Unități de Măsură pentru Arie. Aria Pătratului și Aria dreptunghiului.

“Invatatul este asemeni navigarii in amonte: daca nu avansezi esti tras inapoi.”
Proverb chinezesc

Dragul meu părinte bine te-am regăsit.Ultimul capitol din programa la matematică de clasa a V-a este rezervat Elementelor de Geometrie.

Cele mai vechi urme ale geometriei se găsesc în Egiptul Antic și Babilon, în jurul anului 3000 î.Hr și a fost descoperită din nevoia de a măsura pământul. De aici și denumirea de Geometrie: în limba Greacă geo = pământ, metria = măsură. (mai mult…)

Dragul meu părinte, te invit azi să aprofundăm noțiunile despre: Unități de Măsură pentru Arie. Aria Pătratului și Aria dreptunghiului.

Exercițiul 1: Determinați x din: 10^4 cm^2 + 10^6 mm^2- x=1,6 m^2

Rezolvare:

Prima oară transformăm cm^2  și mm^2  în m^2 .

Pentru a face transformările desenăm scara unităților de măsură:

Scara unitati de masura pentru arie

Pentru a transforma cm^2  în m^2  urcăm 2 trepte deci împărțim la 100^2 .

 10^4 cm ^2=10^4 \div 100^2=10^4 \div (10^2)^2=10^4 \div 10^4=1 m^2

Pentru a transforma mm^2  în m^2  urcăm 3 trepte deci împărțim la 100^3.

10^6 mm ^2=10^6 \div 100^3=10^6 \div (10^2)^6=10^6 \div 10^6=1 m^2

Înlocuim în ecuația noastră și obținem:

10^4 cm^2 + 10^6 mm^2- x=1,6 m^2 \Rightarrow 1 m^2 + 1 m^2- x=1,6 m^2 \Rightarrow 2 m^2 - x=1,6 m^2 \Rightarrow x=2 m^2 - 1,6 m^2 \Rightarrow x=2,0 m^2 - 1,6 m^2 \Rightarrow x =0,4 m^2

Exercițiul 2: Determinați x din:  5 \cdot x - 3 \cdot 0,0004 Km^2= 315 m^2

Rezolvare:

Pentru a transforma Km^2 în m^2  coborâm 3 trepte deci înmulțim cu 100^3.

 0,0004 Km^2= 0,0004 \cdot 100^3 = 0,0004 \cdot 1000000   =0,000400 \cdot 1000000= 400 m^2

Înlocuim în ecuația noastră și obținem:

5 \cdot x - 3 \cdot 0,0004 Km^2= 315 m^2  \Rightarrow 5 \cdot x - 3 \cdot 400 m^2= 315 m^2  \Rightarrow 5 \cdot x - 1200 m^2= 315 m^2  \Rightarrow 5 \cdot x = 315 m^2 + 1200 m^2  \Rightarrow 5 \cdot x = 1515 m^2   >\Rightarrow 5 \cdot x = 1515 m^2 / : 5  \Rightarrow x = 1515 m^2 \div 5  \Rightarrow x = 303 m^2

Exercițiul 3: Determinați x din:  x + 23,615 ha= 2363 ari

Rezolvare:

 1 ar = 1 dam^2 \Rightarrow 2363 ari = 2363 dam ^2

 1 ha = 1 hm^2 \Rightarrow 23,615 ha = 23,615 hm ^2 \Rightarrow  23,615 hm ^2= 23,615 \cdot 10^2 = 2361,5 dam^2

Înlocuim în ecuația dată și obținem:

x + 2361,5 dam^2= 2363 dam^2

x + 2361,5 dam^2= 2363 dam^2 / -2361,5 dam^2

x = 2363 dam^2 -2361,5 dam^2

x = 1,5 dam^2

Exercițiul 4: Calculați aria unui pătrat ce are perimetrul egal cu 5,92 m.

Rezolvare:

 P_{{ ABCD}}= 4\cdot l \Rightarrow 4\cdot l = 5,92 m \Rightarrow   l = 5,92 m : 4 \Rightarrow l = 1,48 m

 A_{ABCD}= l^2 \Rightarrow A_{ABCD}= (1,48 m)^2 \Rightarrow    A_{ABCD}= 1,48 m \cdot 1,48 m \Rightarrow A_{ABCD}= 2,1904 m^2

Exercițiul 5: Câte plăci de beton în formă de pătratică având latura de 50 cm sunt necesare pentru a pava curtea unei case care are formă de dreptunghi cu dimensiunile de 47 m lungime și 21m lățime.

Rezolvare:

Pentru a rezolva problema facem mai întâi suprafața curții, adică Aria dreptunghiului.

 A_{curte}= L \cdot l \Rightarrow A_{curte}= 47m \cdot 21 m \Rightarrow A_{curte}= 987 m^2   \Rightarrow A_{curte}= 987 \cdot 10 000 \Rightarrow A_{curte}= 9870000 cm^2

Calculăm și aria plăcii de beton.

A_{placa beton}= l^2 \Rightarrow A_{placa beton}= (50 cm)^2   \Rightarrow A_{placa beton}= 2500 cm^2

 A_{curte} \div A_{placa beton}= 9870000 cm^2 : 2500 cm^2 \Rightarrow

 A_{curte} \div A_{placa beton}= 98700 : 25 \Rightarrow   A_{curte} \div A_{placa beton}= 3948  bucăți plăci beton.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Model Rezolvat Teza clasa a VI-a Semestrul II

 

„Cel care mută un munte începe întotdeauna prin a îndepărta pietrele mai mici.”

Confucius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!  De o săptămână a început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(mai mult…)

Model Teza clasa a VI-a Semestrul II

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului : (-24) : (-8)+(-2)^3= ………………………………..

  • Rezolvare:

(-24) : (-8)+(-2)^3=3 +(-8)=3 - 8= - 5

Exercițiul 2 (1 punct):

Termenul necunoscut x din proporția: \frac{11}{x}=1,4 este: ……………………………..

  • Rezolvare:

Transformăm fracția zecimală 1,4 în fracție ordinară.

 \frac{11}{x}=1,4 \Rightarrow  \frac{11}{x}=\frac{14}{10} \Rightarrow 14\cdot x=11\cdot 10 \Rightarrow 14\cdot x=110 \Rightarrow

14\cdot x=110 / : 14 \Rightarrow x=\frac{110}{14} \Rightarrow  x=\frac{110}{14}^{(2} \Rightarrow  x=\frac{55}{7}

Exercițiul 3 (1 punct):

18 % din 450 este egal cu: ……………………………………

  • Rezolvare:

18 % =\frac{18}{100}

 \frac{18}{100}\cdot450=  \frac{18\cdot450 }{100} =   \frac{18\cdot45 }{10} =  \frac{810 }{10} =   \frac{81 }{1} =  81

Exercițiul 4 (1 punct):

Dacă \frac{a}{b}=\frac{3}{10} atunci \frac{5a+b}{3b-2a}=?……………………………….

  • Rezolvare:
  • Dăm factor comun și la numărător și la numitor pe “b”.

\frac{5a+b}{3b-2a}= \frac{b(5\frac{a}{b}+1)}{b(3-2\frac{a}{b})}^{ (b} =

Înlocuim fracția  \frac{a}{b}  cu fracția  \frac{3}{10}

\frac{5\frac{3}{10}+1}{3-2\frac{3}{10}}= \frac{\frac{15}{10}+_{{}}^{10)}\textrm{1}}{_{{}}^{10)}\textrm{3}-\frac{6}{10}}=

Aducem la același numitor : \frac{\frac{15}{10}+\frac{10}{10}}{\frac{30}{10}-\frac{6}{10}}=  \frac{\frac{25}{10}}{\frac{24}{10}}=

Fracția de la numărător {\frac{25}{10}}  o împărțim la fracția {\frac{24}{10}}  adică o înmulțim cu răsturnata acestei fracții:  \frac{25}{10 } : {\frac{10}{24}}=   \frac{25}{10}\cdot {\frac{10}{24}}=   \frac{250}{240}^{(10}=   \frac{25}{24}

Exercițiul 5 (1punct):

Soluția ecuației (-2)\cdot (-4+x)=-12  este:…………………………..

  • Rezolvare:

(-2)\cdot (-4+x)=-12

(-2)\cdot (-4+x)=-12 / : (-2) \Rightarrow  -4+x = 6 \Rightarrow  x = 6+4 \Rightarrow  x = 10

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete.

Exercițiul 1 (1,5 puncte):

Rezolvați în Z inecuația:  3(2x-1) \leq x-14

Rezolvare:

Desfacem paranteza după care separăm termenii cu x într-o parte iar cei fara x în cealaltă parte.

 3(2x-1) \leq x-14 \Rightarrow   6x-3 \leq x-14 \Rightarrow   6x-x \leq -14 +3 \Rightarrow   5x \leq -11 / : 5 \Rightarrow x \in \left \{- \infty; ..........; -5; -4; -3 \right \}

Exercițiul 2 (1,5 puncte):

Rezolvați în Z ecuația: \left \| 2x+1 \right \|=5

  • Rezolvare:

2x+1 =- 5 \Rightarrow  2x+1 =- 5 /-1\Rightarrow 2x =- 5 -1\Rightarrow 2x =- 6 / : 2\Rightarrow x =- 3

2x+1 = 5 \Rightarrow 2x+1 = 5 /-1\Rightarrow  2x= 5 -1\Rightarrow 2x= 4 / : 2\Rightarrow x= 2

 x \in \left \{ -3; 2 \right \}

Exercițiul 3 (1,5 puncte):

Fie triunghiul dreptunghic ABC cu (\widehat{BAC})=90^\circ ), având (\widehat{ACB})=30^\circ ).

Se construiesc  AD\perp BC,  DM\perp AB, cu  D \in (BC),  M \in (AB) și  N \in (AC). Să  se arate:

a)  DM \parallel AC

b)  AC = 4\cdot DM

c)  AB = 4\cdot BM

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul respectând datele problemei.

triunghi dreptunghic

  • a) DM \perp AB\Rightarrow m(\widehat{DMA})=90^\circ
  •    m(\widehat{BAC})=90^\circ \Rightarrow AB \perp AC            \rbrace  \Rightarrow DM \parallel AC

 

  • b)   \bigtriangleup ABC m(\widehat{BAC})=90^\circ  și m(\widehat{BCA})=30^\circ    \Rightarrow m(\widehat{ABC})=60^\circ

\bigtriangleup BDM :  m(\widehat{BMD})=90^\circ   și m(\widehat{MBD})=60^\circ  \Rightarrow

\Rightarrow m(\widehat{BDM})=30^\circ  dar  m(\widehat{BDA})=90^\circ   \Rightarrow m(\widehat{MDA})=60^\circ

În \bigtriangleup AMD avem : m(\widehat{AMD})=90^\circ  și  m(\widehat{MDA})=60^\circ   \Rightarrow m(\widehat{MAD})=30^\circ   \Rightarrow(Conform teoremei unghiului de  30^\circ) \Rightarrow MD=\frac{AD}{2}

Dar în \bigtriangleup ADC  m(\widehat{ADC})=90^\circ  și m(\widehat{ACD})=30^\circ  \Rightarrow(Conform teoremei unghiului de  30^\circ) \Rightarrow AD=\frac{AC}{2}

Dar mai sus am gasit  MD=\frac{AD}{2} \Rightarrow MD=\frac{\frac{AC}{2}}{{2}}  \Rightarrow MD=\frac{AC}{{4}}  AC= 4\cdot MD

c) \bigtriangleup BMD: m(\widehat{BMD})=90^\circ  și m(\widehat{BDM})=30^\circ  \Rightarrow  BM=\frac{BD}{{2}}

\bigtriangleup ADB : m(\widehat{ADB})=90^\circ  și m(\widehat{BAD})=30^\circ  \Rightarrow BD=\frac{AB}{{2}}

\Rightarrow  BM=\frac{\frac{AB}{2}}{{2}}  \Rightarrow BM=\frac{AB}{4}  \Rightarrow AB=4 \cdot BM

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

 

 

 

 

Model Rezolvat Teza clasa a VIII-a Semestrul II

Şcoala trebuie să te înveţe a fi propriul tău dascăl, cel mai bun şi cel mai aspru.

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!  A început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(mai mult…)

Model Propus Teza clasa a VIII-a Semestrul II

 

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}  este:……………………………

Rezolvare:

\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}  =\sqrt{2\cdot 3}-3\sqrt{6} =\sqrt{6}-3\sqrt{6} =-2\sqrt{6}

Exercițiul 2 (1 punct):

Simplificând cu x^2+1  raportul : \frac{x^4-1}{{x^2+1}} se obține:……………………………….

Rezolvare:

Aplicăm formulele de calcul prescurtat pentru expresia: x^4-1 și se obține:

\frac{x^4-1}{{x^2+1}}=\frac{(x^2)^2-1^2}{{x^2+1}}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}^{(x^2+1}=\frac{x^2-1}{1}=x^2-1.

Exercițiul 3 (1 punct):

Soluția ecuației: x-\sqrt{3}=0 este: ………………………………….

Rezolvare:

x-\sqrt{3}=0 \Rightarrow x-\sqrt{3}=0 /-\sqrt{3} \Rightarrow x=-\sqrt{3}

Exercițiul 4 (1 punct):

Se considera funcția f : R \to R  ,  f (x)=x-3. Valoarea funcției în punctul x=3 este egală cu: …………………….

Rezolvare:

Pentru a afla valoarea functiei în punctul x=3 calculăm  f (3) (îl înlocuim pe x cu 3 în funcție.

 f (3)=3-3=0

Exercițiul 5 (1punct):

Volumul cubului cu lungimea diagonalei de \sqrt{12}cm este: ……………………

Rezolvare:

Știm că diagonala cubului este egală cu:

 d=l\sqrt{3}\Rightarrow  l\sqrt{3}=\sqrt{12}\Rightarrow   l\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot3}\Rightarrow   l\sqrt{3}=2\sqr{3}\Rightarrow  l\sqrt{3}=2\sqr{3} / :\sqr{3} \Rightarrow   l=2 cm

Știm că volumul cubului are formula:  V= l^3  ; înlocuim latura cu 2 cm și obținem:

 V= l^3 \Rightarrow  V= (2cm)^3 \Rightarrow V= 8cm^3 .

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete.

Exercițiul 1 (1,5 puncte):

Se consideră expresia: E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}.

a) Determina’i valorile reale ale lui x pentru care expresia E(x) este bine definită.

b) Demonstrați că E(x)=1,  (\forall ) x \in R \setminus \left \{ -2; 1\right \}.

Rezolvare:

E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}  \Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}

  • a)Punem condițiile de existență ale fracțiilor (numitorul fracției trebuie să fie diferit de 0):

 x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2

 3x-1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1 \Rightarrow 3x \neq \frac{1}{{3}}

 \Rightarrow x \in R\setminus \left \{ \frac{1}{{3}} , 2 \right \}

  • E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2

Înmulțim cu a doua fracție răsturnată.

  •  \Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}

Aducem la același numitor în paranteză.

  •  \Rightarrow E(x)=(_{{}}^{x-2)}\textrm{1}- _{{}}^{x-2)}\textrm{x}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}    \Rightarrow E(x)=(\frac{x-2}{x-2}- \frac{x(x-2)}{x-2}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}
  •  \Rightarrow E(x)=(\frac{x-2-x^2+2x+x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}
  •  \Rightarrow E(x)=\frac{3x-1}{x-2}\cdot \frac{x-2}{3x-1}
  •  \Rightarrow E(x)=1

Exercițiul 2 (1,5 puncte):

Se consideră funcția  f : R \to R , f(x)= -x+2 .

a) Calculați media aritmetică a numerelor a=f(0)  și b=f(2) .

b) Reprezentați grafic funcția f(x).

c) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției f(x) și axele de coordonate OX și OY.

Rezolvare:

  • a) f(0)=0+2=2

f(2)=-2+2=0

 M_{a}=\frac{f(0)+f(2)}{{2}} \Rightarrow  M_{a}=\frac{2+0}{{2}} \Rightarrow  M_{a}=\frac{2}{{2}} \Rightarrow M_{a}= 1

  • b) Pentru a reprezenta grafic funcția f(x) facem intersecția cu cele două axe OX și OY
  • \cap OX : y=0 \Rightarrow f(x)=0   \Rightarrow -x+2=0   \Rightarrow -x=-2  \Rightarrow x=2  \Rightarrow A(2;0)
  • \cap OY:   x=0 \Rightarrow f(0)=0+2=2\Rightarrow B(0;2)

Exercițiul 3 (1,5 puncte):

O piramidă triunghiulară regulată VABC are latura AB=4\sqrt{6} cm și VO=2\sqrt{6} cm, unde O este centrul bazei ABC. Calculați:

a) aria laterală a piramidei;

b) distanța de la O la planul (VBC)

c) distanța de la punctul A la planul (VBC)

d) măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC).

Rezolvare:

Scriem datele problemei și apoi le analizăm:

Realizăm și desenul:

  • a)  Știm formula arie laterale:  A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}.

Pentru a calcula A_{{l}} trebuie să aflăm mai întâi apotema piramidei a_{{p}}=VM.

VABC este piramidă triunghiulară regulată  \Rightarrow \bigtriangleup ABC  echilateral   \Rightarrow  AM înălțimea \bigtriangleup ABC  \Rightarrow AM=\frac{l\sqrt{3}}{{2}}  \Rightarrow AM=\frac{AB\sqrt{3}}{{2}}   \Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{{2}}  \Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6\cdot 3}}{{2}}    \Rightarrow AM=\frac{4\cdot 3\sqrt{2}}{{2}}   \Rightarrow AM=\frac{12\sqrt{2}}{{2}}   \Rightarrow AM=6\sqrt{2} cm

Știm că OM= \frac{1}{{3}}\cdot AM \Rightarrow OM= \frac{1}{{3}}\cdot 6\sqrt{2} cm \Rightarrow OM= \frac{6\sqrt{2}}{{3}} cm \Rightarrow OM= 2\sqrt{2}} cm.

Aplicăm Teorema lui Pitagora în \bigtriangleup VOM pentru a afla apotema VM.

\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ )\RightarrowT.P \Rightarrow VM^2=VO^2+OM^2  \Rightarrow VM^2= (2\sqrt{6} cm)^2 + (2\sqrt{2} cm)^2

\Rightarrow VM^2= 2^2\cdot (\sqrt{6})^2 cm^2 + 2^2\cdot (\sqrt{2})^2 cm^2

\Rightarrow VM^2= 4\cdot 6 cm^2 + 4\cdot 2 cm^2

\Rightarrow VM^2= 24 cm^2 + 8 cm^2

\Rightarrow VM^2= 32 cm^2   \Rightarrow VM= \sqrt{32 cm^2}  \Rightarrow VM= \sqrt{16 \cdot2} cm

 \Rightarrow VM= 4\sqrt{2} cm

Aflăm și perimetrul bazei. Pentru ca \bigtriangleup ABC  este echilateral  \Rightarrow P_{b}= 3 \cdot l  \Rightarrow P_{b}= 3 \cdot AB

 \Rightarrow P_{b}= 3 \cdot 4\sqrt{6} cm  \Rightarrow P_{b}= 12\sqrt{6} cm.

Înlocuim în aria laterală și obținem:

 A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{12\sqrt{6} cm\cdot 4\sqrt{2} cm}{2}   \Rightarrow A_{l}= \frac{12 \cdot 4 \sqrt{6\cdot 2} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{12} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{4 \cdot 3} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= \frac{48\cdot 2 \sqrt{ 3} cm^2}{2}  \Rightarrow A_{l}= 48\sqrt{ 3} cm^2

  • b) d(O; (VBC))=?

Știm că AM înălțime în \bigtriangleup ABC \Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]  și  \left \{ O \right \} \in AM\Rightarrow \left [ OM \right ]\perp \left [ BC \right ]

  • OM=2\sqrt{2}cm

 

  • c) d(A; (VBC))=?

Știm că AM înălțime în \bigtriangleup ABC \Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]

  • d) m(\widehat{ (VOM),(ABC)} )=?

\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ ) : sin (\widehat{VMO})= \frac{VO}{{VM}} =\frac{2\sqrt{6}cm}{4\sqrt{2}cm} =\frac{\sqrt{3}}{2}   \Rightarrow m((\widehat{VMO})= 60^\circ)  \Rightarrow m((\widehat{VMA})= 60^\circ).

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Model Rezolvat Teza clasa a VII-a Semestrul II

Încearcă să fii un om de valoare și nu neapărat un om de succes. – Albert Einstein

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!  De azi a început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(mai mult…)

Model-Teza-clasa-a-VII-a-Semestrul-II

 

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: \sqrt{20}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}  este:……………………………

Rezolvare:

\sqrt{20}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}= \sqrt{4\cdot 5}+\sqrt{9\cdot 5}-3\sqrt{5}= 2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-3\sqrt{5}=2\sqrt{5}

Exercițiul 2 (0,5 puncte):

Raționalizând fracția: \frac{4}{\sqrt{5}-1}  obținem:…………………

Rezolvare:

_{{}}^{\sqrt{5}+1)}\textrm{\frac{4}{\sqrt{5}-1}}={\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}}={\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2-1^2}}= {\frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1}}={\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}}=\sqrt{5}+1

Exercițiul 3 (1 punct):

Rezultatul calculului: (2a+1)^2 - (2a)^2= este………………………

Rezolvare:

(2a+1)^2 - (2a)^2= (2a)^2+2\cdot2a\cdot1+(1)^2 - (2a)^2= 4a^2+4a+1 -4a^2= 4a+1

Exercițiul 4 (1 punct):

Dacă x+\frac{1}{{x}}=4 atunci x^2+\frac{1}{{x^2}}  este egal cu………………….

Rezolvare:

Pornim de la relația x+\frac{1}{{x}}=4 și o ridicăm la pătrat iar relația x+\frac{1}{{x}} o ridicăm la pătrat cu formula de calcul prescurtat :(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2. Astfel obținem:

x+\frac{1}{{x}}=4 /^2 \Rightarrow(x+\frac{1}{{x}})^2=4^2 \Rightarrow  x^2+2\cdot x \cdot \frac{1}{{x}} +(\frac{1}{{x}})^2=16 \Rightarrow   x^2+(\frac{1}{{x}})^2 +2=16 /-2 \Rightarrow  x^2+(\frac{1}{{x}})^2 =16-2 \Rightarrow  x^2+(\frac{1}{{x}})^2 =14

Exercițiul 5 (0,5puncte):

Soluția ecuației x+\sqrt{2}=0 este: …………………….

Rezolvare:

 x+\sqrt{2}=0 /-\sqrt{2} \Rightarrow  x=-\sqrt{2}

Exercițiul 6 (0,5puncte):

 sin 45^\circ  este egal cu …………..

Rezolvare:

 sin 45^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete:

Exercițiul 1:(1,5 puncte):

Media geometrică a numerelor:  a=\left \| 2\cdot\sqrt{6} - 6\cdot\sqrt{2} \right \| și  b= \sqrt{72} + \sqrt{24} .

Rezolvare:

Știm că M_{{g}} =\sqrt{a\cdot b} .

Pentru a calcula \sqrt{a\cdot b} trebuie să aducem a și b la o formă mai simplă.

Pentru a aduce numărul “a” la o formă mai simplă trebuie să comparăm  2\cdot\sqrt{6}  cu  6\cdot\sqrt{2}  să aflăm dacă numărul a este un număr pozitiv sau negativ.

Pentru a compara  2\cdot\sqrt{6}  cu 6\cdot\sqrt{2}  trebuie să ridicăm la pătrat pentru a scăpa de redicali.

 2\cdot\sqrt{6} \sqcup 6\cdot\sqrt{2} /^2 \Rightarrow   2^2 \cdot6 \sqcup 6^2 \cdot2 \Rightarrow 4 \cdot6 \sqcup 36 \cdot2  \Rightarrow  24 \lt 72 \Rightarrow 2\cdot\sqrt{6} \lt 6\cdot\sqrt{2} \Rightarrow  numărul “a” este un număr negativ \Rightarrow  a=\left \| 2\cdot\sqrt{6} - 6\cdot\sqrt{2} \right \|=-2\cdot\sqrt{6}+6\cdot\sqrt{2}=6\cdot\sqrt{2}- 2\cdot\sqrt{6}

Pentru a aduce numărul “b” la o formă mai simplă trebuie să scoatem de sub radical:

 b= \sqrt{72} + \sqrt{24}   = \sqrt{2\cdot 36} + \sqrt{4\cdot 6}   =6 \sqrt{2} + 2\sqrt{ 6}

În concluzie  M_{{g}} =\sqrt{a\cdot b}  =\sqrt{(6 \sqrt{2} - 2\sqrt{ 6})\cdot(6 \sqrt{2} + 2\sqrt{ 6} )}  =\sqrt{(6 \sqrt{2})^2- (2\sqrt{ 6} )^2}  =\sqrt{36\cdot 2- 4\cdot 6}}  =\sqrt{72- 24}}  =\sqrt{48}} =\sqrt{16\cdot3 }}  =4\sqrt{3 }}.

Exercițiul 2:(1,5 puncte):

Rezolvați ecuația:  (x-2)^2-(x-1)(3-2x)=3(x+3)(x-3)+25

Rezolvare: Aplicăm formulele de calcul prescurtat și obținem:

 (x-2)^2-(x-1)(3-2x)=3(x+3)(x-3)+25

 (x)^2-2\cdot x \cdot 2+(2)^2-(x\cdot 3-x \cdot2x-1\cdot3+1\cdot2x)=3(x^2-3^2)+25

x^2-4x+4-3x +2x^2+3-2x=3(x^2-9)+25

3x^2-9x+7=3x^2-27+25

3x^2-9x+7=3x^2-2

3x^2-9x-3x^2 = -2-7

-9x= -9

-9x= -9 /:(-9)  \Rightarrow x= 1

Exercițiul 3:(1,5 puncte):

În trapezul ABCD cu  AB \parallel CD, m(\widehat{A})= m(\widehat{D})= 90^{\circ}, se consideră BE\perp CD, unde  E\in(CD). Știind că AB=6cm,CD=10cm și  BD \perp BC , determinați:

a) lungimea înălțimii BE.

b) perimetrul trapezului ABCD.

c) aria trapezului ABCD, rotunjită la cel mai apropiat număr întreg.

Rezolvare:

 

Scriem datele problemei după care le analizăm.

Trasăm desenul respectând datele problemei.

Trapez dreptunghic

  • a) Observăm că triunghiul este dreptunghic în unghiul B și putem aplica teorema înălțimii [ BE ] .

Mai știm Că  \left [ AB \right ] \equiv \left [ DE \right ] \Rightarrow \left [ EC \right ]=4 cm

\bigtriangleup DBC  (\widehat{DBC})= 90^{\circ}  \Rightarrow T.Î  \Rightarrow  BE^2=DE \cdot EC  \Rightarrow BE^2=6 cm \cdot 4 cm \Rightarrow BE^2= 24 cm^2  \Rightarrow BE= \sqrt{24 cm^2} \Rightarrow BE= \sqrt{4\cdot 6 } cm  \Rightarrow BE= 2\sqrt{6 } cm

Știm că  \left [ BE \right ] \equiv \left [ AD \right ] \Rightarrow  AD= 2\sqrt{6 } cm

  • b) Pentru a calcula perimetrul trapezului trebuie să aflam și latura \left [ BC \right ].

Știm că triunghiul \bigtriangleup BEC este dreptunghic în unghiul (\widehat{BEC})= 90^{\circ} astfel putem aplica Teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea laturii \left [ BC \right ].

\bigtriangleup BEC (\widehat{BEC})= 90^{\circ} \Rightarrow T.P. \Rightarrow BC^2=BE^2+EC^2  \Rightarrow BC^2=(2\sqrt{6}cm)^2+(4cm)^2   \Rightarrow BC^2=2^2\cdot6} cm^2+16cm^2

 \Rightarrow BC^2=4\cdot6} cm^2+16cm^2   \Rightarrow BC^2=24 cm^2+16cm^2   \Rightarrow BC^2=40 cm^2

 \ \Rightarrow BC=\sqrt{40cm ^2}  \Rightarrow BC=\sqrt{4 \cdot 10cm ^2}  \Rightarrow BC=2\sqrt{ 10} cm

P_{{ABCD}}= AB+BC+CD+AD \Rightarrow P_{{ABCD}}= 6 cm+2\sqrt{ 10} cm+10 cm+2\sqrt{ 6} cm

\Rightarrow P_{{ABCD}}= 16 cm+2(\sqrt{ 10} +\sqrt{ 6}) cm.

  • c)  A_{ABCD}= \frac{(B+b)\cdot h}{{2}}\Rightarrow  A_{ABCD}= \frac{(AB+DC)\cdot AD}{{2}}\Rightarrow  A_{ABCD}= \frac{(6 cm+10 cm)\cdot 2\sqrt{6}cm }{{2}}\Rightarrow   A_{ABCD}= \frac{16cm\cdot 2\sqrt{6}cm }{{2}}\Rightarrow  A_{ABCD}= \frac{32\sqrt{6}cm^2 }{{2}}\Rightarrow   A_{ABCD}= 16\sqrt{6}cm^2

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Model Rezolvat Teza clasa a V-a Semestrul II

Dacă A reprezintă succesul în viață, Atunci A= x+y+z, în care x reprezintă munca, y reprezintă joaca, iar z să știi să-ți ții gura. – Albert Einstein.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi este ultima zi de vacantă! De mâine începe școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(mai mult…)

Model Propus Teza clasa a V-a Semestrul II

Exercițiul 1 (1punct):

Scrieți sub formă de fracție ordinară numerele: 0,3;     2,07;     2,1(3).

Rezolvare:

 0,3=\frac{3}{10} ;

   2,07=\frac{207}{100} ; 

2,1(3)=\frac{213-21}{90}=  \frac{192}{90}^{{(2}}=  \frac{96}{45}^{{(3}}=  \frac{32}{15}

Exercițiul 2 (1punct):

Calculați: 9,35 : 5 - 0,87=

  • Rezolvare:

9,35 : 5 - 0,87=1,87 - 0,87=1

Exercițiul 3 (1punct):

Aflați numărul x care este soluție a ecuației:

7,18-x=3,21

Rezolvare:

 7,18-x=3,21 \Rightarrow x=7,18 - 3,21 \Rightarrow x=3,97

Exercițiul 4 (1,5puncte):

Calculați:  1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (3,1^2-4,61) \right ] : 2=

Rezolvare:

Conform ordinii efectuarii operațiilor,mai întâi trebuie să ridicăm la putere.

 1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (3,1^2-4,61) \right ] : 2=

 1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (9,61-4,61) \right ] : 2=

Următoarea operație pe care trebuie să o facem este scăderea din paranteza rotundă. Pentru că am efectuat toate operațiile din paranteza rotundă, transformăm paranteza pătrată în paranteză rotundă.

 1,5\cdot (6,4+2,2\cdot 5 ) : 2=

Următoarea  operație este înmulțirea din paranteza rotundă.

 1,5\cdot (6,4+11 ) : 2=

Apoi adunarea din paranteza rotundă.

 1,5\cdot 17,4 : 2=

Pentru că înmulțirea și împărțirea sunt operații de același ordin și nu mai avem nici o paranteză efectuăm operațiile în ordinea în care sunt scrise. Astfel obținem:

26,10 : 2=13,05

Exercițiul 5 (1,5 puncte):

Rezolvați ecuația:  \left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2

Rezolvare:

Această ecuație se rezolvă pe metoda pasului invers.

 \left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2

Prima oară îl eliminăm pe 1,5 prin operația inversă împărțirii, adică înmulțim întreaga relație cu 1,5.

 \left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2 / \cdot1.5

 \left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] = 7,2\cdot1.5

Putem elimina și paranteza pătrată.

 3\cdot(x+2,7)-4,2 = 10,8

La pasul II scăpăm de 4,2 prin operația inversă scăderii și anume adunare.

 3\cdot(x+2,7)-4,2 = 10,8 / +4,2

 3\cdot(x+2,7) = 10,8 +4,2

 3\cdot(x+2,7) = 15

Următorul pas (III) împărțim cu trei întreaga relație.

 3\cdot(x+2,7) = 15 / :3

 (x+2,7) = 15 :3

 x+2,7 = 5

Ultima operație scădem 2,7.

 x+2,7 = 5 / -2,7

 x= 5-2,7

 x= 2,3

Exercițiul 6 (1,5 puncte):

Media aritmetică a două numere este 8,6. Aflați cele două numere dacă se știe că diferența lor este 1,5.

  • Rezolvare:
  • Notăm cu a și b cele două numere.
  • Scriem formula mediei aritmetice pentru cele două numere

M_{{a}}= \frac{a+b}{2}

M_{{a}}=8,6 \Rightarrow  \frac{a+b}{2}=8,6 \Rightarrow  \frac{a+b}{2}=8,6 / \cdot2 \Rightarrow    a+b=8,6 \cdot 2

\Rightarrow  a+b=17,2

Dar mai știm din enunțul problemei că diferența celor două numere este 1,5.

Astfel obținem următoarea relație:  a-b=1,5.

Dar mai sus am obținut și relația:    a+b=17,2

Adunăm cele două relații și obținem:  a+b+a-b=17,2+1,5 \Rightarrow

 2a=18,7 \Rightarrow  a=18,7:2 \Rightarrow   a=9,35

Înlocuim a în prima relație și îl aflăm pe b.

 9,35 +b =17,2 \Rightarrow b= 17,2 - 9,35 \Rightarrow  b=7,85

Exercițiul 7 (1 punct):

Calculați și exprimați rezultatul în  m^{2}: 0,07 dam^2 -2,3 m^2+140 dm^2=?m^2

Rezolvare:

Transformăm  0,07 dam^2  și 140 dm^2  în m^2 .

Știm că 1 dam =10 m atunci 1 dam^2 =100 m^2

și 1 dm =0,1 m atunci 1 dm^2 =0,01 m^2

Astfel 0,07 dam^2 =7 m^2 și 140 dm^2 =1,4 m^2

Înlocuim și obținem: 0,07 dam^2 -2,3 m^2+140 dm^2=7m^2 -2,3 m^2 +1,4 m^2

4,7m^2 +1,4 m^2=6,1 m^2

Exercițiul 7 (1,5 puncte):

Un dreptunghi are perimetrul egal cu 16 dm. Știind că lățimea este egală cu o treime din lungime, aflați aria dreptunghiului.

Rezolvare:

dreptunghi

Știm că perimetrul este suma laturilor și că P_{{ABCD}}=2\cdot L+2\cdot l

Din datele problemei mai știm l = \frac{1}{3}\cdot L   \Rightarrow L =3\cdot l

Înlocuim în formula perimetrului și aflăm lățimea.

P_{{ABCD}}=2\cdot L+2\cdot l \Rightarrow  P_{{ABCD}}=2\cdot 3\cdot l+2\cdot l \Rightarrow  P_{{ABCD}}=6\cdot l+2\cdot l \Rightarrow  P_{{ABCD}}=8\cdot l \Rightarrow  8\cdot l = 16 dm \Rightarrow l= 16 dm :8  l= 2 dm

Înlocuim și aflăm lungimea :  L =3\cdot l \Rightarrow L=3\cdot 2 dm \Rightarrow L=6 dm

Știm Aria dreptunghiului : A_{{ABCD}}=L \cdot l \Rightarrow  A_{{ABCD}}=6dm \cdot 2dm \Rightarrow  A_{{ABCD}}=12dm^2

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate la Suma Gauss a Fracțiilor Zecimale

“Îi poți da unui elev câte o lecție în fiecare zi, dar dacă îl poți îndruma să învețe stârnindu-i curiozitatea, el își va dedica întreaga viață învățăturii.”
Clay P. Bedford

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea fracțiilor zecimale, exerciții cu un grad de dificultate ridicat în care apare Suma Gauss.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Efectuați următoarele calcule:

1,1 + 2,2 + 3,3 + ………………..+ 9,9 =

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

  •  \frac{11}{10}+\frac{22}{10}+\frac{33}{10}+.....................+\frac{99}{10}=
  • \frac{11+22+33+...................+99}{10}=
  •  \frac{1\cdot 11+2\cdot 11+3\cdot 11+...................+9\cdot 11}{10}=
  •  \frac{11\cdot (1 + 2 +3 +...................+9)}{10}=

Observăm că am obținut Suma Gauss a primelor 9 numere naturale consecutive, aplicăm formula lui Gauss și obținem:

  •  \frac{11\cdot [9\cdot (9+1): 2]}{10}=
  •  \frac{11\cdot [9\cdot 10 : 2]}{10}=
  •  \frac{11\cdot (90 : 2)}{10}=
  •  \frac{11\cdot 45}{10}=
  •  \frac{495}{10}=49,5

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Exercițiul 2:

Efectuați următoarele calcule:

1,11+2,22+3,33+.............+9,99

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

  • \frac{111}{100}+\frac{222}{100}+\frac{333}{100}+.....................+\frac{999}{100}=
  • \frac{111+222+333+.........+999}{100}=
  •  \frac{111\cdot 1+111\cdot 2+111\cdot 3+.........+111\cdot 9}{100}=
  •  \frac{111\cdot (1+ 2+ 3+.........+ 9)}{100}=

Observăm că am obținut Suma Gauss a primelor 9 numere naturale consecutive, aplicăm formula lui Gauss și obținem:

  •  \frac{111\cdot [9 \cdot (9+1)]:2}{100}=
  •  \frac{111\cdot (9 \cdot 10:2)}{100}=
  •  \frac{111\cdot (90 : 2)}{100}=
  •  \frac{111\cdot 45}{100}=
  •  \frac{4995}{100}=49,95

PDF Gratuit: Suma Gauss – Explicatie, Definitie si Exercitii rezolvate

Exercițiul 3:

Calculați suma:

Rezolvare:

Dacă efectuăm înmulțirile obținem:

  • 5 \cdot 200 = 1000

Exercițiul 4:

Calculați suma:

Rezolvare:

Dacă adunăm primele două fracții zecimale obținem:

Adunăm următoarele 2 fracții zecimale și obținem:

Suma Gauss a fracțiilor zecimale

Adunăm următoarele 2 fracții zecimale și obținem:

Observăm că am adunat până în acest moment 4 fracții zecimale iar cifra 8 se repetă de 3 ori. Dacă continuăm adunarea și adunăm toate fracțiile zecimale obținem:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Exerciții rezolvate la Înmulțirea fracțiilor zecimale

“Fă azi ce alţii nu fac ca să trăieşti mâine cum alţii nu pot.”

Zig Ziglar

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul precedent am efectuat câteva exerciții ușoare la înmulțirea fracțiilor zecimale. Azi îți propun să rezolvăm împreună câteva exerciții cu un grad de dificultate mai ridicat!

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Dacă x \cdot (y-z)=2,4  și  x \cdot (z+t)=3,1 \Rightarrow  , atunci calculați:

 x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )

Rezolvare:

 x \cdot (y-z)=2,4 \Rightarrow   x \cdot y- x \cdot z=2,4

 x \cdot (z+t)=3,1 \Rightarrow   x \cdot z+ x \cdot t=3,1

Adunăm cele două relații și obținem:

 x \cdot y- x \cdot z+x \cdot z+ x \cdot t=2,4 + 3,1

Observăm că  x \cdot z  se reduce și obținem:

  •  x \cdot y+ x \cdot t=5,5
  •  x \cdot( y+ t )=5,5
  • Înmulțim relația cu 2,4 și obținem:
  •  x \cdot( y+ t )=5,5 | \cdot 2,4
  •  x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )=5,5 \cdot 2,4
  •  x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )=13,20

Exercițiul 2 :

Dacă x+y=7,05 și y+z=14,1 atunci calculați:  (x+3y+2z) \cdot (z-x)

Rezolvare:

  • x+y=7,05         \Rightarrow   x+y =7,05
  • y+z=14,1   | \cdot 2    \Rightarrow  2y+2z=28,2

Adunam cele două relații si obținem:

  • x+y+2y+2z=7,05+28,2
  • x+3y+2z=35,25

Observăm ca am obținut prima paranteză.

Revenim la cele două relații inițiale:

  • x+y=7,05
  • y+z=14,1

Scădem din a doua relație prima relație  și obținem:

  • y+z-x-y=14,1-7,05
  • z-x=7,05

Înmulțim cele două relații obținute:

  •  (x+3y+2z)\cdot (z-x)=35,25 \cdot 7,05
  •  (x+3y+2z)\cdot (z-x)=248,5125

Exercițiul 3:

Determinați cifrele a și b care verifică relația:

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare și obținem:

Pentru ca avem peste tot același numitor putem scrie relația fară numitor:

Desfacem în baza 10 numerele:

   și obținem:

  •  (10 \cdot a + a+ 10 \cdot b +b)\cdot b=1287
  •  (11 \cdot a + 11 \cdot b )\cdot b=1287
  •  11 \cdot (a +b)\cdot b=1287 | : 11
  •  (a +b)\cdot b=117
  •  (a +b)\cdot b= 3^{{2}}\cdot 13
  • Verificăm varianta b=3
  •  (a+3)\cdot 3=117
  •  3a+9=117
  •  3a=117 -9
  •  3a=108
  •  a=108 : 3
  •  a=36

Această variantă nu ne convine deoarece a trebuie să fie cifră.

Verificăm cea de-a doua variantă  b=3 ^{2} =9 și obținem:

  •  (a+9)\cdot 9=117
  •  9a+81=117
  •  9a=117-81
  •  9a=36
  •  a=36:9
  •  a=4

Această variantă este ok deci obținem soluția  a=4 și b=9.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate la Formulele de Calcul Prescurtat

“Invata tot ce poti, in orice moment disponibil, de la oricine si intotdeuna va veni o vreme cand te vei simti recompensat pentru ceea ce ai invatat.”
Sarah Caldwel

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. Azi te invit să efectuăm  împreună câteva exerciții la formulele de calcul prescurtat.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Efectuați, folosind formula de calcul prescurtat: 

  • a)       (2x+1) ^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru: a=2x şi b=+1. Aplicând formula obţinem:

 (2x+1)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot (+1)+(+1)^{2}

 (2x+1)^{2}=4x^{2}+4 x+1

  •     b)  (4x - 7y)^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=4x şi b=7y . Aplicând formula obţinem:

 (4x - 7y)^{2}=(4x)^{2}-2\cdot 4x\cdot 7y +(7y)^{2}

 

 (4x - 7y)^{2}=16x^{2}-56xy +49y^{2}

  • c)  (2x+\sqrt{3})^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru: a=2x şi b=\sqrt{3}. Aplicând formula obţinem:

 (2x+\sqrt{3})^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}

 (2x+\sqrt{3})^{2}=4x^{2}+4\sqrt{3} x+3

  • d)  (5x-\sqrt{2})^{2}

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=5x şi b=\sqrt{2}. Aplicând formula obţinem:

 (5x-\sqrt{2})^{2}=(5x)^{2}-2\cdot 5x\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}

 (5x-\sqrt{2})^{2}=25x^{2}-10 \sqrt{2}x+2

  • e) (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru:  a=\frac{2}{3}x şi  b=\frac{1}{3} . Aplicând formula obţinem:

 (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=(\frac{2}{3}x)^{2}+2\cdot \frac{2}{3}x\cdot \frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}

 (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}x^{2}+ \frac{4}{9}x +\frac{1}{9}

  • f) (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru:  a=\frac{2}{7}x şi  b=\frac{7}{4}. Aplicând formula obţinem:

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=(\frac{2}{7}x)^{2}-2\cdot \frac{2}{7}x\cdot \frac{7}{4}+(\frac{7}{4})^{2}

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-\frac{28}{28}x+\frac{49}{16}

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-x+\frac{49}{16}

f)  (x+9)(x-9)

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a+b)(a-b)= a^{2}-b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=x şi b=9. Aplicând formula obţinem:

 (x+9)(x-9)= x^{2}-9^{2}

 (x+9)(x-9)= x^{2}-81

EXERCIŢIUL 2:  Efectuaşi calculele :

  •  a)  (x+2)^{2}+ (x-1)^{2}

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

 (x+2)^{2}+ (x-1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 2+ 2^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot 1+1^{2}= aplicatii-formule-de-calcul-prescurtat-ex-2

  •  b) (2\sqrt{2}-3\sqrt{3}) ^{2}-2(\sqrt{3}+3\sqrt{2}) ^{2}

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

 [(2\sqrt{2})^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{3}+(3\sqrt{3})^{2}]-2[(\sqrt{3})^{2}+2\cdot \sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}] =

 (4\cdot 2-12\sqrt{2\cdot3}+9\cdot 3)-2(3+6 \sqrt{2\cdot3}+9\cdot2)=

 8-12\sqrt{6}+27-6+12 \sqrt{6}-36=

 8+27-6+12 -36=5

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Înmulțirea fracțiilor zecimale

„Este uimitor ce pot face oamenii obişnuiţi dacă se apucă de treabă fără idei preconcepute.” — Charles F. Kettering
Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Data trecută am efectuat exerciții la “Adunarea și Scăderea Fracțiilor Zecimale”.  Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la Înmulțirea fracțiilor zecimale.

(mai mult…)

Exercițiul 1:
Efectuați următoarele înmulțiri:
  1.  2,75 \cdot 3=
  2.  125,75 \cdot 33=
  3.  0,7 \cdot 3,8=
  4.  2,57 \cdot 1,77=
  5.  12,4 \cdot 3,5 \cdot 5,2=
  • Rezolvare:
  1.    2,75 \cdot 3=

 

 

 

 

  • Înmulțim numerele ca la numerele naturale (facem excepție de virgulă).

  • Pentru că fracția zecimală 2,5  are o zecimală punem la produs virgula după o cifră numărând de la dreapta la stânga.

2.   125,75 \cdot 33=

  • Înmulțim numerele ca la numerele naturale (facem excepție de virgulă)

  • Pentru că fracția zecimală  125,75   are două zecimale punem la produs virgula după două cifre numărând de la dreapta la stânga.

  •  0,7 \cdot 3,8=

  • Pentru că fracția zecimală 0,7   are o zecimală după virgulă iar fracția zecimală 3,8  are tot o zecimală după virgulă, am pus la produs virgula după două cifre numărând de la dreapta la stânga.
  •   2,57 \cdot 1,77 =

  • Pentru că fracția zecimală 2,57   are două zecimale după virgulă iar fracția zecimală 1,77   are tot două zecimale după virgulă, am pus la produs virgula după patru cifre numărând de la dreapta la stânga.
  •  12,4 \cdot 3,5 \cdot 5,2=

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Probleme rezolvate Teorema lui Pitagora

„Cu putin talent şi o perseverenţă extraordinară toate lucrurile pot fi atinse.”

Thomas Foxwell Buxton

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Astăzi te invit să exersăm câteva probleme de geometrie la Teorema lui Pitagora. Această teoremă este foarte importantă iar copilul tău trebuie să o înțeleagă foarte bine deoarece o vom utiliza foarte des în clasa a VIII-a la Geometria în spațiu.

(mai mult…)

Problema 1: În triunghiul MNP, unghiul M este de 90 ^{\circ} și înălțimea

MQ \perp NP cu MQ = 12 cm, iar  m(\widehat{MNP})=30^{\circ} . Calculați laturile: MN, NP, MP, NQ și QP.

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Facem desenul respectând datele problemei.

Demonstrație:

  • Pentru că avem m(\widehat{MNP})=30^{\circ} aplicăm în \bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})=90^{\circ}) teorema unghiului de 30^{\circ} care îmi spune că lungimea catetei care se opune unghiului de 30^{\circ} este jumătate din ipotenuză.

\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})=90^{\circ})   : m(\widehat{MNQ})=30^{\circ}  \Rightarrow MQ=\frac{MN}{{2}} \Rightarrow    \frac{MQ}{{1}}=\frac{MN}{{2}} \Rightarrow \frac{12 cm}{{1}}=\frac{MN}{{2}} \Rightarrow   MN=12 cm \cdot 2 \Rightarrow MN= 24 cm

Observăm că putem aplica Teorema lui Pitagora în triunghiul \bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})= 90^{\circ})pentru a afla latura NQ.

\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})= 90^{\circ}) \Rightarrow (T.P) :  MN^{2}= NQ^{2}+MQ^{2} \Rightarrow

 24^{2}= NQ^{2}+12^{2} \Rightarrow     576= NQ^{2}+144 \Rightarrow

NQ^{2}= 576 - 144 \Rightarrow  NQ^{2}= 432 cm^{2} \Rightarrow

NQ= \sqrt{ 432 cm^{2}}  \Rightarrow  NQ=12 \sqrt{ 3} cm

  • Am aflat MN și NQ atunci putem aplica în \bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ} Teorema Catetei pentru cateta MN  și aflăm lungimea ipotenuzei BC.

\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ} \Rightarrow (T.C.)  MN^{2} = NQ \cdot NP \Rightarrow  (24cm)^{2} = 12 \sqrt{3}cm \cdot NP  \Rightarrow   576cm^{2} = 12 \sqrt{3}cm \cdot NP  \Rightarrow  NP = \frac{576cm^{2} }{{12 \sqrt{3}cm }}   \Rightarrow QP = 16 \sqrt{3}cm -12 \sqrt{3}cm

Dacă am aflat NP putem afla și latura QP prin scădere.

QP = NP-NQ

 QP= 16 \sqrt{3}cm -12 \sqrt{3}cm

QP = 4 \sqrt{3}cm

Dacă știm MN și NP putem aplica teorema lui Pitagora în triunghiul MNP  \bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}  pentru a  afla latura MP.

\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}  \Rightarrow (T.P)  NP^{{2}}= MP^{{2}}+MN^{{2}} \Rightarrow  (16 \sqrt{3}cm )^{{2}}= MP^{{2}}+(24cm)^{{2}}  \Rightarrow

768 cm = MP ^{2} + 576 cm  \Rightarrow

MP ^{2} = 768 cm-576 cm  \Rightarrow

MP ^{2} = 192 cm ^{2}  \Rightarrow

MP= \sqrt{192 cm^{2} }  \RightarrowMP =8\sqrt{3} cm

Problema 2:

În triunghiul dreptunghic MNP cu unghiul \Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) : , are înălțimea MQ \perp NP, Q \in (NP), \frac{NQ}{QP} = \frac{9}{16} , iar perimetrul triunghiului P_{{\bigtriangleup MNP}} = 120 cm . Aflați:

a) Dimensiunea laturilor: MN, MP și NP;

b) Lungimea înălțimii MQ;

Rezolvare:

Pornim de la raportul: \frac{NQ}{QP} = \frac{9}{16}  și scoatem dimensiunea laturii NQ în funcție de QP.

16 \cdot NQ = 9\cdot QP \Rightarrow  NQ = \frac{9 \cdot QP}{{16}}

Aflăm dimensiunea laturii NP în funcție de QP.

 NP = NQ + QP \Rightarrow  NP = \frac{9 \cdot QP}{{16}}+ _{}}^{16)}QP{} \Rightarrow

NP = \frac{9 \cdot QP+16 QP}{{16}}\Rightarrow

NP= \frac{25 \cdot QP}{{16}}

Aplicăm în triunghiul dreptunghic MNP Teorema Catetei pentru catetele: MN și MP și determinăm lungimile acestora în functie de latura QP.

\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :  \Rightarrow(T.C)\Rightarrow   MN^{{2}}= NQ \cdot NP \Rightarrow

 MN^{{2}}= \frac{9 \cdot QP}{{16}} \cdot \frac{25 \cdot QP}{{16}} \Rightarrow

 MN^{{2}}= \frac{225 \cdot QP^{{2}}}{{256}} \Rightarrow    MN = \sqrt{\frac{225 \cdot QP^{{2}}}{{256}} }\Rightarrow

 MN = \frac{15 \cdot QP}{{16}} }

\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :   \Rightarrow(T.C)\Rightarrow   MP^{{2}}= QP \cdot NP \Rightarrow

 MP^{{2}}= \frac{QP}{{1}} \cdot \frac{25 \cdot QP}{{16}} \Rightarrow    MP^{{2}}= \frac{25 QP^{{2}}} {{16}}\Rightarrow

 MP^{{2}}= \sqrt{\frac{25\cdot QP^{{2}}} {{16}}} \Rightarrow

 MP= \frac{5\cdot QP} {{4}}}

După ce am obținut toate dimensiunile laturilor  \Delta MNP  în funcție de latura QP le înlocuim în Perimetrul  \Delta MNP  și îl aflăm de aici pe QP.

P_{{\bigtriangleup MNP}} = 120 cm

P_{{\bigtriangleup MNP}} = MN + MP + NP      \Rightarrow

{}}^{16)}120 cm = \frac{15 \cdot QP}{{16}} } + {}}^{4)}\frac{{5\cdot QP}} {{ 4}}} + \frac{25 \cdot QP}{{16}}   \Rightarrow

1920 cm =15 QP + 20 QP +25 QP   \Rightarrow

 60 QP = 1920 cm \Rightarrow

 QP = 32 cm

 NQ = \frac{9}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow NQ = 18 cm

 MN = \frac{15}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow MN = 30 cm

 MP = \frac{5}{{4}} \cdot 32 cm \Rightarrow MP = 40 cm

 NP = \frac{25}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow NP = 50 cm

b) Pentru rezolvarea punctului b) aplicăm Teorema Înălțimii în triunghiul dreptunghic  \Delta MNP.

\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :   \Rightarrow(T.I)\Rightarrow   MQ^{{2}}= NQ \cdot QP \Rightarrow

 MQ^{{2}}= 18 cm \cdot 32 cm \Rightarrow    MQ^{{2}}= 576 cm^{{2}} \Rightarrow

MQ^{{2}}= \sqrt{576 cm^{{2}} } \Rightarrow MQ= 24 cm

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

1 2 3 4 8