Archive of ‘Uncategorized’ category

Exerciții rezolvate la modulul unui număr întreg

“Inteligența nu înseamnă să nu faci greșeli, ci să vezi repede cum poți să le îndrepți”

Brelot Breckt

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas  împreună cateva exerciții la “Modulul unui număr intreg”. (mai mult…)

Exercițiul 1: Completați pentru a obține propoziții adevarate:

a) \left \ | -11 \right \ |=?

b) \left \ | 13 \right \ |=?

c) \left \ | 0 \right \ |=?

d) \left \ | (-2)^2 \right \ |=?

e) \left \ | -3^4 \right \ |=?

f) \left \ | -7 +11 \right \ |=?

g) \left \ | -15 -6 \right \ |=?

h) \left \ | -2^2+3^2 \right \ |=?

i) \left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |=?

Rezolvare: 

Știm că modulul sau valoarea absolută  a unui număr întreg este valoarea pozitivă a acelui număr.

a) \left \| -11 \right \ |=11   ;     b) \left \ | 13 \right \ |=13   ;    c) \left \ | 0 \right \ |=0    ;        

d) \left \ | (-2)^2 \right \ |=?

Știm că semnul minus la putere pară obținem semnul + , astfel  (-2)^2=+ 4. Astfel obținem:

\left \ | (-2)^2 \right \ |=\left \ | 4 \right \ |=4

e)  \left \ | -3^4 \right \ |=?

Știm că semnul minus la putere impară obținem semnul – , astfel   -3^4=-81. Astfel obținem:

\left \ | -3^4 \right \ |=\left \ | -81 \right \ |=81

f) \left \ | -7 +11 \right \ |=?

Efectuăm calculele din modul după care explicităm modulul.

Știm că la adunarea a două numere întregi păstrăm semnul celui mai mare și efectuăm scădere între termini. Astfel obținem:

\left \ | -7 +11 \right \ |= \left \ | +4 \right \ |= 4

g) \left \ | -15 -6 \right \ |= ?

Efectuăm calculele din modul după care explicităm modulul.

Știm că la scăderea a două numere întregi negative păstrăm semnul  și efectuăm adunare între termini. Astfel obținem:

\left \ | -15 -6 \right \ |= \left \ | - 21 \right \ | = 21

h) \left \ | -2^2+3^2 \right \ |= ?

Mai întâi ridicăm numerele întregi la putere, apoi facem calculele după care explicităm modulul. Astfel obținem:

\left \ | -2^2+3^2 \right \ |= \left \ | - 4+9\right \ | = \left \ | +5\right \ | = 5

i) \left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |= ?

Pentru a putea explicita modului trebuie mai întâi să comparăm puterile:

Comparăm 2^{164}   cu  3^{123} .

Observăm că 164=4 \cdot 41 ,  iar  123= 3\cdot 41. Astfel obținem:

2^{4\cdot 41}   comparat cu 3^{3\cdot 41}. Aplicăm regulile de calcul cu puteri și obținem:

(2^{4})^{41} comparat cu  (3^{3})^{41}  \Rightarrow 16^{41} comparat cu  \Rightarrow 27^{41} .

Pentru că am obținut același exponent, comparăm bazele iar numărul cu baza mai mare va fii mai mare. Obținem astfel că : 2^{164} \lt 3^{123} \Rightarrow semnul rezultatului din modul va fii negative. În acest caz vom scoate termenii de sub modul cu semen schimbate.

\left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |= - 2^{164}+3^{123}

Pentru că avem puteri foarte mari lăsăm așa răspunsul final.

Exercițiul 2:  Rezolvați în Z ecuațiile:

a)   \left \| x \right \|=5

b) \left \| 2x-17 \right \|=21

c) 29-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4

d) 3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7

Rezolvare: 

a)  \left \| x \right \|=5 \Rightarrow x= \pm 5

b)  \left \| 2x-17 \right \|=21

Egalăm pe rând valoarea din modul cu 21 și cu -21.

  • \left \| 2\cdot x-17 \right \|=21 \Rightarrow 2\cdot x-17=21  \Rightarrow 2\cdot x=21+17 \Rightarrow 2\cdot x=38 \Rightarrow x=38 \ \ \ : \ \ \ 2 \Rightarrow x=19
  • \left \| 2x-17 \right \|=21\Rightarrow 2x-17=-21 \Rightarrow 2\cdot x=- 21+17 \Rightarrow 2\cdot x=- 4 \Rightarrow x=-4 \ \ \ : \ \ \ 2 \Rightarrow x=-2

x\in \left \{-2 \ \ ; \ \ 19 \right \}

d) 3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7

Aplicăm metoda mersului invers.

3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7 \ \ \ \ \ \ | \ \ +8

3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=7+8

3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=15

3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=15\ \ \ \ \ \ | \ \ : \ \ 3

 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9=15 \ \ : \ \ 3

 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9=5 \ \ \ \ \ \ | \ \ +9

 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | =5 +9

 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | =14 \ \ \ \ \ \ | \ \ :2

 \left \ | 2x- 3 \right \ | =14 \ \ \ :\ \ \ 2

 \left \ | 2x- 3 \right \ | = 7

Egalăm pe rând valoarea din modul cu 7 și cu -7.

 \left \ | 2x- 3 \right \ | = 7\Rightarrow 2\cdot x-3=-7 \ \ \ | \ \ \ +3\Rightarrow 2\cdot x=-4 \ \ \ | \ \ \ : \ \ \ \ 2 \Rightarrow x=-2

 \left \ | 2x- 3 \right \ | = 7\Rightarrow 2\cdot x-3=7 \ \ \ | \ \ \ +3  \Rightarrow 2\cdot x=10 \ \ \ | \ \ \ : \ \ \ \ 2 \Rightarrow x=5

x\in \left \{ -2\ \ \ ;\ \ \ 5 \right \}

Exercițiul 3 :  Rezolvați în mulțimea numerelor întregi inecuațiile:

a) \left \| x \right \|\leq 5

b) \left \| x-6 \right \|\ \ \ \lt \ \ \ 3

c) 29- 3\cdot \left \| 2x-7 \right \| \geq -4

Rezolvare: 

a) \left \| x \right \|\leq 5 \Rightarrow -5 \leq x\leq 5 \Rightarrow x\in \left \{ -5\ ;\ \ \ -4\ ; \ \ \ -3;\ -2;\ -1;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1;\ \ \ \ 2;\ \ \ 3;\ \ \ \ 4;\ \ \ \ 5 \right \}

b) \left \| x-6 \right \|\ \ \ \lt \ \ \ 3 \Rightarrow -3\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x-6\ \ \ \ \lt \ \ \ \3\ \ \ \ | \ \ \ +6\Rightarrow -3+6\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x\ \ \ \ \lt \ \ \ \3+6\ \  \Rightarrow 3\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x\ \ \ \ \lt \ \ \ \9\ \\Rightarrow x\in \left \{ 4 \ ;\ \ \ \5\ ;\ \ \ \6\ ;\ \ \ \7\ ;\ \ \ \8 \right \}

c) 29-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4\ \ \ | \ \ \ -29

-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4-29

-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -33 \ \ \ | \ \ \ \ :(-3)

În momentul în care înmulțim o inecuație cu un număr negativ se schimbă semnul. Astfel obținem:

\left \ | 2x-7 \right \ | \leq -33 \ \ \ \ :\ \ \ (-3)

\left \ | 2x-7 \right \ | \leq 11  \Rightarrow -11\leq 2x-7 \leq 11 \ \ \ | \ \ \ +7 \Rightarrow -11+7 \leq \ \ \ 2x \leq \ \ \ \ 11+7  \Rightarrow -4 \leq \ \ \ 2x \leq \ \ \ \ 18 \ \ \ | \ \ \ :\ \ 2  \Rightarrow -4\ \ \ :\ \ \ 2 \leq \ \ \ x \leq \ \ \ \ 18 \ \ \ :\ \ 2\Rightarrow - 2 \leq \ \ \ x \leq \ \ \ \ 9

\Rightarrow x\in \left \{ -2 \ ;\ \ \ \ -1\ ;\ \ \ \ 0 \ ;\ \ \ \ 1 \ ;\ \ 2 \ \ ;\ \ \ 3 \ ;\ \ \ \ 4\ ;\ \ \ \ 5\ ;\ \ \ \ 6\ ;\ \ \ \ 7\ ;\ \ \ \ 8\ ;\ \ \ \ 9\ \right \}

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea Fracțiilor

“Învată tot ce poți, în orice moment disponibil, de la oricine și întotdeuna va veni o vreme când te vei simți recompensat pentru ceea ce ai învațat”

Sarah Caldwel

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas  împreună cateva exerciții la “Adunarea și Scăderea Fracțiilor”. (mai mult…)

Exercițiul 1:        Calculați:

a) \frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=

b) -\frac{10}{9}+\frac{11}{9}+(-\frac{7}{9})=

c) -\frac{3}{{5}}+(-\frac{5}{{6}})+(+\frac{1}{{2}})+(+\frac{4}{{15}})=

d)-\frac{13}{{18}}+(-\frac{5}{{108}})+(-\frac{14}{{5}})+(-\frac{7}{{36}})=

Rezolvare:

  • a) \frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=

Observăm că cele 3 fracții au acelasi numitor, în acest caz efectuez calculele între numărători și pastrez numitorul.

  • -\frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}= \frac{7+2+5}{13}= \frac{14}{13}

 

  • b) -\frac{10}{9}+\frac{11}{9}+(-\frac{7}{9})=\frac{-10+11-7}{9}=

Avem la numărător -10+11-7 numere întregi cu semne diferite așa că vom respecta regula de adunare dacă termenii au semne diferite pastrăm semnul celui mai mare și efectuăm scădere. Noi avem -10+11   păstrăm semnul + și efectuîm 11-10

\frac{-10+11-7}{9}=\frac{+1-7}{9}=\frac{-6}{9}= \frac{-6}{9}^{(3}= \frac{-2}{3}

  • c) -\frac{3}{{5}}+(-\frac{5}{{6}})+(+\frac{1}{{2}})+(+\frac{4}{{15}})=

Observăm că în acest exercițiu fracțiile au numitor diferit așa că trebuie să determinăm numitorul comun.

Pentru a determina numitorul comun trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor de la numitor 5, 6, 2, 15.

Descompunem în factori primi cele 4 numere:

5=5

6=2\cdot3

2=2

15=3\cdot5

Calculăm c.m.m.m.c\left [ 5,6,2,15 \right ]=2\cdot3\cdot5=30

Deci numitorul comun este 30.

Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem  numitorul 30.

-_{{}}^{6)}\textrm{\frac{3}{{5}}}+(-_{{}}^{5)}\textrm{\frac{5}{{6}}})+ (+_{{}}^{15)}\textrm{\frac{1}{{2}}})+(+_{{}}^{2)}\textrm{\frac{4}{{15}}}) =

-\frac{18}{{30}}}+(-{\frac{25}{{30}}})+ (+{\frac{15}{{30}}})+(+{\frac{8}{{30}}})=

Știm că semnul (+) înmulțit cu semnul (-) obținem (-) , iar semnul (+) înmulțit cu semnul (+) obținem (+) . Astfel obținem:

  • -\frac{18}{{30}}}+(-{\frac{25}{{30}}})+ (+{\frac{15}{{30}}})+(+{\frac{8}{{30}}})=
  • -\frac{18}{{30}}}-{\frac{25}{{30}}}+ {\frac{15}{{30}}}+{\frac{8}{{30}}}=
  • \frac{-18-25+15+8}{{30}}}=
  •   \frac{-43+15+8}{{30}}}=
  •  \frac{- 28+8}{{30}}}=  \frac{- 20}{{30}}}^{(10} =- \frac{ 2}{{3}}}

d)      -\frac{13}{{18}}+(-\frac{5}{{108}})+(-\frac{14}{{5}})+(-\frac{7}{{36}})=

Determinăm numitorul comun:

18= 2\cdot 3^2

108= 2^2\cdot 3^3

5=5

36= 2^2\cdot 3^2

[18, 108, 5, 36]= 2^2\cdot 3^3\cdot 5=4\cdot 27\cdot 5=540

Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem  numitorul 540.

-_^{30)}\textrm{\frac{13}{{18}}}+(-_^{5)}\textrm{\frac{5}{{108}}})+(-_^{108)}\textrm{\frac{14}{{5}}})+(-_^{15)}\textrm{\frac{7}{{36}}})=

-{\frac{13\cdot30}{{18\cdot 30}}}+(-{\frac{5\cdot 5}{{108\cdot 5}}})+(-{\frac{14\cdot 108}{{5\cdot 108}}})+(-{\frac{7\cdot 15}{{36\cdot 15}}})=

-{\frac{390}{{540}}}+(-{\frac{25}{{540}}})+(-{\frac{1512}{{540}}})+(-{\frac{105}{{540}}})=

{\frac{-390-25-1512-105}{{540}}}=  {\frac{-(390+25+1512+105)}{{540}}}=  {\frac{-2032}{{540}}}^{(2}=  {\frac{-1016}{{270}}}^{(2}=  {\frac{-508}{{135}}}

 

Exercițiul 2:  Efectuați calculele:

a) [-3\frac{1}{{2}} +1\frac{1 }{{15}} ] + [-1\frac{1}{{7}}+2\frac{7 }{{3}} ]=

Introducem întregii în fracție:

(-\frac{3\cdot2+1}{{2}} +\frac{1\cdot 15+1 }{{15}} ) + (-\frac{1\cdot7+1}{{7}}+\frac{2\cdot3+7 }{{3}} )=

(-\frac{7}{{2}} +\frac{16 }{{15}} ) + (-\frac{8}{{7}}+\frac{13}{{3}} )=

Determinăm numitorul comun și aducem fracțiile la același numitor:

Știm că 2,3,7 și 5 sunt numere prime între ele. Numitorul comun este 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7= 210

Amplificăm fracțiile și obținem:

(-_{{}}^{105)}\textrm{\frac{7}{{2}}}+_{{}}^{14)}\textrm{\frac{16}{{15}}})+(-_{{}}^{30)}\textrm{\frac{8}{{7}}}+_{{}}^{70)}\textrm{\frac{13}{{3}}})=  (-{\frac{735}{{210}}}+{\frac{224}{{210}}})+(-{\frac{240}{{210}}}+{\frac{910}{{210}}})=

{\frac{-735+224}{{210}}}+{\frac{-240+910}{{210}}}=  {\frac{-511}{{210}}}+{\frac{670}{{210}}}=  {\frac{-511+670}{{210}}}= {\frac{159}{{210}}}^{(3}= {\frac{53}{{70}}}

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Cel Mai Mare Divizor Comun (c.m.m.d.c)

„Dacă oamenii ar învăța să meargă și să vorbească așa cum sunt învățați să scrie și să citească, toată lumea ar șchiopăta și s-ar bâlbâi.”
Mark Twain
Dragul meu părinte bine te-am regăsit!
Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții  la cel mai mare divisor comun (c.m.m.d.c).

(mai mult…)

Exercițiul 1: Aflați cel mai mare divizor comun al următoarelor numere:

a) 24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18

b) 28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63

c) 120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360

d) 121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49

Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.d.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri. 

  • a) 24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18

24=2^3\cdot 3

12=2^2\cdot 3

18=2\cdot 3^2

(24,12,18)=2\cdot 3=6

Cel mai mare divizor comun este produsul factorilor comuni luați o singură dată la puterea cea mai mică. 

Analizând descompunerile observăm că 2 și 3 se repeată în toate cele 3 descompuneri asa că îi considerăm factori comuni, iar cea mai mica putere este 1. 

b) 28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63

28=2^2 \cdot 7

147=3 \cdot 7^2

63=3^2 \cdot 7

(28, 147, 63)=7

c) 120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360

120=2^3\cdot 3\cdot 5

240=2^4\cdot 3\cdot 5

360=2^3\cdot 3^2\cdot 5

(120, 240, 360)= 2^3 \cdot 3\cdot 5= 8\cdot 3\cdot 5=120

d) 121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49

121=11^2

330=2\cdot 3\cdot 5\cdot 11

49=7^2

(121, 330, 49)= 1

  • Observăm că nu avem factori comuni așa că c.m.m.d.c-ul este 1.

Exercițiul 2: Determinați 5 numere naturale care divid simultan următoarele numere: 1260, 3780, 6300.

Rezolvare:  Descompunem în factori primi numerele.

1260= 2^2\cdot 3^2\cdot5\cdot 7

3780= 2^2\cdot 3^3\cdot5\cdot 7

6300= 2^2\cdot 3^3\cdot5^2\cdot 7

(1260, 3780, 6300)= 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7==4\cdot 9\cdot 5\cdot 7= 36\cdot 5\cdot 7=180\cdot 7=1260

Toate numerele formate din factorii c.m.m.d.c-ului mai mici decat 1260 vor divide cele trei numere.

Formam astfel 5 numere naturale:

2^2\cdot 5=4\cdot 5=20  \Rightarrow 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

2^2\cdot 7=4\cdot 7=28 \Rightarrow 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

3^2\cdot 5=9\cdot 5=45 \Rightarrow 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

3^2\cdot 7= 9\cdot 7=63 \Rightarrow 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180 \Rightarrow 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

Exercițiul 3:  Află două numere naturale care îndeplinesc simultan condițiile: 

(a,b)=25 și a-b=50      a; b \gt 101;    a;b\lt 199

Rezolvare: 

Dacă (a; b )=25  \Rightarrow a= 25\cdot x și  b= 25\cdot y iar (x,y)=1.

Înlocuim în cea de-a doua relație pe care trebuie să o respectăm și obținem:

25\cdot x-25\cdot y=50

Dăm factor comun pe 25 și obținem:

25\cdot (x-y)=50 \ \ \ \ | \ \ \ :\ \ \ 25

 (x-y)=50 \ \ \ :\ \ \ 25

 x-y=2

Dar exercițiul ne spune în enunț că a și b sunt cuprinse între numerele 101 și 199.

In acest caz cel mai mic număr ar fi 125 \ \ \ \vdots \ \ \ 25 ., iar cel mai mare număr este 175 \ \ \ \vdots \ \ \ 25 .

Din această informație deduce că: x=5 \Rightarrow y=3 \Rightarrow a=125\Rightarrow b=75

Pentru x=6 \Rightarrow y=4 \Rightarrow (6,4)=2 \Rightarrow această variant nu este convenabilă.

Pentru x=7 \Rightarrow y=5 \Rightarrow a=175\Rightarrow b=125

Exercițiul 4: Calculați c.m.m.d.c-ul numerelor a și b știind că:

a=2^n\cdot 3^{n+2}+5^2\cdot 2^{n+1}\cdot3^n+7\cdot 6^n și b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}

Rezolvare: 

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot (2\cdot3)^n

a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot 2^n\cdot 3^n

Observăm că 2^n\cdot 3^n se repeată în toți termenii adunării așa că îi vom da factor comun:

a=2^n\cdot 3^n\cdot(3^2+5^2\cdot2^1+7)

a=2^n\cdot 3^n\cdot(9+25\cdot2+7)

a=2^n\cdot 3^n\cdot 66

a=2^n\cdot 3^n\cdot 2\cdot 3\cdot 11

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

Calculăm b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}

Aplicăm regulile de calcul cu puteri si obținem:

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+(5\cdot 7)^n\cdot 5^2+(5\cdot 7)^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+35^n\cdot 5^2+35^n\cdot 7^1

Observăm că 35^n se repeat în toți termenii și îl dăm factor comun:

b=35^n(2\cdot 35^1+5^2+7^1)

b=35^n\cdot (70+25+7)

b=35^n\cdot 102

b=(5\cdot 7)^n\cdot 102

b=5^n \cdot 7^n \cdot 102

Calculăm c.m.m.d.c-ul celor două numere:

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

b=5^n \cdot 7^n \cdot 102

Descompunem 102 și obținem:

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

b=5^n \cdot 7^n \cdot 2\cdot 3\cdot17

(a,b)= 2\cdot 3= 6

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural

“Educaţia ar fi mult mai eficientă dacă scopul acesteia ar fi ca la ieşirea din şcoală, fiecare copil să conştientizeze cât de multe lucruri nu ştie şi să fie cuprins de o dorinţă permanentă să le afle. – William Haley

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la lecția Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural. (mai mult…)

Exercițiul 1: Scrieți divizorii proprii și divizorii improprii ai numărului 21.

Rezolvare: 

Divizorii proprii ai lui 21 sunt: 3 și 7.

Divizorii improprii ai lui 21 sunt: 1 și 21.

Exercițiul 2 :

Determinați numărul natural x știind că x-3 este divizorul numărului natural 15. 

Rezolvare: 

 x-3 \in D_{15} \Rightarrow x-3 \in \left \{ 1,3,5,15 \right \}

Deoarece pe noi ne interesează valorile pe care le poate lua x vom egala cu fiecare număr si vom afla multimea valorilor lui x.

 x-3=1 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=1+3 \Rightarrow x=4

 x-3=3 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=3+3 \Rightarrow x=6

 x-3=5 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=5+3 \Rightarrow x=8

 x-3=15 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=15+3 \Rightarrow x=18

Soluție: x\in \left \{ 4, 6, 8, 18 \right \}

Exercițiul 3:  Determinați: 

a)  D_{{28}} \cup D_{{12}}

b)  D_{{28}} \cap D_{{12}};

Rezolvare: 

Scriem mulțimea divizorilor lui 28.

D_{{28}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}

Scriem mulțimea divizorilor lui 12.

D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}

a) Reunim cele două mulțimi și obținem: D_{{28}} \cup D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}

  • Reamintim că Reuniunea a două mulțimi A și B este mulțimea notată A \cup B, formată din toate elementele celor două mulțimi comune și necomune, luate o singură dată.

b)  Intersectăm cele două mulțimi și obținem: D_{{28}} \cap D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \right \}

  • Reamintim că  Intersecția: a două mulțimi A și B este mulțimea notată A\cap B , formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură data.

Exercițiul 4:  Se consider inecuația 4\cdot x -1 \leq 39-x

a) Care dintre soluțiile inecuației sunt divizori ai numărului natural 12?

b) Care dintre soluțiile inecuației sunt multiplii lui 3?

Rezolvare: 

Rezolvăm inecuația: 4\cdot x -1 \leq 39-x.

Mutăm toți termenii care îl conțin pe x într-o parte iar ceilalti termini în cealaltă parte având grijă să schimbăm semnele.

4\cdot x +x \leq 39 +1

5\cdot x \leq 40

5\cdot x \leq 40 \ \ \ /\ \ \ :\ \ 5

x \leq 40 \ \ \ :\ \ 5 \Rightarrow x \leq 8  \Rightarrow x \in \left \{ 0\ \ \ ;\ \ \ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ \ ;\ \ \ \ 4\ \ \ ; \ \ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 8\ \ \ \right \}

a) Scriem mulțimea divizorilor lui 12:

D_{{12}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}

Acum intersectăm cele două mulțimi și obținem mulțimea

 \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}

b) Scriem mulțimea multiplilor lui 3

M_{3} =\left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 9\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 18\ ............ \right \}

Intersectăm mulțimea valorilor lui x cu mulțimea multiplilor lui 3 și obținem mulțimea: \left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers

“Învingătorii nu renunță, iar cei care renunță nu ajung învingători!”

Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate  la Metoda Mersului Invers! (mai mult…)

Exercițiul 1:     3(x+2) - 7=14

Rezolvare:  Știm din clasele mici că într-un exerciţiu în care sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise. Analizând exercițiul nostru observăm că nu putem efectua calculele din paranteza rotunda deoarece avem o necunoscută. În acest caz pentru a-l afla pe x prima oară îl mutăm pe 7 cu semn schimbat în partea dreaptă a egalului.

3(x+2) - 7=14   / +7  \Rightarrow   3(x+2)=14+7 \Rightarrow

3(x+2)=21/ :\ \ \ \ 3  \Rightarrow   x+2=21 \ \ \ :\ \ \ 7  \Rightarrow

x+2=3/ -2  \Rightarrow   x=3-2   \Rightarrow   x=1

Exercițiul 2:    100\cdot [25-6\cdot (x-3)+2]\ \ \ : \ \ \ 3=300

Rezolvare: 

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] \ \ \ : \ \ \ 3=300   / \ \ \ \cdot 3

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] = 300 \cdot 3

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] = 900 / \ \ \ : \ \ \ 100

25-6\cdot (x-3)+3 = 900\ \ \ : \ \ \ 100

25-6\cdot (x-3)+3 = 9   / - 3

25- 6\cdot (x-3) = 9 - 3

25- 6\cdot (x-3) = 6

Deoarece necunoscuta mea este în pozitia scăzătorului atunci vom scrie:

 6\cdot (x-3) =25 - 6  \Rightarrow    6\cdot (x-3) =18     / \ \ \ :\ \ \ 6  \Rightarrow

x-3 =18\ \ \ :\ \ \ 6  \Rightarrow   x-3 =3   /+3  \Rightarrow   x =3+3  \Rightarrow   x =6

Exercițiul 3:  90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212

Rezolvare: De data aceasta primul termen mutat cu semn schimbat este 90 cu semnul –

90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212    /-90

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212-90

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=122    /\cdot 4

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] =122 \cdot 4

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18 =488 / - 18

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=488-18

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=470   / \ \ \ :\ \ \ 2

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=470 \ \ \ :\ \ \ 2   \Rightarrow (420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=235

\Rightarrow (205+5\cdot a)=235   / - 205

\Rightarrow 5\cdot a=235 -205   \Rightarrow 5\cdot a=30  / \ \ \ : \ \ \ 5

\Rightarrow a=30 \ \ \ :\ \ \ 5   \Rightarrow a=6

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Metoda Mersului  Invers  pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Metoda Mersului Invers

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.” 

Exerciții rezolvate la Factorul Comun la Puteri

“Un ratat nu știe ce va face dacă pierde, dar vorbește despre ce va face dacă va castiga. Un învingător nu vorbește despre ce va face dacă va caștiga, dar știe ce va face dacă pierde.”
Eric Berne
Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună cateva exerciții la “Factorul comun la Puteri”.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Efectuați calculele, folosind factorul comun:

a) 3^{96}+3^{98}+3^{100}

b) 2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}

c) 8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}

d) 3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}

e) 6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}

  • Rezolvare: 
  • a) 3^{96}+3^{98}+3^{100}
  • Adunarea este o operație de gradul I și ridicarea la putere este o operație de gradul III, iar ordinea efectuării operațiilor ne spune că trebuie să facem mai întâi operațiile de gradul III și apoi cele de gradul I

Observăm că avem puteri foarte mari și nu putem ridica la putere așa că ne vom folosi de factorul comun și vom da factor comun puterea cea mai mică.

Observăm că 3^{96} este puterea cea mai mică asa ca îl dăm factor comun pe 3^{96} și obținem:

3^{96}\cdot(3^{96-96}+3^{98-96}+3^{100-96})

Scădem puterile și obținem:

3^{96}\cdot(3^{0}+3^{2}+3^{4})

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

3^{96}\cdot(1+9+81)=3^{96}\cdot91

  • b)      2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}

Observăm că  2^{47} este puterea cea mai mică așa că îl dăm factor comun pe 2^{47} și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot2^{47-47}+3\cdot2^{48-47}+2^{50-47})

Scădem puterile și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot2^{0}+3\cdot2^{1}+2^{3})

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot 1+3\cdot2+8)

Efectuăm  înmulțirile și obținem:

2^{47}\cdot(2+6+8)=

Efectuăm adunarea din paranteză și obținem:

2^{47}\cdot 16=

Știm că 16 îl putem scrie în baza 2 ca 2^{4} și obținem

2^{47}\cdot2^{4}=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și scriem baza și adunam exponenții:

2^{47+4}=2^{51}

  • c)   8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}

Observăm că 8^{297} este cea mai mică putere, îl dăm factor comun pe 8^{297} și obținem:

8^{297}\cdot(8^{300-297}-24\cdot8^{298-297}-64\cdot8^{297-297})

Scădem puterile și obținem:

8^{297}\cdot(8^{3}-24\cdot8^{1}-64\cdot8^{0})

Ridicăm la putere termenii din paranteză și obținem:

8^{297}\cdot(512-24\cdot8-64\cdot1) =

Efectuăm înmulțirile din paranteză și obținem:

  • 8^{297}\cdot(512-192-64) =

Efectuăm scăderea din paranteza rotundă și obținem:

8^{297}\cdot 256 =

Știm că putem scrie 8=2^3 și 256=2^8 și obținem:

(2^3)^{297}\cdot 2^8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri înmulțim puterile și obținem:

2^{3\cdot297}\cdot 2^8=2^{891}\cdot 2^8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, scriem baza și adunam puterile și obținem astfel:

2^{891+8}=2^{899}

  • d)  3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

3^{2n}\cdot3^2+7\cdot 3^{2n}\cdot3^1-6\cdot3^{2n}=

Observăm că se repetă în fiecare termen al adunării 3^{2n},  îl dăm factor comun și obținem:

3^{2n}\cdot(3^2+7\cdot3^1-6\cdot1)=

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

3^{2n}\cdot(9+7\cdot3-6)=

Efectuăm Înmulțirea din paranteză și obținem:

3^{2n}\cdot(9+21-6)=

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

3^{2n}\cdot 24=3^{2n}\cdot 3\cdot8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri scriem baza și adunăm exponenții și obținem:

3^{2n+1}\cdot8

  • d) 6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri  transformăm bazele pe 6 îl scriem 6=2\cdot3 , pe 4=2^2, 9=3^2 , pe  18=2\cdot3^2  și obținem:

(2\cdot3)^{2n+1}+6\cdot (2^2)^{n+1}\cdot (3^2)^{n+2}+(2\cdot3^2)^{n+1}\cdot2^{n+1}

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, distribuim puterea și obținem:

2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2\cdot(n+1)}\cdot 3^{2\cdot(n+2)}+2^{n+1}\cdot3^{2(n+1)}\cdot2^{n+1}

2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2n+2}\cdot 3^{2n+4}+2^{n+1}\cdot3^{2n+2}\cdot2^{n+1}

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^2\cdot2^{n}\cdot2^1

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n+n}\cdot2^{1+1}\cdot3^{2n}\cdot3^2

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{2n}\cdot2^{2}\cdot3^{2n}\cdot3^2

Observăm că se repeta 2^{2n}\cdot3^{2n} și îl dăm factor comun, astfel obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2^1\cdot3^1+6\cdot2^2\cdot3^4+2^{2}\cdot3^2)

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2\cdot3+6\cdot4\cdot81+4\cdot9)

Efectuăm înmulțirile din paranteza rotundă și obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(6+1944+36)

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot 1986=(2\cdot3)^{2n}\cdot 6\cdot331=(6)^{2n}\cdot 6^1\cdot331=(6)^{2n+1}\cdot331

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în Clubul de “Matematică Math More Easy.” 

Exerciții Rezolvate la Descompunerea În Factori Primi

“Descurajarea și înfrângerile sunt unele dintre cele mai sigure căi către succes.”

Dale Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție  extrem de importanta Descompunerea în Factori Primi a unui Număr Natural.  (mai mult…)

Exercițiul 1 :

Descompuneți în produs de factori primi următoarele numere naturale:

a) 120

b) 3528;

c)36000

Rezolvare: 

  • a) Pentru că 120 se divide cu 10 (numărul 120 se termină in 0), iar 10 nu este număr prim vom împărți mai întâi prin 2\cdot 5
  • Rămâne 12 care este un număr par și se divide cu 2.
  • Deci 120 descompus în factori primi este: 120=2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1
  • b) 3528

  • Pentru că 3528 este un număr par de divide cu 2.
  • Pentru că 441 este un număr impar și  nu se mai divide cu 2, verificăm criteriul de divizibilitate cu 3.
  • 4+4+1=9\ \ \ \vdots\ \ \ 3
  • Mai departe împărțim prin 3.
  • Pentru că 49 nu se mai divide cu 3 și nu se divide nici cu 5 încercăm cu următorul număr prim cu 7.
  • Astfel obținem 3528 descompus în factori primi: 3528=2^3 \cdot 3^2 \cdot7^2
  • c) 36000
  • Pentru că 36000 se termină în trei cifre de 0 înseamnă că de divide cu  1000=10^3=(2\cdot5)^3=2^3 \cdot 5^3
  • Deci obținem:
  • Astfel putem scrie 36000=2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^3

 

Exercițiul 2 :

Determinați  numerele naturale “m”, “n” și “p”astfel încât să obțineți propoziții adevărate:

a) 36=2^n \cdot 3^p

b) 360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m

c) 720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m

Rezolvare:

Descompunem în factori primi numerele 36, 360 și 720.

descompunere in factori primi

  • Obținem astfel:
  • a) 36=2^n \cdot 3^p
  •  36=2^2\cdot 3^2 \Rightarrow n=2 și  p=2
  • b) 360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m
  •  360=2^3 \cdot 3^2\cdot 5^1 \Rightarrow n=3 \ \ \ ; \ \ \ p=2 și m=1
  • c) 720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m
  •  720=2^4 \cdot 3^2\cdot 5^1\Rightarrow n=4 \ ; \ \ \ p=2 și m=1

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy”.  

Exerciții rezolvate la Numere Prime

” Nimic nu-I poate opri pe omul cu atitudine pozitivă, nimic nu-l poate  ajuta pe omul cu mentalitate greșită”.

Thomas Jefferson

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție  extrem de importanta Numere Prime între ele. (mai mult…)

Exercițiul 1:  Descompune în factori primi numerele de mai jos și arată că numerele sunt prime între ele.

a) 24 și 77

b) 360 și 1001

c) 84 și 125

Rezolvare:

a) 24 și 77

Descompunem în factori primi cele două numere.

24=2^3 \cdot 3

77=7\cdot 11

(24, 77)=1

Deoarece c.m.m.d.c-ul celor două numere este 1 \Rightarrow cele două numere nu au nici un divisor comun în afară de 1 deci sunt prime între ele.

b) 360 și 1001 

Descompunem în factori primi cele două numere.

360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5

1001=7\cdot 11 \cdot 13

(360, 1001)=1  \Rightarrow 360 și 1001 sunt numere prime între ele.

c) 84 și 125

Descompunem în factori primi cele două numere.

84=2^2\cdot 3\cdot 7

125=5^ 3

(84,125)=1\Rightarrow 84 și 125 sunt numere prime între ele.

Exercițiul 2:  Arată că numerele naturale  (4n+3,\ \ \ 6n+5) sunt prime între ele  oricare ar fi n\in N.

Rezolvare: 

Pentru a demonstra că numerele : 4n+3 și 6n+5 sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere naturale 4n+3 și 6n+5 au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural “d”  care divide numerele 4n+3 și 6n+5.

d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+3 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 3 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+9

d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 6n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 2 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10

Scădem cele două relații și obținem: d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10-12n-9 \ \  \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1 \Rightarrow (4n+3, 6n+5)=1 \Rightarrow numerele 4n+3 și 6n+5 sunt prime între ele.

Exercițiul 3:  Arată că numerele naturale  5n+6 și 4n+5 sunt prime între ele  oricare ar fi n\in N.

Rezolvare: 

Pentru a demonstra că numerele : 5n+6 și 4n+5 sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere natural 5n+6 și 4n+5 au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural “d”  care divide numerele 5n+6 și 4n+5 .

d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 5n+6 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 4 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+24

d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 5 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25

Scădem cele două relații și obținem: d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25-20n-24 \ \ \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1 \Rightarrow (5n+6, 4n+5)=1 \Rightarrow numerele 5n+6 și 4n+5 sunt prime între ele.

Exercițiul 3:  Află numărul natural x astfel încât:

a) (\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1

b) (\overline{51x}\ \ \ ,\ \ \ 12)=1

Rezolvare:

Pentru a demonstra că cele două numere \overline{5x} și 10 nu au nici un divizor comun  scriem mulțimea divizorilor lui 10.

D_{{10}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 10 \right \}

Dacă (\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1 \Rightarrow numerele: 2, 5 și 10 nu trebuie să dividă \overline{5x} \Rightarrow

Dacă 2 nu divide \overline{5x}  \Rightarrow x este un număr impar \Rightarrow  x\in \left \{ 1,3,5,7,9 \right \}; dacă 5 nu divide \overline{5x}  \Rightarrow x nu poate fi 0 sau 5; dacă 10 nu divide \overline{5x}  \Rightarrow x nu poate fi 0

\Rightarrow x\in \left \{ 1,3,7,9 \right \}.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Pătrate Perfecte!

“Nu poți împinge pe nimeni să urce pe o scară dacă nu este dispus să o urce singur ”

Andrew Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior am prezentat cateva “Exerciții Rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural”. Astăzi te invit să rezolvăm și să explicăm câteva exerciții la Pătrate Perfecte. Să vedem cum putem arăta că un număr foarte mare poate fi sau nu pătrat perfect!

(mai mult…)

Exercițiul 1: 

Arătați că numărul a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002) este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul “a” este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul “a”se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că în paranteză avem  Suma Gauss a primelor 2002 numere naturale consecutive așa că vom aplica formula de calcul a lui Gauss.
  • a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002)
  • a=2003 + 2\cdot [2002\cdot (2002+1)\ : \ 2]
  • a=2003 + 2\cdot [2002\cdot 2003 \ : \ 2]
  • Pentru că înmulțirea și împărțirea sunt operații de același ordin putem efectua mai întâi operația de împărțire.
  • a=2003 + 2\cdot [2002\ \ : \ 2 \cdot 2003]
  • a=2003 + 2\cdot 1001 \cdot 2003
  • a=2003 + 2002 \cdot 2003
  • Dăm factor comun pe 2003.
  • a=2003\cdot (1 + 2002)
  • a=2003\cdot 2003
  • a=2003^2.
  • \Rightarrow numarul \ este pătrat perfect.
Exercițiul 2: 

Arătați că numărul  a=81+81 \cdot 2+ 81 \cdot 3+.....................+81 \cdot 49 este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul “a” este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul “n”se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că 81 se repetă și îl putem da factor comun.
  • a=81\cdot (1+ 2+ 3+.....................+49).
  • În paranteză obținem   Suma Gauss a primelor 49 numere naturale consecutive așa că vom aplica metoda de calcul a lui Gauss.
  • a=81\cdot [49 \cdot(49+1) \ \ : \ 2 ]
  • a=81\cdot [49 \cdot 50 \ \ : \ 2 ]
  • a=81\cdot 49 \cdot 25
  • a=9^2\cdot 7^2 \cdot 5^2
  • Aplicăm Regulile de Calcul cu Puteri și obținem:
  • a=(9\cdot 7 \cdot 5)^2
  • a=315^2
Exercițiul 3:  

Arătați că numărul   n= 27^9 \cdot 32^{11} \ \ : \ \ 2 - 16^6\cdot 2\cdot 6^{27} este pătrat perfect.

  • Rezolvare:  Pentru a arăta că numărul “n” este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că pe 27 îl putem scrie ca bază 3, pe 16 și 32 îi putem scrie ca baza 2 iar pe 6 îl putem scrie ca produsul 2\cdot 3
  • n= (3^3)^9 \cdot (2^5)^{11} \ \ : \ \ 2^1 - (2^4)^6\cdot 2^1 \cdot (2\cdot3)^{27}
  • Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:
  • n= 3^{3\cdot9} \cdot 2^{5\cdot 11} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{4\cdot 6}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{55} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{24}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{55-1} - 2^{24+1+27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{54} - 2^{52}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 2^2 - 2^{52}\cdot 3^{27}
  • Observăm că se repetă  3^{27} \cdot 2^{52} și îi dăm factor comun.
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (2^2 - 1)
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (4 - 1)
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3^1
  • n= 3^{27+1} \cdot 2^{52}
  • n= 3^{28} \cdot 2^{52}
  • n= (3^{14} \cdot 2^{26} )^2 \Rightarrow n este pătrat perfect
Exercițiul 4:  

Arătați că numărul  n= 2^{2011}- 2^{2010}-2^{2009}-2^{2008}  este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul “n” este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Aplicând Regulile de Calcul cu Puteri  putem scrie: 2^{2011}= 2^{2008}\cdot 2^{3}2^{2010}= 2^{2008}\cdot 2^{2} și 2^{2009}= 2^{2008}\cdot 2^{1}. Obținem astfel:
  •  n= 2^{2008}\cdot 2^{3} - 2^{2008}\cdot 2^{2} - 2^{2008}\cdot 2^{1} -2^{2008}
  • Observăm că se repetă  2^{2008} și putem sa îl dăm factor comun:
  •  n= 2^{2008}\cdot (2^{3} - 2^{2} - 2^{1} - 1)
  •  n= 2^{2008}\cdot (8 - 4 - 2 - 1)
  •  n= 2^{2008}\cdot 1
  •  n= 2^{2008}
  •   n= (2^{1004})^2 \Rightarrow n este pătrat perfect

 

Exercițiul 5: 

Arătați că numărul a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002}   nu este pătrat perfect.

  • Rezolvare: Observăm că avem Suma Gauss a puterilor lui 2. Pentru a rezolva acest exercițiu înmultim întreaga expresie matematică cu un 2. 
  • a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002} | \ \ \ \cdot2
  • 2\cdot a= 2\cdot 2^{1504} + 2\cdot 2^{1505} + 2\cdot 2^{1506} +..............+2\cdot 2^{2002}
  • 2\cdot a= 2^{1504+1} + 2^{1505+1} + 2^{1506+1} +..............+ 2^{2002+1}
  • 2\cdot a= 2^{1505} + 2^{1506} + 2^{1507} +.............+2^{2002}+ 2^{2003}
  • Scădem cele două relații și obținem:
  • suma gauss a puteror lui 2

  •  a = 2^{2003} - 2^{1504}
  • Pentru a demonstra că numărul  a = 2^{2003} - 2^{1504} nu este pătrat perfect trebuie să arătăm că Ultima cifră a lui a aparține mulțimii: \left \{ 2,3, 7,8 \right \}.
  • Calculăm Ultima cifră a numărului a = 2^{2003} - 2^{1504}
  •  U(a) = U(2^{2003} - 2^{1504})
  •  U(a) = U(2^{2003}) - U(2^{1504})
  • Calculăm  U(2^{2003}) .
  • Mai întâi calculăm puterilelui 2.
  • Observăm că ultima cifră se schimbă din 4 în 4.
  • Împărțim 2003 la 4 și obținem câtul 500 și restul 3.
  •  U(2^{2003})=U(2^{4\cdot 500+3})=U[(2^4)^{500}\cdot 2^3]=U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)
  • Dacă privim atent puterile lui 2 observăm ca ultima cifră a lui 2^4 este 6 și astfel obținem:
  • U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)= U[U(6^{500})\cdot 8]
  • Știm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifra tot 6.
  • Și obținem: U[U(6^{500})\cdot 8]=U(6 \cdot 8)= U(48)=8
  • Am obținut că  U(2^{2003})=8
  • Calculăm  U(2^{1504}).
  • Împărțim 1504 la 4 și obținem câtul 376.
  •  U(2^{1504})=U(2^{4\cdot 376})=U[(2^4)^{376}]
  • U(2^4)=6\Rightarrow U[(2^4)^{376}]=U(6^{376})=6
  • Am obținut astfel:  U(a) = U(2^{2003}) – U(2^{1504})=8-6=2
  • Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi 2 \Rightarrow  a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002} nu este pătrat perfect

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

Criteriile de divizibilitate

“Mintea umană este ca o parașută. E inutilă dacă nu se deschide.”

Frank Zappa

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior ți-am prezentat lecția “Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural”. Am învățat împreună care sunt divizorii unui număr, care sunt multiplii unui număr natural și cum arătăm dacă un număr natural divide sau nu un alt număr natural. Astăzi voi continua cu o noua lecție la acest capitol “Criteriile de divizibilitate” .

(mai mult…)

Criteriul de divizibilitate cu 2

  • Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este o cifră pară.
  • numar-divizibil-cu-2

Criteriul de divizibilitate cu 5

  • Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5
  • numar-divizibil-cu-5

Criteriul de divizibilitate cu 10.

  • Un număr natural este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0.
  • numar-divizibil-cu-10

Criteriul de divizibilitate cu 100(1000, 10000, etc).

  • Un număr natural este divizibil cu 100(respectiv 1000, 10000, etc) dacă și numai dacă ultimile două (respectiv trei, patru, etc) cifre ale numărului sunt egale cu 0.
  • numar-divizibil-cu-100

Criteriul de divizibilitate cu 3 (respectiv 9).

  • Un număr natural este divizibil cu 3 (respectiv 9) dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 (respectiv 9).
  • numar-divizibil-cu-3

Criteriul de divizibilitate cu 4.

  • Un număr natural este divizibil cu 4  dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4
  • numar-divizibil-cu-4

Criteriul de divizibilitate cu 25.

  • Un număr natural este divizibil cu 25  dacă și numai dacă  ultimele două cifre ale sale sunt 00, 25, 50 sau 75.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor  dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

1 2 3 6