Archive of ‘Uncategorized’ category

Exerciții rezolvate la Compararea puterilor

“Educația nu e cât de mult ai memorat sau cât știi. E capacitatea de a face diferența între ce știi și ce nu știi”.

Anatole France 

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi revin cu o lecție nouă la capitolul Numere Naturale: Exerciții rezolvate la Compararea Puterilor.

(mai mult…)

Exercițiul 1: Comparați numerele:

  • a) 4 ^{17} și 2 ^{34}
  • b) 3 ^{27} și 9 ^{13}
  • c) 8 ^{17} și  2^{52}

Rezolvare: 

  • 4 ^{17} și 2 ^{34}
  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că putem să-l scriem pe 4 ca bază 2 ^2.
  • ({2 ^2})^{17}    și 2 ^{34}
  • Aplicăm Regulile de Calcul cu Puteri pentru primul număr, înmulțim exponenții și obținem:
  • 2 ^{2\cdot 17}  și 2 ^{34} \Rightarrow 2 ^{34}   = 2 ^{34}

b) 3 ^{27}   și 9 ^{13}

  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că  putem modifica bazele atunci îl vom scrie pe 9=3 ^{2} și obținem:
  • 3 ^{27} și (3 ^{2}) ^{13} \Rightarrow 3 ^{27} și  3 ^{2\cdot 13}  \Rightarrow 3 ^{27}   \gt \ \ \ 3 ^{26}

c)  8 ^{17} și  2 ^{52}

    • Observăm că  putem modifica bazele atunci îl vom scrie pe 8= 2^{3} și obținem:
    • (2^{3})^{17} și 2^{52 \Rightarrow 2^{3\cdot 17} și  2^{52}  \Rightarrow 2^{51} \lt 2^{52}
Exercițiul 2:  Comparați numerele:
  • a)  2 ^{48}  și   3 ^{32}
  • b)  2 ^{60}  și  3 ^{36}
  • c)  3 ^{42}  și  5 ^{28}
  • d) { 2^2}^3  și (2^2)^3

Rezolvare: 

a) 2^{48} și 3^{32}

  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel  48=3\cdot16 și 32=2\cdot16. Obținem:
  • 2^{3\cdot16} și 3^{2\cdot16}  \Rightarrow (2^3)^{16} și  (3^2)^{16}
  • Ridicăm la putere știind că  2^3=8 și  3^2=9 obținem:
  •  8^{16} \lt 9^{16}
  • Numărul cu baza mai mică este mai mic.

b)  2^{60} și  3^{36}

  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel: 60=10\cdot 6 și 36=6\cdot 6. Obținem:
  • 2^{10\cdot 6} și 3^{6\cdot 6} \Rightarrow (2^{10})^ 6 și (3^{6})^ 6
  • Ridicăm la putere știind că 2^{10}=1024 și 3^{6}=729. Obținem:
  •  1024^{6} \gt 729^6
  • Numărul cu baza mai mare este mai mare.

c) 3^{42} și 5^{28}

  • Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel: 42=3\cdot 14  și 28=2 \cdot 14. Obținem:
  • 3^{3\cdot14} și 5^{2\cdot14}   \Rightarrow (3^3)^{14} și  (5^2)^{14}
  • Ridicăm la putere știind că  3^3= 27 și  5^2= 25 obținem:
  •  27^{14}\ \ \gt\ \ 25^{14}.

d) { 2^2}^3 și (2^2)^3

  • Observăm că la primul număr avem puterea unei puteri cu alte cuvinte exponentul este tot o putere 2^3. Mai întâi ridicăm la putere exponentul știind că 2^3 = 8 și obținem: { 2^2}^3=2^8.
  • La cel de-al doilea număr aplicăm Regulile de calcul cu puteri,  înmulțim puterile și obținem: (2^3)^2=2^{3\cdot 2}= 2^6
  • { 2^2}^3 și (2^2)^3\Rightarrow 2^8 \ \ \gt \ \ 2^6

Exercițiul 3: Comparați numerele:

a) 8^{18} - 7\cdot 8^{17} și 16^{14} - 15\cdot 16^{13}

c) (9^{15}\cdot 3^{14})^4  și (81^{3}\cdot 27^{7})^3 \cdot 243 ^{15}

Rezolvare:

a) 8^{18} - 7\cdot 8^{17} și 16^{14} - 15\cdot 16^{13}

  • Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la o formă mai simplă. Pentru că avem operația de scădere între termenii celor două numere trebuie să dam factor comun baza care se repetă la puterea cea mai mică
  • 8^{17}\cdot (8^{18-17} - 7\cdot 8^{17-17}) și 16^{13}\cdot (16^{14-13} - 15\cdot 16^{13-13})
  • 8^{17}\cdot (8^{1} - 7\cdot 8^{0})   și 16^{13}\cdot (16^{1} - 15\cdot 16^{0})
  • Știm că orice număr la puterea 0 este egal cu 1  \Rightarrow 8^0=1 și \Rightarrow 16^0=1
  • Obținem:
  • 8^{17}\cdot (8 - 7\cdot 1) și 16^{13}\cdot (16 - 15\cdot 1)
  • 8^{17}\cdot (8 - 7) și 16^{13}\cdot (16 - 15)
  • 8^{17}\cdot 1 și 16^{13}\cdot 1 \Rightarrow 8^{17} și 16^{13}
  • Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la aceeași bază.
  • Știm că putem scrie:8=2^{3} și 16=2^{4} astfel obținem:
  • (2^{3})^{17} și (2^{4})^{13} \Rightarrow 2^{3\cdot 17} și 2^{4\cdot 13} \Rightarrow 2^{51} \lt 2^{52}

b) (9^{15}\cdot 3^{14})^4 și (81^{3}\cdot 27^{7})^3 \cdot 243 ^{15}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy”.  

Exerciții rezolvate la Pătrate Perfecte!

“Nu poți împinge pe nimeni să urce pe o scară dacă nu este dispus să o urce singur ”

Andrew Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior am prezentat cateva “Exerciții Rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural”. Astăzi te invit să rezolvăm și să explicăm câteva exerciții la Pătrate Perfecte. Să vedem cum putem arăta că un număr foarte mare poate fi sau nu pătrat perfect!

(mai mult…)

Exercițiul 1: 

Arătați că numărul a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002) este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul “a” este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul “a”se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că în paranteză avem  Suma Gauss a primelor 2002 numere naturale consecutive așa că vom aplica formula de calcul a lui Gauss.
  • a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002)
  • a=2003 + 2\cdot [2002\cdot (2002+1)\ : \ 2]
  • a=2003 + 2\cdot [2002\cdot 2003 \ : \ 2]
  • Pentru că înmulțirea și împărțirea sunt operații de același ordin putem efectua mai întâi operația de împărțire.
  • a=2003 + 2\cdot [2002\ \ : \ 2 \cdot 2003]
  • a=2003 + 2\cdot 1001 \cdot 2003
  • a=2003 + 2002 \cdot 2003
  • Dăm factor comun pe 2003.
  • a=2003\cdot (1 + 2002)
  • a=2003\cdot 2003
  • a=2003^2.
  • \Rightarrow numarul \ este pătrat perfect.
Exercițiul 2: 

Arătați că numărul  a=81+81 \cdot 2+ 81 \cdot 3+.....................+81 \cdot 49 este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul “a” este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul “n”se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că 81 se repetă și îl putem da factor comun.
  • a=81\cdot (1+ 2+ 3+.....................+49).
  • În paranteză obținem   Suma Gauss a primelor 49 numere naturale consecutive așa că vom aplica metoda de calcul a lui Gauss.
  • a=81\cdot [49 \cdot(49+1) \ \ : \ 2 ]
  • a=81\cdot [49 \cdot 50 \ \ : \ 2 ]
  • a=81\cdot 49 \cdot 25
  • a=9^2\cdot 7^2 \cdot 5^2
  • Aplicăm Regulile de Calcul cu Puteri și obținem:
  • a=(9\cdot 7 \cdot 5)^2
  • a=315^2
Exercițiul 3:  

Arătați că numărul   n= 27^9 \cdot 32^{11} \ \ : \ \ 2 - 16^6\cdot 2\cdot 6^{27} este pătrat perfect.

  • Rezolvare:  Pentru a arăta că numărul “n” este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că pe 27 îl putem scrie ca bază 3, pe 16 și 32 îi putem scrie ca baza 2 iar pe 6 îl putem scrie ca produsul 2\cdot 3
  • n= (3^3)^9 \cdot (2^5)^{11} \ \ : \ \ 2^1 - (2^4)^6\cdot 2^1 \cdot (2\cdot3)^{27}
  • Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:
  • n= 3^{3\cdot9} \cdot 2^{5\cdot 11} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{4\cdot 6}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{55} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{24}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{55-1} - 2^{24+1+27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{54} - 2^{52}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 2^2 - 2^{52}\cdot 3^{27}
  • Observăm că se repetă  3^{27} \cdot 2^{52} și îi dăm factor comun.
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (2^2 - 1)
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (4 - 1)
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3^1
  • n= 3^{27+1} \cdot 2^{52}
  • n= 3^{28} \cdot 2^{52}
  • n= (3^{14} \cdot 2^{26} )^2 \Rightarrow n este pătrat perfect
Exercițiul 4:  

Arătați că numărul  n= 2^{2011}- 2^{2010}-2^{2009}-2^{2008}  este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul “n” este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Aplicând Regulile de Calcul cu Puteri  putem scrie: 2^{2011}= 2^{2008}\cdot 2^{3}2^{2010}= 2^{2008}\cdot 2^{2} și 2^{2009}= 2^{2008}\cdot 2^{1}. Obținem astfel:
  •  n= 2^{2008}\cdot 2^{3} - 2^{2008}\cdot 2^{2} - 2^{2008}\cdot 2^{1} -2^{2008}
  • Observăm că se repetă  2^{2008} și putem sa îl dăm factor comun:
  •  n= 2^{2008}\cdot (2^{3} - 2^{2} - 2^{1} - 1)
  •  n= 2^{2008}\cdot (8 - 4 - 2 - 1)
  •  n= 2^{2008}\cdot 1
  •  n= 2^{2008}
  •   n= (2^{1004})^2 \Rightarrow n este pătrat perfect

 

Exercițiul 5: 

Arătați că numărul a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002}   nu este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Observăm că avem Suma Gauss a puterilor lui 2. Pentru a rezolva acest exercițiu înmultim întreaga expresie matematică cu un 2. 
  • a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002} | \ \ \ \cdot2
  • 2\cdot a= 2\cdot 2^{1504} + 2\cdot 2^{1505} + 2\cdot 2^{1506} +..............+2\cdot 2^{2002}
  • 2\cdot a= 2^{1504+1} + 2^{1505+1} + 2^{1506+1} +..............+ 2^{2002+1}
  • 2\cdot a= 2^{1505} + 2^{1506} + 2^{1507} +.............+2^{2002}+ 2^{2003}
  • Scădem cele două relații și obținem:
  • suma gauss a puteror lui 2

  •  a = 2^{2003} - 2^{1504}
  • Pentru a demonstra că numărul  a = 2^{2003} - 2^{1504} nu este pătrat perfect trebuie să arătăm că Ultima cifră a lui a aparține mulțimii: \left \{ 2,3, 7,8 \right \}.
  • Calculăm Ultima cifră a numărului a = 2^{2003} - 2^{1504}
  •  U(a) = U(2^{2003} - 2^{1504})
  •  U(a) = U(2^{2003}) - U(2^{1504})
  • Calculăm  U(2^{2003}) .
  • Mai întâi calculăm puterilelui 2.
  • Observăm că ultima cifră se schimbă din 4 în 4.
  • Împărțim 2003 la 4 și obținem câtul 500 și restul 3.
  •  U(2^{2003})=U(2^{4\cdot 500+3})=U[(2^4)^{500}\cdot 2^3]=U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)
  • Dacă privim atent puterile lui 2 observăm ca ultima cifră a lui 2^4 este 6 și astfel obținem:
  • U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)= U[U(6^{500})\cdot 8]
  • Știm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifra tot 6.
  • Și obținem: U[U(6^{500})\cdot 8]=U(6 \cdot 8)= U(48)=8
  • Am obținut că  U(2^{2003})=8
  • Calculăm  U(2^{1504}).
  • Împărțim 1504 la 4 și obținem câtul 376.
  •  U(2^{1504})=U(2^{4\cdot 376})=U[(2^4)^{376}]
  • U(2^4)=6\Rightarrow U[(2^4)^{376}]=U(6^{376})=6
  • Am obținut astfel:  U(a) = U(2^{2003}) – U(2^{1504})=8-6=2
  • Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi 2 \Rightarrow  a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002} nu este pătrat perfect

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

 

Criteriile de divizibilitate

“Mintea umană este ca o parașută. E inutilă dacă nu se deschide.”

Frank Zappa

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior ți-am prezentat lecția “Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural”. Am învățat împreună care sunt divizorii unui număr, care sunt multiplii unui număr natural și cum arătăm dacă un număr natural divide sau nu un alt număr natural. Astăzi voi continua cu o noua lecție la acest capitol “Criteriile de divizibilitate” .

(mai mult…)

Criteriul de divizibilitate cu 2

  • Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este o cifră pară.
  • numar-divizibil-cu-2

Criteriul de divizibilitate cu 5

  • Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5
  • numar-divizibil-cu-5

Criteriul de divizibilitate cu 10.

  • Un număr natural este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0.
  • numar-divizibil-cu-10

Criteriul de divizibilitate cu 100(1000, 10000, etc).

  • Un număr natural este divizibil cu 100(respectiv 1000, 10000, etc) dacă și numai dacă ultimile două (respectiv trei, patru, etc) cifre ale numărului sunt egale cu 0.
  • numar-divizibil-cu-100

Criteriul de divizibilitate cu 3 (respectiv 9).

  • Un număr natural este divizibil cu 3 (respectiv 9) dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 (respectiv 9).
  • numar-divizibil-cu-3

Criteriul de divizibilitate cu 4.

  • Un număr natural este divizibil cu 4  dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4
  • numar-divizibil-cu-4

Criteriul de divizibilitate cu 25.

  • Un număr natural este divizibil cu 25  dacă și numai dacă  ultimele două cifre ale sale sunt 00, 25, 50 sau 75.
     

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor  dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural

“Zadarnic vei vrea să-l înveți

pe cel ce nu e dornic să fie învățat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăța.”

Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am vorbit despre cum putem afla Ultima cifră a unui număr natural. Azi îți propun câteva exemple de exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la această lecție dificilă pentru clasa a V-a.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Calculați ultima cifră a numerelor:

a)  2^{1299}; \ \ \ 2^{2020};

b)  21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};

Rezolvare:

  • a) Pentru a calcula  2^{1299}; mai întâi privim atent puterile numărului 2.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim puterea 1299 la 4 și obținem:  1299 \ \ \ : \ \ \ 4=324 \ \ \ rest \ \ \ 3 \Rightarrow 1299=4\cdot 324 +3

Atunci putem scrie că: U(2^{1299})=U(2^{4\cdot 324 +3})=U[(2^{4})^{ 324} \cdot 2^3)] =U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)

Consultăm tabelul cu puterile lui 2 și observăm că 2^{4} are ultima cifră 6 astfel obținem:

 U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)=U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8

Consultăm tabelul cu puterile lui 6.

Observăm că  6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6 astfel obținem:

U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8=U(6 \cdot 8)=U(48)=8

Am obținut că U(2^{ 1299})=8

Calculăm acum pentru U(2^{ 2020})=?

Avem mai sus tabelul cu puterile lui 2 și am observat că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim puterea 2020 la 4 și obținem: 2020 \ \ \ : \ \ \ 4=505 \ \ \ rest \ \ \ 0

Atunci putem scrie că: U(2^{2020})=U(2^{4\cdot 505 +0})=U[(2^{4})^{ 505} \cdot 2^0)] .

Știm că orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1 \Rightarrow 2^{0}=1.

Am văzut mai sus că  2^{4} are ultima cifră 6 astfel obținem:

=U[(6^{ 505} \cdot 1)]=U(6 \cdot1)=6 .

Am obținut că: U(2^{ 2020}) = 6

b)   21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};

  • Calculăm  U(21^{ 324}) = ?

 U(21^{ 324}) = U(1^{ 324})

Știm că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1.  \Rightarrow U(1^{ 324}) = 1

  • Calculăm  U(19 ^{ 257}) = ?

 U(19 ^{ 257}) = U(9^{ 257}) =

Calculăm puterile lui 9.

Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2.

Împărțim 257 la 2 și obținem: 257 \ \ \ : \ \ \ 2 = 128 \ \ \ rest \ \ \ 1

Atunci putem scrie că: U(9^ {257})= U(9^ {2\cdot128+1})= U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)=

Consultând tabelul cu puterile lui 9 observăm că 9^2 are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem:  U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= U(1^{128})\ \ \ \cdot \ \ \ 9=U(1 \cdot 9 )=9

Am obținut că U(19^{ 257}) = 9

  • Calculăm U(17^{ 2020}) = ?

U(17^{ 2020}) = U(7^{ 2020}) = ?

Calculăm puterile lui 7.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim 2020 la 4 și obținem: 2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0

Atunci putem scrie că:  U(7^{ 2020}) = U[(7^4)^{ 505}]

Consultând tabelul cu puterile lui 7 observăm că 7^4 are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem:

U[(7^4)^{ 505}] = U(1^{505})=1

Am obținut că U(17^{ 2020})=1

Învăț pentru mine

Dragul meu părinte își propun câteva exerciții pe care să le rezolve copilul tău urmărind exemplele explicate și rezolvate mai sus!

Determină ultima cifră a numerelor:

a)  2^{99}; \ \ \ 2^{2018}; \ \ \ 2^{2024};

b)  41^{2017}; \ \ \ 125^{2017}; \ \ \ 2017^{2018};

c)  4^{1999}; \ \ \ 129^{2022}; \ \ \ 2016^{2018};

 

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

Mulțimea Numerelor Raționale.

Nu îți coborî așteptările pentru a se potrivi cu performanța ta. Ridică-ți nivelul de performananță pentru a se potrivi cu așteptările tale.” 

Ralph Marston

 

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi revin cu o lecție pentru clasa a VII-a. (mai mult…)

Copilul tău a învățat în clasa a VI-a Numerele Raționale pe care le vom repeta și  acum în clasa a VII-a.

Începem clasa a VII-a cu recapitularea lecției  “Mulțimea numerelor Raționale. Forme de scriere a Numerelor Raționale.”

Definiție Număr Rațional: 

Un număr x se numește număr rațional dacă există o pereche de numere întregi (a,b) cu b\neq 0, astfel încât \frac{a}{b}=x.

  • Mulțimea numerelor raționale se notează cu Q și se poate defini astfel:
  • Q=\left \{ x| (\exists)\ \ \ a,\ b \in Z;\ \ b\neq 0 \ \ \ \ x=\frac{a}{b} \right \}

Observații: 

  • N \subset Z \subset Q
  •  Q^{{\star}}=Q \setminus \left \{ 0 \right \};
  •  Q^{{\star}} se numește mulțimea numerelor raționale nenule.
  • Q=Q_{{-}} \cup \left \{ 0\right \} \cup Q_{{+}}
  •  Q_{{-}} reprezintă mulțimea numerelor raționale negative
  •  Q_{{+}} reprezintă mulțimea numerelor raționale pozitive.
  • orice număr natural x se poate scrie ca un număr rațional cu numitor 1: x=\frac{x}{1}.

Scoaterea Întregilor din Fracție: 

  • Dacă avem un număr rațional x=\frac{a}{b} cu b\neq 0, pentru a scoate întregii din fracție efectuăm operația de împărțire a : b și obținem câtul c si restul r .
  • Putem scrie că  \frac{a}{b}=c\frac{r}{b}, unde c este partea întreagă , iar \frac{r}{b} este partea fracționară a numărului rațional \frac{a}{b} .

Exemplu:

  • Efectuăm operația de scoatere a întregilor din fracția  \frac{19}{4}
  • Efectuăm împărțirea 19\ \ \ :\ \ 4 = 4 \ \ \ rest \ \ 3
  • Putem scrie astfel: \frac{19}{4}=4\frac{3}{4}.

Introducerea Întregilor în fracție: 

Definiție : Numărul rațional scris sub forma a\frac{b}{c}  se poate scrie sub forma unei fracții ordinare astfel: a\frac{b}{c}= \frac{a\cdot c +b}{c}.

Exemplu:

  • Efectuăm operația de introducere a întregilor din fracție  pentru numărul rațional: 9\frac{3}{5}.
  • Conform definiției enunțate mai sus 9\frac{3}{5}= \frac{9 \cdot 5+3}{5}= \frac{45+3}{5}= \frac{48}{5} .

Forme de scriere:

Un număr rațional poate fi reprezentat prin fracții ordinare echivalente sau printr-o fracție zecimală finită sau periodică.

Teoremă:  Pentru orice număr rațional nenul “q”  există o unică fracție ireductibilă \frac{a}{b}, \ \ \ cu \ \ \ a\in Z \ \ \ si \ \ \ b\in Z^*, astfel încât q= \frac{a}{b}.

Transformarea Fracțiilor Ordinare în Fracții Zecimale:

Un număr rațional pozitiv reprezentat printr-o fracție ireductibilă \frac{a}{b} , cu  a,b \in N^{*}, b\geq 2, se poate transforma, folosind algoritmul de împărțire a numerelor naturale în:

  • fracție zecimală finită;
  • fracție periodică simplă;
  • fracție periodică mixtă.

Exemple: 

  • fracție zecimală finită;

\frac{39}{4}=9,75;

impartire

  • fracție periodică simplă;

\frac{122}{6}=20,(3)

  • fracție periodică mixtă.

\frac{125}{6}=20,8(3)

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

Ultima cifră a unui număr natural

 

Cu cât un copil a văzut și a înțeles mai mult, cu atât vrea el să vadă și să înțeleagă mai mult.” 

Jean Piaget

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior am vorbit despre “Pătratul unui număr natural”. Astăzi îți propun o nouă lecție care mă ajută să demonstrez dacă un număr natural este pătrat perfect sau nu: “Ultima cifră a unui număr natural”.

(mai mult…)

Șirul de numere: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, …………… este șirul 0 ^{2}, 1 ^{2}, 2 ^{2}, 3 ^{2}, 4 ^{2}, 5 ^{2}, 6 ^{2}, .............., n ^{2}, .......... și se numește șirul numerelor naturale pătrate perfecte.

Fie x un număr natural. Notăm cu U(x) ultima cifră a numărului x.

Să privim cu atenție următorul tabel:

Observăm ca ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi: 0, 1, 4, 5, 6 \ \ sau \ \ \ 9 .

Observație:

  • Dacă ultima cifră a unui număr natural este 2, 3, 7\ \ sau \ \ \ 8 atunci acel număr natural nu poate fi pătrat perfect.
  • Dacă ultima cifră a unui număr natural este 0, 1, 4, 5, 6 \ \ sau \ \ \ 9 acel număr natural este pătrat perfect.

Pentru a afla ultima cifră a unui număr vor avea în vedere următoarele reguli de calcul:

  • U(x+y)=U(U(x)+U(y))
  • U(x\cdot y)=U(U(x)\cdot U(y))
  • U(x^n)=U[(U(x))^n]

Exemple:

  • U(79 +24)=U(U(79) +U(24))=U(9+4)=U(13)=3
  • U(98 \cdot 82)=U(U(98) \cdot U(82))=U(8 \cdot 2)=U(16)=6
  • U(36 ^{89})=U(U(36) ^{89})=U(6^ ^{89})=6

Să analizăm atent următorul tabel:

Puterile numerelor naturale

Observație:

  • Numerele 1,5 \ \ \ si \ \ \ 6 ridicate la orice putere îmi dă ultima cifră 1,5 \ \ \ si \ \ \ respectiv \ \ \ 6 .
  • La numerele 2,3, 7 \ \ \ si \ \ \ 8 se repetă ultima cifră din patru în patru puteri. La aceste numere ca să pot afla ultima cifră împart exponentul la 4, iar ultima cifră va fi egală cu ultima cifră a numărului 2,3,7 sau respectiv 8  ridicat la puterea egală cu restul împărțirii.
  • Iar la numerele 4 \ \ \ si \ \ \ 9 se repetă ultima cifră din două în două puteri.La aceste numere ca să pot afla ultima cifră împart exponentul la 2, iar ultima cifră va fi egală cu ultima cifră a numărului 4 sau respectiv 9 ridicat la puterea egală cu restul împărțirii.

 

Exemple:

Determinați ultima cifră a numerelor:

  •  2^{{2017}}\ \ \ si \ \ 4^{{2017}}

Rezolvare: 

  • Calculăm pentru  2^{{2017}}. Scriem puterile lui 2.

Puterile lui 2

Observăm ca ultima cifră se repetă din 4 în 4.

Împărțim 2017 la 4

Obținem astfel 2017\ \ \ : \ \ \ 4 =504 \ \ \ rest \ \ \ 1

Rezultă că U(2^{2017})= U[(2^4)^{2017} \cdot 2^1]=U(2^4)^{2017}\cdot U(2^1)

Privind puterile lui 2 observăm că ultima cifră a lui 2^4 este 6, iar ultima cifră a lui 2^1 este 2.

Astfel obținem că U(6^{2017})\cdot 2= U(6 \cdot 2) = U(12) = 2

  • Observație: Am precizat mai sus ca 6 la orice putere are ultima cifră egala tot cu 6.

 

  • Calculăm ultima cifră pentru numărul U(4^{2017})=

Scriem puterile lui 4.

Observăm că la numărul 4 ultima cifră se repetă din 2 în 2.

Împărțim 2017 la 2 :

 

Obținem astfel: 2017 \ \ \ :\ \ \ 2 = 1008 \ \ \ rest\ \ \ 1

Rezultă că: U(4^{2017})=U[(4^2)^{1008} \cdot 4^1]=U[(4^2)^{1008}] \cdot U(4^1)=

Ultima cifră a lui 4^2 este 6 iar ultima cifră a lui 4^1 este 4. Înlocuiesc și obțin:

U(6^{1008})\cdot U(4^1)= U(6 \cdot 4)= U(24)= 4.

Te invit să exersezi și tu 3 exerciții identice pe care ți le propun în rubrica:

Învăț pentru viitorul meu:

Determină ultima cifră a numerelor:

9^{2017}; \ \ \ 3^{2019} ;\ \ \ 8^{2021}.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te invit alături de mine in Clubul de Matematică “Math More Easy”  sau accesează link-ul de mai jos:http://mathmoreeasy.ro/exercitii-rezolvate-la-ultima-cifra-a-unui-numar-natural/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și  pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai  nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor! 

Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural.

“Dimensiunea succesului tău este măsurata de puterea dorinței tale, de mărimea visului tău și de cum gestionezi dezamăgirile pe drumul către succes.”

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi revin cu o lecție pentru clasa a VI-a.

Copilul tău a învățat în clasa a V-a noțiunile de Divizor. Multiplu dar și Criteriile de divizibilitate pe care acum în clasa a VI-a le vom repeta.

(mai mult…)

Definiție:  Numărul natural “a”  este divizibil (sau se divide) cu numărul natural “b”, dacă există un număr natural “c” astfel încât: ”  a=b\cdot c” .

Observație:

Numărul natural “a”  nu este divizibil (sau nu se divide) cu numărul natural “b”, dacă există un număr natural “c” astfel încât: ”  a\neq b\cdot c” .

Divizori improprii. Divizori proprii.

Fie n \geq 2 un număr natural. Numerele 1 și n  se numesc divizori improprii ai numărului n .

Ceilalți divizori ai numărului n  (dacă există) se numesc divizori proprii.

Mulțimea divizorilor naturali ai numărului natural n este mulțimea D_{{n}} a tuturor numerelor naturale care divid pe n.

Se notează  D_{{n}}=\left \{ d \in N| n \ \vdots\ d \right \} .

Mulțimea multiplilor naturali ai numărului natural n  este mulțimea tuturor elementelor naturale care se divid cu n .

Se notează  M_{n}=\left \{ k\in N |\ \ \ \ \ \ \ k \ \vdots\ n \right \}.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Pătratul unui număr natural

Clasa a V-aDragul meu părinte bine te-am regăsit! In articolul de azi vreau să îţi vorbesc despre “Pătratul unui număr natural”. În articolele anterioare am vorbit despre “Ridicarea la putere a unui număr natural” şi “ Regulile de calcul cu puteri”. Azi vom studia “Pătratele perfecte” .

(mai mult…)

Să analizăm următorul sir de pătrate:

 

  • Definiţie: Un număr obţinut prin ridicarea la puterea a doua aunui număr natural se numeşte pătrat perfect.

 

Exemple:     81=9 ^{2} putem spune că 81 este pătrat perfect

  • Observaţie: Pentru a arăta că un număr nu este pătrat perfect este suficient să arătăm că numărul este cuprin între două pătrate perfecte.

Exemplu: 115 nu este pătrat perfect pentru că 10 ^{2}=100 \lt 115 \lt121=11 ^{2}

Să analizăm următorul tabel:

patrat-perfect

  • Observăm că ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi: 0,1, 4,5,  6 sau 9.
  • Numerele care au ultima cifră 2, 3, 7 sau 8 nu pot fi pătrate perfecte.
  • Observaţie: Nu întotdeauna numerele care au ultima cifră 0; 1; 4; 5; 6 sau 9  sunt pătrate perfecte
  • Exemplu: 10, 11, 15, 26 sau 39 nu sunt pătrate perfecte.

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate la formulele de calcul prescurtat

Clasa a VIII-aBine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul anterior ţi-am prezentat “Formulele de Calcul Prescurtat” pentru numere reale.

Dragul meu părinte, ţi-am spus că aceste formule sunt foarte importante deoarece le vom folosi în Operaţiile cu rapoarte? Aceste rapoarte de numere compun un exerciţiu care se dă şi la examenul de capacitate. (Cel puţin în anul anterior  Examenul de Evaluare Naţională 2016 a avut un exerciţiu cu rapoarte).

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:  Folosind formula pentru pătratul sumei sau diferenţei a doi termeni, calculaţi:

  • a)       (x+1) ^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru: a=x şi b=+1. Aplicând formula obţinem:

 (x+1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot (+1)+(+1)^{2}

 (x+1)^{2}=x^{2}+2 x+1

  •     b)  (x - 2)^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=x şi b=-2. Aplicând formula obţinem:

 (x - 2)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 2 +(-2)^{2}

 (x - 2)^{2}=x^{2}-4 x +4

  • c)  (2x+\sqrt{3})^{2}

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru: a=2x şi b=\sqrt{3}. Aplicând formula obţinem:

 (2x+\sqrt{3})^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}

 (2x+\sqrt{3})^{2}=4x^{2}+4\sqrt{3} x+3

  • d)  (5x-\sqrt{2})^{2}

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=5x şi b=\sqrt{2}. Aplicând formula obţinem:

 (5x-\sqrt{2})^{2}=(5x)^{2}-2\cdot 5x\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}

 (5x-\sqrt{2})^{2}=25x^{2}-10 \sqrt{2}x+2

  • e) (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=

Aplicăm formula de calcul prescurtat: (a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}.

În cazul exerciţiului  nostru:  a=\frac{2}{3}x şi  b=\frac{1}{3} . Aplicând formula obţinem:

 (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=(\frac{2}{3}x)^{2}+2\cdot \frac{2}{3}x\cdot \frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}

 (\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}x^{2}+ \frac{4}{9}x +\frac{1}{9}

  • f) (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru:  a=\frac{2}{7}x şi  b=\frac{7}{4}. Aplicând formula obţinem:

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=(\frac{2}{7}x)^{2}-2\cdot \frac{2}{7}x\cdot \frac{7}{4}+(\frac{7}{4})^{2}

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-\frac{28}{28}x+\frac{49}{16}

 (\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-x+\frac{49}{16}

f)  (x+7)(x-7)

Aplicăm formula de calcul prescurtat:  (a+b)(a-b)= a^{2}-b^{2}

În cazul exerciţiului  nostru: a=x şi b=7. Aplicând formula obţinem:

 (x+7)(x-7)= x^{2}-7^{2}

 (x+7)(x-7)= x^{2}-49

EXERCIŢIUL 2:  Efectuaşi calculele :

  •  a)  (x+2)^{2}+ (x-1)^{2}

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

 (x+2)^{2}+ (x-1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 2+ 2^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot 1+1^{2}= aplicatii-formule-de-calcul-prescurtat-ex-2

  •  b) (x-\sqrt{2}) ^{2}-(\sqrt{2}x+1) ^{2}

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

aplicatii-formule-de-calcul-prescurtat-ex-2-pct-b

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Formulele de calcul prescurtat

Clasa a VIII-aDragul meu părinte, bine te-am regăsit. În articolul anterior ţi-am explicat  cum facem “Operaţii între numerele reale  reprezentate prin litere”. Am explicat pas cu pas cum facem “Adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere” , dar şi Înmulţirea, Împărţirea, ridicarea la puterea a numerelor reale reprezentate prin litere” . În articolul de azi vreau să îţi prezint formulele de calcul prescurtat pentru numere reale.

(mai mult…)

Aceste formule sunt foarte importante deoarece le vom folosi în Operaţiile cu rapoarte. Aceste rapoarte compun un exerciţiu care se dă şi la examenul de capacitate. (Cel puţin în anul anterior  Examenul de Evaluare Naţională 2016 a avut un exerciţiu cu rapoarte).

Avem următoarele formule:

 (a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}

 (a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}

 a^{2}-b^{2}=(a- b)(a+b)

 (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c

 (a-b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c-2\cdot b\cdot c

 (a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot a\cdot b-2\cdot a\cdot c-2\cdot b\cdot c

 (a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot b-2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c

 (a+b)^{3}=a^{3}+3\cdot a^{2}\cdot b+3\cdot a\cdot b^{2}+b^{3}

 (a-b)^{3}=a^{3}-3\cdot a^{2}\cdot b+3\cdot a\cdot b^{2}-b^{3}

a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})

a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})

Acestea  sunt cele mai importante şi uzuale formule de calcul prescurtat pentru numerele reale. În curând voi reveni şi cu un articol cu Aplicaţii la formulele de calcul prescurtat în care voi prezenta câteva exerciţii cu un grad de dificultate diferit.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

1 2 3 5