ÎMPĂRŢIREA A DOUĂ SAU MAI MULTE NUMERE NATURALE

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, la lecţia

„Împărţirea a două sau mai multe numere naturale” copilul tău trebuie să reţină Teorema Împărţirii cu Rest. De asemenea, la această lecţie, se vor folosi informaţii de la lecţia “Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”. De aceea, dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stapănească foarte bine noţiunile studiate la lectia: “Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”  pentru a putea să înţeleagă lecţia “Împărţirea a două sau mai multe numere naturale”.

(mai mult…)

  • Teorema Împărţirii cu Rest:

    Oricare două numere naturale „a” şi „b”, b0, există numerele naturale q şi r, unic determinate, astfel încât:

    • a = b· q + r             şi   r<b ,
  • unde „q” este câtul şi „r” este restul împărţirii lui „a” la „b”.

  • Dacă restul împărţirii lui „a” la „b”este 0 (r=0)spunem că „a” se împarte exact la „b”şi notăm :

a : b = q, 

unde “a” şi “b” sunt factorii câtului, iar “q” este câtul.

  • a” se numeşte deîmpărţit;

  • b” se numeşte împărţitor;

  • În acest caz, relaţiile: a=b·q şi a:q=b sunt echivalente.

De asemenea, este esenţial să mai reţină următoarele informaţii:

  • Împărţirea la 0: nu este definită (sau mai bine spus nu are sens).

a : 0= nu are sens

  • Oricare ar fi un număr natural b, b0, atunci:

0 : b = 0

  • Oricare ar fi numerele naturale „a”, „b” şi „c”, c0, dacă a şi b se împart exact la c, atunci:

 (a+b):c = a:c +b:c

  • iar dacă diferenta are sens (dacă a este mai mare decat b), atunci:

(a-b):c = a:c -b:c

  • Împărţirea nu este asociativă, nu este comuntativă şi nu are element neutru.

  • Ca şi înmulţirea, împărţirea este o operaţie de ordinul doi.

Exemplu:

Să împărţim numarul natural 31401 la numarul natural 250:impartire numere naturale

  • 31401=250 ·125 +151

Răspunsul la împărţirea lui 31401 la 250 obţinem câtul 125 şi restul 151.

  • Dragul meu părinte, iată şi câteva greşeli făcute frecvent de elevi la această lecţie:
  • Cea mai mare greşeală la această lecţie este să împartă un număr natural la 0, împărţire care nu are sens.

    • a : 0= nu are sens
  • O altă greşeală pe care o fac frecvent elevii la această lecţie este să considere ca împărţirea este asociatiativă şi comutativă

  • Altă greşeală des întâlnită la această lecţie este să îl considere pe 0 element neutru.

    • b : 0 = b este greşit

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

Exerciții rezolvate Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, la lecţia „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mediu, dar şi câteva cu un grad de dificultate ridicat în care voi aplica atât propietăţile Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” dar şi propietăţile de la „Adunarea a două sau mai multe numere naturale”.

Urmărind indicaţiile mele, drag părinte, tu îţi poţi ajuta copilul la temele pentru acasă la matematică.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:  Ştiind că : x·y=236 şi z=123. Calculaţi: ( x·y)·z=?  şi  y·(z ·x)=?

Rezolvare:              

  • ( x·y) ·z=?

Ştim din propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”

  • ( x·y) ·z= x·y ·z =236 · 123=29 028
  • y·(z ·x)=?

Ştim din propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”

  • y·(z ·x)= y·z ·x = x·y ·z=236 ·123=29 028

RĂSPUNS CORECT: 29028

EXERCIŢIUL 2 :                  Se ştie că: x + y = 29 şi z =18. Calculaţi : x·z+ y·z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la prima vedere pare un exerciţiu dificil, dar nu este deloc aşa.

  • Trebuie să calculăm : x·z+ y·z=?

Observăm că între cei doi termeni ai adunării putem să scoatem factor comul termenul „z”. Asftel obţinem:

  • x·z+ y·z=z·(x+y)=?

Înlocuim cu valorile care ni s-au dat în enunţul exerciţiului şi obţinem:

  • 18·29=522

RĂSPUNS CORECT: 522

EXERCIŢIUL 3 :                Se ştie că: x-y=12 şi z=10. Calculaţi: x·z- y·z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la prima vedere pare un exerciţiu dificil, dar nu este deloc aşa.

  • Trebuie să calculăm : x·z – y·z=?

Observăm că între cei doi termeni ai adunării putem să scoatem factor comul termenul „z”. Asftel obţinem:

  • x·z- y·z=z·(x-y)=?

Înlocuim cu valorile care ni s-au dat în enunţul exerciţiului şi obţinem:

  • 10·12=120

RĂSPUNS CORECT: 120

EXERCIŢIUL 4:                  Rezolvaţi ecuaţia şi aflaţi valoarea lui „x”:

  • x+2x+3x+………..+100x=50500

Rezolvare:

  • x+2x+3x+………..+100x=50500
  • x+2x+3x+………..+98x+99x+100x=50500

Observăm că între termeni adunării putem să scoatem factor comul termenul „x”. Asftel obţinem:

  • x·(1+2+3+………..+98+99+100)=50500

Am obţinut o necunoscută înmulţită cu o paranteză, iar în paranteză avem Suma Gauss a primelor 100 de numere naturale. Un astfel de exerciţiu am prezentat în postul la „Aplicaţii la adunarea numerelor naturale” .Astfel în loc de:

  • x·(1+2+3+………..+98+99+100)=50500 putem scrie:
  • x·(1+100+2+99+3+98+………..)=50500.

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • x·[(1+100)+(2+99)+(3+98)+………..)]=50500.

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 101, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • x·(101+101+101+………..+101)=50500.

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 100:2 termeni, adică 50 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 50 de termeni de 101.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 101 adunat de 50 de ori care îl putem scrie astfel:

  • x·(101·50)=50500.
  • x·5050=50500. /:5050

Obţinem astfel :

  • x=50500: 5050
  • x=10

RĂSPUNS CORECT: x=10

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 5:              Dacă x+y=8 şi y+2z=35 sp se calculeze: 5x+13y+16z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte şi acest exerciţiu pare un exerciţiu dificil la prima vedere însă este doar un exerciţiu în care trebuie să aplicăm proprietăţile de la „Adunărea a două numere naturale” şi proprietăţile de la ”Inmulţirea a două sau mai multe numere naturale”.

  • Observăm că:              5x+13y+16z=?

Pentru că noi cunoaştem: x+y=8 şi y+2z=35 observăm în ecuaţia pe care o avem noi de calculat că putem face câteva artificii matematice care nu ne vor degrada rezultatul şi care ne sunt permise datorită proprietăţilor de la „Adunărea a două numere naturale”.

Astfel pe „13y” îl putem scrie ca: 5y+8y şi obţinem:

  • 5x+5y+8y+16z=?

Observăm că între primii doi termeni putem scoate factor comun pe 5, iar între ultimii doi termeni putem scoate factor camun pe 8, obţinem astfel:

  • 5(x+y)+8(y+2z)=?

Dar noi ştim din enunţul exerciţiului ca x+z=8 şi y+2z=35. Înlocuim în ecuaţia pe care o avem de calculat şi obţinem:

  • 5 · 8 + 8· 35 = ?

Îl scoatem factor comun pe 8 şi obţinem:

  • 8·(5 + 35) = ?
  • 8·40 = 320

RĂSPUNS CORECT: 320

  • Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com
  • De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului
  • https://www.facebook.com/MathMoreEasy.
  • Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

 

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

ÎNMULŢIREA A DOUĂ SAU MAI MULTE NUMERE NATURALE

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, la lecţia „ Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” copilul tău trebuie să reţină următoarele informaţii:

(mai mult…)

    • Înmulţireaa două sau mai multe numere naturale este un număr numit produsul numerelor naturale şi se notează:
    •               a · b = c
    • „a” şi „b” se numesc factorii produsului , iar „c” se numeşte produsul factorilor.

Exerciții rezolvate la Adunarea Numerelor Naturale. Suma Gauss

Clasa a V-aDragul meu părinte, în acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat, frecvent întâlnite la lecţia Adunarea şi Scăderea numerelor naturale, având în vedere modul în care tu, părinte drag ar trebui te foloseşti de aceste informaţii şi să îi explici copilului tău aceste noţiuni.

(mai mult…)

 EXERCIŢIUL 1:

  • Calculaţi suma:     1+2+3+4+…………………….+80 = ?

Rezolvare:

 

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare unul complicat, însă nu este un exerciţiu greu.

La prima vedere, mulţi copii sunt tentaţi să piardă vremea făcând adunatea termen cu termen, însă aşa cum bine îti dai seama acest lucru este imposibil, iar dacă ar fii posibil ar necesita foarte mult timp de lucru. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să-l abandoneze.

Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

 

  • 1+2+3+4+…………………….+80 = ?

Din proprietăţile adunării pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

  •    1+2+3+4+…………………….+80 = ?

putem scrie:

  • 1+80+2+79+3+78+4+77+………..= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” )  ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • (1+80)+(2+79)+(3+78)+(4+77)+………..= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 81, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • 81+81+81+81+………..= ?
  • Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 80 sunt 80 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 80:2 termeni, adică 40 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 40 de termeni de 81.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 81 adunat de 40 de ori:

  • 81+81+81+81+………..+81= ?

Adică putem scrie :

  • 40 x 81=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 3240

RĂSPUNS CORECT: 3240

EXERCIŢIUL 2:

  • Calculaţi suma: 1+3+5+…………………….+99= ?

Rezolvare:

Ca şi la exerciţiul anterior, acest exerciţiu este greu de calculat termen cu termen, asa că cea mai bună variantă este abordarea unei rezolvări utilizând proprietăţile matematicii:

  • 1+3+5+…………………….95+97+99= ?

Din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” ) ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

  • 1+3+5+…………………….+95+97+99 = ?

putem scrie:

  • 1+99+3+97+5+95+………..= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” )  ştim că adunarea este asociativă. Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • (1+99)+(3+97)+(5+95)+………..= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 100, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • 100+100+100+………..= ?
  • Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termenidintre care 50 sunt numere naturale pare, iar 50 sunt numere naturale impare.

În cazul acestui exerciţiu avem de calculat suma numerelor naturale impare cuprinse între numărul natural 1 şi numărul natural 100. În concluzie avem 50 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 50:2 termeni, adică 25 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 25 de termeni de 100.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru numărul natural 100 adunat de 25 de ori:

  • 100+100+100+100+………..+100= ?

Adică putem scrie :

  • 25 x 100=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 2500

RĂSPUNS CORECT: 2500

EXERCIŢIUL 3:

  • Calculaţi suma: 3+6+9+12+…………………….+2001 = ?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare şi mai complicat faţă de cele oreyentate anterior deoarece avem de calculat mult mai multe numere, însă nu este un exerciţiu greu.

Dacă la exerciţiile anterioare era dificil de efectuat o adunare termen cu termen, în cazul acestui exerciţiu este aproape imposibil să abordezi o astfel de metoda a adunării termen cu termen. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să abandoneze reuolvarea unui astfel de exerciţiu.

 Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

  • 3+6+9+12+…………………….+2001 = ?

După cum bine observi, dragul meu părinte, exerciţiul ne cere să adunăm termenii din 3 în 3, cuprinşi între numerele naturale 3 şi 2001.

Se pune problema câţi termeni numere naturale sunt între 3 şi 2001, număraţi din 3 în 3?

Pentru a afla răspunsul la acestă întrebare, îl împărţim pe 2001 la 3 si obţinem astfel:

  • 2001 : 3 = 667 termeni.

Observăm că numărul natural 667 este un număr impar, acest lucru înseamnă că dacă vrem să grupam termenii 2 câte 2, obţinem 666 termeni pe care îi grupăm 2 câte 2 plus încă un termen.

  • 667 : 2 = 333 termeni + 1 termen liber

Dar care este numărul natural care are rolul de termen liber?

Dacă încercăm să grupăm termenii 2 câte 2, obţinem:

  • 3+6+9+12+…………………….+1992+1995+1998+2001 = ?
  • 3+2001+6+1998+9+1995+12+1992+……………….= ?
  • (3+2001)+(6+1998)+(9+1995)+(12+1992)+………..+termenul liber = ?

Avem astfel 333 paranteze +termenul liber .termenul liber.

Observăm că rezultatul din fiecare paranteză este 2004.

Obţinem astfel 2004 adunat de 333 de ori + termenul liber .

  • 2004+2004+2004+2004+…………………….+termenul liber = ?

Adică:

  • 333 x 2004 + termenul liber = ?
  • Însă, dragul meu părinte, problema se pune ce număr natural este termenul liber?

Pentru a afla termenul liber, împărţim:

  • 2004 : 2 =1002

Obţinem astfel:

  • 333 x 2004 + 1002= ?

Efectuând calculele obţinem:

  • 667 332+ 1002= ?
  • 668 334.

RĂSPUNS CORECT: 668 334

PS: Dragul meu părinte, dacă vrei mai multe exemple rezolvate de exerciţii cu Suma Gauss descarcă Pdf-ul gratuit de aici:

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Adunarea și Scăderea Numerelor Naturale

Clasa a V-a

Dragul meu părinte,

copilul tău trebuie să reţină că:

(mai mult…)

  • Adunarea a două sau mai multe numere naturale este un număr numit suma numerelor naturale şi se notează:

    a + b = c 

  • unde „a” şi „b” se numesc termenii sumei iar „c” se numeşte suma numerelor naturale.

De asemenea, este esenţial să reţină proprietăţile adunării:

  • Comutativitatea:(dacă schimbăm poziţia termenilor rezultatul rămâne neschimbat).

a+b=b+a

 

  • Exemplu:
  • 3+4 = 4+3 = 7

  • 3+4 = 42+3+5 = 3+5+2 = 5+3+2 = 10
  • Asociativitatea:

 (a+b)+c=a+(b+c)

  • Exemplu:
  • (2+3)+5 = 2+(3+5) = 10
  • Element neutru: pe 0.

    Elementul neutru este un număr natural care adunat la un număr, suma celor 2 numere este egală cu numărul natural dat.

a+0=0+a=a

  • Exemplu:
  • 3+0 = 0+3 = 3.

SCĂDEREA NUMERELOR NATURALE:

Scăderea a două (sau mai multe) numere naturale este un număr natural unic, numit diferenţă şi se notează: „a -b” cu proprietatea că a>b ;

  • a” şi „b” se numesc termenii diferenţei.
a – b = c, 
  • unde:  „a” se numeşte descăzut;
  • „b”  se numeste scăzător;
  • „c” se numeşte diferenţă;

 

  • Scăderea nu este comutativă, nu este asociativă şi nu are element neutru.

O greşeală frecventă facută de elevi la această lecţie este confuzia între denumirea termenilor adunării şi scăderii numerelor naturale.

De asemenea, elevii mai fac frecvent greşeala de a spune că scăderea are proprietăţi de:

  • asociativitate;
  • comutativitate;
  • element neutru.

 

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas accesează link-ul de mai jos:

http://mathmoreeasy.ro/exercitii-rezolvate-la-adunarea-numerelor-naturale-suma-gauss/

 

§ Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

§ De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului

§https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

§ Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

 

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții Rezolvate la Mulţimi. Operaţii cu Mulţimi.

clasa a VII-a

La această lecţie vom recapitula din anii trecuţi câteva noţiuni pe care le vom aplica în exerciţii simple la lecţia „ Mulţimi. Operaţii cu Mulţimi.”

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:

Enumeraţi elementele mulţimii: A=\left \{ x/x\in N,x<8 \right \}

Rezolvare:

Exerciţiul ne cere să găsim elementele mulţimii „A” care este formată din toate valorile pe care le poate lua necunoscuta „x”, ţinând cont de faptul că:

  • x” este un număr natural;
  • x” este strict mai mic decât 8, adică poate lua toate valorile de la 0 la 7, fără a lua valoarea 8.

Răspunsul corect în acest caz este că: „x” poate lua următoarele valori: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Obţinem astfel mulţimea:  A=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \right \}

  •  Răspuns corect:A=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \right \}

EXERCIŢIUL 2:

Enumeraţi elementele mulţimii: B=\left \{ y/y\in N^{{*}},1\leq y<9 \right \}

Rezolvare:

Exerciţiul ne cere să găsim elementele mulţimii „B” care este formată din toate valorile pe care le poate lua necunoscuta „y”, ţinând cont de faptul că:

  • y” este un număr natural nenul (nu poate lua valoarea 0 deoarece avem în

enunţul problemei condiţia y\in N^{{*}}, care este mulţimea numerelor naturale mai puţin valoarea 0);

  • yeste mai mare sau cel mult egal cu 1 şi strict mai mic decât 9, adică „y” poate lua toate valorile cuprinse între 1 şi 8.

Răspunsul corect în acest caz este că: „y” poate lua următoarele valori: 1,2,3,4,5,6,7,8.

Obţinem astfel mulţimea: B=\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}

  • Răspuns corect :B=\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}

EXERCIŢIUL 3:

Enumeraţi elementele mulţimii:D=\left \{ z/z\in N,2\leq 2z-6<14 \right \}

Rezolvare:

Exerciţiul ne cere să găsim elementele mulţimii „D” care este formată din toate valorile pe care le poate lua necunoscuta „z”, ţinând cont de faptul că:

  • z” este un număr natural ;

  • pentru a afla intervalul de valori pe care îl poate lua necunoscuta z”, este necesar să rezolvăm inecuaţia: 2\leq 2z-6<14 .

Să rezolvăm inecuaţia:     2\leq 2z-6<14

Pentru a-l elimina pe 6 din inecuaţie ne folosim de opereţia inversă scăderii şi anume operaţia de adunare şi îl adunăm pe 6 în toate părţile inecuaţiei, astfel:2+6\leq 2z-6+6<14+6

Astfel obţinem următoarea inecuaţie  :8\leq 2z<20

Pentru că pe noi ne interesează valoarea pe care o poate lua necunoscuta „z”, trebuie să împărţim întreaga inecuaţie la 2 şi astfel obţinem:8\leq 2z<20 / : 2

Rezultatul va fii:  4\leq z <10

Astfel obţinem mulţimea :D=\left \{ z/z\in N,4\leq z<10 \right \}

Răspuns corect: D=\left \{ 4,5,6,7,8,9 \}

EXERCIŢIUL 4:

Determinaţi elementele mulţimii:F=\left \{ x/x\in N,\frac{12}{x+3}\in N \right \}

 Rezolvare:

Exerciţiul ne cere să găsim elementele mulţimii „F”, formată din toate numerele naturale „x”cu proprietatea că:\frac{12}{x+3}\in N

Această condiţie ne indică faptul că rezultatul împărţirii lui 12 la „x+3” să fie un număr natural, deci trebuie să fie o împărţire exactă.

Dar să vedem cum să aflăm rezultatul împărţirii lui 12 la un număr care conţine o necunoscută.

Pentru ca 12 să se împartă exact la „x+3”, este neapărat ca „x+3” să îl dividă pe 12.

Cu alte cuvinte:   x+3\in D_{{12}}=\left \{ 1,2,3,4,6,12 \right \}

Pentru a afla ce valori poate lua „x” egalăm „x+3” cu fiecare valoare a

mulţimii : D_{{12}}=\left \{ 1,2,3,4,6,12 \right \}

Astfel avem:

x+3=1 /(-3)

x+3-3=1-3

x=-2

x+3=2 /(-3)

x+3-3=2-3

x=-1

x+3=3 /(-3)

x+3-3=3 -3

x=0

x+3=4 /(-3)

x+3-3=4-3

x=1

x+3=6 /(-3)

x+3-3=6-3

x=3

x+3=12 /(-3)

x+3-3=12-3

x=9

Obţinem astfel drept rezultat mulţimea:F=\left \{ -2,-1,0,1,3,9 \right \}

  • Răspuns corect:   F=\left \{ -2,-1,0,1,3,9 \right \}

 

OPERAŢII CU NUMERE NATURALE

clasa a VI-aDragul meu părinte, această primă lecţie din clasa a VI-a este o lecţie recapitulativă din clasa a V-a. Cu alte cuvinte, copilul tău cunoaşte aceste noţiuni studiate în anul anterior. Însă, să nu rămâi surprins, dacă la anumite operaţii sau exerciţii intâmpină greutăţi sau a uitat multe noţiuni.

  • Vacanţa este de vină!

[READ MORE][[[ [
(mai mult…)

La lecţia: „Operaţii cu numere naturale” se recapitulează:

  • Adunarea numerelor naturale;
  • Scăderea numerelor naturale;
  • Înmulţirea numerelor naturale;
  • Împărţirea cu rest a numerelor naturale;

La „Adunarea şi scăderea numerelor naturale” puţini elevi de clasa a VI-a întâmpină dificultăţi majore.

Cel mai des impediment întâlnit la aceste operaţii de către elevi este timpul de efectuare al calculelor. Însă acest lucru se corectează prin cât mai multe exerciţii efectuate.

La „ Înmulţirea numerelor naturale” un elev de clasa a VI-a de nivel mediu întâmpină dificultăţi la:

  • Distributivitatea înmulţirii faţă de adunarea sau scăderea numerelor naturale.
  a∙(b+c)= a∙b+ a∙c

  a∙(b-c)= a∙b – a∙c

 

La „Împărţirea cu rest a numerelor naturale” elevii fac mai des greseli la:

  • Confundă deîmpărţitul cu împărţitorul;

Conform enunţului Teoremei Împărţirii cu rest :

   Oricare ar fi numerele naturale a şi b, cu b \neq 0, există numerele naturale c şi r astfel încât a=bc+r, cu r \lt b

  • a se numeşte deîmpărţitul;
  • b se numeşte împărţitorul;
  • c se numeşte cât;
  • r se numeşte rest;

Exemplu:

5270 : 37=142 rest 16

  • 5270se numeşte deîmpărţitul;
  • 37 se numeşte împărţitorul;
  • 142 se numeşte cât;
  • 16 se numeşte rest;

Observăm ca restul este mai mic decât împărţitorul. 16  \lt 37.

  • Să nu fie atenţi la efectuarea calculului împărţirii şi să obţină restul mai mare decât împărţitorul;

 Exemplu:

5270: 37=141 rest 53

    • 5270 se numeşte deîmpărţitul;
    • 37 se numeşte împărţitorul;
    • 141 se numeşte cât;

 

  • 53 se numeşte rest;

Observăm ca restul este mai mare decât împărţitorul. 53  \gt 37.

  •  Să încerce să efectueze împărţirea cu 0;
  •    0 : a=0 , oricare e ar fi numărul natural „a”,
  •    a : 0 nu are sens .

MEDITAŢIILE! ÎL AJUTĂ SAU ÎI FAC RĂU COPILULUI?

Albert Einstein 2Iată o întrebare la care mulţi părinţi uită să răspundă înainte de a trece la acţiune. Din dorinţa de a avea copii educaţi, sau mai bine spus copii deştepţi cu care să se poată lăuda, mulţi părinţi sunt dispuşi să scoată bani din buzunar pentru a plăti servicii care de multe ori nu îi ajută pe copii (din contră, le bulversează temperamentul sau personalitatea).

În această categorie se încadrează şi noul trend în materie de educaţie: Meditaţiile la cât mai multe materii, începând cu clasele mici. Cu uimire constat că în ultimul timp se fac meditaţii încă de la clasa I. Iar la elevii de gimnaziu şi liceu meditaţiile la 3-4 sau chiar 5 materii sunt absolut normale.

Trebuie să recunosc că sistemul consultaţiilor particulare la profesor exista şi pe timpul când eram eu la şcoala, prin anii 1992 (şi eu am luat astfel de consultaţii). Diferenţa între sistemul de atunci şi cel actual este că în acea perioadă mergeau la meditaţii doar elevii care se pregăteau pentru examenele de admitere (clase terminale a VIII-a şi a XII-a) şi luau şedinţe de meditaţii la materiile la care se sustineau examenele, anume Matematica şi Limba Română.

În ultimii ani, această practică a meditaţiilor, a luat amploare. Mulţi părinţi preferă să plătească profesori pentru a înlocuii tema de acasă cu consultaţia particulară la profesor. Se ascund în spatele minciunii că nu au timp, sunt prea ocupaţi sau că nu mai tin minte(nu se pricep la o anume materie), că nivelul de dificultate este unul foarte ridicat , sau că nivelul de inteligenţă al copilului este peste nivelul lor, …..etc , doar ca să nu îşi ajute scolarii la temele pentru acasă. Aşa apar în peisaj profesorii meditatori, cu cât mai mulţi cu atât mai bine. Iar practica aceasta a devenit un subiect de mândrie, de fală personală atât a părinţilor cât şi a elevilor.

Aud frecvent în cercul meu de cunoscuţi, părinţi care se mândresc povestind celorlalţi câte ore de meditaţii plătesc pentru copii lor şi ce rezultate au la şcoală micuţii lor. Însă când vine vremea examenelor, majoritatea constată cu uimire că investiţia în educaţia copiilor în particular a fost una defectuasă. Şi mulţi din cei care mă cunosc mă caută şi îmi pun întrebarea:

  •  UNDE AM GREŞIT?
  •  DE CE NU A FUNCŢIONAT?
  •   DE CE NU A OBŢINUT REZULTATE?

Cât de bună sau rea este această practică, devenită modă cu care se fălesc atât părinţii cât şi copii?

Eu propun să analizăm câteva avantaje şi dezavantaje ale acestui sistem, iar apoi fiecare părinte va decide ceea ce îşi doreste pentru educaţia copilului său.

Avantajele Meditaţiilor la profesor:

  •   Acoperă lacunele elevului;

Mulţi elevi (mai bine spus aproape toţi) învaţă pe sărite, în special atunci când ştiu că le mai trebuie o notă sau profesorul de la clasă a anunţat că urmează să dea o lucrare, iar la materii precum matematica, fizica sau chimia , învăţatul pe sărite duce la acumularea de lacune. Însă, la aceste materii este necesar un efort intelectual continuu, deoarece notiunile noi se bazează pe cunostinţele anterioare.

  •  Creşte încrederea în sine a elevului;

Atunci când au lacune sau nu au înţeles lecţia şi au neclarităţi, majoritatea copiilor preferă să tacă la ore, au o atitudine absentă şi adoptă poziţia mutului chiar dacă sunt întrebaţi. Faptul că nu sunt siguri de informaţiile pe care le deţin sau teama de a nu se face de râs că au greşit, preferă să nu dea nici un răspuns ştiind că oricum vor lua o notă mică. Meditaţiile cu un profesor îi poate ajuta să depăşească această barieră de comunicare.

  •  Puncte în plus la media de la materia respectivă;(Mai ales în cazul în care elevul ia meditaţii la profesorul de la clasă).

Atunci când adoptă acest sistem al meditaţiilor atât părinţii cât şi elevii speră la o îmbunătăţire a notelor la clasă şi la examene. Însă nu toţi eleviii care iau consultaţii în particular obţin acest efect al corectării notelor, mai ales al notelor obţinute la examene.

Dacă media la clasă creşte cu un punct sau doauă (cu ajutorul profesorului), la examene obţin note mai bune doar cei care au luat în serios meditaţiile şi au învăţat.

  •   Grija temelor pentru acasă;

Părinţii ar trebui să îşi supravegheze şi să îşi ajute scolarii la temele pentru acasă. Un copil care merge la meditaţii îşi scuteşte părinţii de acest efort, rezolvând temele pentru acasă sub supravegherea profesorului meditator.

  • Accesul la exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat;

Copii care iau meditaţii la o materie, sunt capabili sa rezolve şi exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat faţa de nivelul mediu. Mai ales copii care învaţă acea materie din pasiune şi fac acest lucru cu plăcere. Aceste ore de meditaţii îi ajută să îşi aprofundeze pasiunea pentru acea materie.

  • Accesul la informaţii corecte si complecte;

Există de asemenea şi cazuri mai puţin fericite in care profesorii de la clasa nu ofera elevilor informatii corecte si complete. Fie profesorii nu isi fac datoria găsind drept scuză salariul mic, fie este un profesor debutant şi lipsa de experienţă se vede, fie este un profesor care s-a plictisit (mai ales daca este la final de carieră şi mai are puţin până la pensie).In aceste cazuri, pentru a putea intelege materia, multi elevi sunt nevoiti sa apeleze la pregatire suplimentara la material respectivă.

  • Accesul la informaţii care nu sunt prinse în programa şcolară;

Mai ales în cazul elevilor de liceu care se pregătesc pentru admiterea la facultate, programa şcolară nu este completă la anumite materii pentru susţinerea examenelor în domenii precum medicină sau arhitectură. În aceste cazuri elevii sunt nevoiţi sa apeleze la consultaţiile particulare la profesori pentru a aprofunda materia necesară examenului de admitere în facultate.

 

Dezavantajele Meditaţiilor la profesor:

  • Efortul financiar al părinţilor;

Având în vedere condiţiile economice din România pentru mulţi părinţi susţinerea unui copil în sistemul de meditaţii particulare la un profesor la o singură materie este un efort financiar esenţial pentru întreaga familie.

  • Ridicarea gradului de dificultate;

Profesorul de la clasă trebuie să facă diferenţierea de inteligenţă între elevi, iar acest lucru îl poate face doar prin gradul de dificultate al aplicaţiilor pe care le efectuează la clasă sau pe care le dă spre rezolvare copiilor la teste. Iar dacă are o clasă de elevi care fac meditaţii automat este forţat să ridice gradul de dificultate al aplicaţiilor, pentru a putea face o diferenţiere între elevi.

  •  Mai mulţi copii mai puţini bani;

Aud din ce în ce mai mulţi părinţi care acceptă să îşi trimită copii la „Meditaţii comune” pentru că profesorul le-a făcut o ofertă (de obicei o reducere de 5 lei). În loc sa plătească pentru 2 ore un tarif de 40 sau 50 lei, plătesc mai puţin cu 5 lei cu condiţia să accepte ca la sedinţa de meditatie să participe alţi 2 sau 3 elevi (în cazurile fericite că am auzit şi de şedinţe cu mult mai mulţi elevi).

Dacă facem o analiză mai atentă: o sedinţa de meditaţie durează 2 ore (120 minute) în care un profesor se ocupă de elev. Dacă la sedinţa de meditaţie participă mai multi copii timpul pe care profesorul îl acordă fiecărui elev scade (dacă sunt 3 elevi la meditaţie, profesorul acordă fiecărui elev 40 min). Şi chiar credeţi că explică acelaşi exerciţiu de trei ori la fiecare elev în parte?Să fim serioşi.

  • Mă obligă profesorul;

Aud din ce în ce mai mulţi părinţi care se vaită că sunt condiţionaţi (subtil) de profesorul de la clasă să îşi trimită copii la meditaţii. Fie îi ameninţa pe copii cu corigenţa, fie le dă exerciţii cu grad foarte ridicat de dificultate, iar copii nu reuşesc să ia măcar nota 5, fie se fac şedinţe cu părinţii şi sunt criticaţi copii cu apelative „e pref nu ştie nimic”, „ e bâtă ( tămâie) la materia mea”, „a frecventat degeaba şcoala până acum”, ….etc.

Dar nu uită să menţioneze că dacă vor, pot lua consultaţii particulare şi că dau şi ei consultaţii particulare.

Mulţi părinţi cad în capcana de a plăti aceste meditaţii doar pentru a obţine nota de trecere, fară să constientizeze ca nu îl va ajuta cu nimic nici pe el nici pe copil. Bagajul de informaţii dobândit în urma acestor meditaţii este nul deoarece elevul nu va învăţa ştiind că profesorul îi va da nota de trecere, iar interesul profesorului este pe masura efortului pe care îl depune elevul, scuzându-se că dacă elevul nu a învăţat el nu-i poate băga forţat materia în cap.

  • Apar frustrarile materiale şi neîncrederea;

Mulţi copii care nu-şi permit meditaţii sau aleg un profesor mai slab cotat deoarece are un tarif mai mic, se simt frustraţi şi dezavantajaţi de cei care se laudă ca iau meditaţii de la profesori bine cotaţi cu preţ mai mare sau fac 2 sau 3 ore de meditaţii pe săptămână.

  • Distruge invătatul individual. Favorizeaza învăţatul mecanic;

Elevii care merg la meditaţii nu mai au plăcerea de a învăţa individual. Ei învaţă doar ceea ce le dă profesorul de la meditaţie şi profesorul de la clasă. Şi atât. Nimic mai mult. De asemenea la meditaţii se fac exerciţii asemănatoare cu cele date la examene.

Astfel, elevii nu mai au motive să înveţe singuri, să se documenteze din alte surse, să caute informaţii în plus, sa lucreze singuri mai multe tipuri de exerciţii.Este mai simplu să primească totul deagata.Sau cum spunea bunica : „ Mură în gură că-i mai uşor”.

 

În încheiere vreau să amintesc părinţilor că oricare ar fi deciziile pe care le luaţi cu privire la educaţia copilului dumneavoastră, întotdeauna să ţineţi cont de faptul ca dumneavoastră sunteţi cel care plăteşte, dumneavoastră decideţi ce şi cât trebuie să obţineţi. Şi vă aduc aminte că educaţia copilului dumneavăastră este cea mai importantă.

Dumneavoastră sunteţi clientul şi primiţi un serviciu contra unei sume de bani, iar acest serviciu trebuie să fie de calitate.

Atâta timp cât plătiţi, nu vă jenaţi să cereţi ca serviciile să fie de calitate.

Dacă nu primiţi servicii de calitate amintiţii profesorului respectiv ca principala regulă( chiar şi în acest sistem al meditaţiilor) este:

  • Clientul nostru, stăpânul nostru!”

Exerciții rezolvate la Scrierea și Citirea Numerelor Naturale

  Clasa a V-a

În acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii frecvent întâlnite la lecţia ” Scrierea şi citirea numerelor naturale”.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL  1:

  •   Aflaţi cel mai mare număr natural de forma  $\displaystyle \overline{aa}$.

Rezolvare:

  • Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.
  •  În acest caz rezultă  că  a = 9.
  • Astfel obţinem că cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{aa}$  este 99.

Răspuns corect:

                        99

  EXERCIŢIUL  2:

  • Aflaţi cel mai mare număr natural de forma $\displaystyle \overline{abc}$:

Rezolvare:

  •  Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.
  • În acest caz exerciţiul ne cere să aflăm cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{abc}$ :    rezultă  că a=b=c=9.
  • Astfel obţinem că cel mai mare număr de forma  $\displaystyle \overline{abc}$ este 999.

Răspuns corect:

               999          999

  EXERCIŢIUL  3 :  

 

  •  Aflaţi cel mai mare număr natural de forma :$\displaystyle \overline{abc}$  format din cifre distincte.

Rezolvare: 

  • Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.
  • Acest exerciţiu ne cere cel mai mare număr natural format din cifre distincte deci în acest caz .
  • În  exerciţiul nostru, pentru ca numărul natural de  forma să fie cel mai mare trebuie să aibă cifra sutelor egală cu 9.
  •                     a =  Cifra Sutelor       
  •                     b =  Cifra Zecilor   
  •                     c = Cifra Unităţi
  • În concluzie  a = 9.
  • Dar ştim că a\neq b\neq c.
  • În concluzie b şi c nu pot lua valoarea 9.
  • Dar ştim că 8 şi 7 sunt următoarele numere naturale cele mai mari după 9. 
  • În concluzie cifra zecilor a numărului nostru trebuie să fie 8, deci b=8, iar cifra unităţilor să fie 7 rezultă că c = 7.
  • Astfel obţinem numărul 987.

Răspuns corect:      987

EXERCIŢIUL  4 :

  • Ø Scrieţi toate numerele naturale de forma $ \displaystyle \overline{xyzt}$ cu condiţia ca $ x+y=z+t=4$  cu x, z, y, t distincte.

 

Rezolvare:

  •   Exerciţiul nostru, spune că x, y, z, t sunt distincte, deci x\neq y\neq z\neq t şi că $ \begin{array}{l}x+y=4\\z+t=4\end{array}$
  • Analizând această condiţie obţinem:$ \begin{array}{l}0+4=4\\1+3=4\\3+1=4\\4+0=4\end{array}$

 

  •   În concluzie numerele noastre x, y, z, t pot lua pe rând valorile 0, 1, 3, 4.
  • Şi acum să vedem ce variante avem:
  • VariantaVarianta 2Varianta 1:           $ \displaystyle x=0,\text{ }y=4,\text{ }z\text{ }=1,\text{ }t=3.$                        

Obţinem numărul de forma : 0413 care nu respectă condiţia impusă de exerciţiul nostru pentru că numărul nostru trebuie să fie format din patru numere.

  • Varianta 2 :       $\displaystyle x=4,\text{ }y=0,\text{ }z\text{ }=1,\text{ }t=3.$

Obţinem numărul 4013 

  • Varianta 3 :     $\displaystyle x=4,\text{ }y=0,\text{ }z\text{ }=3,\text{ }t=1.$

  Obţinem numărul 4031 

  • Varianta 4 :        $\displaystyle x=1,\text{ }y=3,\text{ }z\text{ }=0,\text{ }t=4.$                           

Obţinem numărul 1304. 

  • Varianta 5:       $\displaystyle x=1,\text{ }y=3,\text{ }z\text{ }=4,\text{ }t=0.$

Obţinem numărul 1340.

  • Varianta 6 :     $\displaystyle x=3,\text{ }y=1,\text{ }z\text{ }=0,\text{ }t=4.$

Obţinem numărul 3104.

  • Varianta 7 :       $\displaystyle x=3,\text{ }y=1,\text{ }z\text{ }=4,\text{ }t=0.$

Obţinem numărul 3140.

 

Răspuns corect:    1304, 1340, 3104, 3140, 4013, 4031

  • Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com
  • De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului
  • https://www.facebook.com/MathMoreEasy.
  • Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

 

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

SCRIEREA ŞI CITIREA NUMERELOR NATURALE

Clasa a V-aLa această lecţie puţini copii fac greşeli majore. Această lecţie este una de dificultate scăzută, iar copii înţeleg foarte bine noţiunea de număr natural şi care sunt regulile în citirea şi scrierea numerelor naturale.

(mai mult…)

Principalele greşeli pe care le poate face un copil care înţelege mai greu matematica sunt:

  • Să confunde numerele naturale cu cifrele:

Cifrele arabe sunt numerele  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Numerele naturale sunt toate numerele scrise cu ajutorul cifrelor arabe : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ………, 99,….,1000, ……..

  • Să nu reuşească să identifice numerele consecutive:

Un număr natural  „n” şi numărul natural „n+1” se numesc numere consecutive.

  EXEMPLE:

  • numărul 1 şi numărul 2 sunt numere consecutive.
  • numărul 13 şi numărul 14 sunt numere consecutive.
  • numărul 25 şi numărul 27 nu sunt numere consecutive
  •  Să confunde aproximarea prin lipsă la zeci cu aproximarea prin adaos la zeci :

Aproximarea prin lipsă la zeci înseamnă scăderea numărului natural până la cel mai mare număr mai mic decât numărul natural format din zeci.

EXEMPLE:

  • 5837  aproximat prin lipsă la zeci obţinem numărul natural  5830
  • 4995  aproximat prin lipsă la zeci obţinem numărul natural 4990

 La aproximarea prin lipsă la zeci trebuie sa scădem unităţile astfel încât cifra unităţilor să fie 0.

EXEMPLE:

  • 5837  aproximat prin lipsă la zeci

 

5 = Cifra Miilor

8= Cifra Sutelor

3 = Cifra Zecilor

7 = Cifra Unităţilor

În acest caz trebuie sa scădem cifra unităţilor , numărul natural 7 pană la 0. Astfel se obţine numărul natural 5830.

5 = Cifra Miilor

8 = Cifra Sutelor

3 = Cifra Zecilor

0 = Cifra Unităţilor

 

Aproximarea prin adaos la zeci  reprezintă cel mai mic număr natural mai mare sau egal cu numărul natural format numai din zeci.

EXEMPLE:

  •  4997  aproximat prin adaos la zeci obţinem numărul natural  5000.
  • 4831  aproximat prin adaos la zeci obţinem numărul natural 4840.

   La aproximarea prin adaos la zeci trebuie sa adăugăm  unităţi  astfel încât cifra unităţilor să fie 0.

EXEMPLE:

  • 4857  aproximat prin adaos la zeci

4 = Cifra Miilor

8 = Cifra Sutelor

5 = Cifra Zecilor

7 = Cifra Unităţilor

În acest caz trebuie sa adăugăm la  cifra unităţilor 7, până când  obţinem 0. Astfel se obţine numărul natural 4860.

4 = Cifra Miilor

8 = Cifra Sutelor

6 = Cifra Zecilor

0 = Cifra Unităţilor

  • Să confunde aproximarea cu rotunjirea numerelor naturale:

Rotunjirea  la  zeci a numerelor naturale (prin lipsă sau adaos) este aproximarea numerelor naturale (prin lipsă sau adaos) la cea mai apropiată valoare a numărului respectiv .

EXEMPLE:

  • 14 857 îl rotunjim la zeci la numărul 14 860.
  • 14 857 îl rotunjim la sute la numărul 14 900.
  • 14 857 îl rotunjim la mii la numărul 15 000.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas accesează link-ul de mai jos:

http://mathmoreeasy.ro/exercitii-rezolvate-la-scrierea-si-citirea-numerelor-naturaleerelor-naturale/

  • Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com
  • De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului
  • https://www.facebook.com/MathMoreEasy.
  • Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

1 8 9 10