Matematica Mai Usoara | "Matematica Mai Usoara" este un blog de matematică, mai exact un blog despre cele mai uşoare metode de a învăţa matematica.

07
May
2017

Model Rezolvat Teza clasa a VIII-a Semestrul II

Şcoala trebuie să te înveţe a fi propriul tău dascăl, cel mai bun şi cel mai aspru.

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! A început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(more…)

Model Propus Teza clasa a VIII-a Semestrul II

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}$ este:……………………………

Rezolvare:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}$ $=\sqrt{2\cdot 3}-3\sqrt{6}$ $=\sqrt{6}-3\sqrt{6}$ $=-2\sqrt{6}$

Exercițiul 2 (1 punct):

Simplificând cu $x^2+1$ raportul : $\frac{x^4-1}{{x^2+1}}$ se obține:.....................................

Rezolvare:

Aplicăm formulele de calcul prescurtat pentru expresia: $x^4-1$ și se obține:

$\frac{x^4-1}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2)^2-1^2}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}^{(x^2+1}=$ $\frac{x^2-1}{1}$ $=x^2-1$ .

Exercițiul 3 (1 punct):

Soluția ecuației: $x-\sqrt{3}=0$ este: ........................................

Rezolvare:

$x-\sqrt{3}=0$ $\Rightarrow x-\sqrt{3}=0 /-\sqrt{3}$ $\Rightarrow x=-\sqrt{3}$

Exercițiul 4 (1 punct):

Se considera funcția $f : R \to R$ , $f (x)=x-3$ . Valoarea funcției în punctul x=3 este egală cu: .........................

Rezolvare:

Pentru a afla valoarea functiei în punctul x=3 calculăm $f (3)$ (îl înlocuim pe x cu 3 în funcție.

$f (3)=3-3=0$

Exercițiul 5 (1punct):

Volumul cubului cu lungimea diagonalei de $\sqrt{12}cm$ este: ........................

Rezolvare:

Știm că diagonala cubului este egală cu:

$d=l\sqrt{3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=\sqrt{12}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=2\sqr{3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=2\sqr{3} / :\sqr{3} \Rightarrow$ $l=2 cm$

Știm că volumul cubului are formula: $V= l^3$ ; înlocuim latura cu 2 cm și obținem:

$V= l^3 \Rightarrow$ $V= (2cm)^3 \Rightarrow$ $V= 8cm^3$ .

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete.

Exercițiul 1 (1,5 puncte):

Se consideră expresia: $E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}$ .

a) Determina'i valorile reale ale lui x pentru care expresia E(x) este bine definită.

b) Demonstrați că E(x)=1, $(\forall ) x \in R \setminus \left \{ -2; 1\right \}$ .

Rezolvare:

$E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}$ $\Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$

a)Punem condițiile de existență ale fracțiilor (numitorul fracției trebuie să fie diferit de 0):

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$3x-1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1$ $\Rightarrow 3x \neq \frac{1}{{3}}$

$\Rightarrow x \in R\setminus \left \{ \frac{1}{{3}} , 2 \right \}$

$E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2$

Înmulțim cu a doua fracție răsturnată.

$\Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$

Aducem la același numitor în paranteză.

$\Rightarrow E(x)=(_{{}}^{x-2)}\textrm{1}- _{{}}^{x-2)}\textrm{x}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$ $\Rightarrow E(x)=(\frac{x-2}{x-2}- \frac{x(x-2)}{x-2}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=(\frac{x-2-x^2+2x+x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=\frac{3x-1}{x-2}\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=1$

Exercițiul 2 (1,5 puncte):

Se consideră funcția $f : R \to R ,$ $f(x)= -x+2$ .

a) Calculați media aritmetică a numerelor $a=f(0)$ și $b=f(2)$ .

b) Reprezentați grafic funcția f(x).

c) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției f(x) și axele de coordonate OX și OY.

Rezolvare:

a) $f(0)=0+2=2$

$f(2)=-2+2=0$

$M_{a}=\frac{f(0)+f(2)}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}=\frac{2+0}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}=\frac{2}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}= 1$

b) Pentru a reprezenta grafic funcția f(x) facem intersecția cu cele două axe OX și OY
$\cap OX :$ $y=0 \Rightarrow f(x)=0$ $\Rightarrow -x+2=0$ $\Rightarrow -x=-2$ $\Rightarrow x=2$ $\Rightarrow A(2;0)$
$\cap OY:$ $x=0 \Rightarrow f(0)=0+2=2$ $\Rightarrow B(0;2)$

Exercițiul 3 (1,5 puncte):

O piramidă triunghiulară regulată VABC are latura $AB=4\sqrt{6} cm$ și $VO=2\sqrt{6} cm$ , unde O este centrul bazei ABC. Calculați:

a) aria laterală a piramidei;

b) distanța de la O la planul (VBC)

c) distanța de la punctul A la planul (VBC)

d) măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC).

Rezolvare:

Scriem datele problemei și apoi le analizăm:

Realizăm și desenul:

a) Știm formula arie laterale: $A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$ .

Pentru a calcula $A_{{l}}$ trebuie să aflăm mai întâi apotema piramidei $a_{{p}}=VM$ .

VABC este piramidă triunghiulară regulată $\Rightarrow \bigtriangleup ABC$ echilateral $\Rightarrow$ AM înălțimea $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow AM=\frac{l\sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{AB\sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6\cdot 3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\cdot 3\sqrt{2}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{12\sqrt{2}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=6\sqrt{2} cm$

Știm că $OM= \frac{1}{{3}}\cdot AM$ $\Rightarrow OM= \frac{1}{{3}}\cdot 6\sqrt{2} cm$ $\Rightarrow OM= \frac{6\sqrt{2}}{{3}} cm$ $\Rightarrow OM= 2\sqrt{2}} cm$ .

Aplicăm Teorema lui Pitagora în $\bigtriangleup VOM$ pentru a afla apotema VM.

$\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ )$ $\Rightarrow$ T.P $\Rightarrow VM^2=VO^2+OM^2$ $\Rightarrow VM^2= (2\sqrt{6} cm)^2 + (2\sqrt{2} cm)^2$

$\Rightarrow VM^2= 2^2\cdot (\sqrt{6})^2 cm^2 + 2^2\cdot (\sqrt{2})^2 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 4\cdot 6 cm^2 + 4\cdot 2 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 24 cm^2 + 8 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 32 cm^2$ $\Rightarrow VM= \sqrt{32 cm^2}$ $\Rightarrow VM= \sqrt{16 \cdot2} cm$

$\Rightarrow VM= 4\sqrt{2} cm$

Aflăm și perimetrul bazei. Pentru ca $\bigtriangleup ABC$ este echilateral $\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot l$ $\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot AB$

$\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot 4\sqrt{6} cm$ $\Rightarrow P_{b}= 12\sqrt{6} cm$ .

Înlocuim în aria laterală și obținem:

$A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{12\sqrt{6} cm\cdot 4\sqrt{2} cm}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{12 \cdot 4 \sqrt{6\cdot 2} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{12} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{4 \cdot 3} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48\cdot 2 \sqrt{ 3} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= 48\sqrt{ 3} cm^2$

b) $d(O; (VBC))=?$

Știm că AM înălțime în $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]$ și $\left \{ O \right \} \in AM$ $\Rightarrow \left [ OM \right ]\perp \left [ BC \right ]$

$OM=2\sqrt{2}cm$

c) $d(A; (VBC))=?$

Știm că AM înălțime în $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]$

d) $m(\widehat{ (VOM),(ABC)} )$ =?

$\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ )$ : $sin (\widehat{VMO})= \frac{VO}{{VM}}$ $=\frac{2\sqrt{6}cm}{4\sqrt{2}cm}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow m((\widehat{VMO})= 60^\circ)$ $\Rightarrow m((\widehat{VMA})= 60^\circ)$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

04
May
2017

Model Rezolvat Teza clasa a VII-a Semestrul II

categories: a VII-a, SEMESTRUL II

Încearcă să fii un om de valoare și nu neapărat un om de succes. – Albert Einstein

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! De azi a început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(more…)

Model-Teza-clasa-a-VII-a-Semestrul-II

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: $\sqrt{20}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}$ este:.................................

Rezolvare:

$\sqrt{20}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}=$ $\sqrt{4\cdot 5}+\sqrt{9\cdot 5}-3\sqrt{5}=$ $2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-3\sqrt{5}=$ $2\sqrt{5}$

Exercițiul 2 (0,5 puncte):

Raționalizând fracția: $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ obținem:.....................

Rezolvare:

$_{{}}^{\sqrt{5}+1)}\textrm{\frac{4}{\sqrt{5}-1}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2-1^2}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}}=$ $\sqrt{5}+1$

Exercițiul 3 (1 punct):

Rezultatul calculului: $(2a+1)^2 - (2a)^2=$ este...........................

Rezolvare:

$(2a+1)^2 - (2a)^2=$ $(2a)^2+2\cdot2a\cdot1+(1)^2 - (2a)^2=$ $4a^2+4a+1 -4a^2=$ $4a+1$

Exercițiul 4 (1 punct):

Dacă $x+\frac{1}{{x}}=4$ atunci $x^2+\frac{1}{{x^2}}$ este egal cu......................

Rezolvare:

Pornim de la relația $x+\frac{1}{{x}}=4$ și o ridicăm la pătrat iar relația $x+\frac{1}{{x}}$ o ridicăm la pătrat cu formula de calcul prescurtat : $(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2$ . Astfel obținem:

$x+\frac{1}{{x}}=4 /^2 \Rightarrow$ $(x+\frac{1}{{x}})^2=4^2 \Rightarrow$ $x^2+2\cdot x \cdot \frac{1}{{x}} +(\frac{1}{{x}})^2=16 \Rightarrow$ $x^2+(\frac{1}{{x}})^2 +2=16 /-2 \Rightarrow$ $x^2+(\frac{1}{{x}})^2 =16-2 \Rightarrow$ $x^2+(\frac{1}{{x}})^2 =14$

Exercițiul 5 (0,5puncte):

Soluția ecuației $x+\sqrt{2}=0$ este: .........................

Rezolvare:

$x+\sqrt{2}=0 /-\sqrt{2} \Rightarrow$ $x=-\sqrt{2}$

Exercițiul 6 (0,5puncte):

$sin 45^\circ$ este egal cu ..............

Rezolvare:

$sin 45^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}$

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete:

Exercițiul 1:(1,5 puncte):

Media geometrică a numerelor: $a=\left \| 2\cdot\sqrt{6} - 6\cdot\sqrt{2} \right \|$ și $b= \sqrt{72} + \sqrt{24}$ .

Rezolvare:

Știm că $M_{{g}} =\sqrt{a\cdot b}$ .

Pentru a calcula $\sqrt{a\cdot b}$ trebuie să aducem a și b la o formă mai simplă.

Pentru a aduce numărul "a" la o formă mai simplă trebuie să comparăm $2\cdot\sqrt{6}$ cu $6\cdot\sqrt{2}$ să aflăm dacă numărul a este un număr pozitiv sau negativ.

Pentru a compara $2\cdot\sqrt{6}$ cu $6\cdot\sqrt{2}$ trebuie să ridicăm la pătrat pentru a scăpa de redicali.

$2\cdot\sqrt{6} \sqcup 6\cdot\sqrt{2} /^2$ $\Rightarrow$ $2^2 \cdot6 \sqcup 6^2 \cdot2$ $\Rightarrow$ $4 \cdot6 \sqcup 36 \cdot2$ $\Rightarrow$ $24 \lt 72$ $\Rightarrow 2\cdot\sqrt{6} \lt 6\cdot\sqrt{2} \Rightarrow$ numărul "a" este un număr negativ $\Rightarrow$ $a=\left \| 2\cdot\sqrt{6} - 6\cdot\sqrt{2} \right \|=-2\cdot\sqrt{6}+6\cdot\sqrt{2}=6\cdot\sqrt{2}- 2\cdot\sqrt{6}$

Pentru a aduce numărul "b" la o formă mai simplă trebuie să scoatem de sub radical:

$b= \sqrt{72} + \sqrt{24}$ $= \sqrt{2\cdot 36} + \sqrt{4\cdot 6}$ $=6 \sqrt{2} + 2\sqrt{ 6}$

În concluzie $M_{{g}} =\sqrt{a\cdot b}$ $=\sqrt{(6 \sqrt{2} - 2\sqrt{ 6})\cdot(6 \sqrt{2} + 2\sqrt{ 6} )}$ $=\sqrt{(6 \sqrt{2})^2- (2\sqrt{ 6} )^2}$ $=\sqrt{36\cdot 2- 4\cdot 6}}$ $=\sqrt{72- 24}}$ $=\sqrt{48}}$ $=\sqrt{16\cdot3 }}$ $=4\sqrt{3 }}$ .

Exercițiul 2:(1,5 puncte):

Rezolvați ecuația: $(x-2)^2-(x-1)(3-2x)=3(x+3)(x-3)+25$

Rezolvare: Aplicăm formulele de calcul prescurtat și obținem:

$(x-2)^2-(x-1)(3-2x)=3(x+3)(x-3)+25$

$(x)^2-2\cdot x \cdot 2+(2)^2-(x\cdot 3-x \cdot2x-1\cdot3+1\cdot2x)=3(x^2-3^2)+25$

$x^2-4x+4-3x +2x^2+3-2x=3(x^2-9)+25$

$3x^2-9x+7=3x^2-27+25$

$3x^2-9x+7=3x^2-2$

$3x^2-9x-3x^2 = -2-7$

$-9x= -9$

$-9x= -9 /:(-9)$ $\Rightarrow x= 1$

Exercițiul 3:(1,5 puncte):

În trapezul ABCD cu $AB \parallel CD$ , $m(\widehat{A})= m(\widehat{D})= 90^{\circ}$ , se consideră $BE\perp CD$ , unde $E\in(CD).$ Știind că $AB=6cm,$ $CD=10cm$ și $BD \perp BC$ , determinați:

a) lungimea înălțimii BE.

b) perimetrul trapezului ABCD.

c) aria trapezului ABCD, rotunjită la cel mai apropiat număr întreg.

Rezolvare:

Scriem datele problemei după care le analizăm.

Trasăm desenul respectând datele problemei.

a) Observăm că triunghiul este dreptunghic în unghiul B și putem aplica teorema înălțimii $[ BE ]$ .

Mai știm Că $\left [ AB \right ] \equiv \left [ DE \right ]$ $\Rightarrow \left [ EC \right ]=4 cm$

$\bigtriangleup DBC$ $(\widehat{DBC})= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ T.Î $\Rightarrow$ $BE^2=DE \cdot EC$ $\Rightarrow BE^2=6 cm \cdot 4 cm$ $\Rightarrow BE^2= 24 cm^2$ $\Rightarrow BE= \sqrt{24 cm^2}$ $\Rightarrow BE= \sqrt{4\cdot 6 } cm$ $\Rightarrow BE= 2\sqrt{6 } cm$

Știm că $\left [ BE \right ] \equiv \left [ AD \right ] \Rightarrow$ $AD= 2\sqrt{6 } cm$

b) Pentru a calcula perimetrul trapezului trebuie să aflam și latura $\left [ BC \right ]$ .

Știm că triunghiul $\bigtriangleup BEC$ este dreptunghic în unghiul $(\widehat{BEC})= 90^{\circ}$ astfel putem aplica Teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea laturii $\left [ BC \right ]$ .

$\bigtriangleup BEC$ $(\widehat{BEC})= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ T.P. $\Rightarrow$ $BC^2=BE^2+EC^2$ $\Rightarrow BC^2=(2\sqrt{6}cm)^2+(4cm)^2$ $\Rightarrow BC^2=2^2\cdot6} cm^2+16cm^2$

$\Rightarrow BC^2=4\cdot6} cm^2+16cm^2$ $\Rightarrow BC^2=24 cm^2+16cm^2$ $\Rightarrow BC^2=40 cm^2$

$\ \Rightarrow BC=\sqrt{40cm ^2}$ $\Rightarrow BC=\sqrt{4 \cdot 10cm ^2}$ $\Rightarrow BC=2\sqrt{ 10} cm$

$P_{{ABCD}}= AB+BC+CD+AD$ $\Rightarrow P_{{ABCD}}= 6 cm+2\sqrt{ 10} cm+10 cm+2\sqrt{ 6} cm$

$\Rightarrow P_{{ABCD}}= 16 cm+2(\sqrt{ 10} +\sqrt{ 6}) cm$ .

c) $A_{ABCD}= \frac{(B+b)\cdot h}{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{(AB+DC)\cdot AD}{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{(6 cm+10 cm)\cdot 2\sqrt{6}cm }{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{16cm\cdot 2\sqrt{6}cm }{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{32\sqrt{6}cm^2 }{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= 16\sqrt{6}cm^2$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

01
May
2017

Model Rezolvat Teza clasa a V-a Semestrul II

categories: a V-a, SEMESTRUL II

Dacă A reprezintă succesul în viață, Atunci A= x+y+z, în care x reprezintă munca, y reprezintă joaca, iar z să știi să-ți ții gura. – Albert Einstein.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi este ultima zi de vacantă! De mâine începe școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(more…)

Model Propus Teza clasa a V-a Semestrul II

Exercițiul 1 (1punct):

Scrieți sub formă de fracție ordinară numerele: $0,3;$ $2,07$ ; $2,1(3)$ .

Rezolvare:

$0,3=\frac{3}{10}$ ;

$2,07=\frac{207}{100}$ ;

$2,1(3)=\frac{213-21}{90}=$ $\frac{192}{90}^{{(2}}=$ $\frac{96}{45}^{{(3}}=$ $\frac{32}{15}$

Exercițiul 2 (1punct):

Calculați: $9,35 : 5 - 0,87=$

Rezolvare:

$9,35 : 5 - 0,87=$ $1,87 - 0,87=1$

Exercițiul 3 (1punct):

Aflați numărul x care este soluție a ecuației:

$7,18-x=3,21$

Rezolvare:

$7,18-x=3,21 \Rightarrow$ $x=7,18 - 3,21 \Rightarrow$ $x=3,97$

Exercițiul 4 (1,5puncte):

Calculați: $1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (3,1^2-4,61) \right ] : 2=$

Rezolvare:

Conform ordinii efectuarii operațiilor,mai întâi trebuie să ridicăm la putere.

$1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (3,1^2-4,61) \right ] : 2=$

$1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (9,61-4,61) \right ] : 2=$

Următoarea operație pe care trebuie să o facem este scăderea din paranteza rotundă. Pentru că am efectuat toate operațiile din paranteza rotundă, transformăm paranteza pătrată în paranteză rotundă.

$1,5\cdot (6,4+2,2\cdot 5 ) : 2=$

Următoarea operație este înmulțirea din paranteza rotundă.

$1,5\cdot (6,4+11 ) : 2=$

Apoi adunarea din paranteza rotundă.

$1,5\cdot 17,4 : 2=$

Pentru că înmulțirea și împărțirea sunt operații de același ordin și nu mai avem nici o paranteză efectuăm operațiile în ordinea în care sunt scrise. Astfel obținem:

$26,10 : 2=13,05$

Exercițiul 5 (1,5 puncte):

Rezolvați ecuația: $\left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2$

Rezolvare:

Această ecuație se rezolvă pe metoda pasului invers.

$\left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2$

Prima oară îl eliminăm pe 1,5 prin operația inversă împărțirii, adică înmulțim întreaga relație cu 1,5.

$\left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2 / \cdot1.5$

$\left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] = 7,2\cdot1.5$

Putem elimina și paranteza pătrată.

$3\cdot(x+2,7)-4,2 = 10,8$

La pasul II scăpăm de 4,2 prin operația inversă scăderii și anume adunare.

$3\cdot(x+2,7)-4,2 = 10,8 / +4,2$

$3\cdot(x+2,7) = 10,8 +4,2$

$3\cdot(x+2,7) = 15$

Următorul pas (III) împărțim cu trei întreaga relație.

$3\cdot(x+2,7) = 15 / :3$

$(x+2,7) = 15 :3$

$x+2,7 = 5$

Ultima operație scădem 2,7.

$x+2,7 = 5 / -2,7$

$x= 5-2,7$

$x= 2,3$

Exercițiul 6 (1,5 puncte):

Media aritmetică a două numere este 8,6. Aflați cele două numere dacă se știe că diferența lor este 1,5.

Rezolvare:
Notăm cu a și b cele două numere.
Scriem formula mediei aritmetice pentru cele două numere

$M_{{a}}= \frac{a+b}{2}$

$M_{{a}}=8,6$ $\Rightarrow$ $\frac{a+b}{2}=8,6$ $\Rightarrow$ $\frac{a+b}{2}=8,6 / \cdot2 \Rightarrow$ $a+b=8,6 \cdot 2$

$\Rightarrow$ $a+b=17,2$

Dar mai știm din enunțul problemei că diferența celor două numere este 1,5.

Astfel obținem următoarea relație: $a-b=1,5$ .

Dar mai sus am obținut și relația: $a+b=17,2$

Adunăm cele două relații și obținem: $a+b+a-b=17,2+1,5 \Rightarrow$

$2a=18,7 \Rightarrow$ $a=18,7:2 \Rightarrow$ $a=9,35$

Înlocuim a în prima relație și îl aflăm pe b.

$9,35 +b =17,2$ $\Rightarrow$ $b= 17,2 - 9,35$ $\Rightarrow$ $b=7,85$

Exercițiul 7 (1 punct):

Calculați și exprimați rezultatul în $m^{2}$ : $0,07 dam^2 -2,3 m^2+140 dm^2=?m^2$

Rezolvare:

Transformăm $0,07 dam^2$ și $140 dm^2$ în $m^2$ .

Știm că $1 dam =10 m$ atunci $1 dam^2 =100 m^2$

și $1 dm =0,1 m$ atunci $1 dm^2 =0,01 m^2$

Astfel $0,07 dam^2 =7 m^2$ și $140 dm^2 =1,4 m^2$

Înlocuim și obținem: $0,07 dam^2 -2,3 m^2+140 dm^2=7m^2 -2,3 m^2 +1,4 m^2$

$4,7m^2 +1,4 m^2=6,1 m^2$

Exercițiul 7 (1,5 puncte):

Un dreptunghi are perimetrul egal cu 16 dm. Știind că lățimea este egală cu o treime din lungime, aflați aria dreptunghiului.

Rezolvare:

Știm că perimetrul este suma laturilor și că $P_{{ABCD}}=2\cdot L+2\cdot l$

Din datele problemei mai știm $l = \frac{1}{3}\cdot L$ $\Rightarrow L =3\cdot l$

Înlocuim în formula perimetrului și aflăm lățimea.

$P_{{ABCD}}=2\cdot L+2\cdot l \Rightarrow$ $P_{{ABCD}}=2\cdot 3\cdot l+2\cdot l \Rightarrow$ $P_{{ABCD}}=6\cdot l+2\cdot l \Rightarrow$ $P_{{ABCD}}=8\cdot l \Rightarrow$ $8\cdot l = 16 dm \Rightarrow l= 16 dm :8$ $l= 2 dm$

Înlocuim și aflăm lungimea : $L =3\cdot l \Rightarrow L=3\cdot 2 dm \Rightarrow L=6 dm$

Știm Aria dreptunghiului : $A_{{ABCD}}=L \cdot l \Rightarrow$ $A_{{ABCD}}=6dm \cdot 2dm \Rightarrow$ $A_{{ABCD}}=12dm^2$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

"Math More Easy Club"

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

03
Apr
2017

Exerciții rezolvate la Suma Gauss a Fracțiilor Zecimale

categories: Fracții zecimale

"Îi poți da unui elev câte o lecție în fiecare zi, dar dacă îl poți îndruma să învețe stârnindu-i curiozitatea, el își va dedica întreaga viață învățăturii."
Clay P. Bedford

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea fracțiilor zecimale, exerciții cu un grad de dificultate ridicat în care apare Suma Gauss.

(more…)

Exercițiul 1:

Efectuați următoarele calcule:

1,1 + 2,2 + 3,3 + ....................+ 9,9 =

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

$\frac{11}{10}+\frac{22}{10}+\frac{33}{10}+.....................+\frac{99}{10}=$
$\frac{11+22+33+...................+99}{10}=$
$\frac{1\cdot 11+2\cdot 11+3\cdot 11+...................+9\cdot 11}{10}=$
$\frac{11\cdot (1 + 2 +3 +...................+9)}{10}=$

Observăm că am obținut Suma Gauss a primelor 9 numere naturale consecutive, aplicăm formula lui Gauss și obținem:

$\frac{11\cdot [9\cdot (9+1): 2]}{10}=$
$\frac{11\cdot [9\cdot 10 : 2]}{10}=$
$\frac{11\cdot (90 : 2)}{10}=$
$\frac{11\cdot 45}{10}=$
$\frac{495}{10}=49,5$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Exercițiul 2:

Efectuați următoarele calcule:

$1,11+2,22+3,33+.............+9,99$

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

$\frac{111}{100}+\frac{222}{100}+\frac{333}{100}+.....................+\frac{999}{100}=$
$\frac{111+222+333+.........+999}{100}=$
$\frac{111\cdot 1+111\cdot 2+111\cdot 3+.........+111\cdot 9}{100}=$
$\frac{111\cdot (1+ 2+ 3+.........+ 9)}{100}=$

Observăm că am obținut Suma Gauss a primelor 9 numere naturale consecutive, aplicăm formula lui Gauss și obținem:

$\frac{111\cdot [9 \cdot (9+1)]:2}{100}=$
$\frac{111\cdot (9 \cdot 10:2)}{100}=$
$\frac{111\cdot (90 : 2)}{100}=$
$\frac{111\cdot 45}{100}=$
$\frac{4995}{100}=49,95$

PDF Gratuit: Suma Gauss – Explicatie, Definitie si Exercitii rezolvate

Exercițiul 3:

Calculați suma:

Rezolvare:

Dacă efectuăm înmulțirile obținem:

$5 \cdot 200 = 1000$

Exercițiul 4:

Calculați suma:

Rezolvare:

Dacă adunăm primele două fracții zecimale obținem:

Adunăm următoarele 2 fracții zecimale și obținem:

Adunăm următoarele 2 fracții zecimale și obținem:

Observăm că am adunat până în acest moment 4 fracții zecimale iar cifra 8 se repetă de 3 ori. Dacă continuăm adunarea și adunăm toate fracțiile zecimale obținem:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

23
Mar
2017

Exerciții rezolvate la Înmulțirea fracțiilor zecimale

categories: Fracții zecimale

"Fă azi ce alţii nu fac ca să trăieşti mâine cum alţii nu pot."

Zig Ziglar

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul precedent am efectuat câteva exerciții ușoare la înmulțirea fracțiilor zecimale. Azi îți propun să rezolvăm împreună câteva exerciții cu un grad de dificultate mai ridicat!

(more…)

Exercițiul 1:

Dacă $x \cdot (y-z)=2,4$ și $x \cdot (z+t)=3,1 \Rightarrow$ , atunci calculați:

$x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )$

Rezolvare:

$x \cdot (y-z)=2,4 \Rightarrow$ $x \cdot y- x \cdot z=2,4$

$x \cdot (z+t)=3,1 \Rightarrow$ $x \cdot z+ x \cdot t=3,1$

Adunăm cele două relații și obținem:

$x \cdot y- x \cdot z+x \cdot z+ x \cdot t=2,4 + 3,1$

Observăm că $x \cdot z$ se reduce și obținem:

$x \cdot y+ x \cdot t=5,5$
$x \cdot( y+ t )=5,5$
Înmulțim relația cu 2,4 și obținem:
$x \cdot( y+ t )=5,5 | \cdot 2,4$
$x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )=5,5 \cdot 2,4$
$x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )=13,20$

Exercițiul 2 :

Dacă $x+y=7,05$ și $y+z=14,1$ atunci calculați: $(x+3y+2z) \cdot (z-x)$

Rezolvare:

$x+y=7,05$ $\Rightarrow$ $x+y =7,05$
$y+z=14,1$ $| \cdot 2$ $\Rightarrow$ $2y+2z=28,2$

Adunam cele două relații si obținem:

$x+y+2y+2z=7,05+28,2$
$x+3y+2z=35,25$

Observăm ca am obținut prima paranteză.

Revenim la cele două relații inițiale:

$x+y=7,05$
$y+z=14,1$

Scădem din a doua relație prima relație și obținem:

$y+z-x-y=14,1-7,05$
$z-x=7,05$

Înmulțim cele două relații obținute:

$(x+3y+2z)\cdot (z-x)=35,25 \cdot 7,05$
$(x+3y+2z)\cdot (z-x)=248,5125$

Exercițiul 3:

Determinați cifrele a și b care verifică relația:

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare și obținem:

Pentru ca avem peste tot același numitor putem scrie relația fară numitor:

Desfacem în baza 10 numerele:

și obținem:

$(10 \cdot a + a+ 10 \cdot b +b)\cdot b=1287$
$(11 \cdot a + 11 \cdot b )\cdot b=1287$
$11 \cdot (a +b)\cdot b=1287 | : 11$
$(a +b)\cdot b=117$
$(a +b)\cdot b= 3^{{2}}\cdot 13$
Verificăm varianta $b=3$
$(a+3)\cdot 3=117$
$3a+9=117$
$3a=117 -9$
$3a=108$
$a=108 : 3$
$a=36$

Această variantă nu ne convine deoarece a trebuie să fie cifră.

Verificăm cea de-a doua variantă $b=3 ^{2} =9$ și obținem:

$(a+9)\cdot 9=117$
$9a+81=117$
$9a=117-81$
$9a=36$
$a=36:9$
$a=4$

Această variantă este ok deci obținem soluția $a=4$ și $b=9$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

16
Mar
2017

Exerciții rezolvate la Formulele de Calcul Prescurtat

categories: Calcul Algebric

"Invata tot ce poti, in orice moment disponibil, de la oricine si intotdeuna va veni o vreme cand te vei simti recompensat pentru ceea ce ai invatat."
Sarah Caldwel

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. Azi te invit să efectuăm împreună câteva exerciții la formulele de calcul prescurtat.

(more…)

EXERCIŢIUL 1: Efectuați, folosind formula de calcul prescurtat:

a) $(2x+1) ^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=2x$ şi $b=+1$ . Aplicând formula obţinem:

$(2x+1)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot (+1)+(+1)^{2}$

$(2x+1)^{2}=4x^{2}+4 x+1$

b) $(4x - 7y)^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=4x$ şi $b=7y$ . Aplicând formula obţinem:

$(4x - 7y)^{2}=(4x)^{2}-2\cdot 4x\cdot 7y +(7y)^{2}$

$(4x - 7y)^{2}=16x^{2}-56xy +49y^{2}$

c) $(2x+\sqrt{3})^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=2x$ şi $b=\sqrt{3}$ . Aplicând formula obţinem:

$(2x+\sqrt{3})^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}$

$(2x+\sqrt{3})^{2}=4x^{2}+4\sqrt{3} x+3$

d) $(5x-\sqrt{2})^{2}$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=5x$ şi $b=\sqrt{2}$ . Aplicând formula obţinem:

$(5x-\sqrt{2})^{2}=(5x)^{2}-2\cdot 5x\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}$

$(5x-\sqrt{2})^{2}=25x^{2}-10 \sqrt{2}x+2$

e) $(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=\frac{2}{3}x$ şi $b=\frac{1}{3}$ . Aplicând formula obţinem:

$(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=(\frac{2}{3}x)^{2}+2\cdot \frac{2}{3}x\cdot \frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}$

$(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}x^{2}+ \frac{4}{9}x +\frac{1}{9}$

f) $(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=\frac{2}{7}x$ şi $b=\frac{7}{4}$ . Aplicând formula obţinem:

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=(\frac{2}{7}x)^{2}-2\cdot \frac{2}{7}x\cdot \frac{7}{4}+(\frac{7}{4})^{2}$

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-\frac{28}{28}x+\frac{49}{16}$

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-x+\frac{49}{16}$

f) $(x+9)(x-9)$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b)(a-b)= a^{2}-b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=x$ şi $b=9$ . Aplicând formula obţinem:

$(x+9)(x-9)= x^{2}-9^{2}$

$(x+9)(x-9)= x^{2}-81$

EXERCIŢIUL 2: Efectuaşi calculele :

a) $(x+2)^{2}+ (x-1)^{2}$

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

$(x+2)^{2}+ (x-1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 2+ 2^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot 1+1^{2}=$

b) $(2\sqrt{2}-3\sqrt{3}) ^{2}-2(\sqrt{3}+3\sqrt{2}) ^{2}$

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

$[(2\sqrt{2})^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{3}+(3\sqrt{3})^{2}]-2[(\sqrt{3})^{2}+2\cdot \sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}] =$

$(4\cdot 2-12\sqrt{2\cdot3}+9\cdot 3)-2(3+6 \sqrt{2\cdot3}+9\cdot2)=$

$8-12\sqrt{6}+27-6+12 \sqrt{6}-36=$

$8+27-6+12 -36=5$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

13
Mar
2017

Înmulțirea fracțiilor zecimale

categories: Numere Raționale Pozitive

„Este uimitor ce pot face oamenii obişnuiţi dacă se apucă de treabă fără idei preconcepute.” — Charles F. Kettering

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Data trecută am efectuat exerciții la "Adunarea și Scăderea Fracțiilor Zecimale". Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la Înmulțirea fracțiilor zecimale.

(more…)

Exercițiul 1:

Efectuați următoarele înmulțiri:

$2,75 \cdot 3=$

$125,75 \cdot 33=$

$0,7 \cdot 3,8=$

$2,57 \cdot 1,77=$

$12,4 \cdot 3,5 \cdot 5,2=$

Rezolvare:

$2,75 \cdot 3=$

Înmulțim numerele ca la numerele naturale (facem excepție de virgulă).

Pentru că fracția zecimală $2,5$ are o zecimală punem la produs virgula după o cifră numărând de la dreapta la stânga.

2. $125,75 \cdot 33=$

Înmulțim numerele ca la numerele naturale (facem excepție de virgulă)

Pentru că fracția zecimală $125,75$ are două zecimale punem la produs virgula după două cifre numărând de la dreapta la stânga.

$0,7 \cdot 3,8=$

Pentru că fracția zecimală $0,7$ are o zecimală după virgulă iar fracția zecimală $3,8$ are tot o zecimală după virgulă, am pus la produs virgula după două cifre numărând de la dreapta la stânga.
$2,57 \cdot 1,77 =$

Pentru că fracția zecimală $2,57$ are două zecimale după virgulă iar fracția zecimală $1,77$ are tot două zecimale după virgulă, am pus la produs virgula după patru cifre numărând de la dreapta la stânga.

$12,4 \cdot 3,5 \cdot 5,2=$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

01
Mar
2017

Probleme rezolvate Teorema lui Pitagora

categories: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

„Cu putin talent şi o perseverenţă extraordinară toate lucrurile pot fi atinse.”

Thomas Foxwell Buxton

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Astăzi te invit să exersăm câteva probleme de geometrie la Teorema lui Pitagora. Această teoremă este foarte importantă iar copilul tău trebuie să o înțeleagă foarte bine deoarece o vom utiliza foarte des în clasa a VIII-a la Geometria în spațiu.

(more…)

Problema 1: În triunghiul MNP, unghiul M este de $90 ^{\circ}$ și înălțimea

$MQ \perp NP$ cu MQ = 12 cm, iar $m(\widehat{MNP})=30^{\circ}$ . Calculați laturile: MN, NP, MP, NQ și QP.

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Facem desenul respectând datele problemei.

Demonstrație:

Pentru că avem $m(\widehat{MNP})=30^{\circ}$ aplicăm în $\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})=90^{\circ})$ teorema unghiului de $30^{\circ}$ care îmi spune că lungimea catetei care se opune unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză.

$\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})=90^{\circ})$ : $m(\widehat{MNQ})=30^{\circ}$ $\Rightarrow$ $MQ=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $\frac{MQ}{{1}}=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $\frac{12 cm}{{1}}=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $MN=12 cm \cdot 2$ $\Rightarrow$ $MN= 24 cm$

Observăm că putem aplica Teorema lui Pitagora în triunghiul $\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})= 90^{\circ})$ pentru a afla latura NQ.

$\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})= 90^{\circ})$ $\Rightarrow$ (T.P) : $MN^{2}= NQ^{2}+MQ^{2}$ $\Rightarrow$

$24^{2}= NQ^{2}+12^{2}$ $\Rightarrow$ $576= NQ^{2}+144$ $\Rightarrow$

$NQ^{2}= 576 - 144$ $\Rightarrow$ $NQ^{2}= 432 cm^{2}$ $\Rightarrow$

$NQ= \sqrt{ 432 cm^{2}}$ $\Rightarrow$ $NQ=12 \sqrt{ 3} cm$

Am aflat MN și NQ atunci putem aplica în $\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ Teorema Catetei pentru cateta MN și aflăm lungimea ipotenuzei BC.

$\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ (T.C.) $MN^{2} = NQ \cdot NP$ $\Rightarrow$ $(24cm)^{2} = 12 \sqrt{3}cm \cdot NP$ $\Rightarrow$ $576cm^{2} = 12 \sqrt{3}cm \cdot NP$ $\Rightarrow$ $NP = \frac{576cm^{2} }{{12 \sqrt{3}cm }}$ $\Rightarrow$ $QP = 16 \sqrt{3}cm -12 \sqrt{3}cm$

Dacă am aflat NP putem afla și latura QP prin scădere.

$QP = NP-NQ$

$QP= 16 \sqrt{3}cm -12 \sqrt{3}cm$

$QP = 4 \sqrt{3}cm$

Dacă știm MN și NP putem aplica teorema lui Pitagora în triunghiul MNP $\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ pentru a afla latura MP.

$\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ (T.P) $NP^{{2}}= MP^{{2}}+MN^{{2}}$ $\Rightarrow$ $(16 \sqrt{3}cm )^{{2}}= MP^{{2}}+(24cm)^{{2}}$ $\Rightarrow$

$768 cm = MP ^{2} + 576 cm$ $\Rightarrow$

$MP ^{2} = 768 cm-576 cm$ $\Rightarrow$

$MP ^{2} = 192 cm ^{2}$ $\Rightarrow$

$MP= \sqrt{192 cm^{2} }$ $\Rightarrow$ $MP =8\sqrt{3} cm$

Problema 2:

În triunghiul dreptunghic MNP cu unghiul $\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ , are înălțimea $MQ \perp NP$ , $Q \in (NP)$ , $\frac{NQ}{QP} = \frac{9}{16}$ , iar perimetrul triunghiului $P_{{\bigtriangleup MNP}} = 120 cm$ . Aflați:

a) Dimensiunea laturilor: MN, MP și NP;

b) Lungimea înălțimii MQ;

Rezolvare:

Pornim de la raportul: $\frac{NQ}{QP} = \frac{9}{16}$ și scoatem dimensiunea laturii NQ în funcție de QP.

$16 \cdot NQ = 9\cdot QP \Rightarrow$ $NQ = \frac{9 \cdot QP}{{16}}$

Aflăm dimensiunea laturii NP în funcție de QP.

$NP = NQ + QP \Rightarrow$ $NP = \frac{9 \cdot QP}{{16}}+ _{}}^{16)}QP{} \Rightarrow$

$NP = \frac{9 \cdot QP+16 QP}{{16}}\Rightarrow$

$NP= \frac{25 \cdot QP}{{16}}$

Aplicăm în triunghiul dreptunghic MNP Teorema Catetei pentru catetele: MN și MP și determinăm lungimile acestora în functie de latura QP.

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.C)\Rightarrow$ $MN^{{2}}= NQ \cdot NP \Rightarrow$

$MN^{{2}}= \frac{9 \cdot QP}{{16}} \cdot \frac{25 \cdot QP}{{16}} \Rightarrow$

$MN^{{2}}= \frac{225 \cdot QP^{{2}}}{{256}} \Rightarrow$ $MN = \sqrt{\frac{225 \cdot QP^{{2}}}{{256}} }\Rightarrow$

$MN = \frac{15 \cdot QP}{{16}} }$

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.C)\Rightarrow$ $MP^{{2}}= QP \cdot NP \Rightarrow$

$MP^{{2}}= \frac{QP}{{1}} \cdot \frac{25 \cdot QP}{{16}} \Rightarrow$ $MP^{{2}}= \frac{25 QP^{{2}}} {{16}}\Rightarrow$

$MP^{{2}}= \sqrt{\frac{25\cdot QP^{{2}}} {{16}}} \Rightarrow$

$MP= \frac{5\cdot QP} {{4}}}$

După ce am obținut toate dimensiunile laturilor $\Delta MNP$ în funcție de latura QP le înlocuim în Perimetrul $\Delta MNP$ și îl aflăm de aici pe QP.

$P_{{\bigtriangleup MNP}} = 120 cm$

$P_{{\bigtriangleup MNP}} = MN + MP + NP$ $\Rightarrow$

${}}^{16)}120 cm = \frac{15 \cdot QP}{{16}} } + {}}^{4)}\frac{{5\cdot QP}} {{ 4}}} + \frac{25 \cdot QP}{{16}}$ $\Rightarrow$

$1920 cm =15 QP + 20 QP +25 QP$ $\Rightarrow$

$60 QP = 1920 cm \Rightarrow$

$QP = 32 cm$

$NQ = \frac{9}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow NQ = 18 cm$

$MN = \frac{15}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow MN = 30 cm$

$MP = \frac{5}{{4}} \cdot 32 cm \Rightarrow MP = 40 cm$

$NP = \frac{25}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow NP = 50 cm$

b) Pentru rezolvarea punctului b) aplicăm Teorema Înălțimii în triunghiul dreptunghic $\Delta MNP$ .

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.I)\Rightarrow$ $MQ^{{2}}= NQ \cdot QP \Rightarrow$

$MQ^{{2}}= 18 cm \cdot 32 cm \Rightarrow$ $MQ^{{2}}= 576 cm^{{2}} \Rightarrow$

$MQ^{{2}}= \sqrt{576 cm^{{2}} } \Rightarrow$ $MQ= 24 cm$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

27
Feb
2017

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea la Fracții Zecimale.

categories: Fracții zecimale

"Ambiția este o pasiune atât de puternică a omului, încât oricât de sus am ajunge niciodată nu vom fi multumiți".

Nicollo Machiavelli

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea și scăderea fracțiilor zecimale.

(more…)

Exercițiul 1:

Calculați:

$0,235 + 10,81$

$0,05+0,5+0,005$

$2+3,12+14,203$

$23,34-14,8$

$4,3-2,93$

Rezolvare:

Petru a aduna două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm fracțiile zecimale una sub alta, astfel încât partea întreagă să fie sub partea întreagă, virgula sub virgulă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi ș.a.m.d, iar apoi efectuăm adunarea ca la numere naturale.

$0,235 + 10,81=11,045$

$0,05+0,5+0,005=0,555$

adunarea fractiilor zecimale — fractii zecimale

$2+3,12+14,203=19,323$

Pentru a scădea două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm scăzătorul sub descăzut, astfel încât virgula să fie sub virgulă, scădem numerele ca și când ar fi numere naturale.

Dacă descăzutul are mai puține zecimale decât scăzătorul, atunci se adaugă la partea zecimală zerouri pentru a avea același număr de zecimale.

$23,34-14,8=8,54$

$4,3-2,93=1,37$

Exercițiul 2:

Rezolvare:

Asezăm termenii adunării unii sub alții astfel:

Exercițiul 3:

0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=

Observăm că sunt foarte multe numere și ca să le adunăm ne-ar lua timp foarte mult. Mai observăm ca este o Suma Gauss de fracții zecimale.

Așa că vom face un mic artificiu matematic și vom scrie fiecare fracție zecimală asa: spre exemplu $0,9=1 - 0,1$ iar pe $1,9=2 - 0,1$ , s.a.m.d.

Rezolvare:

$0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=$

$(1-0,1)+(2-0,1)+(3-0,1)+.............................+(100-0,1)=$

$1-0,1+2-0,1+3-0,1+.............................+100-0,1=$ $(1+2+2+.............+100) - (0,1+0,1+0,1+......................+0,1)=$

Observăm că prima paranteză este Suma Gauss a primelor 100 numere naturale consecutive, iar în a doua paranteză 0,1 se repetă de 100 de ori.

Aplicăm formula lui Gauss

$100\cdot (100+1) : 2 - 100\cdot 0,1=$

$100\cdot 101 : 2 - 10=$

$5050 - 10= 5040$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

22
Feb
2017

Teorema Catetei

categories: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să studiem împreună Teorema Catetei. În articolul trecut am vorbit despre Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii. Am vorbit despre proiectia unui punct pe o dreaptă, despre proiectia unui segment pe o dreaptă și despre Teorema Înălțimii în triunghiul dreptunghic. Azi vreau să discutăm despre Teorema Catetei în triunghiul dreptunghic.

(more…)

Teorema Catetei:

Într-un triunghi dreptunghic lungimea fiecărei catete este media geometrică a lungimii proiecției ei pe ipotenuză și a lungimii ipotenuzei.

Reciproca 1 a Teoremei Catetei:

Într-un triunghi ABC, dacă $AD \perp BC$ , $D \in (BC)$ și are loc una din egalitățile: $AB^{2}=BC \cdot BD$ sau $AC^{2}=BC \cdot CD$ , atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$

Reciproca 2 a Teoremei Catetei:

În triunghiul ABC, dacă $D \in (BC)$ este un punct astfel încât $AB^{2}=BC \cdot BD$ și $AC^{2}=BC \cdot CD$ , atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!