -2,-1,0,1,2,3,4,5,………, +∞}.
  • În clasa a VII-a s-a studiat Mulţimea Numerelor Raţionale pe care am notat-o cu: Q={\frac{a}{{b}} ∕ a \in Z, b \in Z*}.

 

  • Observaţie:– Mulţimea Numerelor Raţionale este stabilă în raport cu operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire, adică suma, diferenţa, înmulţirea şi împărţirea a două numere raţionale sunt tot numere raţionale.

 

Observaţie: Pentru orice număr rational nenul “q” , există o unică fracţie ireductibilă   \frac{a}{b} , cu a  \in Z, b  \in Z*  astfel încât q =\frac{a}{b} .

  • Un număr raţional poate fi reprezentat prin fractii ordinare echivalente sau printr-o fracţie zecimală finită sau periodică.

Exemplu:

  • Fracţie ordinară: \frac{5}{6}
  • Fracţie zecimală finită: 2,4
  • Fracţie zecimală periodică: 41,(6)

Mulţimea numerelor reale se notează cu R.
Mulţimea numerelor reale nenule se notează cu R*.

Mulţimea numerelor iraţionale se notează cu R\Q.

  • Observaţie:ℕ ⊂ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
  • Observaţie: Orice număr irational este reprezentat de o fracţie zecimală infinită şi neperiodică.
  • Observaţie: Reciproc, dacă un număr real este reprezentat de o fracţie zecimală infinită şi neperiodică, atunci numărul este irational.

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Test Initial Propus Şi Rezolvat

Clasa a V-aDragul meu părinte, bine te-am regasăsit . De ieri 15.09.2016 a început oficial anul şcolar 2016-2017.Urez pe această cale “Mult succes tuturor şcolarilor, părinţilor dar şi profesorilor”.

Cum bine ştim deja din experienţa anilor trecuţi, un nou an şcolar debutează cu recapitularea noţiunilor învăţate pe parcursul anului de studiu anterior şi cu un test iniţial. Având în vedere structura acestui an 2016-2017 (15 septembrie a picat joi), majoritatea elevilor vor susţine testul iniţial săptămâna viitoare.

Dragul meu părinte, m-am gândit să propun spre exersare un model de test iniţial  pentru  clasa a V-a rezolvat, pentru a venii în ajutorul părinţilor şi a copiilor care urmaresc blogul meu.Aşadar iată prima propunere un test iniţial rezolvat pentru clasa a V-a.

Test iniţial Anul Şcolar 2016-2017

  • Subiectul I:(Pentru fiecare răspuns corect completat se primeşte cu 0,5 puncte )

Completaţi spaţiile libere:

  1. Cel mai mic număr natural de trei cifre distincte este:  ….102….

Rezolvare: Numere distincte înseamnă numere diferite. Obţinem astfel numărul 102 drept cel mai mic număr natural de trei cifre distincte.

 

2. Diferenţa numerelor 1243 şi 756 este: ……487…………….

Rezolvare: Diferenţa numerelor înseamnă operaţia de scădere. Obţinem astfel numărul 1243-756= 487 .

3. Produsul numerelor 137 şi 125 este: ……17125……………

Rezolvare: Produsul numerelor înseamnă operaţia de înmulţire. Obţinem astfel numărul 137\cdot125= 17125 .

4. Numărul cu 1325 mai mare decât 23 este: ……1348……………

Rezolvare: Facem operatie de adunare 1325+23=1348 .

5. Valoarea fracţiei \frac{3}{8} din 64 este: …24………….

Rezolvare: Pentru a calcula valoarea unei fracţii dintr-un număr împărţim pe 64 cu numitorul 8 si înmulţim cu numărătorul 3  .Obţinem astfel (64 : 8) \cdot 3= 8 \cdot 3 = 24

Subiectul II: (Pentru fiecare răspuns corect completat se primeşte cu 0,5 puncte )

Alege răspunsul corect:

  1. Numărul care împărţit la 7 dă câtul 10 şi restul 3 este :

a)    66;     b) 76;    c) 63;    d) 73.

Rezolvare: Aplicăm teorema împărţirii cu rest care îmi spune

deîmpărţitul=împărţitorul \cdot cîtul +restul

În cayul nostru deîmpărţitul = 7 \cdot 10 + 3 = 70+3 = 73

Răspuns corect punctul d)

 

  1. Ştiind că a=7 şi b=3 atunci 2a+3b este egal cu:

a)    27;     b) 23;    c) 5;    d) 15.

Rezolvare : Înlocuim “a” şi “b” şi obţinem : 2a+3b= 2 \cdot 7 + 3 \cdot 3=14 + 9 = 23

  1. Cel mai mic număr care se poate forma din numerele 7, 3 şi 2 este numărul:

a)    237;     b) 273;    c) 732;    d) 327.

Rezolvare : Numerele pe care le putem forma cu cele trei numere sunt: 732, 723, 372, 327, 273, 237. Observăm ca cel mai mic număr este 237.

  1. Perimetrul unui dreptunghi care are lungimea egală cu 25cm  şi lăţimea egală cu 10cm este egal cu:

a)    50cm;     b) 20cm;    c) 70cm;    d) 250cm.

Rezolvare : Ştim că perimetrul unei figuri geometrice este egal cu suma tuturor laturilor. Mai ştim deasemenea că dreptunghiul are 2 lungimi şi 2 lăţimi.

P = 2\cdotL+2\cdotl = 2\cdot25cm+2\cdot10cm = 50cm + 20 cm= 70 cm

  1. Succesorul numărului 5399 este:

a)    5398;     b) 5400;    c) 5300;    d) 5310.

Rezolvare : Ştim că predecesorul ete numărul dinaintea lui 5399 adică 5398, iar succesorul este primul număr după , adica 5400.

Subiectul III: (Pentru fiecare rezolvare corectă se obţine 1 punct).

   Calculaţi respectând ordinea efectuării operaţiilor:

  1. (320 : 8 + 44) – 18×3 =

Rezolvare : Întâi facem operaţiile din paranteză:

(320 : 8 + 44) – 18×3 = (40 + 44) – 54 = 84 – 54 = 30

2.   2 + 10 x [ 632 + 10 x (14 +14 :7)]=

Rezolvare : Facem operaţiile din paranteza rotundă întâi împărţirea apoi adunarea restul exerciţiului îl copiem aşa cum este scris:

2 + 10 x [ 632 + 10 x (14 +14 :7)]=2 + 10 x [ 632 + 10 x (14 +2)]

=2 + 10 x ( 632 + 10 x16)= 2 + 10 x ( 632 + 160)= 2 + 10 x 792 = 2 + 7920 =7922.

Subiectul IV: (Pentru rezolvarea corectă se obţine cu 2 puncte)

În trei lăzi sunt 480 mere. În lada a doua sunt de 3 ori mai multe mere decât în prima, iar în a treia de 2 ori mai multe decât în a doua. Câte mere sunt în fiecare ladă?

Rezolvare : Este o problemă care se rezolvă cu ajutorul metodei grafice.

test-initial-cls-v-pb-sub-4Observăm că avem 10 segmente în figura de mai sus.

Împărţim 480 la 10 şi obţinem astfel numărul de mere din prima ladă.

480 : 10 = 48 (mere în prima ladă)

48 \cdot 3 = 144 (mere în a doua ladă)

144 \cdot 2 = 288 (mere în a treia ladă)

Probă : 48 + 144 + 288 = 480 (mere în total)

Observatie: Se acordă un punct din oficiu.

Timp estimative: 50 min.

  • Succes tuturor copiilor şi să obţineţi note mari! 
Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să aibă numai note bune in  noul an şcolar.

Dacă ţi-a plăcut articolul te invit sa distribui acest material şi să inviţi şi alţi părinţi să viziteze acest blog!

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com
De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:
https://www.facebook.com/MathMoreEasy

 

Evaluare Naţională Sesiunea Specială pentru Olimpici 2015

 

evaluare N 2015Dragul meu părinte, mai sunt doar 4 zile până la Examenul de evaluare naţională pentru elevii de clasa a VIII-a.

În articolul precedent am rezolvat şi explicat exerciţiile date la Sesiunea Evaluării Naţionale 2015.

În acest articol voi aborda exerciţiile date la Evaluarea naţională sesiunea Specială pentru Olimpici 2015.

(more…)

Fiecare exerciţiu îl voi rezolva şi explica pas cu pas, menţionând şi punctajul aferent fiecarui exerciţiu conform baremului de corectare, astfel ca ţie să-ţi fie uşor să-i explicit copilului tău cum să rezolve şi să trateze fiecare exerciţiu pentru a obţine un punctaj cât mai mare la examenul de capacitate care va avea loc pe data de 29 iunie 2016.

SUBIECTUL I – Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.

  1. Rezultatul calculului 20 : 2 -10 este egal cu  0.

  • Rezolvare: Pentru că avem o operaţie de împărţire şi o operaţie de scădere, facem întâi operaţia de împărţire apoi scăderea si obţinem 10-10=0.

 

  1. Dacă  \frac{a}{6}=\frac{25}{3}, atunci “a” este egal cu ..50.

  • Rezolvare: Pentru al afla pe “a” facem produsul mezilor egal cu produsul extremilor şi obţinem:

 3 \cdot a=6\cdot25\Rightarrow3a=150 \Rightarrow a=150 \div 3 \Rightarrow a=50.

  1. Cel mai mic număr natural din intervalul [2,6] este egal cu  2.

  • Rezolvare:Pentru că avem un interval închis (paranteza este pătrată) putem lua  valoarea 2.
  1. Perimetrul unui triunghi echilateral este egal cu 18cm. Lungimea unei laturi a acestui triunghi este egală cu ..6.cm.

  • Rezolvare: Ştim că perimetrul este suma tuturor laturilor. Dar laturile unui triunghi echilateral sunt egale.

P=3 \cdot l \Rightarrow 3\cdot l=18 cm \Rightarrow l=18 cm \div 3 \Rightarrow l=6 cm

  1. În Figura 1 este reprezentat un con circular drept cu raza bazei AO = 3cm şi înălțimea VO = 4cm . Generatoarea VA a acestui con este egală cu ..5..cm.

 

  • Rezolvare: Ştim că ∆ VOA este dreptunghic în unghiul O. În acest caz aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla ipotenuza VA.

\Delta VOA(<O=90^\circ) VA^2=VO^2 + AO^2

 VA^2=4^2 + 3^2

VA^2=16 + 9

VA^2=25

VA=\sqrt{25}=5

  1. În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile măsurate la o stație meteorologică, la aceeași oră, în fiecare zi a unei săptămâni din luna mai.

Sub 1 ex 6 Ses speciala 2015

  •  Cea mai mică temperatură măsurată în acea săptămână a fost de ..12..°C.

 

Pentru fiecare răspuns correct  se acordă 5 puncte.

 

SUBIECTUL al II-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

  1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDABCD

    Sub 2 ex 1 Ses speciala 2015

 

Pentru desenarea corectă a cubului se obţin 4 puncte, iar notarea corectă a cubului se punctează cu 1 punct.

 

  1. Calculaţi media aritmetică a numerelor naturale care sunt divizori ai lui 7.

  • Rezolvare:  Stim din clasa a V-a că numărul natural „b” divide numărul natural „a”, dacă există numărul natural „c”, astfel încât a = b · c.

Sub 2 ex 2 Ses speciala 2015

Dragul meu părinte găseşti mai multe informaţii despre “Divizor. Multiplu” aici: http://mathmoreeasy.ro/divizor-multiplu/ .

Dar să revenim la exerciţiul nostru şi să vedem care sunt divizorii numărului 7.

D_{7}=\left \{ 1;7 \right \}

M_{{a}}=\frac{a+b}{{2}}=\frac{1+7}{{2}}=\frac{8}{{2}}=4

  • Pentru scrierea formulei mediei aritmetice şi identificarea celor 2 divizori se acordă 3 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 2 puncte.
  1. Numerele x şi y sunt direct proporţionale cu numerele 3 și 4 . Determinați cele două numere, ştiind că y este cu 14 mai mare decât x.

  • Rezolvare : Am învăţat în clasa a VI-a Mărimi direct proporţionale şi ştim ca dacă \left \{ x;y \right \} d.p \left \{ 3;4 \right \}\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=k

\Rightarrow \frac{x}{3}=k \Rightarrow x=3k

\Rightarrow \frac{y}{4}=k \Rightarrow y=4k

Dar problema ne spune că y este cu 14 mai mare decât x \Rightarrow y=x +14.

Înlocuim în această ecuaţie pe x şi y în funţie de k şi obţinem:

4k=3k +14 \Rightarrow 4k - 3k=14 \Rightarrow k=14.

Înlocuim şi aflăm valoarea lui x şi a lui y.

x=3k \Rightarrow x=3 \cdot12 \Rightarrow x=36

y=4k \Rightarrow y=4 \cdot12 \Rightarrow y=48

  • Pentru scrierea formulei mărimilor direct proporţionale şi identificarea celor 2 numere în funcţie de k se acordă 2 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 3 puncte.
  1. Se consideră funcţia f :R \rightarrow R, f (x) = x - 5 .
  •                 a) Calculați f (5) .
  •                b) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de coordonate xOy.

Rezolvare:

a)    Calculăm f (5)= 5 - 5 = 0

  • Pentru înlocuirea lui x cu (5) se punctează  3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect se punctează cu 2 puncte.
  • b) Calculăm intersecţia funcţiei cu cele 2 axe Ox şi Oy după care trasăm graficul funcţiei.

\cap OX \Rightarrow y = 0 \Rightarrow f(x) = 0\Rightarrow x - 5 = 0\Rightarrow x = 5\Rightarrow A(5 ; 0)

 \cap Oy \Rightarrow x = 0\Rightarrow f(0) = 0 - 5\Rightarrow f(0) = -5 \Rightarrow B(0 ; -5)

  • Sub 2 ex 4 Ses speciala 2015Pentru reprezentarea fiecarui punct A şi B care aparţine graficului funcţiei f se obţin câte 2 puncte, iar pentru trasarea graficului funcţiei f se punctează cu 1 punct.
  1. Se consideră expresia  E(x) = (\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1}) : \frac{(x+3)(x-1)}{x^2-2x+1} , unde x este număr real, x ≠-3 ,x ≠ -1 şi x ≠1. Arătați că  E(x) =  , pentru orice x număr real, x ≠ -3 , x ≠ -1 şi x ≠1.

  • Rezolvare: Pentru a rezolva expresia trebuie mai întâi să efectuăm operaţia de scădere din paranteză, apoi  operaţia de împărţire dintre cele două fracţii. Pentru a efectua operaţia de scădere din paranteză trebuie să aducem la acelaşi numitor, astfel amplificăm prima fracţie din paranteză cu x+1 iar cea dea doua fracţie din paranteză o amplificăm cu  x-1.

Sub 2 ex 5 Ses speciala 2015

E(x) = (\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1))} - \frac{x-1}{(x+1)(x+1)}) : \frac{(x+3)(x-1)}{x^2-2x+1}

E(x) = \frac{2x+2-x+1}{(x-1)(x+1)} : \frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)^2}

E(x) = \frac{x+3}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)^2}{(x+3)(x-1)}

E(x) = \frac{1}{x+1}

  • Pentru aplicarea formulelor de calcul prescurtat şi pentru scoaterea factorului comun se obţin 3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului  corect al expresiei lui E(x) se punctează  2 puncte.

SUBIECTUL al III-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

  1. Figura 2este schiţa unui steag format din două trapeze dreptunghice ABCD și EFCD, AE DC, în care AB = EF = 8dm , DC = 6 dm, AD = 2 dm și punctul D este mijlocul segmentului AE .

Sub 3 ex 1 Ses speciala 2015

  •  a)Arătați că aria trapezului ABCD este egală cu  14\sqrt{3} dm^{2} .
  • b) Calculaţi lungimea segmentului BF .
  • c) Arătați că unghiul BCF are măsura de 120° .

Demonstraţie:

a)     Ştim că ABCD este trapez  \Rightarrow A_{ABCD}=\frac{(B+b)\cdot h}{2} A_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}=\frac{(8 dm+6 dm)\cdot 2\sqrt{3}dm}{2}=\frac{14 dm \cdot 2\sqrt{3}dm}{2}=\frac{ 28\sqrt{3}dm}{2}=14\sqrt{3}dm^2

  • Pentru enunţarea formulei ariei şi ]nlocuirea corectă a dimensiunilor se acordă 2 puncte, iar pentruobţinerea rezultatului corect al ariei se punctează cu 3 puncte.

b)    ABCD trapez \Rightarrow AB \parallel DC

DCEF trapez \Rightarrow EF \parallel DC   \Rightarrow AB\parallel EF AB\parallel EF  \Rightarrow  ABFE paralelogram  \Rightarrow  BF \equiv AE

AE = AD + DE =2\sqrt{3} dm +2\sqrt{3} dm = 4\sqrt{3} dm\Rightarrow BF = 4\sqrt{3} dm

  • Pentru demonstrarea ABFE paralelogram  se acordă 2 puncte, iar pentruobţinerea rezultatului corect al lui BF se punctează cu 3 puncte.

c)

Sub 3 ex 1 pct C Ses speciala 2015 Sub 3 ex 1 pct C2 Ses speciala 2015\Rightarrow m(<BCF)= 180^\circ -30^\circ-30^\circ=150^\circ -30^\circ= 120^\circ

  • Pentru demonstrarea ∆CMB ∆CNF se acordă 2 puncte, iar pentru obţinerea rezultatului corect al unghiului se punctează cu 3 puncte.
  1. În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu înălţimea de 4m şi latura bazei de 8m .

Sub 3 ex 2 Ses speciala 2015

  •  a) Arătaţi că perimetrul pătratului ABCD este egal cu 32m.
  • b) Arătaţi că aria laterală a piramidei VABCD este egală cu 64\sqrt{2}m^2 .
  • c) Determinaţi măsura unghiului dintre planul unei feţe laterale a piramidei și planul bazei.

 

Demonstraţie:

a)     Pentru a afla perimetrul pătratului facem suma laturilor. Ştim că laturile pătratului sunt egale deci putem scrie:

P_{{ABCD}}=4\cdot l=4 \cdot8 m=32 m.

  • Pentru identificarea dimensiunii laturilor se acordă 3 puncte, iar pentrucalcularea corectă a perimetrului se punctează cu 2 puncte.

b)A_l= \frac{(P_b\cdot a_p)}{2}

Ştim că M este mijlocul segmentului BC şi  \left \{ O \right \}=AC\cap BD ⇒∆VOM dreptunghic în <O.

Pentru a afla dimensiunea lui VM(apotema piramidei) aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM.

\Delta VOM (<O = 90^\circ) : VM^2=VO^2 + OM^2

 VM^2=4^2+4^2

VM^2 = 16 + 16 .

VM^2 = 32 .

VM = 4\sqrt{2} m

A_l= \frac{(P_b\cdot a_p)}{2} = \frac{(32 m \cdot 4\sqrt{2})}{2} = \frac{(128\sqrt{2})}{2} = 64\sqrt{2} m^2.

  •  Pentru calcularea corectă a  dimensiuni laturii VM se acordă 2 puncte, iar pentru calcularea corectă a ariei laterale se punctează cu 3 puncte.

c)

Sub 3 ex 2 pct c Ses speciala 2015

\Delta VOM (<O = 90^\circ) : tg (<VMO) =\frac{VO}{OM} = \frac{4 dm}{4dm} = 1 \Rightarrow m(<VMO) = 45^\circ.

  • Pentru demonstrarea unghiului dintre cele două plane se acordă 2 puncte, iar pentru calcularea corectă a unghiului dintre cele două plane se punctează cu 2 puncte.

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să treacă cu bine peste examenul de capacitate din acest an.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

Subiecte Evaluare naţională 2015

evaluare N 2015Dragul meu părinte, mai sunt doar 10 zile până la Examenul de evaluare naţională proba de matematică din 29 iunie 2016 pentru elevii de clasa a VIII-a.

În articolul precedent am rezolvat şi explicat exerciţiile date la Sesiunea Speciala a Evaluării Naţionale 2016.

În acest articol voi aborda exerciţiile date la Evaluarea naţională sesiunea 2015.

(more…)

Fiecare exerciţiu îl voi rezolva şi explica pas cu pas, menţionând şi punctajul aferent fiecarui exerciţiu conform baremului de corectare, astfel ca ţie să-ţi fie uşor să-i explicit copilului tău cum să rezolve şi să trateze fiecare exerciţiu pentru a obţine un punctaj cât mai mare la examenul de capacitate care va avea loc pe data de 29 iunie 2016.

Subiectul 1

  • Pe foaia de examen trebuie completat doar răspunsul corect în spaţiul punctate.
  1. Rezultatul calculului 10 × 2 – 20 este egal cu … 0.

Rezolvare: Pentru că avem o operaţie de înmulţire şi o operaţie de scădere, facem întâi operaţia de înmulţire apoi scăderea si obţinem 20-20=0.

  1. Dacă  \frac{a}{4}=\frac{3}{2}  atunci “a”  este egal cu …6.

Rezolvare: Pentru al afla pe “a” facem produsul mezilor egal cu predusul extremilor şi obţinem:

2 \cdot a=4\cdot3 .

2a=12 \Rightarrow a=12 \div 2 \Rightarrow a=6 .

  1. Cel mai mare număr natural care aparţine intervalului [1,5] este egal cu 5.

Rezolvare: Pentru că avem un interval închis (paranteza este pătrată) putem lua şi valoarea 5.

  1.  Pătratul ABCD are latura de 6 cm. Perimetrul pătratului ABCD este egal cu 24 cm .

Rezolvare: Ştim că perimetrul pătratului este suma tuturor laturilor. Dar laturile pătratului sunt egale.

P_{ABCD}=4 \cdot l=4 \cdot6 cm=24 cm

  1. În Figura 1 este reprezentat un cub ABCDEFGH . Măsura unghiului determinat de dreptele AB și BF este egală cu  90^{\circ}

SubI ex 5 2015

 

Rezolvare: Ştim că ABFE este pătrat deci măsura unghiului determinat de dreptele AB şi BF este egală cu măsura (\lt ABF)= 90 °.

 

 

 

  1. În diagrama de mai jos este prezentată repartiţia elevilor unei clase a VIII-a, în funcție de notele obţinute la teza de matematică pe semestrul al II-lea.

sub 1 ex 6 2015

Numărul elevilor care au obţinut nota 10 este egal cu  3 elevi .

SUBIECTUL al II-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

Dragul meu părinte, acest subiect are in total 30 puncte. Spre deosebire de subiectul anterior, la acest subiect nu sunt punctate doar raspunsurile ci şi rezolvările şi formulele.

  • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
  • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem
  1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic ABCDABCD

    sub 2 ex 1 2015

  • Pentru desenarea corectă a paralelipipedului se obţin 4 puncte, iar notarea corectă a cubului se punctează cu 1 punct.
  1. Calculaţi media aritmetică a numerelor de două cifre, multipli ai lui 40.

Rezolvare: Stim din clasa a V-a că multiplul unui număr “d”este un numărul “m” obţinut prin înmulţirea lui “d” cu un număr natural.

poza-6-divizorDragul meu părinte găseşti mai multe informaţii despre “Divizor. Multiplu” aici: http://mathmoreeasy.ro/divizor-multiplu/ .

Dar să revenim la exerciţiul nostru şi să vedem care sunt multiplii numărului 40.

40\cdot1=40

40\cdot2=80

40\cdot3=120

40\cdot 4=160

…………

Dar exerciţiul ne cere multiplii de două cifre ai lui 40. Observăm că doar numerele 40 şi 80 îndeplinesc condiţiile impuse de exerciţiul aşa că vom calcula media aritmetică a celor două numere 40 şi 80.

M_{a}=\frac{a+b}{{2}}=\frac{40+80}{{2}}=\frac{120}{{2}}=60

  • Pentru scrierea formulei mediei aritmetice şi identificarea celor 2 multipli 3 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 2 puncte.

Se acordă punctajul maxim şi în cazul în care candidaţii au luat în considerare şi multiplii negativi de două cifre, iar media aritmetică este calculată corect.

  1. Mihai a cheltuit o sumă de bani în două zile. În prima zi Mihai a cheltuit 30% din sumă, iar în a doua zi restul de 35 de lei. Calculați suma de bani cheltuită de Mihai în prima zi.

Rezolvare: Pentru că nu ştim suma iniţială de bani o vom nota cu x.

Notăm: x= suma de bani iniţială.

\frac{30}{{100}}\cdot x=\frac{3x}{{10}}  (a cheltuit Mihai în prima zi)

x- \frac{3x}{{10}}=35 lei

Pentru a putea face calculele aducem la acelaşi numitor, astfel îl amplificăm pe x cu 10 şi obţinem :

\frac{10x-3x}{{10}}=35 lei

\frac{7x}{{10}}=35 lei

x= \frac{35 lei \cdot10}{{7}}= 50 lei (a avut Mihai iniţial)

 \frac{3}{{10}}\cdot 50 lei= 15 lei ( a cheltuit Mihai în prima zi).

  • Pentru notarea sumei de bani se acordă 1 punct , pentru scrierea ecuaţiei  exerciţiului se punctează 2 puncte, iar pentru aflarea corectă a sumei cheltuita în prima zise punctează cu 2 puncte.
  1. Se consideră funcţia f :ℝ \rightarrowℝ,   f (x) = x+2.

a) Calculați f (-2) .

b) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de coordonate xOy .

Rezolvare:

a)    Calculăm f (-2)= -2 +2 = 0

  • Pentru înlocuirea lui x cu (- 2) se punctează  3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect se punctează cu 2 puncte.

b) Calculăm intersecţia funcţiei cu cele 2 axe Ox şi Oy după care trasăm graficul funcţiei.

\cap OX :  y = 0 \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow x +2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow A(-2 ; 0)

\cap Oy :  x = 0\Rightarrow f(0) = 0 +2 \Rightarrow f(0) = 2 \Rightarrow B(0 ; 2)

sub 2 ex 4 2015

  • Pentru reprezentarea fiecarui punct A şi B care aparţine graficului funcţiei f se obţin câte 2 puncte, iar pentru trasarea graficului funcţiei f se punctează cu 1 punct.
  1. Se consideră expresia   E(x) = \frac{x^2-49}{{x^2-7x}}- \frac{2x-7}{{x^2+x}} : \frac{1}{{x+1}}   , unde x

    este număr real, x ≠ -1, x ≠ 0 şi x ≠7. Arătaţi că E(x) = -1, pentru orice x număr real, x ≠ -1,x ≠ 0 şi x≠ 7 .

 Rezolvare: Pentru a rezolva expresia trebuie mai întâi să efectuăm operaţia de împărţire dintre ultimele două fracţii, iar în prima fracţie aplicăm la numărător formula de calcul prescurtat : a^{{2}}-b^{{2}}=(a-b)(a+b) , iar la numitor dăm factor comun pe x.

E(x) = \frac{(x-7)(x+7)}{{x(x-7)}}- \frac{2x-7}{{x(x+1)}} \cdot \frac{x+1}{{1}}

E(x) = \frac{(x+7)}{{x}}- \frac{2x-7}{{x}}

E(x) = \frac{(x+7-2x-7)}{{x}}

E(x) = \frac{(-x)}{{x}}

E(x) = -1

  • Pentru aplicarea formulelor de calcul prescurtat şi pentru scoaterea factorului comun se obţin 3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului  corect al expresiei lui E(x) se punctează  2 puncte.

SUBIECTUL al III-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.                                      (30 puncte)

 

  1. Figura 2 este schiţa unui teren în formă de dreptunghi ABCD cu AB =150m şi AD =100m . Punctul M este mijlocul laturii AD , iar punctul N este situat pe latura DC astfel încât DN = 2NC.

 sub 3 ex 1 2015

 a) Arătați că aria terenului ABCD este egală cu 1,5ha .

 b) Demonstrați că triunghiul MNB este isoscel.

 c) Calculați măsura unghiului format de dreptele MN și NB.

Demonstraţie:

a)     Ştim că ABCD este dreptunghi ⇒A_{{ABCD}}= L\cdot l = 150 m \cdot 100 m = 15000 m^{2}

Transformăm  m^{2} în ha împărţind la 10 000.

Obţinem astfel:  A_{ABCD}=15000 m^{2} =1,5 ha

  •  Pentru enunţarea formulei ariei şi calcularea corectă a ariei se acordă 2 puncte, iar pentrutransformarea din  în ha se punctează cu 3 puncte.

b)    Pentru a demonstra că ∆MNB este  triunghi isoscel este suficient să arătăm că laturile MN şi NB sunt congruente.

Aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice MDN şi BCN şi calculăm MN şi NB.

\Delta MDN(<D= 90^{\circ} ) :  MN^2= MD^2 + DN^2

MN^2 = 50^2 + 100^2

MN^2 = 2500 + 10 000

MN^2 = 12500

MN = \sqrt{12500}

MN = 50\sqrt{5} m

\Delta NCB(<C= 90^{\circ} ) : NB^2= NC^2 + BC^2

NB^2 = 50^2 + 100^2

NB^2 = 2500 + 10 000

NB^2 = 12500

NB=\sqrt{12500}

NB=50\sqrt{5}m

⇒ MN \equiv NB ⇒ ∆ MNB isoscel

  • Pentru identificarea egalităţii laturilor MN şi NB se acordă 3 puncte, iar pentru demonstrarea triunghiului MNB isoscel se punctează cu 2 puncte.

c)      Pentru a calcula măsura unghiului dintre dreptele MN şi NB vom verifica mai întâi dacă ∆MNB este dreptunghic isoscel, folosind Reciproca teoremei lui Pitagora. Calculăm latura MB din tringhiul dreptunghic MAB.

\Delta MAB(<A= 90^{\circ} ) : MB^2= MA^2 + NB^2

MB^2 = 50^2 + 150^2

MB^2 = 2500 + 22 500

MB^2 = 25000

MB=\sqrt{25000}

MB=50\sqrt{10}m

\Delta MNB  : MB^2= MN^2 + NB^2

(50\sqrt{10})^2=(50\sqrt{5})^2+(50\sqrt{5})^2

25 000 = 12500 + 12 500

25 000 = 25 000 \Rightarrow \Delta MNB dreptunghic isoscel
\Rightarrow m(<MNB) =90^\circ .

Pentru identificarea <MNB= 90^\circ se punctează cu 5 puncte.

  1. În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu VA = 3\sqrt{5}dm și AB = 6dm . Punctul M este mijlocul laturii AD

    sub 2 ex 2 2015

    a)Arătaţi că VM = 6 dm.

b) Calculaţi câte grame de vopsea sunt necesare pentru vopsirea suprafeței laterale a piramidei, știind că pentru vopsirea unei suprafeţe de un decimetru pătrat se folosesc 30 grame de vopsea.

c) Demonstrați că sinusul unghiului dintre planele (VAD) și (VBC) este egal cu .

Demonstraţie:

a)     Ştim că VA\equiv VD\Rightarrow \Delta VAD isoscel \Rightarrow VM\perp AD. Pentru a afla dimensiunea lui VM aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VMD.

\Delta VMD (<M = 90^\circ ) : VD^2=DM^2 + VM^2

VM^2=(3\sqrt{5})^2-(3)^2

VM^2=45-9

VM^2=36

VM =\sqrt{36}

VM =6 dm

  • Pentru identificarea dimensiunii laturilor se acordă 2 puncte, iar pentrucalcularea corectă a lui  VM se punctează cu 3 puncte.

b)    La punctual b) trebuie să calculăm aria laterală a piramidei.

A_l=\frac{P_b \cdot a_p{}}{{2}}=\frac{24 dm \cdot 6 dm{}}{{2}}   = \frac{144 dm^2{}}{{2}} =72  dm^2.

 

P_{{b}}=4\cdot l =24 dm

Apotema piramidei a_{{p}}=VM

72 ·30g = 2160g = 2,16 kg.

  • Pentru formula ariei şi calcularea corectă a ariei se acordă 3 puncte, iar pentru calcularea corectă gramajului vopselei  se punctează cu 2 puncte.

c)   Ştim că AD \parallel BC şi

VABCD piramidă patrulateră regulată ⇒ ∆ VBC isoscel ⇒VN ⊥ BC

  • dem 3 Pentru identificarea si demonstrarea unghiului dintre cele 2 plane se acordă 3 puncte, iar pentru calcularea corectă a măsurii unghiului  se punctează cu 2 puncte.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să treacă cu bine peste examenul de capacitate din acest an.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

Evaluare naţională 2016. Sesiunea specială iunie 2016

EvaluareDragul meu părinte, bine te-am regăsit.
Nu am mai scris nimic de mult timp şi pentru că se apropie cu paşi repezi examenul de capacitate pentru absolvenţii clasei a VIII-a m-am gândit în articolul de azi să rezolvăm exerciţiile date la sesiunea specială pentru olimpici care s-a desfăşurat săptămâna trecută.
Voi rezolva şi explica fiecare exerciţiu pas cu pas, menţionând şi punctajul aferent fiecarui exerciţiu conform baremului de corectare, astfel ca ţie să-ţi fie uşor să-i explici copilului tău cum să rezolve şi să trateze fiecare exerciţiu pentru a obţine un punctaj cât mai mare la examenul de capacitate care va avea loc pe data de 29 iunie 2016. (more…)

Subiectul 1

Pe foaia de examen trebuie completat doar răspunsul corect în spaţiul punctat.

  • 1. Rezultatul calculului 10×5 – 10 este egal cu …40 .

Rezolvare: 10×5 – 10 = 50-10 = 40

  • 2. Șase cărți de acelaşi fel costă în total 24 de lei. Trei dintre aceste cărți costă în total ..12 lei.

Rezolvare: Această problemă poate fi rezolvată in mai multe moduri:
Metoda I. 24 : 6=4 (Lei costă o carte)
3 x 4=12 (Lei costă 3 cărti)
Metoda II. Folosind Regula de trei simplă:
6 cărţi……………………24 lei
3 cărţi……………………x lei

x = \frac{(3\cdot24)}{6}=\frac{72}{6}=12 lei

  • 3. Cel mai mic număr natural care aparţine intervalului [1, 4] este egal cu …1 .

Rezolvare: Pentru că avem un interval închis (paranteza este pătrată) putem lua şi valoarea 1.

  • 4. Dreptunghiul ABCD are AB = 5 cm și BC = 3 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu …15  cm^{2}

Rezolvare:  Ştim că aria dreptunghiului este produsul dintre lungime şi lăţime.
A=L x l = 5 cm x 3 cm= 15  cm^{2}

  • 5. În Figura 1 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA’B’C’D’. Măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA’ este egală cu ..90 ° .

sub 1 ex 5

Rezolvare: Ştim că A’ADD’ este dreptunghi deci măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA’ este egală cu măsura (<A’AD)= 90 °.

  • 6. În diagrama de mai jos este prezentată repartiţia după vârstă a elevilor unui club sportiv.Numărul elevilor acestui club sportiv care au vârsta de 7 ani este egal cu …120.

sub 1 ex 6

  • Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte.
  • Nu se acordă punctaje intermediare.

SUBIECTUL al II-lea 

  • Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

  • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

  •  Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Dragul meu părinte, acest subiect are in total 30 puncte. Spre deosebire de subiectul anterior, la acest subiect nu sunt punctate doar raspunsurile ci şi rezolvările şi formulele.

  • 1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH .

ex 1 sub 2

Pentru desenarea corectă a cubului se obţin 4 puncte, iar notarea corectă a cubului se punctează cu 1 punct.

  • 2. Știind că \frac{a}{b}=4 , unde a și b sunt numere reale nenule, arătați că

 \frac{(3a-2b)}{b}=10 .

Rezolvare: Şi această problemă are 2 metode de rezolvare:
Metoda I.  Scriem 4 ca fracţie cu numitorul 1 şi îl scoatem pe “a” în funcţie de “b”.
\frac{a}{b}=\frac{4}{1}\Rightarrow a=4b

\frac{(3a-2b)}{b}=10 .
\frac{(3\cdot4b-2b)}{b}=10

\frac{(12b-2b)}{b}=10.
\frac{10b}{b}=10

10=10 (A)
Metoda II. Scoatem factor comun forţat pe b din a doua ecuaţie.

\frac{b(3\cdot\frac{a}{b}-2)}{b}=10

b se simplifică şi obţinem:

3\cdot\frac{a}{b}-2=10.

(3\cdot4\cdot2)=10

(12 - 2)=10.

10=10 (A)
Pentru efectuarea substituţiei sau a scoaterii factorului comun se obţin 3 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 2 puncte.

  • 3. Preţul unui obiect este de 360 lei. După o reducere cu p% din preţul obiectului, noul preț va fi de 324 lei. Determinați numărul p .

Rezolvare:
Aflam întâi suma cu care s-a ieftinit produsul.
360 lei - 324 lei = 36 lei..

\frac{p}{100}\cdot360 lei = 36 lei.

p=\frac{36\cdot100}{360}=\frac{3600}{360}=10

p = 10 %.

Pentru aflarea sumei cu care s-a ieftinit produsul se obţin 2 puncte, iar pentru scrierea corecta a ecuaţiei lui p si obţinerea rezultatului corect se punctează cu 3 puncte.

  • 4. Se consideră funcţia f :ℝ →ℝ, f (x) = x – 4 .

a) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de coordonate xOy .
b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel.
Rezolvare:
Calculăm intersecţia funcţiei cu cele 2 axe Ox şi Oy după care trasăm graficul funcţiei.

\cap Ox: y = 0 \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow x -4 = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow M(4 ; 0)
\cap Oy : x = 0 \Rightarrow f(0) = 0 - 4 \Rightarrow f(0) = - 4 \Rightarrow N(0 ; - 4)

grafic functie

Pentru reprezentarea fiecarui punct M şi N care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru trasarea graficului funcţiei f(x) se punctează cu 1 punct.

  • b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel.

Rezolvare: Segmentele OM = 4 u  şi ON = 4 u    → OM ≡ ON → triunghiul MON isoscel.

Pentru determinarea dimensiunilor fiecarui segment OM şi ON care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru demonstrarea triunghiului isoscel se punctează cu 1 punct.

  • 5. Se consideră expresia :

E(x)=(\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}) : \frac{5}{x+2} , unde x este număr real,
x ≠ -2 şi x ≠ 3. Arătați că E(x) = 2 , pentru orice x număr real, x ≠ -2 şi x ≠ 3.

Rezolvare: Pentru a rezolva expresia trebuie mai întâi să aducem la acelaşi numitor în paranteză şi să rezolvăm paranteza aplicând formulele de calcul prescurtat :

 (a+b)^{2}= a^{2}+2ab+ b^{2}

E(x)=(\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}) : \frac{5}{x+2}
E(x)=[\frac{(x+2)^2}{x-3}-\frac{(x-3)^2}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}] : \frac{5}{x+2}E(x)=(\frac{x^2+4x+4-x^2+6x-9-25}{(x+2)(x-3)}): \frac{5}{x+2}

E(x)=(\frac{10x-30}{(x+2)(x-3)})\cdot \frac{x+2}{5}

E(x)=\frac{10(x-3)}{(x+2)(x-3)}\cdot \frac{x+2}{5}

Simplificăm termenii asemenea şi obţinem:

E(x)=\frac{10}{5}

E(x)=2

Pentru aducerea la acelaşi numitor şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat se obţin 3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect al expresiei lui E(x) se punctează cu 2 puncte.

SUBIECTUL al III-lea

Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. (30 puncte)

  • 1. Figura 2 este schiţa unui teren. ABCD și BEFC sunt paralelograme cu AD=60m, AB = BE = 80m și punctele A, B și E coliniare. Se consideră punctele M și N pe laturile BE, respectiv CD, astfel încât MN \perp BC și BM = CN = 60 m .

Figura 2a) Arătați că perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu 280 m.
b) Demonstrați că unghiul DAB are măsura de 60° .
c) Demonstrați că aria suprafeței CMEF este mai mică decât 2600 m2 .
Rezolvare:

a) Notăm cu L_{{mare}} =AB=DC laturile mari ale paralelogramului şi cu L_{{mica}}= AD=BC

laturile mici ale paralelogramului.

 P_{ABCD} = 2(L_{mica}+L_{mare}) = 2( AB + AD) = 2 (80 m + 60m) = 2\cdot140m = 280 m.

Pentru scrierea şi  aplicarea formulei perimetrului dreptunghiului se obţin 2 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect al perimetrului se punctează cu 3 puncte.

 b) Ştim din datele problemei ca BM \equiv NC şi ca BM // NC deoarece ABCD şi BEFC sunt paralelograme\Rightarrow BMNC paralelogram şi pentru ca BC \perp MN \Rightarrow BMNC romb \Rightarrow BN≡CN=60m.

Dar ABCD paralelogram \Rightarrow  AD \equiv BC \Rightarrow BC=60 m.

În concluzie am demonstrat ca BN\equiv CN\equiv BC   \Rightarrow\Delta BMC echilateral \Rightarrow m(\lt BCN)= 60^{\circ}.

Dar ABCD paralelogram \Rightarrowm (< BCN)\equiv m (<DAB) \Rightarrow m(\lt DAB)= 60^{\circ}.

Pentru demonstrarea că   BMNC romb se obţin 2 puncte, iar pentru aflarea măsurii  unghiului m(\lt DAB)= 60^{\circ} se punctează cu 3 puncte.

c) Observăm ca MEFC este trapez, iar pentru a calcula Aria trapezului avem nevoie de înălţimea trapezului.

A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}

În cazul nostru B=CF, b=ME iar  h= EP. Pentru a afla dimensiunea lui EP aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ∆ EPF.

Ştim  AD // EF \Rightarrow EF = 60 m
\Delta EPF (< P = 90^{\circ}). Dar < EFP = 60^{\circ} \Rightarrow m( < PEF) = 30^{\circ} \Rightarrow PF = \frac{EF}{2}= \frac{60}{2}=30 m

\Delta EPF (< P = 90^{\circ} ) :  EF^{2}=EP ^{2} + PF ^{2}
 60^{2}=EP ^{2} + 30 ^{2}

3600=EP ^{2} + 900
EP ^{2} = 3600 – 900
EP ^{2} =2700
EP=\sqrt{2700}
EP=30\sqrt{3} m

A_{{CMEF}}=\frac{(ME+CF)\cdot EP}{2}

A_{{CMEF}}=\frac{(20+80)\cdot 30\sqrt{3} }{2}

A_{{CMEF}}=\frac{100\cdot 30\sqrt{3} }{2}

A_{{CMEF}}=1500\sqrt{3} m^2

1500\sqrt{3} \lt 2600
15\sqrt{3} \lt 26 | ^2

225 \cdot3 \lt 26^2

675 < 676

Pentru demonstrarea şi calcularea distanţei de la M la CF se obţin 2 puncte, iar pentru calcularea ariei  şi demonstrarea rezultatului corect   se punctează cu 3 puncte.

  • 2. În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată VABC , cu baza triunghiul ABC și AB =12m . Punctul M este mijlocul segmentului BC și VM = 6\sqrt{3} m , iar VO este înălțimea piramidei.piramida triunghiulara regulata

a) Arătați că aria laterală a piramidei VABC este egală cu 108\sqrt{3} m^2 .
b) Arătați că volumul piramidei VABC este egal cu 144\sqrt{2} m^3 .
c) Demonstrați că distanța de la mijlocul înălțimii VO la dreapta VA este mai mică decât 3m .

Rezolvare:

  • a) Pentru a afla aria laterală a piramidei regulate VABC aplicam formula:

A_{{l}}= \frac{P_{{b}}\cdot a_{{p}}}{2}
Pentru că este piramidă regulată triunghiul de la bază ABC este triunghi echilateral deci toate laturile triunghiului sunt egale cu 12.
Obţinem astfel: P_{{b}}=3\cdot l=3\cdot12=36 m, iar apotema piramidei ne-o spune problema

VM=6\sqrt{3}m.

A_{{l}}= \frac{P_{{b}}\cdot a_{{p}}}{2}= \frac{36\cdot 6\sqrt{3}}{2}=\frac{21 6\sqrt{3}}{2}=108\sqrt{3} m^2

Pentru scrierea formulei ariei laterale a piramidei triunghiulare regulate se obţin 2 puncte, iar pentru calcularea corectă a  rezultatului ariei se punctează cu 3 puncte.

  • b) Pentru a afla volumul piramidei regulate VABC aplicam formula:

V_{{p}}= \frac{A_{{b}}\cdot h_{{p}}}{3}
Pentru că este piramidă triunghiulară regulată aflăm aria triunghiului de la bază ABC cu ajutorul formulei:

A_{{b}}= \frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3} m^2
Pentru a afla volumul piramidei regulate VABC avem nevoie şi de dimensiunea înălţimei piramidei VO.
Pentru a calcula înălţimea piramidei VO avem nevoie de dimensiunea laturei OM care stim ca este egală cu 1/3 din AM.
AM este înălţime în triunghiul echilateral ABC şi pentru ai afla dimensiunea aplicăm formula :

AM=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} m

OM=\frac{1}{3}\cdot AM=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3} m=2\sqrt{3} m

Calculăm înălţimea VO aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM.
∆VOM(< O = 90^\circ ) :   VM^{{2}}=VO^2 +OM^2
(6\sqrt{3}) ^{{2}}=VO^2 +(2\sqrt{3}) ^{{2}}
VO^2 = 108-12
VO^2 = 96
VO^2 = \sqrt{96}

VO = 4\sqrt{6} m

V_{{p}}=\frac{A_{{b}}\cdot h_{{p}}}{3}=\frac{36\sqrt{3}m^2\cdot 4\sqrt{6}m}{3}=\frac{144\sqrt{18}m^3}{3}=\frac{144\cdot 3\sqrt{2}m^3}{3}=144\sqrt{2} m^3

Pentru aflarea dimensiunii înălţimii piramidei se obţin 2 puncte, iar pentru scrierea formulei volumului  piramidei triunghiulare regulate şi calcularea corectă a  volumului se punctează cu 3 puncte.

  • c)  Ştim că N mijlocul lui VO şi NP este distanţa de la N la VA → NP ⊥ VA (P ɛ VA) → că ∆VPN este asemenea cu ∆VOA conform criteriului de asemămare U.U obţinem următoarele rapoarte egale:

∆VPN ~ ∆VOA → \frac{VP}{{VO}}=\frac{VN}{{VA}}=\frac{NP}{{AO}}
Din aceste rapoarte egale putem să scoatem dimensiunea laturii NP.
Pentru a afla NP avem nevoie de dimensiunea muchiei VA care ştim că este egală cu muchia VB.
Aflăm VB din triunghiul dreptunghic VMB cu ajutorul teoremei lui Pitagora.
∆VMB (< M =  90^{\circ}) VB ^{2}= VM ^{2} + BM ^{2}

VB ^{2}= (6\sqrt{3}) ^{2} + 6 ^{2}
VB ^{2}= 108 + 36
VB ^{2}= 144

VB ^{2}=\sqrt{144} m

VB =12 m\Rightarrow VA=12 m

Pentru ca N este mijlocul lui VO → VN=\frac{VO}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6} m .

\frac{VN}{{VA}}=\frac{NP}{{AO}}\Rightarrow \frac{2\sqrt{6}}{{12}}=\frac{NP}{{4\sqrt{3}}} \Rightarrow NP=\frac{2\sqrt{6}\cdot4\sqrt{3} }{{12}} m=\frac{8\sqrt{18} }{{12}} m \Rightarrow

 \Rightarrow NP=\frac{24\sqrt{2}}{{12}} m \Rightarrow NP =2\sqrt{2} m

Dar noi trebuie să demonstrăm ca NP < 3m \Rightarrow2\sqrt{2} \lt 3 | ^{{2}}
8 < 9 (A)

Pentru identificarea corectă a rapoartelor lui Thales se obţin 2 puncte, iar calcularea corectă a  dimensiunii laturii NP şi demonstraţia ca  NP\lt 3 se punctează cu 3 puncte.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut pentru lucrare.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să treacă cu bine peste examenul de capacitate din acest an.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy