Matematica Mai Usoara | "Matematica Mai Usoara" este un blog de matematică, mai exact un blog despre cele mai uşoare metode de a învăţa matematica.

01
Mar
2017

Probleme rezolvate Teorema lui Pitagora

categories: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

„Cu putin talent şi o perseverenţă extraordinară toate lucrurile pot fi atinse.”

Thomas Foxwell Buxton

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Astăzi te invit să exersăm câteva probleme de geometrie la Teorema lui Pitagora. Această teoremă este foarte importantă iar copilul tău trebuie să o înțeleagă foarte bine deoarece o vom utiliza foarte des în clasa a VIII-a la Geometria în spațiu.

(more…)

Problema 1: În triunghiul MNP, unghiul M este de $90 ^{\circ}$ și înălțimea

$MQ \perp NP$ cu MQ = 12 cm, iar $m(\widehat{MNP})=30^{\circ}$ . Calculați laturile: MN, NP, MP, NQ și QP.

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Facem desenul respectând datele problemei.

Demonstrație:

Pentru că avem $m(\widehat{MNP})=30^{\circ}$ aplicăm în $\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})=90^{\circ})$ teorema unghiului de $30^{\circ}$ care îmi spune că lungimea catetei care se opune unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză.

$\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})=90^{\circ})$ : $m(\widehat{MNQ})=30^{\circ}$ $\Rightarrow$ $MQ=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $\frac{MQ}{{1}}=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $\frac{12 cm}{{1}}=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $MN=12 cm \cdot 2$ $\Rightarrow$ $MN= 24 cm$

Observăm că putem aplica Teorema lui Pitagora în triunghiul $\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})= 90^{\circ})$ pentru a afla latura NQ.

$\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})= 90^{\circ})$ $\Rightarrow$ (T.P) : $MN^{2}= NQ^{2}+MQ^{2}$ $\Rightarrow$

$24^{2}= NQ^{2}+12^{2}$ $\Rightarrow$ $576= NQ^{2}+144$ $\Rightarrow$

$NQ^{2}= 576 - 144$ $\Rightarrow$ $NQ^{2}= 432 cm^{2}$ $\Rightarrow$

$NQ= \sqrt{ 432 cm^{2}}$ $\Rightarrow$ $NQ=12 \sqrt{ 3} cm$

Am aflat MN și NQ atunci putem aplica în $\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ Teorema Catetei pentru cateta MN și aflăm lungimea ipotenuzei BC.

$\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ (T.C.) $MN^{2} = NQ \cdot NP$ $\Rightarrow$ $(24cm)^{2} = 12 \sqrt{3}cm \cdot NP$ $\Rightarrow$ $576cm^{2} = 12 \sqrt{3}cm \cdot NP$ $\Rightarrow$ $NP = \frac{576cm^{2} }{{12 \sqrt{3}cm }}$ $\Rightarrow$ $QP = 16 \sqrt{3}cm -12 \sqrt{3}cm$

Dacă am aflat NP putem afla și latura QP prin scădere.

$QP = NP-NQ$

$QP= 16 \sqrt{3}cm -12 \sqrt{3}cm$

$QP = 4 \sqrt{3}cm$

Dacă știm MN și NP putem aplica teorema lui Pitagora în triunghiul MNP $\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ pentru a afla latura MP.

$\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ (T.P) $NP^{{2}}= MP^{{2}}+MN^{{2}}$ $\Rightarrow$ $(16 \sqrt{3}cm )^{{2}}= MP^{{2}}+(24cm)^{{2}}$ $\Rightarrow$

$768 cm = MP ^{2} + 576 cm$ $\Rightarrow$

$MP ^{2} = 768 cm-576 cm$ $\Rightarrow$

$MP ^{2} = 192 cm ^{2}$ $\Rightarrow$

$MP= \sqrt{192 cm^{2} }$ $\Rightarrow$ $MP =8\sqrt{3} cm$

Problema 2:

În triunghiul dreptunghic MNP cu unghiul $\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ , are înălțimea $MQ \perp NP$ , $Q \in (NP)$ , $\frac{NQ}{QP} = \frac{9}{16}$ , iar perimetrul triunghiului $P_{{\bigtriangleup MNP}} = 120 cm$ . Aflați:

a) Dimensiunea laturilor: MN, MP și NP;

b) Lungimea înălțimii MQ;

Rezolvare:

Pornim de la raportul: $\frac{NQ}{QP} = \frac{9}{16}$ și scoatem dimensiunea laturii NQ în funcție de QP.

$16 \cdot NQ = 9\cdot QP \Rightarrow$ $NQ = \frac{9 \cdot QP}{{16}}$

Aflăm dimensiunea laturii NP în funcție de QP.

$NP = NQ + QP \Rightarrow$ $NP = \frac{9 \cdot QP}{{16}}+ _{}}^{16)}QP{} \Rightarrow$

$NP = \frac{9 \cdot QP+16 QP}{{16}}\Rightarrow$

$NP= \frac{25 \cdot QP}{{16}}$

Aplicăm în triunghiul dreptunghic MNP Teorema Catetei pentru catetele: MN și MP și determinăm lungimile acestora în functie de latura QP.

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.C)\Rightarrow$ $MN^{{2}}= NQ \cdot NP \Rightarrow$

$MN^{{2}}= \frac{9 \cdot QP}{{16}} \cdot \frac{25 \cdot QP}{{16}} \Rightarrow$

$MN^{{2}}= \frac{225 \cdot QP^{{2}}}{{256}} \Rightarrow$ $MN = \sqrt{\frac{225 \cdot QP^{{2}}}{{256}} }\Rightarrow$

$MN = \frac{15 \cdot QP}{{16}} }$

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.C)\Rightarrow$ $MP^{{2}}= QP \cdot NP \Rightarrow$

$MP^{{2}}= \frac{QP}{{1}} \cdot \frac{25 \cdot QP}{{16}} \Rightarrow$ $MP^{{2}}= \frac{25 QP^{{2}}} {{16}}\Rightarrow$

$MP^{{2}}= \sqrt{\frac{25\cdot QP^{{2}}} {{16}}} \Rightarrow$

$MP= \frac{5\cdot QP} {{4}}}$

După ce am obținut toate dimensiunile laturilor $\Delta MNP$ în funcție de latura QP le înlocuim în Perimetrul $\Delta MNP$ și îl aflăm de aici pe QP.

$P_{{\bigtriangleup MNP}} = 120 cm$

$P_{{\bigtriangleup MNP}} = MN + MP + NP$ $\Rightarrow$

${}}^{16)}120 cm = \frac{15 \cdot QP}{{16}} } + {}}^{4)}\frac{{5\cdot QP}} {{ 4}}} + \frac{25 \cdot QP}{{16}}$ $\Rightarrow$

$1920 cm =15 QP + 20 QP +25 QP$ $\Rightarrow$

$60 QP = 1920 cm \Rightarrow$

$QP = 32 cm$

$NQ = \frac{9}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow NQ = 18 cm$

$MN = \frac{15}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow MN = 30 cm$

$MP = \frac{5}{{4}} \cdot 32 cm \Rightarrow MP = 40 cm$

$NP = \frac{25}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow NP = 50 cm$

b) Pentru rezolvarea punctului b) aplicăm Teorema Înălțimii în triunghiul dreptunghic $\Delta MNP$ .

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.I)\Rightarrow$ $MQ^{{2}}= NQ \cdot QP \Rightarrow$

$MQ^{{2}}= 18 cm \cdot 32 cm \Rightarrow$ $MQ^{{2}}= 576 cm^{{2}} \Rightarrow$

$MQ^{{2}}= \sqrt{576 cm^{{2}} } \Rightarrow$ $MQ= 24 cm$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

27
Feb
2017

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea la Fracții Zecimale.

categories: Fracții zecimale

"Ambiția este o pasiune atât de puternică a omului, încât oricât de sus am ajunge niciodată nu vom fi multumiți".

Nicollo Machiavelli

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea și scăderea fracțiilor zecimale.

(more…)

Exercițiul 1:

Calculați:

$0,235 + 10,81$

$0,05+0,5+0,005$

$2+3,12+14,203$

$23,34-14,8$

$4,3-2,93$

Rezolvare:

Petru a aduna două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm fracțiile zecimale una sub alta, astfel încât partea întreagă să fie sub partea întreagă, virgula sub virgulă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi ș.a.m.d, iar apoi efectuăm adunarea ca la numere naturale.

$0,235 + 10,81=11,045$

$0,05+0,5+0,005=0,555$

adunarea fractiilor zecimale — fractii zecimale

$2+3,12+14,203=19,323$

Pentru a scădea două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm scăzătorul sub descăzut, astfel încât virgula să fie sub virgulă, scădem numerele ca și când ar fi numere naturale.

Dacă descăzutul are mai puține zecimale decât scăzătorul, atunci se adaugă la partea zecimală zerouri pentru a avea același număr de zecimale.

$23,34-14,8=8,54$

$4,3-2,93=1,37$

Exercițiul 2:

Rezolvare:

Asezăm termenii adunării unii sub alții astfel:

Exercițiul 3:

0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=

Observăm că sunt foarte multe numere și ca să le adunăm ne-ar lua timp foarte mult. Mai observăm ca este o Suma Gauss de fracții zecimale.

Așa că vom face un mic artificiu matematic și vom scrie fiecare fracție zecimală asa: spre exemplu $0,9=1 - 0,1$ iar pe $1,9=2 - 0,1$ , s.a.m.d.

Rezolvare:

$0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=$

$(1-0,1)+(2-0,1)+(3-0,1)+.............................+(100-0,1)=$

$1-0,1+2-0,1+3-0,1+.............................+100-0,1=$ $(1+2+2+.............+100) - (0,1+0,1+0,1+......................+0,1)=$

Observăm că prima paranteză este Suma Gauss a primelor 100 numere naturale consecutive, iar în a doua paranteză 0,1 se repetă de 100 de ori.

Aplicăm formula lui Gauss

$100\cdot (100+1) : 2 - 100\cdot 0,1=$

$100\cdot 101 : 2 - 10=$

$5050 - 10= 5040$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

22
Feb
2017

Teorema Catetei

categories: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să studiem împreună Teorema Catetei. În articolul trecut am vorbit despre Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii. Am vorbit despre proiectia unui punct pe o dreaptă, despre proiectia unui segment pe o dreaptă și despre Teorema Înălțimii în triunghiul dreptunghic. Azi vreau să discutăm despre Teorema Catetei în triunghiul dreptunghic.

(more…)

Teorema Catetei:

Într-un triunghi dreptunghic lungimea fiecărei catete este media geometrică a lungimii proiecției ei pe ipotenuză și a lungimii ipotenuzei.

Reciproca 1 a Teoremei Catetei:

Într-un triunghi ABC, dacă $AD \perp BC$ , $D \in (BC)$ și are loc una din egalitățile: $AB^{2}=BC \cdot BD$ sau $AC^{2}=BC \cdot CD$ , atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$

Reciproca 2 a Teoremei Catetei:

În triunghiul ABC, dacă $D \in (BC)$ este un punct astfel încât $AB^{2}=BC \cdot BD$ și $AC^{2}=BC \cdot CD$ , atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

21
Feb
2017

Exerciții rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.

categories: Fracții Ordinare

„Fii încăpățânat! Uneori, perseverența face minuni.” — Donald Trump.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție la capitolul Fracții care ridică ceva dificultăți elevilor de clasa a V-a: Exerciții Rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.Am să explic pas cu pas rezolvarea unor exerciții cu un grad de dificultate mai ridicat la care elevii întâmpină dificultăți.

(more…)

EXERCIŢIUL 1: Amplificați cu 3 următoarele fracții:

$\frac{2x}{3y}$ , $\frac{x+2}{y+1}$ , $\frac{a+b}{x+y}$

Rezolvare:

EXERCIŢIUL 2: Simplificați următoarele fracții, obținând fracții ireductibile:

$\frac{20}{30}$ , $\frac{5a}{10b}$ , $\frac{10a+10b}{25x+25y}$ , $\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}$ , $\frac{6^3 }{10^4}$

Rezolvare:

$\frac{20 }{30}^{(10}=\frac{2 }{3}$

$\frac{5a }{10b}^{(5}=\frac{a }{2b}$

$\frac{10a+10b }{25x+25y}$

Observație: Nu avem voie să simplificăm decât dacă dăm factor comun și la numărător și la numitor. Observăm că la numărător putem da factor comun pe 10, iar la numitor îl putem da factor comun pe 25.

$\frac{10a+10b }{25x+25y}=$ $\frac{10\cdot (a+b) }{25\cdot (x+y)}^{{(5}}=$ $\frac{2\cdot (a+b) }{5\cdot (x+y)}$

$\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}$

Această fracție o simplificăm prin bazele care se repetă și la numărător și la numitor la puterea cea mai mică. Pentru că prin simplificare trebuie să fac operația de împărțire, scriu baza și scad exponentii.

$\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11} ^{(2^7\cdot3^2\cdot5^2}=$ $\frac{2^0\cdot3^0\cdot5^2 }{2^0\cdot3^1\cdot5^0\cdot11} =$ $\frac{1 \cdot1\cdot25 }{1\cdot3\cdot1\cdot11} =$ $\frac{25 }{33}$

$\frac{6^3 }{10^4}$

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

$\frac{6^3 }{10^4} =$ $\frac{(2\cdot 3)^3 }{(2\cdot 5)^4} =$ $\frac{2^3\cdot 3^3 }{2^4\cdot 5^4} =$ $\frac{2^3\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^3\cdot5^4}^{{( 2^3}}=$ $\frac{2^0\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^0\cdot5^4}=$ $\frac{1\cdot 3^3 }{2\cdot 1\cdot5^4}=$ $\frac{ 3^3 }{2\cdot5^4}$

EXERCIŢIUL 3: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}$

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

$\frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}=$ $\frac{(2^2)^{{25}}+{(2^3)^{{17}}}}{2^{{52}}-(2^4)^{{12}}}}=$ $\frac{2^{{2\cdot 25}}+{2^{{3\cdot 17}}}}{2^{{52}}-2^{{4\cdot12}}}}=$ $\frac{2^{{50}}+{2^{{51}}}}{2^{{52}}-2^{{48}}}}=$ $\frac{2^{{50}}(1+{2^{{51-50}})}}{2^{{52}}(2^{{52-48}}-1) }}=$ $\frac{2^{{50}}\cdot(1+{2)}}{2^{{48}}\cdot(2^{{4}} -1)}}=$ $\frac{2^{{50}}\cdot3}{2^{{48}}\cdot 15}}^{{(2^{{48}}}}=$ $\frac{2^{{50-48}}\cdot3}{2^{{48-48}}\cdot 15}}=$ $\frac{2^{{2}}\cdot3}{2^{{0}}\cdot 15}}^{{(3}}=$ $\frac{2^{{2}}}{1 \cdot 5}}=$ $\frac{4}{5}}$

EXERCIŢIUL 4: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}}$

Rezolvare:

Observăm că la numărător și la numitor avem câte o sumă Gauss. La numărător putem da factor comun pe 2, iar la numitor putem da factor comun pe 3.

$\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}} =$ $\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}$

Calculăm Suma Gauss cu formula $S= n\cdot(n+1) : 2$

$S=1+2+3+..........+200$

$S=200\cdot(200+1) : 2$

$S=200\cdot201 : 2$

$S=100\cdot201$

$\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}=$ $\frac{2\cdot 100\cdot 201 }{3\cdot 100 \cdot 201}} ^{{(100\cdot 201}}=$ $\frac{2}{3}$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 4: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}}$

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

$\frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}} =$ $\frac{(2\cdot3)^{n}+(2\cdot3)^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (3+7-1)} =$ $\frac{6^{n}+6^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (10-1)} =$ $\frac{6^{n}(1+5+ 6)}{6^{n}\cdot 9} =$ $\frac{6^{n}\cdot12}{6^{n}\cdot 9}^{(6^{n}} =$ $\frac{12}{ 9}^{(3}} =$ $\frac{4}{ 3}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

16
Feb
2017

Fracții ordinare.

categories: Fracții Ordinare

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Astăzi deschid un nou capitol din programa la matematica pentru clasa a V-a: Numere Raționale Pozitive, iar prima lecție din acest capitol este lecția Fracții Ordinare. În acestă lecție vom afla ce este o Fracție și cum se clasifică Fracțiilor.

(more…)

Definiție:

O parte dintr-un întreg, împărțit în părți egale, se numește unitate fracționară.

Exemple:

Definiție: O fracție ordinară este o pereche de două numere naturale m și n, cu $n \neq 0$ , scrisă sub forma: $\frac{m}{n}$ .

"m" se numește numărătorul fracției
"n" se numește numitorul fracției.

Numitorul unei fracții arată în câte părți egale a fost împărțit întregul.

Numărătorul arată câte părți egale sunt luate.

Clasificarea fracțiilor:

Fracții echiunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ , se numește echiunitară dacă $a=b$ numărătorul este egal cu numitorul.

Exemple:

Fracții subunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ se numește subunitară, dacă $a \lt b$ (numărătorul mai mic decât numitorul.

Exemple:

Fracții supraunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ se numețte supraunitară , dacă $a \gt b$ (numărătorul este mai mare decât numitorul).

Exemple:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

01
Feb
2017

Probleme rezolvate cu Teorema lui Thales

categories: Asemănarea Triunghiurilor

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. In articolul de ieri am discutat despre Teorema lui Thales, despre Reciproca Teoremei lui Thales, despre Teorema Bisectoarei și ți-am povestit și legenda Teoremei lui Thales. Astăzi vreau să rezolvăm împreuna câteva probleme de geometrie în care se aplică teoremele menționate mai sus.

(more…)

Problema 1:

În $\Delta ABC$ se dau AB=52 cm, AC=72 cm și $P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ . Dacă $M \in (AB)$ , $N \in (AC)$ astfel încât $MN \parallel BC$ , și $P_{{\Delta MNP}}=50 cm$ calculați lungimile segmentelor [AM], [AN] și [MN].

Rezolvare:

Această problemă se rezolvă cu teorema lui Thales.

Observăm că $P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ este o sumă Gauss. Rezolvăm Suma Gauss pentru a afla perimetrul.

$P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ .

Observăm că putem da factor comun pe 2.

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot(1+3+5+7+......+19)$

Calculăm numărul de termeni cu formula lui Gauss.

$n=(19-1) : 2 +1$

$n=18 : 2 +1$

$n=9 +1$

$n=10 (termeni)$

Calculăm Suma Gauss cu formula

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot (19+1) :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot 20 :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[200 :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot 100$

$P_{{ \Delta ABC}}=200 cm$ .

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Din perimetru putem afla dimensiunea laturii BC.

$P_{{ \Delta ABC}}=AB +AC +BC$

$200 cm = 52 cm + 72 cm +BC$

$BC= 200 cm - 124 cm$

$BC= 76 cm$

Știm din datele problemei că $MN \parallel BC$ deci putem aplica teorema lui Thales

$MN \parallel BC$ $\Rightarrow \frac{AM}{{AB}}=\frac{AN}{{AC}}=\frac{MN}{{BC}}=k$

$\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=\frac{AN}{{72cm}}=\frac{MN}{{76cm}}=k$

$\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=k$ $\Rightarrow AM=52cm \cdot k$

$\Rightarrow \frac{AN}{{72cm}}=k$ $\Rightarrow AN= 72cm\cdot k$

$\Rightarrow \frac{MN}{{76cm}}=k$ $\Rightarrow MN= 76cm\cdot k$

$P_{{ \Delta MNP}}= MN +MP +NP$

$50 cm = 52cm \cdot k+ 72 cm \cdot k+76 cm \cdot k$

$50 cm = 200cm \cdot k$

$k = 200cm : 50 cm$

$k=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow AM=52cm \cdot k=52cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow AM=13cm$

$\Rightarrow AN=72cm \cdot k=72cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow AN=18cm$

$\Rightarrow MN=76cm \cdot k=76cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow MN=19cm$

Problema 2:

Un trapez ABCD, $AB \parallel CD$ , $AB \gt CD$ are $AB = 26 cm$ și linia mijlocie $MN = 18 cm$ , $M \in (AD)$ , $N \in (BC)$ .

a) Calculați lungimea bazei mici a trapezului.

b) Dacă P și Q sunt două puncte, $P \in (AB)$ , $Q \in (DC)$ și $PQ \cap MN= \left \{ R \right \}$ , arătați că R este mijlocul lui $\left [ PQ \right ]$ .

Rezolvare:

a) Știm că MN este linie mijlocie.

$MN=\frac{AB+CD}{{2}}$ $\Rightarrow 2\cdot MN=AB+CD$ $\Rightarrow 2\cdot 18 cm=26 cm+CD$ $\Rightarrow 36cm -26 cm=CD$ $\Rightarrow CD = 10 cm$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

30
Jan
2017

Teorema lui Thales

categories: Asemănarea Triunghiurilor

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Continuăm să ne pregătim la Geometrie cu o nouă lecție la capitolul "Asemănarea triunghiurilor". Azi discutăm despre Teorema lui Thales.

Legenda spune că Thales care a învățat matematică de la Egipteni și Babylonieni a măsurat înălţimea piramidelor din Egipt, măsurând umbra lor în momentul în care umbra unui băţ vertical era egală cu lungimea lui vezi figura de mai jos. Procedeul este, fără îndoială, ingenios, dar nu e foarte sigură utilizarea lui de către Thales. Aici este evident implicat un caz particular al „teoremei lui Thales”; dar procedeul s-ar fi putut baza pe observaţia că dacă pentru un băţ (vertical) umbra lui este egală cu lungimea sa, această relaţie are loc pentru orice obiect (de exemplu o piramidă, un obelisc etc.).

Thales ar fi folosit cazul general al teoremei de asemănare „După ce ai aşezat toiagul perpendicular pe pământ, la capătul umbrei aruncate de piramidă, a arătat că prin căderea razei de lumină s-au format două triunghiuri; raportul existent între o umbră şi cealaltă era identic cu cel dintre înălţimea piramidei şi lungimea toiagului.

Theorema lui Thales:

O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi sau prelungirile lor, segmente proporționale.

Reciproca Teoremei lui Thales:

Fie triunghiul ABC și punctele $E \in AB$ , $F \in AC$ , aflate în același semiplan determinat de paralela prin A la BC.

Dacă: $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$ $\Rightarrow EF \parallel BC$

OBSERVAȚIE: Dacă $\frac{AE}{AB}\neq \frac{AF}{AC}$ $\Rightarrow EF \not \parallel BC$

Aplicații ale Teoremei lui Thales:

Teorema Paralelelor Neechidistante:

Mai multe drepte paralele determină pe două secante oarecare segmente proporționale.

Dacă: $d_{1}\parallel d_{2}\parallel d_{3}\parallel d_{4}\parallel.............$ $\Rightarrow \frac{A_{{1}}A_{{2}}}{{B_{{1}}B_{{1}}}}=\frac{A_{{2}}A_{{3}}}{{B_{{2}}B_{{3}}}}=\frac{A_{{3}}A_{{4}}}{{B_{{3}}B_{{4}}}}=..................$

Teorema Bisectoarei:

Într-un triunghi bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă două segmente proporționale cu celelalte două laturi.

Pentru unghiul exterior:

Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numerele (segmentele) date:

Pentru a împărți un segment [AB] în părți proporționale cu numerele 2,3 și 5 procedăm astfel. Considerăm semidreapta [AX și pe ea, cu ajutorul compasului construim 10 segmente congruente (2+3+5=10) astfel $A_{{1}}A_{{2}}=2u, A_{{2}}A_{{5}}=3u, A_{{5}}A_{{10}}=5u$ . Unim $A_{{10}}$ cu $B$ și apoi ducem $A_{{5}}N \parallel A_{{10}}B$ și $A_{{2}}M \parallel A_{{10}}B$ . Cu ajutortul paralelelor echidistante obținem:

$\frac{AM}{2}=\frac{MN}{3}=\frac{NB}{5}$

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te invit alături de mine in Clubul de Matematică "Math More Easy" sau accesează link-ul de mai jos:http://mathmoreeasy.ro/probleme-rezolvate-cu-teorema-lui-thales/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

24
Jan
2017

Raportul a două segmente

categories: Asemănarea Triunghiurilor

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi deschid un capitol nou și foarte important al Geometriei: "Asemănarea triunghiurilor". Este unul dintre cele mei importante capitole din geometria în plan și se bazează pe Teorema lui Thales.

Thales din Milet (624 - 546 î.Hr.), ar fi cunoscut teoremele privitoare la triunghiurile asemenea, cu ajutorul cărora a măsurat depărtarea unui vas de la țărmul mării. De asemenea, tot cu ajutorul lor el ar fi măsurat înălțimea Marii Piramide a lui Keops.

(more…)

Segmente proporționale:

Def: Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor, exprimate cu aceeași unitate de măsură.

Definiție: Patru segmente se numesc proporționale dacă se poate forma o proporție cu lungimile acestora.

Teorema paralelelor echidistante:

Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă decantă segmente congruente.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

17
Jan
2017

Relații între mulțimi de numere

categories: Multimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Operații cu mulțimi. Am invățat ce operații putem face intre mulțimi, despre reuniunea a două mulțimi, despre intersecția a două mulțimi și diferența a două mulțimi dar și diferența simetrică a două mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Relații între Mulțimi, să vedem ce sunt mulțimile egale și mulțimile disjuncte dar și mulțimile finite și mulțimile infinite.

(more…)

Două mulțimi A și B sunt egale, dacă sunt formate din același elemente. Se notează A=B.

Observație: Orice element care aparține mulțimii A este și element al mulțimii B și reciproc orice element care aparține mulțimii B este și element al mulțimii A.

Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține mulțimii B sau invers, se spune ca mulțimile A și B sunt diferite și se notează: $A \neq B$ .

Dacă intersecția a două mulțimi A și B este mulțimea vidă (cele două mulțimi A și B nu au nici un element comun) atunci mulțimile A și B sunt disjuncte.

Incluziunea: Mulțimea A este inclusă în mulțimea B și se notează : $A\subset B$ , dacă orice element al mulțimii A aparține mulțimii B.

Dacă mulțimea B include mulțimea se notează: $B \supset A$
Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține și mulțimii B spunem că mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B și notăm: $A \not \subseteq B$ sau spunem că B nu include mulțimea A și notăm: $B \not \supset \ A$ .

Observații:

Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime $\not \bigcirc\subset A$

Orice mulțime este inclusă în ea însăși $A \subset A$ .

Dacă A și B sunt două mulțimi, astfel încât $A \subset B$ și $B \subset A$ atunci $A=B$ .

Dacă A, B și C sunt trei mulțimi, astfel încât $A \subset B$ și $B \subset C$ , atunci $A \subset C$ .

Submulțimi:

Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, adică $A \subset B$ se spune că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B.

Observații:

Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
Numărul submulțimilor unei mulțimi A este egal cu $2^{{card A}}$
Mulțimea submulțimilor (părților) lui A se notează cu P(A).

Exemplu: Fie mulțimea $M=\left \{ 1,3,5 \right \}$ . CArdinalul mulțimii M Card M =3 . Mulțimea M are $2^{3}=8$ submulțimi.

$\not\bigcirc$ , $\left \{ 1 \right \}$ , $\left \{ 3 \right \}$ , $\left \{ 5 \right \}$ , $\left \{ 1,3 \right \}$ , $\left \{ 1,5 \right \}$ , $\left \{ 3,5 \right \}$ , $M$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

12
Jan
2017

Exerciții Rezolvate Operații cu Mulțimi

categories: Multimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am discutat despre Operații cu Mulțimi. Am invățat ce este Reuniunea a două mulțimi,Intersecția a două mulțimi, Diferența a două mulțimi și Produsul cartezian a două mulțimi. Azi te invit să aplicăm ceea ce am discutat în articolul de ieri la lecția Operații cu Mulțimi în câteva exerciții rezolvate.

(more…)

EXERCIŢIUL 1: Se dau mulțimile: $A=\left \{ 1,2,3\right \}$ , $B=\left \{ 2,4,6\right \}$ și $C=\left \{ 3,5,7\right \}$ . Calculați: $A\cup B$ , $A\cap B$ , $A\setminus B$ , $A\cup C$ , $A\cap C$ , $A\setminus C$ .

Rezolvare:

$A \cup B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,2,3,4,6 \right \}$

$A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 2 \right \}$

$A \setminus B=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,3 \right \}$

$A\cup C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2,3,5,7 \right \}$

$A\cap C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 3 \right \}$

$A\setminus C=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2 \right \}$

EXERCIŢIUL 2: Determinați mulțimile A și B astfel încât să fie îndeplinite simultan condițiile:

$A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$

$A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}$

$A\setminus B=\left \{ 4,6 \right \}$ .

Rezolvare:

Desenam cele 2 mulțimi:

Pentru a identifica mai ușor cele două mulțimi A și B vom reprezenta întâi intersecția celor două mulțimi:

Apoi vom reprezenta pe desen $A\setminus B$ .

Din reuniunea celor două mulțimi $A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$ observăm că mai avem un elemnt $\left \{ 5 \right \}$ pe care nu l-am atribuit nici unei mulțimi rezultă ca elementul $\left \{ 5 \right \}\in B$ .

Astfel am găsit mulțimile:

$A= \left \{1,2,3,4,6 \right \}$

$B= \left \{1,2,3,5 \right \}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!