Exerciții rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural

"Zadarnic vei vrea să-l înveți

pe cel ce nu e dornic să fie învățat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăța."

Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am vorbit despre cum putem afla Ultima cifră a unui număr natural. Azi îți propun câteva exemple de exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la această lecție dificilă pentru clasa a V-a.

 Exercițiul 1:

Calculați ultima cifră a numerelor:

a)  2^{1299}; \ \ \ 2^{2020};

b)  21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};

Rezolvare:

  • a) Pentru a calcula  2^{1299}; mai întâi privim atent puterile numărului 2.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim puterea 1299 la 4 și obținem:  1299 \ \ \ : \ \ \ 4=324 \ \ \ rest \ \ \ 3 \Rightarrow 1299=4\cdot 324 +3

Atunci putem scrie că: U(2^{1299})=U(2^{4\cdot 324 +3})=U[(2^{4})^{ 324} \cdot 2^3)] =U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)

Consultăm tabelul cu puterile lui 2 și observăm că 2^{4} are ultima cifră 6 astfel obținem:

 U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)=U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8

Consultăm tabelul cu puterile lui 6.

Observăm că  6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6 astfel obținem:

U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8=U(6 \cdot 8)=U(48)=8

Am obținut că U(2^{ 1299})=8

Calculăm acum pentru U(2^{ 2020})=?

Avem mai sus tabelul cu puterile lui 2 și am observat că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim puterea 2020 la 4 și obținem: 2020 \ \ \ : \ \ \ 4=505 \ \ \ rest \ \ \ 0

Atunci putem scrie că: U(2^{2020})=U(2^{4\cdot 505 +0})=U[(2^{4})^{ 505} \cdot 2^0)] .

Știm că orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1 \Rightarrow 2^{0}=1.

Am văzut mai sus că  2^{4} are ultima cifră 6 astfel obținem:

=U[(6^{ 505} \cdot 1)]=U(6 \cdot1)=6 .

Am obținut că: U(2^{ 2020}) = 6

b)   21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};

  • Calculăm  U(21^{ 324}) = ?

 U(21^{ 324}) = U(1^{ 324})

Știm că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1.  \Rightarrow U(1^{ 324}) = 1

  • Calculăm  U(19 ^{ 257}) = ?

 U(19 ^{ 257}) = U(9^{ 257}) =

Calculăm puterile lui 9.

Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2.

Împărțim 257 la 2 și obținem: 257 \ \ \ : \ \ \ 2 = 128 \ \ \ rest \ \ \ 1

Atunci putem scrie că: U(9^ {257})= U(9^ {2\cdot128+1})= U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)=

Consultând tabelul cu puterile lui 9 observăm că 9^2 are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem:  U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= U(1^{128})\ \ \ \cdot \ \ \ 9=U(1 \cdot 9 )=9

Am obținut că U(19^{ 257}) = 9

  • Calculăm U(17^{ 2020}) = ?

U(17^{ 2020}) = U(7^{ 2020}) = ?

Calculăm puterile lui 7.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim 2020 la 4 și obținem: 2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0

Atunci putem scrie că:  U(7^{ 2020}) = U[(7^4)^{ 505}]

Consultând tabelul cu puterile lui 7 observăm că 7^4 are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem:

U[(7^4)^{ 505}] = U(1^{505})=1

Am obținut că U(17^{ 2020})=1

Învăț pentru mine

Dragul meu părinte își propun câteva exerciții pe care să le rezolve copilul tău urmărind exemplele explicate și rezolvate mai sus!

Determină ultima cifră a numerelor:

a)  2^{99}; \ \ \ 2^{2018}; \ \ \ 2^{2024};

b)  41^{2017}; \ \ \ 125^{2017}; \ \ \ 2017^{2018};

c)  4^{1999}; \ \ \ 129^{2022}; \ \ \ 2016^{2018};

 

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

Leave a Reply

Your email address will not be published.