Archive of ‘Uncategorized’ category

Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere.Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

Clasa a VIII-aDragul meu părinte bine te-am regăsit! În cel de-al doilea capitol de algebră în clasa a VIII-a se studiază “Calcule cu numere reale reprezentate prin litere”, iar prima lecţie din acest capitol este de “Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere”. Totuşi copilul tău nu este străin de acest tip de calcul al numerelor reprezentate prin litere, ele au mai fost studiate şi în clasele anterioare doar ca în acest capitol aplicăm aceste informaţii pe “mulţimea numerelor reale”

(more…)

  • Definiţie:Se numeşte expresie algebrică o succesiune de numere şi sau litere legate între ele prin operaţii aritmetice (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere).

Observaţii:

Expresia algebrică obţinută prin înmulţirea unui număr cu o literă se numeşte “termen al expresiei algebrice”.

  • Exemplu: 7\cdot x, 4x, 2\cdot\sqrt{3}\cdot x, 3\cdot\sqrt{5}\cdot x - 9z ^{3}.

Numărul care apare în scrierea unui termen se numeşte “coeficientul termenului”.

Literele care intră în componenţa unui termen alcătuiesc “partea literală”.

exemplu-nr-reprezentate-prin-litereObservaţie: Cu numerele reale reprezentate prin litere se pot efectua  operaţii de:
adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere, ele având aceleşi proprietăţi ca şi la numere reale.

Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

Definiţie:Se numesc termeni asemenea acei termeni care conţin aceeaşi parte literală la acelaşi exponent.

termeni-asemenea-nr-reale

 

  • Adunarea şi scăderea cu termeni asemenea se numeşte “operaţia de reducere a termenilor asemenea”.
  • “Operaţia de reducere a termenilor asemenea” este operaţia prin care se obţine un termen asemenea celor doi, iar coeficientul noului termen este obţinut prin efectuarea operaţiei indicate asupra celor doi termeni asemenea.
  • “Forma canonică”  este expresia algebrică care nu conţine termeni asemenea

forma-canonica-buna

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Exerciții rezolvate la numere reale!

Clasa a VIII-aBine te-am regăsit dragul meu părinte! În articolul pe care l-am publicat luni pe blog am rezolvat trei exerciţii la lecţia mulţimea numerelor reale. Astăzi revin cu un nou articol în care mai explic pas cu pas doua exemple de exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat pentru a veni în ajutorul tău şi al copilului tău.

 

(more…)

EXERCIŢIUL 1: Determinaţi elementele mulţimilor:

A=\left \{ x\epsilon N|  \frac{15}{2x+1}\epsilon N \} şi B=\left \{ x\epsilon Z| \frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.

Rezolvare: Să aflăm întâi mulţimea A.

A=\left \{ x\epsilon N|  \frac{15}{2x+1}\epsilon N \}

Exerciţiul îmi cere să găsesc toate valorile numere naturale care îndeplinesc condiţia: \frac{15}{2x+1}\epsilon N \Rightarrow2x+1 \epsilon D_{{15}}.

Numitorul 2x+1 trebuie să aparţină mulţimii divizorilor lui 15, deoarece împărţirea 15 la 2x+1 trebuie să fie o împărţire exactă, astfel încât rezultatul să aparţină mulţimii numerelor naturale.

 D_{{15}}=\left \{ 1,3,5,15 \right \}

2x+1=1 | -1 \Rightarrow 2x=1-1 \Rightarrow2x=0| :2 \Rightarrow x=0

2x+1=3 | -1 \Rightarrow 2x=3 -1 \Rightarrow 2x=2 | :2 \Rightarrow x=1

2x+1=5 | -1 \Rightarrow 2x=5 -1 \Rightarrow 2x=4 | :2 \Rightarrow x=2

2x+1=15 | -1 \Rightarrow 2x=15 -1 \Rightarrow 2x=14 | :2 \Rightarrow x=7

Soluţie :x \epsilon \left \{ 0, 1,2,7\right \}.

  • Determinăm şi mulţimea B=\left \{ x\epsilon Z| \frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.

La această mulţime trebuie să prelucrăm numărătorul în funcţie de numitor, astfel încât să găsim  mulţimea divizorilor unui număr întreg.

\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow\frac{6x+18}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow\frac{6x-9+27}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow\frac{3(2x-3)}{2x-3}+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow3+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z

Deoarece 3\epsilon Z ,  este suficient să demonstrez că \frac{27}{2x-3}\epsilon Z \Rightarrow{2x-3}\epsilon D_{27}

Deoarece sunt pe multimea Z, \Rightarrow D_{27}=\left \{ \pm1, \pm3,\pm9, \pm27 \right \}

2x-3=1| +3 \Rightarrow 2x=1+3 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2

2x-3=-1| +3 \Rightarrow 2x=-1+3 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1

2x-3=3| +3 \Rightarrow 2x=3+3 \Rightarrow 2x=6| :2 \Rightarrow x=3

 2x-3=-3| +3 \Rightarrow 2x=-3+3 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0

 2x-3=9|+3 \Rightarrow 2x=9+3 \Rightarrow 2x=12| :2 \Rightarrow x=6 2x-3=-9|+3 \Rightarrow 2x=-9+3 \Rightarrow 2x=-6| :2 \Rightarrow x=-3

2x-3=27|+3 \Rightarrow 2x=27+3 \Rightarrow 2x=30| :2 \Rightarrow x=15

2x-3=-27|+3 \Rightarrow 2x=-27+3 \Rightarrow 2x=-24| :2 \Rightarrow x=-12

Soluţie : x\in \left \{ -12;-3;0;1;2;6;15 \right \}

 

EXERCIŢIUL 2: Determinaţi x\in Z pentru care \frac{\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{52-14\sqrt{3}}}{2x-1}\in Z

Rezolvare: Pentru a determina valorile pe care le poate lua x trebuie sa determinam numarătorul. Vom scrie cei doi radicali de la numărător cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat ca un număr la puterea a doua.

Astfel vom scrie \sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2} , iar \sqrt{52-14\sqrt{3}}=\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}.

Obţinem astfel: \frac{\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}+\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}}{2x-1}\in Z \Rightarrow\frac{\left \| 2+\sqrt{3} \right \|+\left \| 7-\sqrt{3} \right \|}{2x-1}\in Z

Considerăm \sqrt{3}\simeq 1,73 obţinem: 2+ 1,73 =3,73 şi 7-1,73 =5,27

Deoarece \left \| 2+\sqrt{3} \right \| şi \left \| 7-\sqrt{3} \right \| sunt numere pozitive, sunt mai mari decît 0,ambele numere  ies de sub modul cu sumnul +, adica 2+\sqrt{3} şi 7-\sqrt{3}.

Obţinem astfel: \frac{ 2+\sqrt{3} +7-\sqrt{3} }{2x-1}\in Z \Rightarrow\frac{ 2 +7 }{2x-1}\in Z \Rightarrow\frac{ 9 }{2x-1}\in Z \Rightarrow2x-1\in D_{9} .

D_{9} =\left \{ \pm1;\pm3;\pm9 \right \}.

 

2x-1=1| +1 \Rightarrow 2x=1 +1 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1
2x-1=-1| +1 \Rightarrow 2x=-1 +1 \Rightarrow 2x=0| :2 \Rightarrow x=0

2x-1=3| +1 \Rightarrow 2x=3 +1 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2

2x-1=-3| +1 \Rightarrow 2x=-3 +1 \Rightarrow 2x=-2| :2 \Rightarrow x=-1

2x-1=9| +1 \Rightarrow 2x=9 +1 \Rightarrow 2x=10| :2 \Rightarrow x=5 2x-1=-9| +1 \Rightarrow 2x=-9 +1 \Rightarrow 2x=-8| :2 \Rightarrow x=-4

Soluţie: x\in \left \{ -4;-1; 0; 1; 2; 5 \right \}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Exerciții Rezolvate la Numere Reale

Clasa a VIII-a

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

În ultimul articol pe care l-am  postat am vorbit despre multimea numerelor reale. Astăzi te invit să rezolvăm împreună câteva aplicaţii la această lecţie. Unele exerciţii au un grad de dificultate mai scăzut, iar unele au grad de dificultate ridicat. De aceea o să le explic pas cu pas, pentru a veni în ajutorul tuturor celor care nu înţeleg foarte bine matematica.

(more…)

EXERCIŢIUL 1:Se dau următoarele fracţii: \frac{1}{2} , \frac{61}{37}\frac{2}{6}\frac{55}{1133}\frac{4}{21}\frac{3}{9}\frac{8}{15}\frac{14}{2\cdot7}\frac{85}{15}\frac{35}{56}\frac{19}{72}\frac{4\cdot3\cdot5}{60}

Determinaţi din şirul de fracţii de mai sus  fracţiile:

–  ireductibile; subunitare;supraunitare;echiumitare.

Rezolvare: Observăm că unele fracţii pot fi simplificate aşa că mai întâi vom aduce şirul la forma cea mai simplă simplificând fracţiile care permit această operaţie:

 \frac{2}{6}^{(2}=\frac{1}{3} \frac{55}{1133}^{(11}=\frac{5}{103} \frac{3}{9}^{(3}=\frac{1}{3};

 \frac{14}{2\cdot7}=\frac{14}{14}^{(14}=\frac{1}{1}=1;   \frac{85}{15}^{(5}=\frac{17}{3};   \frac{35}{56}^{(7}=\frac{5}{8} \frac{4\cdot3\cdot5}{60}=\frac{60}{60}^{(60}=1

Obţinem astfel şirul: \frac{1}{2} , \frac{61}{37} \frac{1}{3} \frac{5}{103}\frac{4}{21}, \frac{1}{3} , \frac{8}{15}1\frac{17}{3}\frac{5}{8}\frac{19}{72}1.

– fracţii ireductibile: (fracţii care nu se poate simplifica, numărătorul şi numitorul , sunt numere prime între ele):

\frac{1}{2} , \frac{61}{37}\frac{4}{21}, \frac{8}{15}\frac{19}{72}.

-fracţii subunitare: (fracţii care au numărătorul mai mic decât numitorul):

\frac{1}{2} \frac{2}{6}\frac{55}{1133}\frac{4}{21},\frac{3}{9} , \frac{8}{15}\frac{35}{56}\frac{19}{72}

 

– fracţii supraunitare: (fracţii care au numărătorul mai mare decât numitorul):

\frac{61}{37}; \frac{85}{15}

– fracţii echiunitare: (fracţii care au numărătorul egal cu numitorul):

\frac{14}{2\cdot7}; \frac{4\cdot3\cdot5}{60}.

EXERCIŢIUL 2: Amplificaţi fracţiile: \frac{7}{15}, \frac{3}{12}, \frac{5}{16}, \frac{3}{10}, \frac{11}{24} , astfel încât să aibă acelaşi numitor comun.

Rezolvare: Determinăm numitorul comun calculând c.m.m.m.c (cel mai mic multiplu comun) al numerelor de la numitor.

Pentru a determina c.m.m.m.c-ul numitorilor trebuie sa desfacem în factori primi numerele după care luăm toate numerele prime o singură dată la puterea cea mai mare.exercitiul-2-aplicatii-nr-reale

 

În concluzie putem scrie:

15= 3\cdot5

12= 2^{2}\cdot3

16= 2^{4}

10= 2\cdot5

24= 2 ^{3}\cdot3

c.m.m.m.c= 2 ^{4}\cdot3\cdot5=16\cdot3\cdot5=240.

Pentru a ştii cu cât amplific fiecare fracţie impart 240 la numitor:ex-2-nr-reale-impartiriObţin astfel următoarele fracţii:

ex-2-nr-reale-amplificarea

EXERCIŢIUL 3:Fie mulţimeaA= \left \{ (-2)^{2}\right \ ; (-3)^{-2} ; \sqrt{0,09} ; \sqrt{5\frac{5}{9}} ;  (-1)^{4}; \sqrt{18} ; \sqrt{1\frac{2}{25}} ; (-\frac{1}{{2}}) ^{-1}; \sqrt{5\frac{3}{9}}  \}.

Calculaţi:  A\bigcap_{}^{}N ; A\bigcap_{}^{}Z; A\bigcap_{}^{}Q; A\bigcap_{}^{}(Q\setminus Z); A\bigcap_{}^{}R; A\bigcap_{}^{}(R\setminus Q)

Rezolvare: Observăm că trebuie să rescriem mulţimea efectuând calculele:

(-2) ^{2}= 4

(-3) ^{-2}= \frac{1}{3 ^2}=\frac{1}{9}

\sqrt{0,09}= 0,3 =\frac{3}{10}

\sqrt{5\frac{5}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+5}{9}}}=\sqrt{\frac{50}{9}}}=\frac{5\sqrt2}{3}

 (-1)^{4}= 1

\sqrt{18}= \sqrt{9\cdot2}=3 \sqrt{2}

\sqrt{1\frac{2}{25}}= \sqrt{\frac{1\cdot25+2}{25}}}=\sqrt{\frac{27}{25}}}=\frac{3\sqrt3}{5}

(-\frac{1}{2}) ^{-1}=(-2)

\sqrt{5\frac{3}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+3}{9}}}=\sqrt{\frac{48}{9}}}=\frac{4\sqrt3}{3}

Obţinem astfel mulţimea: A= \left \{ 4;\frac{1}{9} ; \frac{3}{10} ; \frac{5\sqrt{2}}{3} ; 1; 3\sqrt{2} ; \frac{3\sqrt{3}}{5} ; (-2); \frac{4\sqrt{3}}{3} \}.

A\bigcap {N}= \left \{ 4;1 \right \}

A\bigcap {Z}= \left \{-2;1; 4 \right \}

A\bigcap {Q}= \left \{ 4; \frac{1}{{9}}; \frac{3}{10}; 1; (-2)  \}

A\bigcap(Q\setminus Z)= \left \{ \frac{1}{9};\frac{3}{10} \right \}

A\bigcap {R}= A

A\bigcap {(R\setminus Q)}= \left \{\frac{5\sqrt{2}}{3};3\sqrt{2};\frac{3\sqrt{3}}{5}; \frac{4\sqrt{3}}{3} \right \} .

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să aibă numai note bune in  noul an şcolar.

Dacă ţi-a plăcut articolul te invit sa distribui acest material şi să inviţi şi alţi părinţi să viziteze acest blog!

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com
De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:
https://www.facebook.com/MathMoreEasy

 

Mulţimi de numere reale.

Clasa a VIII-a

Dragul meu părinte, bine te-am regasăsit. Revin după o pauză cam lungă, cu un nou articol.
De data aceasta prima lecţie de algebră pentru clasa a VIII-a: “Mulţimi de numere reale”.

 

(more…)

 

  •  În clasa a V-a s-a studiat “Mulţimea numerelor Naturale” pe care am notat-o cu N={0,1,2,3,4,5,………, +∞}.
  • În clasa a VI-a s-a studiat Mulţimea Numerelor Întregi pe care am notat-o cu:  Z={-∞, ……., -2,-1,0,1,2,3,4,5,………, +∞}.
  • În clasa a VII-a s-a studiat Mulţimea Numerelor Raţionale pe care am notat-o cu: Q={\frac{a}{{b}} ∕ a \in Z, b \in Z*}.

 

  • Observaţie:– Mulţimea Numerelor Raţionale este stabilă în raport cu operaţiile de adunare, scădere, înmulţire şi împărţire, adică suma, diferenţa, înmulţirea şi împărţirea a două numere raţionale sunt tot numere raţionale.

 

Observaţie: Pentru orice număr rational nenul “q” , există o unică fracţie ireductibilă   \frac{a}{b} , cu a  \in Z, b  \in Z*  astfel încât q =\frac{a}{b} .

  • Un număr raţional poate fi reprezentat prin fractii ordinare echivalente sau printr-o fracţie zecimală finită sau periodică.

Exemplu:

  • Fracţie ordinară: \frac{5}{6}
  • Fracţie zecimală finită: 2,4
  • Fracţie zecimală periodică: 41,(6)

Mulţimea numerelor reale se notează cu R.
Mulţimea numerelor reale nenule se notează cu R*.

Mulţimea numerelor iraţionale se notează cu R\Q.

  • Observaţie:ℕ ⊂ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
  • Observaţie: Orice număr irational este reprezentat de o fracţie zecimală infinită şi neperiodică.
  • Observaţie: Reciproc, dacă un număr real este reprezentat de o fracţie zecimală infinită şi neperiodică, atunci numărul este irational.

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Test Initial Propus Şi Rezolvat

Clasa a V-aDragul meu părinte, bine te-am regasăsit . De ieri 15.09.2016 a început oficial anul şcolar 2016-2017.Urez pe această cale “Mult succes tuturor şcolarilor, părinţilor dar şi profesorilor”.

Cum bine ştim deja din experienţa anilor trecuţi, un nou an şcolar debutează cu recapitularea noţiunilor învăţate pe parcursul anului de studiu anterior şi cu un test iniţial. Având în vedere structura acestui an 2016-2017 (15 septembrie a picat joi), majoritatea elevilor vor susţine testul iniţial săptămâna viitoare.

Dragul meu părinte, m-am gândit să propun spre exersare un model de test iniţial  pentru  clasa a V-a rezolvat, pentru a venii în ajutorul părinţilor şi a copiilor care urmaresc blogul meu.Aşadar iată prima propunere un test iniţial rezolvat pentru clasa a V-a.

Test iniţial Anul Şcolar 2016-2017

  • Subiectul I:(Pentru fiecare răspuns corect completat se primeşte cu 0,5 puncte )

Completaţi spaţiile libere:

  1. Cel mai mic număr natural de trei cifre distincte este:  ….102….

Rezolvare: Numere distincte înseamnă numere diferite. Obţinem astfel numărul 102 drept cel mai mic număr natural de trei cifre distincte.

 

2. Diferenţa numerelor 1243 şi 756 este: ……487…………….

Rezolvare: Diferenţa numerelor înseamnă operaţia de scădere. Obţinem astfel numărul 1243-756= 487 .

3. Produsul numerelor 137 şi 125 este: ……17125……………

Rezolvare: Produsul numerelor înseamnă operaţia de înmulţire. Obţinem astfel numărul 137\cdot125= 17125 .

4. Numărul cu 1325 mai mare decât 23 este: ……1348……………

Rezolvare: Facem operatie de adunare 1325+23=1348 .

5. Valoarea fracţiei \frac{3}{8} din 64 este: …24………….

Rezolvare: Pentru a calcula valoarea unei fracţii dintr-un număr împărţim pe 64 cu numitorul 8 si înmulţim cu numărătorul 3  .Obţinem astfel (64 : 8) \cdot 3= 8 \cdot 3 = 24

Subiectul II: (Pentru fiecare răspuns corect completat se primeşte cu 0,5 puncte )

Alege răspunsul corect:

  1. Numărul care împărţit la 7 dă câtul 10 şi restul 3 este :

a)    66;     b) 76;    c) 63;    d) 73.

Rezolvare: Aplicăm teorema împărţirii cu rest care îmi spune

deîmpărţitul=împărţitorul \cdot cîtul +restul

În cayul nostru deîmpărţitul = 7 \cdot 10 + 3 = 70+3 = 73

Răspuns corect punctul d)

 

  1. Ştiind că a=7 şi b=3 atunci 2a+3b este egal cu:

a)    27;     b) 23;    c) 5;    d) 15.

Rezolvare : Înlocuim “a” şi “b” şi obţinem : 2a+3b= 2 \cdot 7 + 3 \cdot 3=14 + 9 = 23

  1. Cel mai mic număr care se poate forma din numerele 7, 3 şi 2 este numărul:

a)    237;     b) 273;    c) 732;    d) 327.

Rezolvare : Numerele pe care le putem forma cu cele trei numere sunt: 732, 723, 372, 327, 273, 237. Observăm ca cel mai mic număr este 237.

  1. Perimetrul unui dreptunghi care are lungimea egală cu 25cm  şi lăţimea egală cu 10cm este egal cu:

a)    50cm;     b) 20cm;    c) 70cm;    d) 250cm.

Rezolvare : Ştim că perimetrul unei figuri geometrice este egal cu suma tuturor laturilor. Mai ştim deasemenea că dreptunghiul are 2 lungimi şi 2 lăţimi.

P = 2\cdotL+2\cdotl = 2\cdot25cm+2\cdot10cm = 50cm + 20 cm= 70 cm

  1. Succesorul numărului 5399 este:

a)    5398;     b) 5400;    c) 5300;    d) 5310.

Rezolvare : Ştim că predecesorul ete numărul dinaintea lui 5399 adică 5398, iar succesorul este primul număr după , adica 5400.

Subiectul III: (Pentru fiecare rezolvare corectă se obţine 1 punct).

   Calculaţi respectând ordinea efectuării operaţiilor:

  1. (320 : 8 + 44) – 18×3 =

Rezolvare : Întâi facem operaţiile din paranteză:

(320 : 8 + 44) – 18×3 = (40 + 44) – 54 = 84 – 54 = 30

2.   2 + 10 x [ 632 + 10 x (14 +14 :7)]=

Rezolvare : Facem operaţiile din paranteza rotundă întâi împărţirea apoi adunarea restul exerciţiului îl copiem aşa cum este scris:

2 + 10 x [ 632 + 10 x (14 +14 :7)]=2 + 10 x [ 632 + 10 x (14 +2)]

=2 + 10 x ( 632 + 10 x16)= 2 + 10 x ( 632 + 160)= 2 + 10 x 792 = 2 + 7920 =7922.

Subiectul IV: (Pentru rezolvarea corectă se obţine cu 2 puncte)

În trei lăzi sunt 480 mere. În lada a doua sunt de 3 ori mai multe mere decât în prima, iar în a treia de 2 ori mai multe decât în a doua. Câte mere sunt în fiecare ladă?

Rezolvare : Este o problemă care se rezolvă cu ajutorul metodei grafice.

test-initial-cls-v-pb-sub-4Observăm că avem 10 segmente în figura de mai sus.

Împărţim 480 la 10 şi obţinem astfel numărul de mere din prima ladă.

480 : 10 = 48 (mere în prima ladă)

48 \cdot 3 = 144 (mere în a doua ladă)

144 \cdot 2 = 288 (mere în a treia ladă)

Probă : 48 + 144 + 288 = 480 (mere în total)

Observatie: Se acordă un punct din oficiu.

Timp estimative: 50 min.

  • Succes tuturor copiilor şi să obţineţi note mari! 
Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să aibă numai note bune in  noul an şcolar.

Dacă ţi-a plăcut articolul te invit sa distribui acest material şi să inviţi şi alţi părinţi să viziteze acest blog!

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com
De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:
https://www.facebook.com/MathMoreEasy

 

Evaluare Naţională Sesiunea Specială pentru Olimpici 2015

 

evaluare N 2015Dragul meu părinte, mai sunt doar 4 zile până la Examenul de evaluare naţională pentru elevii de clasa a VIII-a.

În articolul precedent am rezolvat şi explicat exerciţiile date la Sesiunea Evaluării Naţionale 2015.

În acest articol voi aborda exerciţiile date la Evaluarea naţională sesiunea Specială pentru Olimpici 2015.

(more…)

Fiecare exerciţiu îl voi rezolva şi explica pas cu pas, menţionând şi punctajul aferent fiecarui exerciţiu conform baremului de corectare, astfel ca ţie să-ţi fie uşor să-i explicit copilului tău cum să rezolve şi să trateze fiecare exerciţiu pentru a obţine un punctaj cât mai mare la examenul de capacitate care va avea loc pe data de 29 iunie 2016.

SUBIECTUL I – Pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele.

  1. Rezultatul calculului 20 : 2 -10 este egal cu  0.

  • Rezolvare: Pentru că avem o operaţie de împărţire şi o operaţie de scădere, facem întâi operaţia de împărţire apoi scăderea si obţinem 10-10=0.

 

  1. Dacă  \frac{a}{6}=\frac{25}{3}, atunci “a” este egal cu ..50.

  • Rezolvare: Pentru al afla pe “a” facem produsul mezilor egal cu produsul extremilor şi obţinem:

 3 \cdot a=6\cdot25\Rightarrow3a=150 \Rightarrow a=150 \div 3 \Rightarrow a=50.

  1. Cel mai mic număr natural din intervalul [2,6] este egal cu  2.

  • Rezolvare:Pentru că avem un interval închis (paranteza este pătrată) putem lua  valoarea 2.
  1. Perimetrul unui triunghi echilateral este egal cu 18cm. Lungimea unei laturi a acestui triunghi este egală cu ..6.cm.

  • Rezolvare: Ştim că perimetrul este suma tuturor laturilor. Dar laturile unui triunghi echilateral sunt egale.

P=3 \cdot l \Rightarrow 3\cdot l=18 cm \Rightarrow l=18 cm \div 3 \Rightarrow l=6 cm

  1. În Figura 1 este reprezentat un con circular drept cu raza bazei AO = 3cm şi înălțimea VO = 4cm . Generatoarea VA a acestui con este egală cu ..5..cm.

 

  • Rezolvare: Ştim că ∆ VOA este dreptunghic în unghiul O. În acest caz aplicăm teorema lui Pitagora pentru a afla ipotenuza VA.

\Delta VOA(<O=90^\circ) VA^2=VO^2 + AO^2

 VA^2=4^2 + 3^2

VA^2=16 + 9

VA^2=25

VA=\sqrt{25}=5

  1. În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile măsurate la o stație meteorologică, la aceeași oră, în fiecare zi a unei săptămâni din luna mai.

Sub 1 ex 6 Ses speciala 2015

  •  Cea mai mică temperatură măsurată în acea săptămână a fost de ..12..°C.

 

Pentru fiecare răspuns correct  se acordă 5 puncte.

 

SUBIECTUL al II-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

  1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDABCD

    Sub 2 ex 1 Ses speciala 2015

 

Pentru desenarea corectă a cubului se obţin 4 puncte, iar notarea corectă a cubului se punctează cu 1 punct.

 

  1. Calculaţi media aritmetică a numerelor naturale care sunt divizori ai lui 7.

  • Rezolvare:  Stim din clasa a V-a că numărul natural „b” divide numărul natural „a”, dacă există numărul natural „c”, astfel încât a = b · c.

Sub 2 ex 2 Ses speciala 2015

Dragul meu părinte găseşti mai multe informaţii despre “Divizor. Multiplu” aici: http://mathmoreeasy.ro/divizor-multiplu/ .

Dar să revenim la exerciţiul nostru şi să vedem care sunt divizorii numărului 7.

D_{7}=\left \{ 1;7 \right \}

M_{{a}}=\frac{a+b}{{2}}=\frac{1+7}{{2}}=\frac{8}{{2}}=4

  • Pentru scrierea formulei mediei aritmetice şi identificarea celor 2 divizori se acordă 3 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 2 puncte.
  1. Numerele x şi y sunt direct proporţionale cu numerele 3 și 4 . Determinați cele două numere, ştiind că y este cu 14 mai mare decât x.

  • Rezolvare : Am învăţat în clasa a VI-a Mărimi direct proporţionale şi ştim ca dacă \left \{ x;y \right \} d.p \left \{ 3;4 \right \}\Rightarrow \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=k

\Rightarrow \frac{x}{3}=k \Rightarrow x=3k

\Rightarrow \frac{y}{4}=k \Rightarrow y=4k

Dar problema ne spune că y este cu 14 mai mare decât x \Rightarrow y=x +14.

Înlocuim în această ecuaţie pe x şi y în funţie de k şi obţinem:

4k=3k +14 \Rightarrow 4k - 3k=14 \Rightarrow k=14.

Înlocuim şi aflăm valoarea lui x şi a lui y.

x=3k \Rightarrow x=3 \cdot12 \Rightarrow x=36

y=4k \Rightarrow y=4 \cdot12 \Rightarrow y=48

  • Pentru scrierea formulei mărimilor direct proporţionale şi identificarea celor 2 numere în funcţie de k se acordă 2 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 3 puncte.
  1. Se consideră funcţia f :R \rightarrow R, f (x) = x - 5 .
  •                 a) Calculați f (5) .
  •                b) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de coordonate xOy.

Rezolvare:

a)    Calculăm f (5)= 5 - 5 = 0

  • Pentru înlocuirea lui x cu (5) se punctează  3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect se punctează cu 2 puncte.
  • b) Calculăm intersecţia funcţiei cu cele 2 axe Ox şi Oy după care trasăm graficul funcţiei.

\cap OX \Rightarrow y = 0 \Rightarrow f(x) = 0\Rightarrow x - 5 = 0\Rightarrow x = 5\Rightarrow A(5 ; 0)

 \cap Oy \Rightarrow x = 0\Rightarrow f(0) = 0 - 5\Rightarrow f(0) = -5 \Rightarrow B(0 ; -5)

  • Sub 2 ex 4 Ses speciala 2015Pentru reprezentarea fiecarui punct A şi B care aparţine graficului funcţiei f se obţin câte 2 puncte, iar pentru trasarea graficului funcţiei f se punctează cu 1 punct.
  1. Se consideră expresia  E(x) = (\frac{2}{x-1} - \frac{1}{x+1}) : \frac{(x+3)(x-1)}{x^2-2x+1} , unde x este număr real, x ≠-3 ,x ≠ -1 şi x ≠1. Arătați că  E(x) =  , pentru orice x număr real, x ≠ -3 , x ≠ -1 şi x ≠1.

  • Rezolvare: Pentru a rezolva expresia trebuie mai întâi să efectuăm operaţia de scădere din paranteză, apoi  operaţia de împărţire dintre cele două fracţii. Pentru a efectua operaţia de scădere din paranteză trebuie să aducem la acelaşi numitor, astfel amplificăm prima fracţie din paranteză cu x+1 iar cea dea doua fracţie din paranteză o amplificăm cu  x-1.

Sub 2 ex 5 Ses speciala 2015

E(x) = (\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1))} - \frac{x-1}{(x+1)(x+1)}) : \frac{(x+3)(x-1)}{x^2-2x+1}

E(x) = \frac{2x+2-x+1}{(x-1)(x+1)} : \frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)^2}

E(x) = \frac{x+3}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)^2}{(x+3)(x-1)}

E(x) = \frac{1}{x+1}

  • Pentru aplicarea formulelor de calcul prescurtat şi pentru scoaterea factorului comun se obţin 3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului  corect al expresiei lui E(x) se punctează  2 puncte.

SUBIECTUL al III-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

  1. Figura 2este schiţa unui steag format din două trapeze dreptunghice ABCD și EFCD, AE DC, în care AB = EF = 8dm , DC = 6 dm, AD = 2 dm și punctul D este mijlocul segmentului AE .

Sub 3 ex 1 Ses speciala 2015

  •  a)Arătați că aria trapezului ABCD este egală cu  14\sqrt{3} dm^{2} .
  • b) Calculaţi lungimea segmentului BF .
  • c) Arătați că unghiul BCF are măsura de 120° .

Demonstraţie:

a)     Ştim că ABCD este trapez  \Rightarrow A_{ABCD}=\frac{(B+b)\cdot h}{2} A_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}=\frac{(8 dm+6 dm)\cdot 2\sqrt{3}dm}{2}=\frac{14 dm \cdot 2\sqrt{3}dm}{2}=\frac{ 28\sqrt{3}dm}{2}=14\sqrt{3}dm^2

  • Pentru enunţarea formulei ariei şi ]nlocuirea corectă a dimensiunilor se acordă 2 puncte, iar pentruobţinerea rezultatului corect al ariei se punctează cu 3 puncte.

b)    ABCD trapez \Rightarrow AB \parallel DC

DCEF trapez \Rightarrow EF \parallel DC   \Rightarrow AB\parallel EF AB\parallel EF  \Rightarrow  ABFE paralelogram  \Rightarrow  BF \equiv AE

AE = AD + DE =2\sqrt{3} dm +2\sqrt{3} dm = 4\sqrt{3} dm\Rightarrow BF = 4\sqrt{3} dm

  • Pentru demonstrarea ABFE paralelogram  se acordă 2 puncte, iar pentruobţinerea rezultatului corect al lui BF se punctează cu 3 puncte.

c)

Sub 3 ex 1 pct C Ses speciala 2015 Sub 3 ex 1 pct C2 Ses speciala 2015\Rightarrow m(<BCF)= 180^\circ -30^\circ-30^\circ=150^\circ -30^\circ= 120^\circ

  • Pentru demonstrarea ∆CMB ∆CNF se acordă 2 puncte, iar pentru obţinerea rezultatului corect al unghiului se punctează cu 3 puncte.
  1. În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu înălţimea de 4m şi latura bazei de 8m .

Sub 3 ex 2 Ses speciala 2015

  •  a) Arătaţi că perimetrul pătratului ABCD este egal cu 32m.
  • b) Arătaţi că aria laterală a piramidei VABCD este egală cu 64\sqrt{2}m^2 .
  • c) Determinaţi măsura unghiului dintre planul unei feţe laterale a piramidei și planul bazei.

 

Demonstraţie:

a)     Pentru a afla perimetrul pătratului facem suma laturilor. Ştim că laturile pătratului sunt egale deci putem scrie:

P_{{ABCD}}=4\cdot l=4 \cdot8 m=32 m.

  • Pentru identificarea dimensiunii laturilor se acordă 3 puncte, iar pentrucalcularea corectă a perimetrului se punctează cu 2 puncte.

b)A_l= \frac{(P_b\cdot a_p)}{2}

Ştim că M este mijlocul segmentului BC şi  \left \{ O \right \}=AC\cap BD ⇒∆VOM dreptunghic în <O.

Pentru a afla dimensiunea lui VM(apotema piramidei) aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM.

\Delta VOM (<O = 90^\circ) : VM^2=VO^2 + OM^2

 VM^2=4^2+4^2

VM^2 = 16 + 16 .

VM^2 = 32 .

VM = 4\sqrt{2} m

A_l= \frac{(P_b\cdot a_p)}{2} = \frac{(32 m \cdot 4\sqrt{2})}{2} = \frac{(128\sqrt{2})}{2} = 64\sqrt{2} m^2.

  •  Pentru calcularea corectă a  dimensiuni laturii VM se acordă 2 puncte, iar pentru calcularea corectă a ariei laterale se punctează cu 3 puncte.

c)

Sub 3 ex 2 pct c Ses speciala 2015

\Delta VOM (<O = 90^\circ) : tg (<VMO) =\frac{VO}{OM} = \frac{4 dm}{4dm} = 1 \Rightarrow m(<VMO) = 45^\circ.

  • Pentru demonstrarea unghiului dintre cele două plane se acordă 2 puncte, iar pentru calcularea corectă a unghiului dintre cele două plane se punctează cu 2 puncte.

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să treacă cu bine peste examenul de capacitate din acest an.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

Subiecte Evaluare naţională 2015

evaluare N 2015Dragul meu părinte, mai sunt doar 10 zile până la Examenul de evaluare naţională proba de matematică din 29 iunie 2016 pentru elevii de clasa a VIII-a.

În articolul precedent am rezolvat şi explicat exerciţiile date la Sesiunea Speciala a Evaluării Naţionale 2016.

În acest articol voi aborda exerciţiile date la Evaluarea naţională sesiunea 2015.

(more…)

Fiecare exerciţiu îl voi rezolva şi explica pas cu pas, menţionând şi punctajul aferent fiecarui exerciţiu conform baremului de corectare, astfel ca ţie să-ţi fie uşor să-i explicit copilului tău cum să rezolve şi să trateze fiecare exerciţiu pentru a obţine un punctaj cât mai mare la examenul de capacitate care va avea loc pe data de 29 iunie 2016.

Subiectul 1

  • Pe foaia de examen trebuie completat doar răspunsul corect în spaţiul punctate.
  1. Rezultatul calculului 10 × 2 – 20 este egal cu … 0.

Rezolvare: Pentru că avem o operaţie de înmulţire şi o operaţie de scădere, facem întâi operaţia de înmulţire apoi scăderea si obţinem 20-20=0.

  1. Dacă  \frac{a}{4}=\frac{3}{2}  atunci “a”  este egal cu …6.

Rezolvare: Pentru al afla pe “a” facem produsul mezilor egal cu predusul extremilor şi obţinem:

2 \cdot a=4\cdot3 .

2a=12 \Rightarrow a=12 \div 2 \Rightarrow a=6 .

  1. Cel mai mare număr natural care aparţine intervalului [1,5] este egal cu 5.

Rezolvare: Pentru că avem un interval închis (paranteza este pătrată) putem lua şi valoarea 5.

  1.  Pătratul ABCD are latura de 6 cm. Perimetrul pătratului ABCD este egal cu 24 cm .

Rezolvare: Ştim că perimetrul pătratului este suma tuturor laturilor. Dar laturile pătratului sunt egale.

P_{ABCD}=4 \cdot l=4 \cdot6 cm=24 cm

  1. În Figura 1 este reprezentat un cub ABCDEFGH . Măsura unghiului determinat de dreptele AB și BF este egală cu  90^{\circ}

SubI ex 5 2015

 

Rezolvare: Ştim că ABFE este pătrat deci măsura unghiului determinat de dreptele AB şi BF este egală cu măsura (\lt ABF)= 90 °.

 

 

 

  1. În diagrama de mai jos este prezentată repartiţia elevilor unei clase a VIII-a, în funcție de notele obţinute la teza de matematică pe semestrul al II-lea.

sub 1 ex 6 2015

Numărul elevilor care au obţinut nota 10 este egal cu  3 elevi .

SUBIECTUL al II-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

Dragul meu părinte, acest subiect are in total 30 puncte. Spre deosebire de subiectul anterior, la acest subiect nu sunt punctate doar raspunsurile ci şi rezolvările şi formulele.

  • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
  • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem
  1. Desenaţi, pe foaia de examen, un paralelipiped dreptunghic ABCDABCD

    sub 2 ex 1 2015

  • Pentru desenarea corectă a paralelipipedului se obţin 4 puncte, iar notarea corectă a cubului se punctează cu 1 punct.
  1. Calculaţi media aritmetică a numerelor de două cifre, multipli ai lui 40.

Rezolvare: Stim din clasa a V-a că multiplul unui număr “d”este un numărul “m” obţinut prin înmulţirea lui “d” cu un număr natural.

poza-6-divizorDragul meu părinte găseşti mai multe informaţii despre “Divizor. Multiplu” aici: http://mathmoreeasy.ro/divizor-multiplu/ .

Dar să revenim la exerciţiul nostru şi să vedem care sunt multiplii numărului 40.

40\cdot1=40

40\cdot2=80

40\cdot3=120

40\cdot 4=160

…………

Dar exerciţiul ne cere multiplii de două cifre ai lui 40. Observăm că doar numerele 40 şi 80 îndeplinesc condiţiile impuse de exerciţiul aşa că vom calcula media aritmetică a celor două numere 40 şi 80.

M_{a}=\frac{a+b}{{2}}=\frac{40+80}{{2}}=\frac{120}{{2}}=60

  • Pentru scrierea formulei mediei aritmetice şi identificarea celor 2 multipli 3 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 2 puncte.

Se acordă punctajul maxim şi în cazul în care candidaţii au luat în considerare şi multiplii negativi de două cifre, iar media aritmetică este calculată corect.

  1. Mihai a cheltuit o sumă de bani în două zile. În prima zi Mihai a cheltuit 30% din sumă, iar în a doua zi restul de 35 de lei. Calculați suma de bani cheltuită de Mihai în prima zi.

Rezolvare: Pentru că nu ştim suma iniţială de bani o vom nota cu x.

Notăm: x= suma de bani iniţială.

\frac{30}{{100}}\cdot x=\frac{3x}{{10}}  (a cheltuit Mihai în prima zi)

x- \frac{3x}{{10}}=35 lei

Pentru a putea face calculele aducem la acelaşi numitor, astfel îl amplificăm pe x cu 10 şi obţinem :

\frac{10x-3x}{{10}}=35 lei

\frac{7x}{{10}}=35 lei

x= \frac{35 lei \cdot10}{{7}}= 50 lei (a avut Mihai iniţial)

 \frac{3}{{10}}\cdot 50 lei= 15 lei ( a cheltuit Mihai în prima zi).

  • Pentru notarea sumei de bani se acordă 1 punct , pentru scrierea ecuaţiei  exerciţiului se punctează 2 puncte, iar pentru aflarea corectă a sumei cheltuita în prima zise punctează cu 2 puncte.
  1. Se consideră funcţia f :ℝ \rightarrowℝ,   f (x) = x+2.

a) Calculați f (-2) .

b) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de coordonate xOy .

Rezolvare:

a)    Calculăm f (-2)= -2 +2 = 0

  • Pentru înlocuirea lui x cu (- 2) se punctează  3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect se punctează cu 2 puncte.

b) Calculăm intersecţia funcţiei cu cele 2 axe Ox şi Oy după care trasăm graficul funcţiei.

\cap OX :  y = 0 \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow x +2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow A(-2 ; 0)

\cap Oy :  x = 0\Rightarrow f(0) = 0 +2 \Rightarrow f(0) = 2 \Rightarrow B(0 ; 2)

sub 2 ex 4 2015

  • Pentru reprezentarea fiecarui punct A şi B care aparţine graficului funcţiei f se obţin câte 2 puncte, iar pentru trasarea graficului funcţiei f se punctează cu 1 punct.
  1. Se consideră expresia   E(x) = \frac{x^2-49}{{x^2-7x}}- \frac{2x-7}{{x^2+x}} : \frac{1}{{x+1}}   , unde x

    este număr real, x ≠ -1, x ≠ 0 şi x ≠7. Arătaţi că E(x) = -1, pentru orice x număr real, x ≠ -1,x ≠ 0 şi x≠ 7 .

 Rezolvare: Pentru a rezolva expresia trebuie mai întâi să efectuăm operaţia de împărţire dintre ultimele două fracţii, iar în prima fracţie aplicăm la numărător formula de calcul prescurtat : a^{{2}}-b^{{2}}=(a-b)(a+b) , iar la numitor dăm factor comun pe x.

E(x) = \frac{(x-7)(x+7)}{{x(x-7)}}- \frac{2x-7}{{x(x+1)}} \cdot \frac{x+1}{{1}}

E(x) = \frac{(x+7)}{{x}}- \frac{2x-7}{{x}}

E(x) = \frac{(x+7-2x-7)}{{x}}

E(x) = \frac{(-x)}{{x}}

E(x) = -1

  • Pentru aplicarea formulelor de calcul prescurtat şi pentru scoaterea factorului comun se obţin 3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului  corect al expresiei lui E(x) se punctează  2 puncte.

SUBIECTUL al III-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.                                      (30 puncte)

 

  1. Figura 2 este schiţa unui teren în formă de dreptunghi ABCD cu AB =150m şi AD =100m . Punctul M este mijlocul laturii AD , iar punctul N este situat pe latura DC astfel încât DN = 2NC.

 sub 3 ex 1 2015

 a) Arătați că aria terenului ABCD este egală cu 1,5ha .

 b) Demonstrați că triunghiul MNB este isoscel.

 c) Calculați măsura unghiului format de dreptele MN și NB.

Demonstraţie:

a)     Ştim că ABCD este dreptunghi ⇒A_{{ABCD}}= L\cdot l = 150 m \cdot 100 m = 15000 m^{2}

Transformăm  m^{2} în ha împărţind la 10 000.

Obţinem astfel:  A_{ABCD}=15000 m^{2} =1,5 ha

  •  Pentru enunţarea formulei ariei şi calcularea corectă a ariei se acordă 2 puncte, iar pentrutransformarea din  în ha se punctează cu 3 puncte.

b)    Pentru a demonstra că ∆MNB este  triunghi isoscel este suficient să arătăm că laturile MN şi NB sunt congruente.

Aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice MDN şi BCN şi calculăm MN şi NB.

\Delta MDN(<D= 90^{\circ} ) :  MN^2= MD^2 + DN^2

MN^2 = 50^2 + 100^2

MN^2 = 2500 + 10 000

MN^2 = 12500

MN = \sqrt{12500}

MN = 50\sqrt{5} m

\Delta NCB(<C= 90^{\circ} ) : NB^2= NC^2 + BC^2

NB^2 = 50^2 + 100^2

NB^2 = 2500 + 10 000

NB^2 = 12500

NB=\sqrt{12500}

NB=50\sqrt{5}m

⇒ MN \equiv NB ⇒ ∆ MNB isoscel

  • Pentru identificarea egalităţii laturilor MN şi NB se acordă 3 puncte, iar pentru demonstrarea triunghiului MNB isoscel se punctează cu 2 puncte.

c)      Pentru a calcula măsura unghiului dintre dreptele MN şi NB vom verifica mai întâi dacă ∆MNB este dreptunghic isoscel, folosind Reciproca teoremei lui Pitagora. Calculăm latura MB din tringhiul dreptunghic MAB.

\Delta MAB(<A= 90^{\circ} ) : MB^2= MA^2 + NB^2

MB^2 = 50^2 + 150^2

MB^2 = 2500 + 22 500

MB^2 = 25000

MB=\sqrt{25000}

MB=50\sqrt{10}m

\Delta MNB  : MB^2= MN^2 + NB^2

(50\sqrt{10})^2=(50\sqrt{5})^2+(50\sqrt{5})^2

25 000 = 12500 + 12 500

25 000 = 25 000 \Rightarrow \Delta MNB dreptunghic isoscel
\Rightarrow m(<MNB) =90^\circ .

Pentru identificarea <MNB= 90^\circ se punctează cu 5 puncte.

  1. În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCD cu VA = 3\sqrt{5}dm și AB = 6dm . Punctul M este mijlocul laturii AD

    sub 2 ex 2 2015

    a)Arătaţi că VM = 6 dm.

b) Calculaţi câte grame de vopsea sunt necesare pentru vopsirea suprafeței laterale a piramidei, știind că pentru vopsirea unei suprafeţe de un decimetru pătrat se folosesc 30 grame de vopsea.

c) Demonstrați că sinusul unghiului dintre planele (VAD) și (VBC) este egal cu .

Demonstraţie:

a)     Ştim că VA\equiv VD\Rightarrow \Delta VAD isoscel \Rightarrow VM\perp AD. Pentru a afla dimensiunea lui VM aplicăm Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VMD.

\Delta VMD (<M = 90^\circ ) : VD^2=DM^2 + VM^2

VM^2=(3\sqrt{5})^2-(3)^2

VM^2=45-9

VM^2=36

VM =\sqrt{36}

VM =6 dm

  • Pentru identificarea dimensiunii laturilor se acordă 2 puncte, iar pentrucalcularea corectă a lui  VM se punctează cu 3 puncte.

b)    La punctual b) trebuie să calculăm aria laterală a piramidei.

A_l=\frac{P_b \cdot a_p{}}{{2}}=\frac{24 dm \cdot 6 dm{}}{{2}}   = \frac{144 dm^2{}}{{2}} =72  dm^2.

 

P_{{b}}=4\cdot l =24 dm

Apotema piramidei a_{{p}}=VM

72 ·30g = 2160g = 2,16 kg.

  • Pentru formula ariei şi calcularea corectă a ariei se acordă 3 puncte, iar pentru calcularea corectă gramajului vopselei  se punctează cu 2 puncte.

c)   Ştim că AD \parallel BC şi

VABCD piramidă patrulateră regulată ⇒ ∆ VBC isoscel ⇒VN ⊥ BC

  • dem 3 Pentru identificarea si demonstrarea unghiului dintre cele 2 plane se acordă 3 puncte, iar pentru calcularea corectă a măsurii unghiului  se punctează cu 2 puncte.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să treacă cu bine peste examenul de capacitate din acest an.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

10 Aşi pe care un profesor trebuie să-i aibă pentru ca elevii să iubească materia pe care o predă

Profesorul esteDragul meu părinte, bine te-am regăsit. În articolul de azi am să mă adresez atât ţie dar şi profesorilor, în mod special profesorilor de matematică.

Este bine ştiut că un copil învaţă mai bine o materie atunci când îl place pe profesor. Astfel se creează între copil şi profesor o legatură bazată pe admiraţie, iar copilul asimilează mult mai uşor materia predată de profesor. Şi este şi motivat să înveţe, îşi doreşte să îşi depăşească limitele, să fie remarcat dar şi lăudat de profesor. Însă copiii sunt extrem de atenţi la toate gesturile pe care le face profesorul, la felul în care se prezintă, la felul în care comunică, la câtă siguranţă emană şi speculează toate greşelile pe care le face.

Ca să obţii încrederea şi admiraţia unui copil este foarte greu. Ca să obţii admiraţia unei clase de aproximativ 30 de elevi trebuie sa fii impecabil ca persoană, ca profesor dar să ai şi câţiva “AŞI” în mânecă cu care să dezarmezi o armată de pitici dornici de adrenalină.

În articolul de azi vreau să-ţi vorbesc exact despre aceşti „10 AŞI pe care fiecare profesor ar trebui să-i aibă pentru ca elevii să iubească materia pe care o predă”.

(more…)

Ei bine, dragul meu părinte, dacă copilului tău nu-i place matematica sau nu o înţelege foarte bine, vorbeşte cu el şi încearcă să aflii dacă nu cumva este şi vina profesorului de la clasă şi atrage-i atenţia acestuia de greselile pe care le face.

  • Să intre în clasă zâmbind.

Dragul meu părinte, atunci când zâmbeşti unui om, în 99% din cazuri îţi răspunde şi el tot cu un zâmbet. Zâmbetul transmite o stare de optimism, de bună dispoziţie, de fericire. Atunci când un profesor intră în clasă cu zâmbetul pe buze a transmis elevilor o stare de linişte.

Vă spun din experienţă copiii gândesc astfel:

  • Dacă profesorul intră în clasă supărat : sigur dăm lucrare sau ne ascultă.
  • Dacă profesorul intră în clasă vesel: ne predă şi scăpăm de note mici.

Ei bine, dacă profesorul nu a intrat în clasă cu zâmbetul pe buze, copiii încep să se agite, să intre în panică, iar atenţia lor la ceea ce spune profesorul se diminuează, ei sunt concentraţi să nu fie ascultaţi şi să ia note mici.

  • Să aibă foarte mare răbdare.

Dragul meu părinte, am auzi adesea mulţi părinţi care se vaită că profesorul de la clasă al copilului lor nu vrea să mai explice o dată lecţia atunci când un copil spune că nu a înţeles ceea ce a predat. Dragul meu părinte, este absolut necesar ca profesorul să repete până când copiii au înţeles. Este adevărat că materia este stufoasă iar timpul limitat, însă menirea unui profesor este de a-i învăţa pe elevi. Dacă trece la următoarea lecţie iar copilul nu a înţeles lecţia predată anterior, (în special la matematică) copilul nu are cum să înţeleagă lecţia următoare.

  • Matematica este precum lanţul de la bicicletă, s-a rupt o zală de la lanţ, bicicleta nu mai merge.

Atrage-i atenţia profesorului şi nu permite să se întămple aşa ceva copilului tău.

  • Să trateze elevii cu blândeţe şi respect.

Dragul meu părinte, atunci când proferorul adoptă o atitudine adresivă şi dură, atitudinea copilului este una defensivă, de apărare. În astfel de cazuri comportamentul copilului este cuprins de o stare de frică şi panică, iar comunicarea cu el devine aproape imposibilă. Copilul nu mai are curajul de a pune întrebări, de a răspunde, de a întelege noţiunile care îi sunt transmise. Dacă copilul este învăluit cu blândeţe şi respect de profesor el prinde aripi în a-şi imagina noţiunile receptate, are curajul de a pune întrebări şi a spune dacă a înţeles noile noţiuni, comunică deschis ştiind că are suportul profesorului, vine cu idei noi şi îşi pune întreaga imaginaţie în funcţiune.

  •  Să fie siguri pe ei.

Dragul meu părinte, un profesor sigur pe el atât în atitudine, comportament cât şi sigur pe noţiunile pe care le transmite este considerat un om puternic. Ca să transmiţi siguranţă trebuie să îţi ţii spatele drept, să-ţi priveşti interlocutorul, să ştii foarte bine ce transmiţi şi mai important decât toate să-ţi menţi părerea.Dacă profesorul nu-i transmite copilului că este sigur pe el, nu poate obţine admiraţia şi respectul acestuia.

  • Să nu-şi uite misiunea.

Dragul meu părinte, misiunea unui profesor este aceea de a învăţa copii materia pe care o predă, de a le dezvălui tainele ascunse ale matematicii şi de a-i determina să iubească matematica. Un profesor bun este un deschizător de drum, un prezentator de noi pasiuni, un magician al noţiunilor matematice, un mentalist.

  •   Să lase orgoliul la poarta scolii.

Dragul meu părinte, un profesor bun trebuie să ştie că orgoliul nu are ce căuta în relaţia dintre el şi elevii săi. Un profesor bun ar trebui să-şi lase orgoliul la poarta şcolii, nicidecum să se prezinte în faţa elevilor cu atitudinea „Staţi că vă arăt cine sunt eu”. În relaţia profesor-elev trebuie să domnească prietenia, încurajarea, respectul reciproc, motivarea.

  • Să vorbească despre el dar să nu spună prea mult.

Dragul meu părinte, profesorul de la clasă trebuie să vorbească în faţa elevilor despre pasiunile sale, despre cum a început dragostea lui pentru materia pe care o predă, despre frumuseţea meseriei pe care a îmbrăţişat-o, despre suişurile şi coborâşurile pe care le-a întâmpinat în carieră şi cum le-a depăşit. Un profesor bun nu ar trebui să discute cu elevii săi despre problemele pe care le are acasă, despre nemulţumirile în carieră şi în familia sa.

  • Să fie o persoana empatică.

Dragul meu părinte, empatia este şi ea foarte importantă când discutăm despre calităţile unui bun profesor: acesta trebuie să aibe cunoştinţe despre psihologia tinerilor, să stie cum gândesc ei. Empatia înseamnă să intuieşti, să înţelegi, a ai puterea să pătrunzi în lumea interioara a copilului şi să priveşti lucrurile din perspectiva lor.

  •  Să aducă noua tehnologie in ajutorul predării lecţiilor.

Dragul meu părinte, un profesor bun ar trebui să ştie să folosească tehnologia de ultimă generaţie şi să ştie să o folosească în predarea lecţiilor. Copiii sunt atraşi de aparatura de nouă generaţie, iar daca aceasta este folosită în actul de predare copiii nu ar mai considera învăţarea o povară ci o provocare.

  •  Să iubească să predea dar şi mai important să iubească ceea ce predă.

Atunci când faci cu pasiune un lucru, din mâinile tale iese o opră de artă. Când eşti profesor şi îţi faci meseria cu dragoste şi pasiune, din mainele tale nu iese un copil învăţat ci o personalitate umană care va avea puterea să schimbe lumea.

Dragul meu părinte te îmbrăţişez cu drag, îţi urez un nou an şcolar plin de satisfacţii alături de copilul tău urmărind blogul http://mathmoreeasy.ro sau pagina de facebook a blogului:https://www.facebook.com/MathMoreEasy

De asemenea, măgăseşti şi pe mine  pagina de facebook la adresa:

https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor

PS : Te invit să votezi blogul Math More Easy în competiţia Pasiunea ta dând un click pe link-ul: http://www.pasiuneata.ro/applications/?id=2072

 

10 Abilităţi personale pe care copilul nu le învaţă la şcoală dar de care va avea nevoie pentru a avea succes.

cel care are abilitateaDragul meu părinte, bine te-am regăsit. Ieri a fost o zi importantă, ziua unui nou start  într-un nou an scolar. Şi ce putem să le urăm micuţilor decât SUCCES!

În articolul de azi vreau să îţi vorbesc despre succes.

Da, despre succesul copilului tău.

(more…)

Adesea sunt contactată de câte un părinte pentru a-i consilia copilul la matematică, iar prima remarcă pe care părintele o face este următoarea:

  • Vreau să aibă numai note mari la şcoală, ca să îşi asigure succesul în viată”

Dragul meu părinte, despre acest subiect vreau să îţi vorbesc azi prin acest articol.

  • Are copilul tău viitorul asigurat şi succesul garantat dacă are doar note mari la şcoală?”

Deşi mulţi părinţi sunt ferm convinşi că raspunsul la această întrebare este „Da”, eu ţin să te contrazic.

Sunt zeci de exemple de oameni care au ajuns departe, care au influenţat pozitiv omenirea deşi nu au avut o educaţie stralucită, nu au avut note mari la şcoală şi nici nu au frecventat cursurile celor mai mari Universităţi.

Şi am să-l dau aici exemplu pe Steve Jobs care a schimbat viitorul omenirii revoluţionând tehnologia, desi a renuntat la studii.

De asemenea sunt şi zeci de exemple la polul opus, oameni cu o minte sclipitoare care au terminat cu medii mari cele mai prestigioase Universitati, dar au dus o viata mediocră sau şi-au ratat viitorul.

In concluzie, succesul nu depinde doar de notele pe care le obţii la scoală, nici dacă ai zece pe linie la toate materiile, ci de o serie de abilităţi personale pe care ţi le dezvolţi în perioada de învăţare. O parte dintre abilităţile care îţi asigură succesul în viaţă nu se învaţă la şcoală.

Dragul meu părinte, îţi prezint mai jos un top al celor 10 abilităţi personale care va influenţa pozitiv succesul copilului tău în viitor. Rolul tău este de a te asigura si a-ţi îndruma copilul să dobandească aceste abilităţi absolut necesare pentru a avea un viitor strălucit.

  1. Învaţă-l să fie responsabil!

Vreau să fie un copil responsabil” o afirmaţie pe care o aud de la toţi părinţii.

Dragul meu părinte, responsabilitatea se educă, iar tu esti cel mai indicat să îl înveţi pe copilul tău ce este responsabilitatea. Este important pentru copil să inţeleagă că ceea ce face sau spune are consecinte şi că depinde de el dacă consecinţele faptelor sale sunt pozitive sau negative. De asemenea, copilul trebuie să înţeleagă că este necesar să îşi asume tot ceea ce face şi ce spune.

Responsabilitatea îl ajută pe copil să fie pe propriile picioare, să ia decizii, să nu depindă de tine, dragul meu părinte, sau de alte persoane.

Responsabilitatea îi dă copilului încredere în forţele proprii, iar o încredere puternică în propria persoană reprezintă atu-ul unei persoane puternice, independente, optimiste, orientate spre succes.

  1. Învaţă-l să respecte!

  • Ca să fii respectat, începe prin a te respecta.” spunea Tudor Arghezi.

Dragul meu părinte, ar trebui să îi insufli copilului tău sentimentul de respect. Respect pentru propria persoana, dar şi pentru persoanele din jur. Începe prin a-l respecta tu pe el necondiţionat, dragul meu părinte.

Datoria unui părintele este să-l înveţe pe copil valoarea respectului, astfel părintele va obţine garantat respectul copilului. Atunci când îţi înveţi copilul să respecte toate persoanele şi aspectele de viaţă care îl înconjoară, îl înveţi să apecieze tot ceea ce are şi ceea ce primeşte.

  1. Învaţă-l perseverenţa!

  • Mai bine să regreţi ce ai făcut greşit decât ce nu ai făcut”.

Dragul meu părinte, mulţi copii se sperie de un exerciţiu sau o problemă, încât preferă să nu încerce să o rezolve în ciuda faptului că au cunoştinţele necesare să rezolve acel exerciţiu sau problemă. Învăța-ţi copilul că este în regulă să greşească şi că o greşeală nu este un sfărşit ci o amânare a succesului. Depinde numai de atitudinea copilului dacă continuă şi atinge succesul, sau se opreşte şi abandonează lupta pentru succes. În ambele cazuri este un învingător.

  1. Învaţă-l toleranţa!

Dragul meu părinte, este absolut necesar sa-l înveţi pe copilul tău cum să tolereze toate celelalte ființe umane de pe planetă.Copiii nu au voie să-i privească pe ceilalţi de sus, mai degrabă copiii ar trebui să învețe să-i ajute pe semenii care au nevoie de ajutor.

De asemenea, părinţele ar trebui să-l învețe pe copil să tolereze pe cei care i-au greșit, și să-l învețe să înțeleagă importanţa acestui lucru. Există lucruri în această lume, care nu pot fi schimbate, iar copilul care învață să tolereze aspecte care nu pot fi schimbate va învăța cum să se ocupe de aceste situații cât pot de bine ori de câte ori acestea apar, fară ca acestea situaţii nefavorabile să le împiedice evoluţia către succes.

  1. Învaţă-l auto-controlul!

Dragul meu părinte, învaţă-l pe copilul tău cum să se controleze pentru că un copil care ştie cum să se stapânească într-o situatie de criză va deveni rapid un adult independent. Un copil care îşi face curat în cameră, care îşi face temele, care îşi strânge lucrurile creşte mai responsabil şi se va descurca singur fară a depinde de cineva.

De asemenea, copilul tău trebuie să înveţe de la o vârstă fragedă cum să-şi gestioneze banii şi cum să acorde prioritate lucrurilor (inclusiv timpului), astfel încât atunci când tu dragul meu părinte nu esti în preajma lui să-şi poată respecta programul.

Păstrarea controlului în timpul unor situaţii extrem de dificile este de asemenea foarte importantă, astfel încât acestea să nu creeze copilului o stare de panică care să-i saboteze succesul.

  1. Învaţă-l să fie onest!

Dragul meu părinte, copilul tău are nevoie să învețe să fie sincer, cu ceilalți și cu el înșuși. Un copil cinstit va creste şi va deveni un adult de încredere a cărui carieră va înflori. Este foarte important să îl inveţi pe copil să spună adevărul chiar şi atunci cand greşeşte sau face un lucru pe care nu trebuia să-l facă. Mai afes pentru ca „Minciuna are picioare scurte, iar adevărul iese la iveală imediat”!

  1. Învaţă-l să fie un copil integru!

Dragul meu părinte, situatia materială a familiei nu trebuie să influenţeze personalitatea si dezvoltarea morală a copilului. Fie că ai un serviciu bine plătit şi îţi permiţi un trai îndestulat, fie că ai un serviciu modest care îţi permite plata facturilor şi asigurarea unui trai decent, copilul tău trebuie să inveţe că imagine reală a succesului nu se masoară în cantitatea de bani pe care o câştigi ci în munca prestată cu dăruire şi pasiune care îţi umple sufletul de satisfacţie. Copilul tău trebuie să îşi construiască singuri propria viziune despre succes fară a ţine cont de constrangeri.

  1. Învaţă-l să fie recunoscător!

Aud adesea părinţi care se vaită că au copii nereconuscători.

Dragul meu părinte, învaţă-ţi copilul să fie recunoscător pentru lucrurile pe care le are, pentru ocaziile pe care le primeşte pentru grija pe care i-o acordă oamenii din jurul lui.

Arată-i zilnic cum trebuie să mulţumească şi cum trebuie să se comporte.

Copiii care înțeleg acest lucru vor crește ca o parte integrantă a comunității lor, și se vor integra mai uşor în societate.

  1. Învaţă-l deprinderile necesare în viață!

Lasă să nu muncească că e prea mic”

Vreau să îi ofer totul să nu aibă nevoie să muncească cât e mic”

Dragul meu părinte, dacă vrei să ai un copil independent care se va descurca în viaţă, care va aborda provocările vieţii cu o atitudine de lider, insuflă-i copilului tău valorile şi deprinderile de viaţă. Învăță-l de la o vârstă fragedă cum să spele vase, să facă curăt la baie, să coasă, să gătească, să facă lista de cumpărături şi să facă piaţa, să plătească facturile.

  1. Fii eroul principal în viaţa copilul tău!

Dragul meu părinte te îmbrăţişez cu drag, îţi urez un nou an şcolar plin de satisfacţii alături de copilul tău urmărind blogul http://mathmoreeasy.ro.

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

Pentru că începe un nou an şcolar!

orar

Dragul meu părinte, pentru că începe un nou an şcolar şi pentru că tu îţi doreşti să ai un copil organizat, îţi fac cadou un Orar special care să-l inspire pe copilul tău să iubească mai tare matematica!

Click pe Download Orar  şi descarcă Orarul pe care îl poţi imprima!

Dragul meu părinte te îmbrăţişez cu drag, îţi urez un nou an şcolar plin de satisfacţii alături de copilul tău şi distracţie plăcută în ultimele zile de vacanţă urmărind blogul http://mathmoreeasy.ro. icon smile Top 10 site uri cu jocuri unde copilul tău poate învăţa matematica!

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

 

1 2 3 4 5