Matematica Mai Usoara | "Matematica Mai Usoara" este un blog de matematică, mai exact un blog despre cele mai uşoare metode de a învăţa matematica.

28
Oct
2017

Exerciții rezolvate la Mijlocul unui Segment.

"Perseverența este obiceiul succesului dobândit prin muncă susținută." -Herbert Harris

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva probleme la o lecție de geometrie foarte importantă: "Mijlocul unui segment dat".

Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecția Mijlocul unui segment. Simetricul unui punct fata de alt punct

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

(more…)

Exercițiul 1:

Se dau patru puncte M, N, P,Q coliniare în această ordine, astfel încât $\left [ MP \right ]=18 \ cm$ , $\left [ NP \right ]=8 \ cm$ , $\left [ PQ \right ]=6 \ cm$ și punctul X mijlocul segmentului $\left [ MN \right ]$ , iar punctul Y mijlocul segmentului $\left [ NQ\right ]$ . Calculați lungimea segmentului $\left [ XY\right ]$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:
Realizăm desenul respectând datele problemei:
Analizând atent desenul realizat observăm că segmentul $\left [ XY\right ]=\left [ XN\right ]+\left [ NY\right ]$
Pentru ca nu cunoaștem demensiunile celor două segmente: $\left [ XN\right ]$ și $\left [ NY\right ]$ vom face cateva calcule ca să le aflăm.
Știm că punctul $X \ \ \ mijloc \ \ \ de \ \ \ \left [ MN \right ]$ $\Rightarrow \left [ MX \right ] \equiv \left [ XN \right ]$ $=\frac{\left [ MN \right ]}{2}$
Nu știu dimensiunea segmentului $\left [ MN \right ]$ dar cunosc dimensiunile segmentelor: $\left [ MP \right ]=18 \ cm$ și $\left [ NP \right ]=8 \ cm$ și îl pot afla pe $\left [ MN \right ]$ .
$\left [ MN \right ]=\left [ MP \right ]-\left [ NP \right ]$ $=18 cm - 8 cm =10 cm$
Acum îl pot afla pe $\left [ XN \right ]= \frac{ \left [ MN \right ]}{2}=\frac{10 cm}{2}=5 cm$
Trebuie sa îl aflăm și pe $\left [ NY\right ]$ .
Știu că $Y \ \ \ mijloc \ \ \ de \ \ \ \left [ NQ \right ]$ $\Rightarrow \left [ NY \right ] \equiv \left [ YQ \right ]$ $=\frac{\left [ NQ \right ]}{2}$
Nu știu dimensiunea segmentului $\left [ NQ \right ]$ dar cunosc dimensiunile segmentelor $\left [ NP \right ]$ și $\left [ PQ \right ]$ și îl pot afla pe $\left [ NQ \right ]$ .
$\left [ NQ \right ]= \left [ NP \right ]+ \left [ PQ \right ]$ $= 8 cm + 6 cm =14 cm$
Acum îl pot afla pe $\left [ NY\right ]=\frac{\left [ NQ\right ]}{2}=\frac{14 cm}{2}=7 cm$
Înlocuim în: $\left [ XY\right ]=\left [ XN\right ]+\left [ NY\right ]$ = $=5 cm +7 cm=12 cm$

Exercițiul 2:

Pe o dreaptă d se consideră trei puncte A, B, C coliniare în această ordine, astfel încât $\left [ AB \right ]=8cm$ , $\left [ AC \right ]=20cm$ . Știind că M este mijlocul lui $\left [ AB \right ]$ și N este mijlocul lui $\left [ AC \right ]$ , calculați lungimea segmentului $\left [ MN \right ]$ .

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Știm că M este mijlocul lui $\left [ AB \right ]$ $\Rightarrow \left [ AM \right ]\equiv \left [ MB \right ]$ $=\frac{ \left [ AB \right ]}{{2}}$ $=\frac{ 8 cm}{{2}}=4 cm$ .
Știm că N este mijlocul lui $\left [ AC \right ]$ $\Rightarrow \left [ AN \right ]\equiv \left [ NC \right ]$ $=\frac{\left [ AC \right ]}{2}$ $=\frac{20 cm}{2}= 10 cm$
Analizând atent desenul observăm că $\left [ BN\right ]=\left [ AN\right ]-\left [ AB\right ]=10 cm - 8 cm=2 cm$
$\left [ MN \right ]=\left [ MB \right ]+\left [ BN \right ]$
$\left [ MN \right ]=4 cm+2 cm=6 cm$

Exercițiul 3:

Pe o dreaptă d se consideră punctele: X, Y, Z, T coliniare în această ordine astfel încât $\left [ XY\right ]=12 cm$ , $\left [ YZ\right ]=5 cm$ , $\left [ ZT\right ]=3 cm$ . Se știe că punctele M, N și P sunt mijloacele segmentelor: $\left [ XY\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YZ\right ]$ și respectiv $\left [ ZT\right ]$ . Aflați lungimea segmentelor: $\left [ XZ\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ XT\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YT\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ XN\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YP\right ]$

Rezolvare:
Scriem datele problemei
Realizăm desenul respectând datele problemei:

Analizând desenul realizat observăm că: $\left [ XZ\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YZ\right ]=12 cm +5 cm =17 cm$
$\left [ XT\right ]= \left [ XZ\right ]+\left [ ZT\right ]=17 cm +3 cm =20 cm$
$\left [ YT\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZT\right ]=5 cm +3 cm =8 cm$
$\left [ XN\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YN\right ]$
Nu îl știm pe $\left [ YN\right ]$ dar știm că N este mijlocul segmentului $\left [ YZ\right ]$ $\Rightarrow \left [ YN \right ]\equiv \left [ NZ \right ]$ $\Rightarrow \left [ YN \right ]=\frac{\left [ YZ \right ]}{2}$ $\Rightarrow \left [ YN \right ]=\frac{5 cm}{2}= 2,5 cm$
$\left [ XN\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YN\right ]= 12 cm + 2,5 cm=14,5 cm$
$\left [ YP\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZP\right ]$
Nu cunoaștem dimensiunea lui $\left [ ZP\right ]$ dar știm că punctul P este mijlocul lui $\left [ ZT\right ]$ $\Rightarrow \left [ ZP\right ]\equiv \left [ PT\right ]$ $\Rightarrow \left [ ZP\right ]=\frac{\left [ ZT\right ]}{2}$ $\Rightarrow \left [ ZP\right ]=\frac{\left [3 cm ]}{2}=1,5 cm$
$\left [ YP\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZP\right ]$
$\left [ YP\right ]= 5 cm +1,5 cm= 6,5 cm$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică

Dacă copilul tău nu a înțeles partea de teorie te invit să vizionezi lectia aici: https://www.youtube.com/watch?v=PHoTrYG-htc&t=330s

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în "Clubul de Matematică Math More Easy".

24
Oct
2017

Exerciții Rezolvate la Descompunerea În Factori Primi

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Descurajarea și înfrângerile sunt unele dintre cele mai sigure căi către succes."

Dale Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție extrem de importanta Descompunerea în Factori Primi a unui Număr Natural.

Exercițiul 1 :

Descompuneți în produs de factori primi următoarele numere naturale:

a) $120$

b) $3528;$

c) $36000$

Rezolvare:

a) Pentru că 120 se divide cu 10 (numărul 120 se termină in 0), iar 10 nu este număr prim vom împărți mai întâi prin $2\cdot 5$
Rămâne 12 care este un număr par și se divide cu 2.
Deci 120 descompus în factori primi este: $120=2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
b) $3528$
Pentru că 3528 este un număr par de divide cu 2.
Pentru că 441 este un număr impar și nu se mai divide cu 2, verificăm criteriul de divizibilitate cu 3.
$4+4+1=9\ \ \ \vdots\ \ \ 3$
Mai departe împărțim prin 3.
Pentru că 49 nu se mai divide cu 3 și nu se divide nici cu 5 încercăm cu următorul număr prim cu 7.
Astfel obținem 3528 descompus în factori primi: $3528=2^3 \cdot 3^2 \cdot7^2$
c) $36000$
Pentru că $36000$ se termină în trei cifre de 0 înseamnă că de divide cu $1000=10^3=(2\cdot5)^3=2^3 \cdot 5^3$
Deci obținem:
Astfel putem scrie $36000=2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^3$

Exercițiul 2 :

Determinați numerele naturale "m", "n" și "p"astfel încât să obțineți propoziții adevărate:

a) $36=2^n \cdot 3^p$

b) $360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$

c) $720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$

Rezolvare:

Descompunem în factori primi numerele 36, 360 și 720.

Obținem astfel:
a) $36=2^n \cdot 3^p$
$36=2^2\cdot 3^2$ $\Rightarrow n=2$ și $p=2$
b) $360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$
$360=2^3 \cdot 3^2\cdot 5^1$ $\Rightarrow n=3 \ \ \ ; \ \ \ p=2$ și $m=1$
c) $720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$
$720=2^4 \cdot 3^2\cdot 5^1$ $\Rightarrow n=4 \ ; \ \ \ p=2$ și $m=1$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în "Clubul de Matematică Math More Easy".

29
Sep
2017

Segment de dreaptă. Semidreapta

categories: Geometrie a VI-a

"Singurul lucru mai rău decât să începi ceva și să ratezi........ este să nu începi acel ceva"

Seth Godin

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție de Geometrie în Plan. În articolele anterioare am vorbit despre Dreaptă și Plan. Azi îți propun lecția "Segment de dreaptă. Semidreapta".

Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecția Segment de dreaptă. Semidreapta".

PS: Asigura-te ca te-ai abonat la canalul meu de YouTube pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Segment de dreaptă:

Este o porțiune din acea dreaptă delimitat de două puncte distincte numite extremitățile segmentului sau capetele segmentului.
Se notează : $\left [ AB \right ]$

Segmentul de dreaptă închis:

Se notează: $\left [ AB \right ]$
Include cele două puncte A și B

Segmentul de dreaptă deschis:

Se notează: $\left ( AB \right )$
nu include cele două puncte A și B.

Segmentul de dreaptă nul:

Este segmentul de dreaptă care are proprietatea că punctele care delimitează segmentul coincid.

Semidreapta:

Este un segment de dreaptă mărginit la un singur capăt.

Se notează: $\left [ MN$

M se numește origine

Semidreaptă închisă:

Este semidreapta care își conține originea
Se notează: $\left [ MN$

Semidreaptă deschisă:

Este semidreapta care nu își conține originea.
Se notează: $\left ( MN$

Semidrepte opuse:

Sunt două semidrepte conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și sensuri diferite.

Semidrepte identice:

Sunt două semidrepte de acelasi fel (închise sau deschise), conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și același sens.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții și probleme cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în "Clubul de Matematic[ Math More Easy".

18
Sep
2017

Planul

categories: Geometrie a VI-a

" Dacă începi astăzi, vei vedea rezultate cu o zi mai devreme decât dacă aștepți până mâine. Începe astăzi! "

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit sa parcurgem împreună încă o lecție de Geometrie: Planul.

(more…)

Planul:

Ni-l imaginăm ca o suprafață netedă, întinsă la nesfârșit în toate direcțiile, alcătuită din puncte.

Îl notăm cu o literă din alfabetul grecesc: $\alpha, \beta, \gamma, \Delta ,\Psi , \Omega .............$ , sau cu trei litere mari într-o paranteză rotundă cu condiția să reprezinte trei puncte necoliniare ce-i aparțin (ABC).

Pozițiile Relative A Unui Punct Față De Un Plan:

Punct Interior unui plan:

Punct Exterior unui plan:

Dreaptă inclusă în plan:

Dacă o dreaptă d are toate punctele într-un plan $\alpha$ , atunci dreapta este inclusă în planul $\alpha$ . Se notează: $d \subset \alpha$ .

Observație:

Dacă $A \in \alpha$ și $B \in \alpha$ $\Rightarrow AB \subset \alpha$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor

dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

18
Sep
2017

Exerciții rezolvate la Numere Prime

categories: Mulţimea numerelor naturale

" Nimic nu-I poate opri pe omul cu atitudine pozitivă, nimic nu-l poate ajuta pe omul cu mentalitate greșită".

Thomas Jefferson

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție extrem de importanta Numere Prime între ele. (more…)

Exercițiul 1: Descompune în factori primi numerele de mai jos și arată că numerele sunt prime între ele.

a) 24 și 77

b) 360 și 1001

c) 84 și 125

Rezolvare:

a) 24 și 77

Descompunem în factori primi cele două numere.

$24=2^3 \cdot 3$

$77=7\cdot 11$

$(24, 77)=1$

Deoarece c.m.m.d.c-ul celor două numere este 1 $\Rightarrow$ cele două numere nu au nici un divisor comun în afară de 1 deci sunt prime între ele.

b) 360 și 1001

Descompunem în factori primi cele două numere.

$360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$1001=7\cdot 11 \cdot 13$

$(360, 1001)=1$ $\Rightarrow$ 360 și 1001 sunt numere prime între ele.

c) 84 și 125

Descompunem în factori primi cele două numere.

$84=2^2\cdot 3\cdot 7$

$125=5^ 3$

$(84,125)=1$ $\Rightarrow$ 84 și 125 sunt numere prime între ele.

Exercițiul 2: Arată că numerele naturale $(4n+3,\ \ \ 6n+5)$ sunt prime între ele oricare ar fi $n\in N$ .

Rezolvare:

Pentru a demonstra că numerele : $4n+3$ și $6n+5$ sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere naturale $4n+3$ și $6n+5$ au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural "d" care divide numerele $4n+3$ și $6n+5$ .

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+3 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 3 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+9$

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 6n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 2 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10$

Scădem cele două relații și obținem: $d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10-12n-9 \ \$ $\Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1$ $\Rightarrow$ $(4n+3, 6n+5)=1$ $\Rightarrow$ numerele $4n+3$ și $6n+5$ sunt prime între ele.

Exercițiul 3: Arată că numerele naturale $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele oricare ar fi $n\in N$ .

Rezolvare:

Pentru a demonstra că numerele : $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere natural $5n+6$ și $4n+5$ au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural "d" care divide numerele $5n+6$ și $4n+5$ .

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 5n+6 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 4 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+24$

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 5 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25$

Scădem cele două relații și obținem: $d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25-20n-24 \ \$ $\Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1$ $\Rightarrow$ $(5n+6, 4n+5)=1$ $\Rightarrow$ numerele $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele.

Exercițiul 3: Află numărul natural x astfel încât:

a) $(\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1$

b) $(\overline{51x}\ \ \ ,\ \ \ 12)=1$

Rezolvare:

Pentru a demonstra că cele două numere $\overline{5x}$ și 10 nu au nici un divizor comun scriem mulțimea divizorilor lui 10.

$D_{{10}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 10 \right \}$

Dacă $(\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1$ $\Rightarrow$ numerele: 2, 5 și 10 nu trebuie să dividă $\overline{5x}$ $\Rightarrow$

Dacă 2 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x este un număr impar $\Rightarrow$ $x\in \left \{ 1,3,5,7,9 \right \}$ ; dacă 5 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x nu poate fi 0 sau 5; dacă 10 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x nu poate fi 0

$\Rightarrow x\in \left \{ 1,3,7,9 \right \}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

08
Sep
2017

Punctul și Dreapta

categories: Geometrie a VI-a

"Efortul își arată roadele după ce o persoană refuză să se oprească.

Napoleon Bonaparte

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit sa parcurgem împreună prima lecție de Geometrie în plan: Punctul și Drapta.Punctul și dreapta sunt noțiunile cele mai simple din Geometrie fiind create de mintea umană.

(more…)

Punctul:

Ni-l putem imagina ca fiind urma lăsată pe hârtie de vârful unui creion bine ascuțit.

Îl reprezentăm grafic printr-o bulină sau printr-un "x" (două liniuțe care se intersectează).

Punctele se notează cu litere mari.

Poziții relative a două puncte:

puncte identice (coincid) dacă cele două puncte sunt situate în același loc

puncte distincte (diferite) dacă cele două puncte sunt situate locuri diferite.

Dreapta:

Ne-o putem imagina ca fiind un fir de ață întins prelungit la infinit.

Dreptele se notează cu literele mici ale alfabetului sau cu două litere mari prin care am notat două puncte distincte ce aparțin dreptei.

Dreapta este o figură geometrică (o mulțime de puncte) și este nelimitată.

Pentru a reprezenta grafic o dreaptă folosim rigla.

Axioma dreptei:

Două puncte distincte determină o dreaptă și numai una.

Orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte.

Pozițiile relative ale uni punct față de o dreaptă:

Punct exterior unei drepte: atunci când punctul nu este situat pe dreapta d

Punct interior unei drepte: atunci când punctul este situat pe dreapta d sau mai spunem că punctul aparține dreptei d.

Puncte coliniare: Trei (sau mai multe puncte) sunt coliniare dacă există o dreaptă care să conțină cele trei puncte.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

06
Sep
2017

Exerciții rezolvate la Pătrate Perfecte!

categories: Numere Naturale

"Nu poți împinge pe nimeni să urce pe o scară dacă nu este dispus să o urce singur "

Andrew Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior am prezentat cateva "Exerciții Rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural". Astăzi te invit să rezolvăm și să explicăm câteva exerciții la Pătrate Perfecte. Să vedem cum putem arăta că un număr foarte mare poate fi sau nu pătrat perfect!

Exercițiul 1:

Arătați că numărul $a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002)$ este pătrat perfect.

Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "a" este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul "a"se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
Observăm că în paranteză avem Suma Gauss a primelor 2002 numere naturale consecutive așa că vom aplica formula de calcul a lui Gauss.
$a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002)$
$a=2003 + 2\cdot [2002\cdot (2002+1)\ : \ 2]$
$a=2003 + 2\cdot [2002\cdot 2003 \ : \ 2]$
Pentru că înmulțirea și împărțirea sunt operații de același ordin putem efectua mai întâi operația de împărțire.
$a=2003 + 2\cdot [2002\ \ : \ 2 \cdot 2003]$
$a=2003 + 2\cdot 1001 \cdot 2003$
$a=2003 + 2002 \cdot 2003$
Dăm factor comun pe 2003.
$a=2003\cdot (1 + 2002)$
$a=2003\cdot 2003$
$a=2003^2$ .
$\Rightarrow numarul \$ este pătrat perfect.

Exercițiul 2:

Arătați că numărul $a=81+81 \cdot 2+ 81 \cdot 3+.....................+81 \cdot 49$ este pătrat perfect.

Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "a" este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul "n"se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
Observăm că 81 se repetă și îl putem da factor comun.
$a=81\cdot (1+ 2+ 3+.....................+49).$
În paranteză obținem Suma Gauss a primelor 49 numere naturale consecutive așa că vom aplica metoda de calcul a lui Gauss.
$a=81\cdot [49 \cdot(49+1) \ \ : \ 2 ]$
$a=81\cdot [49 \cdot 50 \ \ : \ 2 ]$
$a=81\cdot 49 \cdot 25$
$a=9^2\cdot 7^2 \cdot 5^2$
Aplicăm Regulile de Calcul cu Puteri și obținem:
$a=(9\cdot 7 \cdot 5)^2$
$a=315^2$

Exercițiul 3:

Arătați că numărul $n= 27^9 \cdot 32^{11} \ \ : \ \ 2 - 16^6\cdot 2\cdot 6^{27}$ este pătrat perfect.

Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "n" este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
Observăm că pe 27 îl putem scrie ca bază 3, pe 16 și 32 îi putem scrie ca baza 2 iar pe 6 îl putem scrie ca produsul $2\cdot 3$
$n= (3^3)^9 \cdot (2^5)^{11} \ \ : \ \ 2^1 - (2^4)^6\cdot 2^1 \cdot (2\cdot3)^{27}$
Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:
$n= 3^{3\cdot9} \cdot 2^{5\cdot 11} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{4\cdot 6}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}$
$n= 3^{27} \cdot 2^{55} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{24}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}$
$n= 3^{27} \cdot 2^{55-1} - 2^{24+1+27}\cdot 3^{27}$
$n= 3^{27} \cdot 2^{54} - 2^{52}\cdot 3^{27}$
$n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 2^2 - 2^{52}\cdot 3^{27}$
Observăm că se repetă $3^{27} \cdot 2^{52}$ și îi dăm factor comun.
$n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (2^2 - 1)$
$n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (4 - 1)$
$n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3$
$n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3^1$
$n= 3^{27+1} \cdot 2^{52}$
$n= 3^{28} \cdot 2^{52}$
$n= (3^{14} \cdot 2^{26} )^2$ $\Rightarrow n$ este pătrat perfect

Exercițiul 4:

Arătați că numărul $n= 2^{2011}- 2^{2010}-2^{2009}-2^{2008}$ este pătrat perfect.

Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "n" este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
Aplicând Regulile de Calcul cu Puteri putem scrie: $2^{2011}= 2^{2008}\cdot 2^{3}$ ; $2^{2010}= 2^{2008}\cdot 2^{2}$ și $2^{2009}= 2^{2008}\cdot 2^{1}$ . Obținem astfel:
$n= 2^{2008}\cdot 2^{3} - 2^{2008}\cdot 2^{2} - 2^{2008}\cdot 2^{1} -2^{2008}$
Observăm că se repetă $2^{2008}$ și putem sa îl dăm factor comun:
$n= 2^{2008}\cdot (2^{3} - 2^{2} - 2^{1} - 1)$
$n= 2^{2008}\cdot (8 - 4 - 2 - 1)$
$n= 2^{2008}\cdot 1$
$n= 2^{2008}$
$n= (2^{1004})^2$ $\Rightarrow n$ este pătrat perfect

Exercițiul 5:

Arătați că numărul $a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002}$ nu este pătrat perfect.

Rezolvare: Observăm că avem Suma Gauss a puterilor lui 2. Pentru a rezolva acest exercițiu înmultim întreaga expresie matematică cu un 2.
$a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002} | \ \ \ \cdot2$
$2\cdot a= 2\cdot 2^{1504} + 2\cdot 2^{1505} + 2\cdot 2^{1506} +..............+2\cdot 2^{2002}$
$2\cdot a= 2^{1504+1} + 2^{1505+1} + 2^{1506+1} +..............+ 2^{2002+1}$
$2\cdot a= 2^{1505} + 2^{1506} + 2^{1507} +.............+2^{2002}+ 2^{2003}$
Scădem cele două relații și obținem:
suma gauss a puteror lui 2
$a = 2^{2003} - 2^{1504}$
Pentru a demonstra că numărul $a = 2^{2003} - 2^{1504}$ nu este pătrat perfect trebuie să arătăm că Ultima cifră a lui a aparține mulțimii: $\left \{ 2,3, 7,8 \right \}$ .
Calculăm Ultima cifră a numărului: $a = 2^{2003} - 2^{1504}$
$U(a) = U(2^{2003} - 2^{1504})$
$U(a) = U(2^{2003}) - U(2^{1504})$
Calculăm $U(2^{2003})$ .
Mai întâi calculăm puterilelui 2.
Observăm că ultima cifră se schimbă din 4 în 4.
Împărțim 2003 la 4 și obținem câtul 500 și restul 3.
$U(2^{2003})=U(2^{4\cdot 500+3})=U[(2^4)^{500}\cdot 2^3]=U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)$
Dacă privim atent puterile lui 2 observăm ca ultima cifră a lui $2^4$ este 6 și astfel obținem:
$U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)= U[U(6^{500})\cdot 8]$
Știm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifra tot 6.
Și obținem: $U[U(6^{500})\cdot 8]=U(6 \cdot 8)= U(48)=8$
Am obținut că $U(2^{2003})=8$
Calculăm $U(2^{1504})$ .
Împărțim 1504 la 4 și obținem câtul 376.
$U(2^{1504})=U(2^{4\cdot 376})=U[(2^4)^{376}]$
$U(2^4)=6$ $\Rightarrow U[(2^4)^{376}]=U(6^{376})=6$
Am obținut astfel: U(a) = U(2^{2003}) - U(2^{1504})=8-6=2
Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi 2 $\Rightarrow$ $a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002}$ nu este pătrat perfect.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

18
Aug
2017

Criteriile de divizibilitate

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Mintea umană este ca o parașută. E inutilă dacă nu se deschide."

Frank Zappa

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior ți-am prezentat lecția "Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural". Am învățat împreună care sunt divizorii unui număr, care sunt multiplii unui număr natural și cum arătăm dacă un număr natural divide sau nu un alt număr natural. Astăzi voi continua cu o noua lecție la acest capitol "Criteriile de divizibilitate" .

Criteriul de divizibilitate cu 2

Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este o cifră pară.

Criteriul de divizibilitate cu 5

Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5

Criteriul de divizibilitate cu 10.

Un număr natural este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0.

Criteriul de divizibilitate cu 100(1000, 10000, etc).

Un număr natural este divizibil cu 100(respectiv 1000, 10000, etc) dacă și numai dacă ultimile două (respectiv trei, patru, etc) cifre ale numărului sunt egale cu 0.

Criteriul de divizibilitate cu 3 (respectiv 9).

Un număr natural este divizibil cu 3 (respectiv 9) dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 (respectiv 9).

Criteriul de divizibilitate cu 4.

Un număr natural este divizibil cu 4 dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4

Criteriul de divizibilitate cu 25.

Un număr natural este divizibil cu 25 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale sale sunt 00, 25, 50 sau 75.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

08
Aug
2017

Exerciții rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural

categories: Numere Naturale

"Zadarnic vei vrea să-l înveți

pe cel ce nu e dornic să fie învățat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăța."

Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am vorbit despre cum putem afla Ultima cifră a unui număr natural. Azi îți propun câteva exemple de exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la această lecție dificilă pentru clasa a V-a.

Exercițiul 1:

Calculați ultima cifră a numerelor:

a) $2^{1299}; \ \ \ 2^{2020};$

b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Rezolvare:

a) Pentru a calcula $2^{1299};$ mai întâi privim atent puterile numărului 2.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim puterea 1299 la 4 și obținem: $1299 \ \ \ : \ \ \ 4=324 \ \ \ rest \ \ \ 3$ $\Rightarrow 1299=4\cdot 324 +3$

Atunci putem scrie că: $U(2^{1299})=U(2^{4\cdot 324 +3})=U[(2^{4})^{ 324} \cdot 2^3)]$ $=U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)$

Consultăm tabelul cu puterile lui 2 și observăm că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem:

$U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)=U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8$

Consultăm tabelul cu puterile lui 6.

Observăm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6 astfel obținem:

$U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8=U(6 \cdot 8)=U(48)=8$

Am obținut că $U(2^{ 1299})=8$

Calculăm acum pentru $U(2^{ 2020})=?$

Avem mai sus tabelul cu puterile lui 2 și am observat că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim puterea 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4=505 \ \ \ rest \ \ \ 0$

Atunci putem scrie că: $U(2^{2020})=U(2^{4\cdot 505 +0})=U[(2^{4})^{ 505} \cdot 2^0)]$ .

Știm că orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1 $\Rightarrow 2^{0}=1$ .

Am văzut mai sus că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem:

$=U[(6^{ 505} \cdot 1)]=U(6 \cdot1)=6$ .

Am obținut că: $U(2^{ 2020}) = 6$

b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Calculăm $U(21^{ 324}) = ?$

$U(21^{ 324}) = U(1^{ 324})$

Știm că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1. $\Rightarrow U(1^{ 324}) = 1$

Calculăm $U(19 ^{ 257}) = ?$

$U(19 ^{ 257}) = U(9^{ 257}) =$

Calculăm puterile lui 9.

Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2.

Împărțim 257 la 2 și obținem: $257 \ \ \ : \ \ \ 2 = 128 \ \ \ rest \ \ \ 1$

Atunci putem scrie că: $U(9^ {257})= U(9^ {2\cdot128+1})= U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)=$

Consultând tabelul cu puterile lui 9 observăm că $9^2$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= U(1^{128})\ \ \ \cdot \ \ \ 9=U(1 \cdot 9 )=9$

Am obținut că $U(19^{ 257}) = 9$

Calculăm $U(17^{ 2020}) = ?$

$U(17^{ 2020}) = U(7^{ 2020})$ = ?

Calculăm puterile lui 7.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0$

Atunci putem scrie că: $U(7^{ 2020}) = U[(7^4)^{ 505}]$

Consultând tabelul cu puterile lui 7 observăm că $7^4$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem:

$U[(7^4)^{ 505}] = U(1^{505})=1$

Am obținut că $U(17^{ 2020})=1$ .

Învăț pentru mine

Dragul meu părinte își propun câteva exerciții pe care să le rezolve copilul tău urmărind exemplele explicate și rezolvate mai sus!

Determină ultima cifră a numerelor:

a) $2^{99}; \ \ \ 2^{2018}; \ \ \ 2^{2024};$

b) $41^{2017}; \ \ \ 125^{2017}; \ \ \ 2017^{2018};$

c) $4^{1999}; \ \ \ 129^{2022}; \ \ \ 2016^{2018};$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

04
Aug
2017

Mulțimea Numerelor Raționale.

categories: Numere Raţionale

" Nu îți coborî așteptările pentru a se potrivi cu performanța ta. Ridică-ți nivelul de performananță pentru a se potrivi cu așteptările tale."

Ralph Marston

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi revin cu o lecție pentru clasa a VII-a.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

"Perseverența este obiceiul succesului dobândit prin muncă susținută." -Herbert Harris

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva probleme la o lecție de geometrie foarte importantă: "Mijlocul unui segment dat".

b)

Planul:

Punctul:

Dreapta:

Exercițiul 1:

Exercițiul 2:

Exercițiul 3:

Exercițiul 4:

Exercițiul 5:

Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi 2 nu este pătrat perfect.

Învăț pentru mine

b) $3528$

Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi 2 $\Rightarrow$ $a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002}$ nu este pătrat perfect.