Matematica Mai Usoara | "Matematica Mai Usoara" este un blog de matematică, mai exact un blog despre cele mai uşoare metode de a învăţa matematica.

22
Feb
2017

Teorema Catetei

categories: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să studiem împreună Teorema Catetei. În articolul trecut am vorbit despre Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii. Am vorbit despre proiectia unui punct pe o dreaptă, despre proiectia unui segment pe o dreaptă și despre Teorema Înălțimii în triunghiul dreptunghic. Azi vreau să discutăm despre Teorema Catetei în triunghiul dreptunghic.

(mai mult…)

Teorema Catetei:

Într-un triunghi dreptunghic lungimea fiecărei catete este media geometrică a lungimii proiecției ei pe ipotenuză și a lungimii ipotenuzei.

Reciproca 1 a Teoremei Catetei:

Într-un triunghi ABC, dacă $AD \perp BC$ , $D \in (BC)$ și are loc una din egalitățile: $AB^{2}=BC \cdot BD$ sau $AC^{2}=BC \cdot CD$ , atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$

Reciproca 2 a Teoremei Catetei:

În triunghiul ABC, dacă $D \in (BC)$ este un punct astfel încât $AB^{2}=BC \cdot BD$ și $AC^{2}=BC \cdot CD$ , atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

21
Feb
2017

Exerciții rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.

categories: Fracții Ordinare

„Fii încăpățânat! Uneori, perseverența face minuni.” — Donald Trump.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție la capitolul Fracții care ridică ceva dificultăți elevilor de clasa a V-a: Exerciții Rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.Am să explic pas cu pas rezolvarea unor exerciții cu un grad de dificultate mai ridicat la care elevii întâmpină dificultăți.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Amplificați cu 3 următoarele fracții:

$\frac{2x}{3y}$ , $\frac{x+2}{y+1}$ , $\frac{a+b}{x+y}$

Rezolvare:

EXERCIŢIUL 2: Simplificați următoarele fracții, obținând fracții ireductibile:

$\frac{20}{30}$ , $\frac{5a}{10b}$ , $\frac{10a+10b}{25x+25y}$ , $\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}$ , $\frac{6^3 }{10^4}$

Rezolvare:

$\frac{20 }{30}^{(10}=\frac{2 }{3}$

$\frac{5a }{10b}^{(5}=\frac{a }{2b}$

$\frac{10a+10b }{25x+25y}$

Observație: Nu avem voie să simplificăm decât dacă dăm factor comun și la numărător și la numitor. Observăm că la numărător putem da factor comun pe 10, iar la numitor îl putem da factor comun pe 25.

$\frac{10a+10b }{25x+25y}=$ $\frac{10\cdot (a+b) }{25\cdot (x+y)}^{{(5}}=$ $\frac{2\cdot (a+b) }{5\cdot (x+y)}$

$\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}$

Această fracție o simplificăm prin bazele care se repetă și la numărător și la numitor la puterea cea mai mică. Pentru că prin simplificare trebuie să fac operația de împărțire, scriu baza și scad exponentii.

$\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11} ^{(2^7\cdot3^2\cdot5^2}=$ $\frac{2^0\cdot3^0\cdot5^2 }{2^0\cdot3^1\cdot5^0\cdot11} =$ $\frac{1 \cdot1\cdot25 }{1\cdot3\cdot1\cdot11} =$ $\frac{25 }{33}$

$\frac{6^3 }{10^4}$

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

$\frac{6^3 }{10^4} =$ $\frac{(2\cdot 3)^3 }{(2\cdot 5)^4} =$ $\frac{2^3\cdot 3^3 }{2^4\cdot 5^4} =$ $\frac{2^3\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^3\cdot5^4}^{{( 2^3}}=$ $\frac{2^0\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^0\cdot5^4}=$ $\frac{1\cdot 3^3 }{2\cdot 1\cdot5^4}=$ $\frac{ 3^3 }{2\cdot5^4}$

EXERCIŢIUL 3: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}$

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

$\frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}=$ $\frac{(2^2)^{{25}}+{(2^3)^{{17}}}}{2^{{52}}-(2^4)^{{12}}}}=$ $\frac{2^{{2\cdot 25}}+{2^{{3\cdot 17}}}}{2^{{52}}-2^{{4\cdot12}}}}=$ $\frac{2^{{50}}+{2^{{51}}}}{2^{{52}}-2^{{48}}}}=$ $\frac{2^{{50}}(1+{2^{{51-50}})}}{2^{{52}}(2^{{52-48}}-1) }}=$ $\frac{2^{{50}}\cdot(1+{2)}}{2^{{48}}\cdot(2^{{4}} -1)}}=$ $\frac{2^{{50}}\cdot3}{2^{{48}}\cdot 15}}^{{(2^{{48}}}}=$ $\frac{2^{{50-48}}\cdot3}{2^{{48-48}}\cdot 15}}=$ $\frac{2^{{2}}\cdot3}{2^{{0}}\cdot 15}}^{{(3}}=$ $\frac{2^{{2}}}{1 \cdot 5}}=$ $\frac{4}{5}}$

EXERCIŢIUL 4: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}}$

Rezolvare:

Observăm că la numărător și la numitor avem câte o sumă Gauss. La numărător putem da factor comun pe 2, iar la numitor putem da factor comun pe 3.

$\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}} =$ $\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}$

Calculăm Suma Gauss cu formula $S= n\cdot(n+1) : 2$

$S=1+2+3+..........+200$

$S=200\cdot(200+1) : 2$

$S=200\cdot201 : 2$

$S=100\cdot201$

$\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}=$ $\frac{2\cdot 100\cdot 201 }{3\cdot 100 \cdot 201}} ^{{(100\cdot 201}}=$ $\frac{2}{3}$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 4: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}}$

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

$\frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}} =$ $\frac{(2\cdot3)^{n}+(2\cdot3)^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (3+7-1)} =$ $\frac{6^{n}+6^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (10-1)} =$ $\frac{6^{n}(1+5+ 6)}{6^{n}\cdot 9} =$ $\frac{6^{n}\cdot12}{6^{n}\cdot 9}^{(6^{n}} =$ $\frac{12}{ 9}^{(3}} =$ $\frac{4}{ 3}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

16
Feb
2017

Fracții ordinare.

categories: Fracții Ordinare

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Astăzi deschid un nou capitol din programa la matematica pentru clasa a V-a: Numere Raționale Pozitive, iar prima lecție din acest capitol este lecția Fracții Ordinare. În acestă lecție vom afla ce este o Fracție și cum se clasifică Fracțiilor.

(mai mult…)

Definiție:

O parte dintr-un întreg, împărțit în părți egale, se numește unitate fracționară.

Exemple:

Definiție: O fracție ordinară este o pereche de două numere naturale m și n, cu $n \neq 0$ , scrisă sub forma: $\frac{m}{n}$ .

“m” se numește numărătorul fracției
“n” se numește numitorul fracției.

Numitorul unei fracții arată în câte părți egale a fost împărțit întregul.

Numărătorul arată câte părți egale sunt luate.

Clasificarea fracțiilor:

Fracții echiunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ , se numește echiunitară dacă $a=b$ numărătorul este egal cu numitorul.

Exemple:

Fracții subunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ se numește subunitară, dacă $a \lt b$ (numărătorul mai mic decât numitorul.

Exemple:

Fracții supraunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ se numețte supraunitară , dacă $a \gt b$ (numărătorul este mai mare decât numitorul).

Exemple:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

01
Feb
2017

Probleme rezolvate cu Teorema lui Thales

categories: Asemănarea Triunghiurilor

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. In articolul de ieri am discutat despre Teorema lui Thales, despre Reciproca Teoremei lui Thales, despre Teorema Bisectoarei și ți-am povestit și legenda Teoremei lui Thales. Astăzi vreau să rezolvăm împreuna câteva probleme de geometrie în care se aplică teoremele menționate mai sus.

(mai mult…)

Problema 1:

În $\Delta ABC$ se dau AB=52 cm, AC=72 cm și $P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ . Dacă $M \in (AB)$ , $N \in (AC)$ astfel încât $MN \parallel BC$ , și $P_{{\Delta MNP}}=50 cm$ calculați lungimile segmentelor [AM], [AN] și [MN].

Rezolvare:

Această problemă se rezolvă cu teorema lui Thales.

Observăm că $P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ este o sumă Gauss. Rezolvăm Suma Gauss pentru a afla perimetrul.

$P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ .

Observăm că putem da factor comun pe 2.

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot(1+3+5+7+......+19)$

Calculăm numărul de termeni cu formula lui Gauss.

$n=(19-1) : 2 +1$

$n=18 : 2 +1$

$n=9 +1$

$n=10 (termeni)$

Calculăm Suma Gauss cu formula

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot (19+1) :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot 20 :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[200 :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot 100$

$P_{{ \Delta ABC}}=200 cm$ .

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Din perimetru putem afla dimensiunea laturii BC.

$P_{{ \Delta ABC}}=AB +AC +BC$

$200 cm = 52 cm + 72 cm +BC$

$BC= 200 cm - 124 cm$

$BC= 76 cm$

Știm din datele problemei că $MN \parallel BC$ deci putem aplica teorema lui Thales

$MN \parallel BC$ $\Rightarrow \frac{AM}{{AB}}=\frac{AN}{{AC}}=\frac{MN}{{BC}}=k$

$\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=\frac{AN}{{72cm}}=\frac{MN}{{76cm}}=k$

$\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=k$ $\Rightarrow AM=52cm \cdot k$

$\Rightarrow \frac{AN}{{72cm}}=k$ $\Rightarrow AN= 72cm\cdot k$

$\Rightarrow \frac{MN}{{76cm}}=k$ $\Rightarrow MN= 76cm\cdot k$

$P_{{ \Delta MNP}}= MN +MP +NP$

$50 cm = 52cm \cdot k+ 72 cm \cdot k+76 cm \cdot k$

$50 cm = 200cm \cdot k$

$k = 200cm : 50 cm$

$k=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow AM=52cm \cdot k=52cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow AM=13cm$

$\Rightarrow AN=72cm \cdot k=72cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow AN=18cm$

$\Rightarrow MN=76cm \cdot k=76cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow MN=19cm$

Problema 2:

Un trapez ABCD, $AB \parallel CD$ , $AB \gt CD$ are $AB = 26 cm$ și linia mijlocie $MN = 18 cm$ , $M \in (AD)$ , $N \in (BC)$ .

a) Calculați lungimea bazei mici a trapezului.

b) Dacă P și Q sunt două puncte, $P \in (AB)$ , $Q \in (DC)$ și $PQ \cap MN= \left \{ R \right \}$ , arătați că R este mijlocul lui $\left [ PQ \right ]$ .

Rezolvare:

a) Știm că MN este linie mijlocie.

$MN=\frac{AB+CD}{{2}}$ $\Rightarrow 2\cdot MN=AB+CD$ $\Rightarrow 2\cdot 18 cm=26 cm+CD$ $\Rightarrow 36cm -26 cm=CD$ $\Rightarrow CD = 10 cm$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

30
Ian
2017

Teorema lui Thales

categories: Asemănarea Triunghiurilor

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Continuăm să ne pregătim la Geometrie cu o nouă lecție la capitolul “Asemănarea triunghiurilor”. Azi discutăm despre Teorema lui Thales.

Legenda spune că Thales care a învățat matematică de la Egipteni și Babylonieni a măsurat înălţimea piramidelor din Egipt, măsurând umbra lor în momentul în care umbra unui băţ vertical era egală cu lungimea lui vezi figura de mai jos. Procedeul este, fără îndoială, ingenios, dar nu e foarte sigură utilizarea lui de către Thales. Aici este evident implicat un caz particular al „teoremei lui Thales”; dar procedeul s-ar fi putut baza pe observaţia că dacă pentru un băţ (vertical) umbra lui este egală cu lungimea sa, această relaţie are loc pentru orice obiect (de exemplu o piramidă, un obelisc etc.).

Thales ar fi folosit cazul general al teoremei de asemănare „După ce ai aşezat toiagul perpendicular pe pământ, la capătul umbrei aruncate de piramidă, a arătat că prin căderea razei de lumină s-au format două triunghiuri; raportul existent între o umbră şi cealaltă era identic cu cel dintre înălţimea piramidei şi lungimea toiagului.

Theorema lui Thales:

O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi sau prelungirile lor, segmente proporționale.

Reciproca Teoremei lui Thales:

Fie triunghiul ABC și punctele $E \in AB$ , $F \in AC$ , aflate în același semiplan determinat de paralela prin A la BC.

Dacă: $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$ $\Rightarrow EF \parallel BC$

OBSERVAȚIE: Dacă $\frac{AE}{AB}\neq \frac{AF}{AC}$ $\Rightarrow EF \not \parallel BC$

Aplicații ale Teoremei lui Thales:

Teorema Paralelelor Neechidistante:

Mai multe drepte paralele determină pe două secante oarecare segmente proporționale.

Dacă: $d_{1}\parallel d_{2}\parallel d_{3}\parallel d_{4}\parallel.............$ $\Rightarrow \frac{A_{{1}}A_{{2}}}{{B_{{1}}B_{{1}}}}=\frac{A_{{2}}A_{{3}}}{{B_{{2}}B_{{3}}}}=\frac{A_{{3}}A_{{4}}}{{B_{{3}}B_{{4}}}}=..................$

Teorema Bisectoarei:

Într-un triunghi bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă două segmente proporționale cu celelalte două laturi.

Pentru unghiul exterior:

Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numerele (segmentele) date:

Pentru a împărți un segment [AB] în părți proporționale cu numerele 2,3 și 5 procedăm astfel. Considerăm semidreapta [AX și pe ea, cu ajutorul compasului construim 10 segmente congruente (2+3+5=10) astfel $A_{{1}}A_{{2}}=2u, A_{{2}}A_{{5}}=3u, A_{{5}}A_{{10}}=5u$ . Unim $A_{{10}}$ cu $B$ și apoi ducem $A_{{5}}N \parallel A_{{10}}B$ și $A_{{2}}M \parallel A_{{10}}B$ . Cu ajutortul paralelelor echidistante obținem:

$\frac{AM}{2}=\frac{MN}{3}=\frac{NB}{5}$

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te invit alături de mine in Clubul de Matematică “Math More Easy” sau accesează link-ul de mai jos:http://mathmoreeasy.ro/probleme-rezolvate-cu-teorema-lui-thales/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

24
Ian
2017

Raportul a două segmente

categories: Asemănarea Triunghiurilor

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi deschid un capitol nou și foarte important al Geometriei: “Asemănarea triunghiurilor”. Este unul dintre cele mei importante capitole din geometria în plan și se bazează pe Teorema lui Thales.

Thales din Milet (624 – 546 î.Hr.), ar fi cunoscut teoremele privitoare la triunghiurile asemenea, cu ajutorul cărora a măsurat depărtarea unui vas de la țărmul mării. De asemenea, tot cu ajutorul lor el ar fi măsurat înălțimea Marii Piramide a lui Keops.

(mai mult…)

Segmente proporționale:

Def: Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor, exprimate cu aceeași unitate de măsură.

Definiție: Patru segmente se numesc proporționale dacă se poate forma o proporție cu lungimile acestora.

Teorema paralelelor echidistante:

Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă decantă segmente congruente.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

17
Ian
2017

Relații între mulțimi de numere

categories: Multimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Operații cu mulțimi. Am invățat ce operații putem face intre mulțimi, despre reuniunea a două mulțimi, despre intersecția a două mulțimi și diferența a două mulțimi dar și diferența simetrică a două mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Relații între Mulțimi, să vedem ce sunt mulțimile egale și mulțimile disjuncte dar și mulțimile finite și mulțimile infinite.

(mai mult…)

Două mulțimi A și B sunt egale, dacă sunt formate din același elemente. Se notează A=B.

Observație: Orice element care aparține mulțimii A este și element al mulțimii B și reciproc orice element care aparține mulțimii B este și element al mulțimii A.

Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține mulțimii B sau invers, se spune ca mulțimile A și B sunt diferite și se notează: $A \neq B$ .

Dacă intersecția a două mulțimi A și B este mulțimea vidă (cele două mulțimi A și B nu au nici un element comun) atunci mulțimile A și B sunt disjuncte.

Incluziunea: Mulțimea A este inclusă în mulțimea B și se notează : $A\subset B$ , dacă orice element al mulțimii A aparține mulțimii B.

Dacă mulțimea B include mulțimea se notează: $B \supset A$
Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține și mulțimii B spunem că mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B și notăm: $A \not \subseteq B$ sau spunem că B nu include mulțimea A și notăm: $B \not \supset \ A$ .

Observații:

Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime $\not \bigcirc\subset A$

Orice mulțime este inclusă în ea însăși $A \subset A$ .

Dacă A și B sunt două mulțimi, astfel încât $A \subset B$ și $B \subset A$ atunci $A=B$ .

Dacă A, B și C sunt trei mulțimi, astfel încât $A \subset B$ și $B \subset C$ , atunci $A \subset C$ .

Submulțimi:

Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, adică $A \subset B$ se spune că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B.

Observații:

Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
Numărul submulțimilor unei mulțimi A este egal cu $2^{{card A}}$
Mulțimea submulțimilor (părților) lui A se notează cu P(A).

Exemplu: Fie mulțimea $M=\left \{ 1,3,5 \right \}$ . CArdinalul mulțimii M Card M =3 . Mulțimea M are $2^{3}=8$ submulțimi.

$\not\bigcirc$ , $\left \{ 1 \right \}$ , $\left \{ 3 \right \}$ , $\left \{ 5 \right \}$ , $\left \{ 1,3 \right \}$ , $\left \{ 1,5 \right \}$ , $\left \{ 3,5 \right \}$ , $M$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

12
Ian
2017

Exerciții Rezolvate Operații cu Mulțimi

categories: Multimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am discutat despre Operații cu Mulțimi. Am invățat ce este Reuniunea a două mulțimi,Intersecția a două mulțimi, Diferența a două mulțimi și Produsul cartezian a două mulțimi. Azi te invit să aplicăm ceea ce am discutat în articolul de ieri la lecția Operații cu Mulțimi în câteva exerciții rezolvate.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Se dau mulțimile: $A=\left \{ 1,2,3\right \}$ , $B=\left \{ 2,4,6\right \}$ și $C=\left \{ 3,5,7\right \}$ . Calculați: $A\cup B$ , $A\cap B$ , $A\setminus B$ , $A\cup C$ , $A\cap C$ , $A\setminus C$ .

Rezolvare:

$A \cup B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,2,3,4,6 \right \}$

$A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 2 \right \}$

$A \setminus B=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,3 \right \}$

$A\cup C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2,3,5,7 \right \}$

$A\cap C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 3 \right \}$

$A\setminus C=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2 \right \}$

EXERCIŢIUL 2: Determinați mulțimile A și B astfel încât să fie îndeplinite simultan condițiile:

$A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$

$A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}$

$A\setminus B=\left \{ 4,6 \right \}$ .

Rezolvare:

Desenam cele 2 mulțimi:

Pentru a identifica mai ușor cele două mulțimi A și B vom reprezenta întâi intersecția celor două mulțimi:

Apoi vom reprezenta pe desen $A\setminus B$ .

Din reuniunea celor două mulțimi $A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$ observăm că mai avem un elemnt $\left \{ 5 \right \}$ pe care nu l-am atribuit nici unei mulțimi rezultă ca elementul $\left \{ 5 \right \}\in B$ .

Astfel am găsit mulțimile:

$A= \left \{1,2,3,4,6 \right \}$

$B= \left \{1,2,3,5 \right \}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

09
Ian
2017

Operații cu mulțimi

categories: Multimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Mulțimi de Numere. Am invățat ce este o mulțime, despre mulțimea vidă, despre mulțimi finite și mulțimi infinite dar și depre cardinalul unei mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Operații cu Mulțimi, să vedem ce operații putem efectua între 2 sau mai multe mulțimi de numere.

(mai mult…)

Reuniunea: a două mulțimi A și B este mulțimea notată $A \cup B$ , formată din toate elementele celor două mulțimi comune și necomune, luate o singură dată.

$A \cup B=\left \{ x | x \in A sau x \in B \right \}$

Exemplu: $A=\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}$

$B=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}$

$A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,7,9 \right \}$

Intersecția: a două mulțimi A și B este mulțimea notată $A\cap B$ , formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură dată

$A\cap B=\left \{ x| x \in A si x \in B \right \}$

Exemplu: $A=\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}$

$B=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}$

$A\cap B=\left \{ 1,3,5 \right \}$

Diferența: a două mulțimi A și B este mulțimea notată $A \setminus B$ , formată din elementele mulțimii A care nu aparțin mulțimii B.

$A \setminus B=\left \{ x| x\in A si x\notin B \right \}$

Exemplu: $A=\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}$

$B=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}$

$A \setminus B=\left \{7,9 \right \}$

Produsul Cartezian: a două mulțimi A și B este mulțimea notată $A X B$ , formată cu toate perechile ordonate cu primul element din A și al doilea element din B.

$A X B =\left \{ (x,y)|x\in A si y\in B \right \}$

Diferența simetrică: a mulțimilor A și B:

$A \bigtriangleup B = (A\setminus B) \cup (B\setminus A)$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

06
Ian
2017

Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii

categories: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi deschid un capitol nou și foarte important al Geometriei în plan : ” Relații Metrice în Triunghiul Dreptunghic”. Acest capitol este foarte important în studiul Geometriei în Plan (geometria de clasa a VII-a), dar și în Geometria în Spațiu (geometria de clasa a VIII-a). Prima lecție din acest capitol “Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii.” (mai mult…)

Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă.

Observație: Vom nota : $pr_{d}M=M^{{'}}$

Teoremă: Proiecția unui segment pe o dreaptă este un segment sau un punct.

Observație: Dacă proiecția segmentului [AB] pe dreapta d este segmentul $\left [ A ^{'}B^{'} \right ]$ , atunci proiecția mijlocului segmentului [AB] pe dreapta d este mijlocul segmentului $\left [ A ^{'}B^{'} \right ]$ .

Teorema înălțimii: Într-un triunghi dreptunghic lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Observație: Lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este raportul dintre produsul lungimilor catetelor și lungimea ipotenuzei.

Reciproca Teoremei Înălțimii : Fie triunghiul ABC și $D \epsilon (BC)$ astfel încât $AD \perp BC$ și $AD^{{2}}=DC \cdot DB$ . Atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!