Categorie: Fracții Ordinare

Compararea Fracțiilor (Numere Raționale)

„A-ţi dori să ai succes fară a munci din greu este ca şi cum ai încerca să culegi roadele pe care nu le-ai semănat vreodata.”

David Bly

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate  la Compararea Numerelor Raționale (Fracții)! (mai mult…)

Exercițiul 1: Comparați fracțiile:

a) \frac{5}{{8}}    cu   \frac{7}{{8}}     ;          b) \frac{3}{{5}}  cu   \frac{3}{{4}}

c) 1\frac{5}{{7}}  cu 1\frac{3}{{7}}     ;          d) 2\frac{1}{{3}}  cu  1\frac{2}{{3}}

e)  4\frac{1}{{10}}  cu   \frac{41}{{10}}   ;       f) 3\frac{5}{{9}}    cu    \frac{33}{{9}}

Rezolvare: 

  • a) Pentru a compara două fracții care au același numitor comparăm numărătorii iar fracția cu numărătorul mai mare este mai mare.

 \frac{5}{{8}} \lt \frac{7}{{8}}

  • b)  Pentru a compara două fracții care au același numărător comparam numitorii, iar fracția cu numitorul  mai mic este mai mare.

 \frac{3}{{5}} \lt \frac{3}{{4}}

  • c) Pentru a compara cele două fracții  mai întâi introducem întregii în fracție și apoi comparăm cele două fracții.

 1\frac{5}{{7}} \ \ \ \ cu \ \ \ 1 \frac{3}{{7}}    \Rightarrow \frac{1\cdot 7+5}{{7}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1\cdot 7+3}{{7}}   \Rightarrow \frac{ 7+5}{{7}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{ 7+3}{{7}}  \Rightarrow \frac{12}{{7}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{10}{{7}}

Pentru că am obținut două fracții cu același numitor comparăm numărătorii

12 \gt 10 \Rightarrow \frac{12}{{7}} \ \ \gt \ \ \frac{10}{{7}}

  • d) 2 \frac{1}{{3}} \ \ \ cu \ \ \ 1\frac{2}{{3}}    \Rightarrow \frac{2\cdot 3+1}{{3}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{1\cdot 3+2}{{3}}   \Rightarrow \frac{7}{{3}} \gt \frac{5}{{3}}
  • e) 4 \frac{1}{{10}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{41}{{10}}     \Rightarrow \frac{4\cdot 10+1}{{10}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{41}{{10}}  \Rightarrow \frac{41}{{10}} = \frac{41}{{10}}
  • f) 3 \frac{5}{{9}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{33}{{9}}     \Rightarrow \frac{3\cdot 9+5}{{9}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{33}{{9}}  \Rightarrow \frac{27+5}{{9}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{33}{{9}} \Rightarrow \frac{32}{{9}} \ \ \ \ \lt \ \ \ \frac{33}{{9}}

Exercițiul 2: Comparați fracțiile:

a)  \frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1}{{2}}

b)  1\frac{1}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ 1 \frac{5}{{12}}

c)   3\frac{1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}

d)   \frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ 4\frac{1}{{6}}

Rezolvare: 

a)   \frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1}{{2}}}

  • Pentru a compara două fracții care au numitorii diferiti, mai întâi le aducem la același numitor și apoi le comparăm.

 \frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ ^{2)}\textrm{ \frac{1}{{2}}}   \Rightarrow \frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{2}{{4}}}  \Rightarrow \frac{3}{{4}} \ \ \ \ \gt \ \ \ \frac{2}{{4}}}

b) 1 \frac{1}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ 1\frac{5}{{12}}}   \Rightarrow \frac{1\cdot 3+1}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1\cdot 12+5}{{12}}}  \Rightarrow \frac{4}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{17}{{12}}}   \Rightarrow _{}^{4)}\textrm{\frac{4}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{17}{{12}}}}

\Rightarrow \frac{16}{{12}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{17}{{12}}}}   \Rightarrow \frac{16}{{12}} \ \ \ \ \lt \ \ \ \frac{17}{{12}}}}

c) 3 \frac{1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}   \Rightarrow \frac{3\cdot 8+1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}   \Rightarrow \frac{24+1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}  \Rightarrow \frac{25}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}

\Rightarrow _{}^{5)}\textrm{} \frac{25}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ _{}^{4)}\textrm{}\frac{37}{{10}}}}   \Rightarrow \frac{125}{{40}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{148}{{40}}}}    \Rightarrow \frac{125}{{40}} \ \ \ \ \lt \ \ \ \frac{148}{{40}}}}

d)  \frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ 4\frac{1}{{6}}}}  \Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{4\cdot 6+1}{{6}}}}    \Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{24+1}{{6}}}}   \Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{25}{{6}}}}  \Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ = \ \ \ \frac{25}{{6}}}}

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Compararea Fracțiilor  pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Compararea fractiilor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Transformarea unei fracții ordinare într-o fracție periodică

„Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncusi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la transformarea unei fracții ordinare în fracție periodică.

(mai mult…)

Exercițiul 1: Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice simple:

a) \frac{31}{9}   ;   b)  \frac{517}{99}  ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) \frac{31}{9}   Împărțim 31 la 9 și obținem:

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{31}{9}=3,(4) și citim trei virgulă perioadă patru.

b)   \frac{517}{99}=

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{517}{99}=5,(2) .

Exercițiul 2 : Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice mixte:

a) \frac{233}{45} ;   b) \frac{553}{60}  ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a)  \frac{233}{45}

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 7. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{233}{45}=5,1(7) și citim cinci virgulă unu perioadă șapte.

b) \frac{553}{60}

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 6. În aceste cazuri spunem că rezultatul     \frac{553}{60}=9,21(6).

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.

„Fii încăpățânat! Uneori, perseverența face minuni.” — Donald Trump.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție la capitolul Fracții care ridică ceva dificultăți elevilor de clasa a V-a: Exerciții Rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.Am să explic pas cu pas rezolvarea unor exerciții cu un grad de dificultate mai ridicat la care elevii întâmpină dificultăți.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:  Amplificați cu 3 următoarele fracții:

\frac{2x}{3y} , \frac{x+2}{y+1} , \frac{a+b}{x+y}

Rezolvare:

EXERCIŢIUL 2:  Simplificați  următoarele fracții, obținând fracții ireductibile:

\frac{20}{30} , \frac{5a}{10b}, \frac{10a+10b}{25x+25y}, \frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11} , \frac{6^3 }{10^4}

Rezolvare:

 \frac{20 }{30}^{(10}=\frac{2 }{3}

 \frac{5a }{10b}^{(5}=\frac{a }{2b}

 \frac{10a+10b }{25x+25y}

Observație: Nu avem voie să simplificăm decât dacă dăm factor comun și la numărător și la numitor. Observăm că la  numărător putem da factor comun pe 10, iar la numitor îl putem da factor comun pe 25.

 \frac{10a+10b }{25x+25y}=    \frac{10\cdot (a+b) }{25\cdot (x+y)}^{{(5}}=  \frac{2\cdot (a+b) }{5\cdot (x+y)}

\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}

Această fracție o simplificăm prin bazele care se repetă și la numărător și la numitor la puterea cea mai mică. Pentru că prin simplificare trebuie să fac operația de împărțire, scriu baza și scad exponentii.

\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11} ^{(2^7\cdot3^2\cdot5^2}=     \frac{2^0\cdot3^0\cdot5^2 }{2^0\cdot3^1\cdot5^0\cdot11} =    \frac{1 \cdot1\cdot25 }{1\cdot3\cdot1\cdot11} = \frac{25 }{33}

\frac{6^3 }{10^4}

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

\frac{6^3 }{10^4} =  \frac{(2\cdot 3)^3 }{(2\cdot 5)^4} =  \frac{2^3\cdot 3^3 }{2^4\cdot 5^4} =  \frac{2^3\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^3\cdot5^4}^{{( 2^3}}=  \frac{2^0\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^0\cdot5^4}=  \frac{1\cdot 3^3 }{2\cdot 1\cdot5^4}=  \frac{ 3^3 }{2\cdot5^4}

 

EXERCIŢIUL 3:  Simplificați  următoarea fracție,  obținând fracție ireductibilă:

 \frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

 

 \frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}=   \frac{(2^2)^{{25}}+{(2^3)^{{17}}}}{2^{{52}}-(2^4)^{{12}}}}=  \frac{2^{{2\cdot 25}}+{2^{{3\cdot 17}}}}{2^{{52}}-2^{{4\cdot12}}}}= \frac{2^{{50}}+{2^{{51}}}}{2^{{52}}-2^{{48}}}}= \frac{2^{{50}}(1+{2^{{51-50}})}}{2^{{52}}(2^{{52-48}}-1) }}=\frac{2^{{50}}\cdot(1+{2)}}{2^{{48}}\cdot(2^{{4}} -1)}}=  \frac{2^{{50}}\cdot3}{2^{{48}}\cdot 15}}^{{(2^{{48}}}}=  \frac{2^{{50-48}}\cdot3}{2^{{48-48}}\cdot 15}}= \frac{2^{{2}}\cdot3}{2^{{0}}\cdot 15}}^{{(3}}=   \frac{2^{{2}}}{1 \cdot 5}}=  \frac{4}{5}}

 

EXERCIŢIUL 4:  Simplificați  următoarea fracție,  obținând fracție ireductibilă:

\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}}

Rezolvare:

Observăm că la numărător și la numitor avem câte o sumă Gauss. La numărător putem da factor comun pe 2, iar la numitor putem da factor comun pe 3.

\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}} =  \frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}

Calculăm Suma Gauss cu formula  S= n\cdot(n+1) : 2

S=1+2+3+..........+200

S=200\cdot(200+1) : 2

S=200\cdot201 : 2

S=100\cdot201

\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}=   \frac{2\cdot 100\cdot 201 }{3\cdot 100 \cdot 201}} ^{{(100\cdot 201}}=  \frac{2}{3}

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 4:  Simplificați  următoarea fracție,  obținând fracție ireductibilă:

 \frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}}

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

 \frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}} =   \frac{(2\cdot3)^{n}+(2\cdot3)^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (3+7-1)} =   \frac{6^{n}+6^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (10-1)} =   \frac{6^{n}(1+5+ 6)}{6^{n}\cdot 9} =   \frac{6^{n}\cdot12}{6^{n}\cdot 9}^{(6^{n}} = \frac{12}{ 9}^{(3}} =  \frac{4}{ 3}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Fracții ordinare.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Astăzi deschid un nou capitol din programa la matematica pentru clasa a V-a: Numere Raționale Pozitive, iar prima lecție din acest capitol este lecția Fracții Ordinare.  În acestă lecție vom afla ce este o Fracție și cum se clasifică  Fracțiilor.

(mai mult…)

  • Definiție:

O parte dintr-un întreg, împărțit în părți egale, se numește unitate fracționară.

  • Exemple:

Definiție: O fracție ordinară este o pereche de două numere naturale m și n, cu n \neq 0 , scrisă sub forma: \frac{m}{n}.

  • “m” se numește numărătorul fracției
  • “n” se numește numitorul fracției.

Numitorul unei fracții arată în câte părți egale a fost împărțit întregul.

Numărătorul arată câte părți egale sunt luate.

Clasificarea fracțiilor:

Fracții echiunitare:

Fracția \frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}, se numește echiunitară dacă a=b numărătorul este egal cu numitorul.

  • Exemple:

Fracții subunitare:

Fracția \frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}} se numește subunitară, dacă a \lt b (numărătorul mai mic decât numitorul.

  • Exemple:

Fracții supraunitare:

Fracția \frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}} se numețte supraunitară , dacă a \gt b  (numărătorul este mai mare decât numitorul).

  • Exemple:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!