Matematica Mai Usoara - “Matematica Mai Usoara” este un blog de matematică, mai exact un blog despre cele mai uşoare metode de a învăţa matematica.

12
aug.
2018

Exerciții rezolvate la Cel Mai Mare Divizor Comun (c.m.m.d.c)

„Dacă oamenii ar învăța să meargă și să vorbească așa cum sunt învățați să scrie și să citească, toată lumea ar șchiopăta și s-ar bâlbâi.”

Mark Twain

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la cel mai mare divisor comun (c.m.m.d.c).

Exercițiul 1: Aflați cel mai mare divizor comun al următoarelor numere:

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.d.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

$24=2^3\cdot 3$

$12=2^2\cdot 3$

$18=2\cdot 3^2$

$(24,12,18)=2\cdot 3=6$

Cel mai mare divizor comun este produsul factorilor comuni luați o singură dată la puterea cea mai mică.

Analizând descompunerile observăm că 2 și 3 se repeată în toate cele 3 descompuneri asa că îi considerăm factori comuni, iar cea mai mica putere este 1.

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

$28=2^2 \cdot 7$

$147=3 \cdot 7^2$

$63=3^2 \cdot 7$

$(28, 147, 63)=7$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

$120=2^3\cdot 3\cdot 5$

$240=2^4\cdot 3\cdot 5$

$360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$

$(120, 240, 360)= 2^3 \cdot 3\cdot 5= 8\cdot 3\cdot 5=120$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

$121=11^2$

$330=2\cdot 3\cdot 5\cdot 11$

$49=7^2$

$(121, 330, 49)= 1$

Observăm că nu avem factori comuni așa că c.m.m.d.c-ul este 1.

Exercițiul 2: Determinați 5 numere naturale care divid simultan următoarele numere: 1260, 3780, 6300.

Rezolvare: Descompunem în factori primi numerele.

$1260= 2^2\cdot 3^2\cdot5\cdot 7$

$3780= 2^2\cdot 3^3\cdot5\cdot 7$

$6300= 2^2\cdot 3^3\cdot5^2\cdot 7$

$(1260, 3780, 6300)= 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$ = $=4\cdot 9\cdot 5\cdot 7= 36\cdot 5\cdot 7=180\cdot 7=1260$

Toate numerele formate din factorii c.m.m.d.c-ului mai mici decat 1260 vor divide cele trei numere.

Formam astfel 5 numere naturale:

$2^2\cdot 5=4\cdot 5=20$ $\Rightarrow 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$2^2\cdot 7=4\cdot 7=28$ $\Rightarrow 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$3^2\cdot 5=9\cdot 5=45$ $\Rightarrow 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$3^2\cdot 7= 9\cdot 7=63$ $\Rightarrow 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180$ $\Rightarrow 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

Exercițiul 3: Află două numere naturale care îndeplinesc simultan condițiile:

$(a,b)=25$ și $a-b=50$ $a; b \gt 101$ ; $a;b\lt 199$

Rezolvare:

Dacă $(a; b )=25$ $\Rightarrow a= 25\cdot x$ și $b= 25\cdot y$ iar $(x,y)=1$ .

Înlocuim în cea de-a doua relație pe care trebuie să o respectăm și obținem:

$25\cdot x-25\cdot y=50$

Dăm factor comun pe 25 și obținem:

$25\cdot (x-y)=50 \ \ \ \ | \ \ \ :\ \ \ 25$

$(x-y)=50 \ \ \ :\ \ \ 25$

$x-y=2$

Dar exercițiul ne spune în enunț că a și b sunt cuprinse între numerele 101 și 199.

In acest caz cel mai mic număr ar fi $125 \ \ \ \vdots \ \ \ 25$ ., iar cel mai mare număr este $175 \ \ \ \vdots \ \ \ 25$ .

Din această informație deduce că: $x=5 \Rightarrow y=3 \Rightarrow a=125\Rightarrow b=75$

Pentru $x=6 \Rightarrow y=4 \Rightarrow (6,4)=2 \Rightarrow$ această variant nu este convenabilă.

Pentru $x=7 \Rightarrow y=5 \Rightarrow a=175\Rightarrow b=125$

Exercițiul 4: Calculați c.m.m.d.c-ul numerelor a și b știind că:

$a=2^n\cdot 3^{n+2}+5^2\cdot 2^{n+1}\cdot3^n+7\cdot 6^n$ și $b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}$

Rezolvare:

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

$a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot (2\cdot3)^n$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot 2^n\cdot 3^n$

Observăm că $2^n\cdot 3^n$ se repeată în toți termenii adunării așa că îi vom da factor comun:

$a=2^n\cdot 3^n\cdot(3^2+5^2\cdot2^1+7)$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot(9+25\cdot2+7)$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot 66$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

Calculăm $b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}$

Aplicăm regulile de calcul cu puteri si obținem:

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1$

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+(5\cdot 7)^n\cdot 5^2+(5\cdot 7)^n\cdot 7^1$

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+35^n\cdot 5^2+35^n\cdot 7^1$

Observăm că $35^n$ se repeat în toți termenii și îl dăm factor comun:

$b=35^n(2\cdot 35^1+5^2+7^1)$

$b=35^n\cdot (70+25+7)$

$b=35^n\cdot 102$

$b=(5\cdot 7)^n\cdot 102$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 102$

Calculăm c.m.m.d.c-ul celor două numere:

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 102$

Descompunem 102 și obținem:

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 2\cdot 3\cdot17$

$(a,b)= 2\cdot 3= 6$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Cel Mai Mare Divizor Comun pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru CMMDC

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

07
aug.
2018

Exerciții rezolvate Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Educaţia ar fi mult mai eficientă dacă scopul acesteia ar fi ca la ieşirea din şcoală, fiecare copil să conştientizeze cât de multe lucruri nu ştie şi să fie cuprins de o dorinţă permanentă să le afle. – William Haley

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la lecția Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural. (mai mult…)

Exercițiul 1: Scrieți divizorii proprii și divizorii improprii ai numărului 21.

Rezolvare:

Divizorii proprii ai lui 21 sunt: 3 și 7.

Divizorii improprii ai lui 21 sunt: 1 și 21.

Exercițiul 2 :

Determinați numărul natural x știind că x-3 este divizorul numărului natural 15.

Rezolvare:

$x-3 \in D_{15} \Rightarrow x-3 \in \left \{ 1,3,5,15 \right \}$

Deoarece pe noi ne interesează valorile pe care le poate lua x vom egala cu fiecare număr si vom afla multimea valorilor lui x.

$x-3=1 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=1+3 \Rightarrow x=4$

$x-3=3 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=3+3 \Rightarrow x=6$

$x-3=5 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=5+3 \Rightarrow x=8$

$x-3=15 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=15+3 \Rightarrow x=18$

Soluție: $x\in \left \{ 4, 6, 8, 18 \right \}$

Exercițiul 3: Determinați:

a) $D_{{28}} \cup D_{{12}}$

b) $D_{{28}} \cap D_{{12}}$ ;

Rezolvare:

Scriem mulțimea divizorilor lui 28.

$D_{{28}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}$

Scriem mulțimea divizorilor lui 12.

$D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}$

a) Reunim cele două mulțimi și obținem: $D_{{28}} \cup D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}$

Reamintim că Reuniunea a două mulțimi A și B este mulțimea notată $A \cup B$ , formată din toate elementele celor două mulțimi comune și necomune, luate o singură dată.

b) Intersectăm cele două mulțimi și obținem: $D_{{28}} \cap D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \right \}$

Reamintim că Intersecția: a două mulțimi A și B este mulțimea notată $A\cap B$ , formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură data.

Exercițiul 4: Se consider inecuația $4\cdot x -1 \leq 39-x$ .

a) Care dintre soluțiile inecuației sunt divizori ai numărului natural 12?

b) Care dintre soluțiile inecuației sunt multiplii lui 3?

Rezolvare:

Rezolvăm inecuația: $4\cdot x -1 \leq 39-x$ .

Mutăm toți termenii care îl conțin pe x într-o parte iar ceilalti termini în cealaltă parte având grijă să schimbăm semnele.

$4\cdot x +x \leq 39 +1$

$5\cdot x \leq 40$

$5\cdot x \leq 40 \ \ \ /\ \ \ :\ \ 5$

$x \leq 40 \ \ \ :\ \ 5$ $\Rightarrow x \leq 8$ $\Rightarrow x \in \left \{ 0\ \ \ ;\ \ \ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ \ ;\ \ \ \ 4\ \ \ ; \ \ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 8\ \ \ \right \}$

a) Scriem mulțimea divizorilor lui 12:

$D_{{12}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}$

Acum intersectăm cele două mulțimi și obținem mulțimea

$\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}$

b) Scriem mulțimea multiplilor lui 3

$M_{3} =\left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 9\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 18\ ............ \right \}$

Intersectăm mulțimea valorilor lui x cu mulțimea multiplilor lui 3 și obținem mulțimea: $\left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

25
iul.
2018

Exerciții Rezolvate la Scăderea Fracțiilor (Numerelor Raționale)

categories: Numere Raționale

"Dacă nu esti dispus sa inveți nimeni nu te poate ajuta. Dacă esti determinat să înveți, numeni nu te poate opri."

Zig Ziglar.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva Eerciții Rzolvate la Scăderea fracțiilor (Numerelor Raționale)!

Exercițiul 1: Efectuați scăderile:

a) $\frac{9}{3}}-\frac{5}{3}}=?$

b) $\frac{17}{5}}-\frac{3}{5}}-\frac{7}{5}}=?$

c) $\frac{36}{5}}-\frac{7}{3}}=?$

d) $\frac{5}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=?$

e) $\frac{17}{15}}-\frac{3}{20}}-\frac{7}{12}}=?$

Rezolvare:

a) Observăm că avem două fracții care au același numitor.

La scăderea a două sau mai multe fracții care au același numitor, scădem numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:
$\frac{9}{3}}-\frac{5}{3}}=\frac{9-5 }{3}}=\frac{4}{3}}$

b) $\frac{17}{5}}-\frac{3}{5}}-\frac{7}{5}}=\frac{17-3-7}{5}}$ $=\frac{7}{5}}$

c) Observăm că avem două fracții care au numitori diferiți.

La scăderea a două sau mai multe fracții care au numitori diferiți mai întâi aducem fracțiile la același numitor determinăm c.m.m.m.c-ul numitorilor , amplificăm fracțiile pentru a le aduce la același numitor , apoi scădem fracțiile folosind regula de mai sus scădem numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:

$\frac{36}{5}}-\frac{7}{3}}=?$

Observăm că numitorul comun este 15; prima fracție o amplificăm cu 3 iar a doua cu 5.

$_{}^{3)}\textrm{\frac{36}{5}}-_{}^{5)}\textrm{\frac{7}{3}}=$ $\frac{3\cdot 36}{3\cdot 5}-\frac{5\cdot 7}{5\cdot 3}=$ $\frac{108}{15}-\frac{35}{15}=$ $\frac{108-35}{15}=$ $\frac{73}{15}$

d) Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

$\frac{5}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=?$

Știm că 3 și 4 sunt numere prime între ele. În acest caz numitorul comun este 12.

Prima fracție o amplificăm cu 6, a doua cu 4 iar a treia cu 3. Astfel obținem:

$_{}^{6)}\textrm{\frac{5}{2}} -_{}^{4)}\textrm{\frac{2}{3}} -_{}^{3)}\textrm{\frac{3}{4}}=$ ${\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}} - \frac{4 \cdot 2}{4\cdot 3}} -\frac{3\cdot 3}{3\cdot 4}}=$ ${\frac{30}{12}} - \frac{8}{12}} -\frac{9}{12}}=$ ${\frac{30- 8 - 9}{12}}=$ ${\frac{13}{12}}$

e) Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

$\frac{17}{15}}-\frac{3}{20}}-\frac{7}{12}}=?$

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 15, 20, 12.Pentru a putea calcula c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi.

Asadar am obținut numitorul comun 60.Prima fracție o amplificăm cu 4, a doua fracție o amplificăm cu 3 , iar a treia fracție o amplificăm cu 5. Astfel obținem:

$_{}^{4)}\textrm{\frac{17}{15}} -_{}^{3)}\textrm{\frac{3}{20}} -_{}^{5)}\textrm{\frac{7}{12}}=$ $\frac{4\cdot 17}{4\cdot 15}} -\frac{3\cdot3}{3\cdot20}} -\frac{5\cdot 7}{5\cdot12}}=$ $\frac{68}{60}} -\frac{9}{60}} -\frac{35}{60}=$ $\frac{68-9-35}{60}} =$ $\frac{24}{60}}^{(2} =$ $\frac{12}{30}}^{(2} =$ $\frac{6}{15}}^{(3} =$ $\frac{2}{5}}$

Exercițiul 2: Efectuați calculele:

a) $5\frac{1}{4}} -3\frac{1}{3}} -\frac{5}{6}} = ?$

b) $3\frac{1}{2}} -\frac{5}{3}} -1\frac{1}{9}} = ?$

Rezolvare:

Primul pas introducem întregii în fracție.

$\frac{5\cdot4+1}{4}} -\frac{3\cdot3+1}{3}} -\frac{5}{6}} =$ $\frac{20+1}{4}} -\frac{9+1}{3}} -\frac{5}{6}} =$ $\frac{21}{4}} -\frac{10}{3}} -\frac{5}{6}} =$

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 4; 3; 6 astfel:

$4= 2^2$

$3= 1\cdot3$

$6= 2\cdot3$

$\left [ 4; 3; 6 \right ]= 2^2 \cdot 3=4\cdot 3=12$

Prima fracție o amplificăm cu 3, a doua fracție o amplificăm cu 4, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

$_{}^{3)}\textrm{\frac{21}{{4}}}-_{}^{4)}\textrm{\frac{10}{{3}}}-_{}^{2)}\textrm{\frac{5}{{6}}}=$ ${\frac{3\cdot 21}{{3\cdot 4}}}-{\frac{4\cdot 10}{{4\cdot 3}}}-{\frac{2\cdot 5}{{2\cdot 6}}}=$ ${\frac{63}{{12}}}-{\frac{40}{{12}}}-{\frac{10}{{12}}}=$ ${\frac{63-40-10 }{{12}}}=$ ${\frac{13 }{{12}}}$

b) $3\frac{1}{2}} -\frac{5}{3}} -1\frac{1}{9}} = ?$

Primul pas introducem întregii în fracție.

$\frac{3\cdot 2+1}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{1\cdot 9+1}{9}} =$ $\frac{6+1}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{9+1}{9}} =$ $\frac{7}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{10}{9}} =$

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 2; 3; 9. Știm că $9=3^2$ atunci obținem c.m.m.m.c-ul numerelor:

$\left [ 2; 3; 9 \right ]= 2\cdot 3^2= 2\cdot 9=18$

Prima fracție o amplificăm cu 9, a doua fracție o amplificăm cu 6, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

$_{}^{9)}\textrm{\frac{7}{2}}}-_{}^{6)}\textrm{\frac{5}{3}}}-_{}^{2)}\textrm{\frac{10}{9}}}=$ ${\frac{9\cdot 7}{9\cdot 2}}}-{\frac{6\cdot 5}{6\cdot 3}}}-{\frac{2\cdot 10}{2\cdot 9}}}=$ ${\frac{63}{18}}}-{\frac{30}{18}}}-{\frac{20}{18}}}=$ ${\frac{63-30-20}{18}}}=$ ${\frac{13}{18}}}$

Exercițiul 3: Calculați:

$S={\frac{3}{1\cdot4}}}+{\frac{3}{4\cdot7}}}+{\frac{3}{7\cdot10}}}+............+{\frac{3}{96\cdot99}}}$

Rezolvare:

Observăm ca numărătorul reprezintă diferența numerelor de la numitor si o vom scrie chiar așa:

$S={\frac{3}{1\cdot4}}}+{\frac{3}{4\cdot7}}}+{\frac{3}{7\cdot10}}}+............+{\frac{3}{96\cdot99}}}$

$S={\frac{4-1}{1\cdot4}}}+{\frac{7-4}{4\cdot7}}}+{\frac{10-7}{7\cdot10}}}+............+{\frac{99-96}{96\cdot99}}}$

$S={\frac{4}{1\cdot4}}}-{\frac{1}{1\cdot4}}}+{\frac{7}{4\cdot7}}}-{\frac{4}{4\cdot7}}}+{\frac{10}{7\cdot10}}}-{\frac{7}{7\cdot10}}}+............+{\frac{99}{96\cdot99}}}-{\frac{96}{96\cdot99}}}$

Observăm că se reduc termenii și obținem:

Observăm că ne rămâne prima și ultima fracție:

$S={\frac{1}{1}}}-{\frac{1}{99}}}$

Aducem la același numitor și obținem:

$S=_{}^{99)}\textrm{{\frac{1}{1}}}}-{\frac{1}{99}}}=$ ${{\frac{99}{99}}}}-{\frac{1}{99}}}={\frac{98}{99}}}$

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Scăderea fracțiilor pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Scaderea fractiilor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

23
iul.
2018

Adunarea Fracțiilor (Numerelor Raționale)

categories: Numere Raționale

"Diferența dintre success și eșec vine de cele mai multe ori din refuzul de a renunța".

Walt Disney

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate la Adunarea fracțiilor (Numerelor Raționale)!

Exercițiul 1: Efectuați adunarea următoarelor fracții:

a) $\frac{2}{{5}}+ \frac{3}{{5}}=?$

b) $\frac{2}{{7}}+ \frac{5}{{7}}+\frac{4}{{7}}=?$

c) $\frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}=?$

d) $\frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}+\frac{3}{{4}}=?$

e) $\frac{7}{{36}}+ \frac{11}{{18}}+\frac{13}{{9}}=?$

Rezolvare:

a) Observăm că avem două fracții care au același numitor.

La adunarea a două sau mai multe fracții care au același numitor, adunăm numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:
$\frac{2}{{5}}+ \frac{3}{{5}}=\frac{2+3}{{5}}=\frac{5}{{5}}=1$

b) $\frac{2}{{7}}+ \frac{5}{{7}}+ \frac{4}{{7}}=\frac{2+5+4}{{7}}=\frac{11}{{7}}$

c) Observăm că avem două fracții care au numitori diferiți.

La adunarea a două sau mai multe fracții care au numitori diferiți mai întâi aducem fracțiile la același numitor determinăm c.m.m.m.c-ul numitorilor , amplificăm fracțiile pentru a le adduce la același numitor , apoi adunăm fracțiile folosind regula de mai sus adunăm numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:

$\frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}=$

Observăm că numitorii sunt două numere prime între ele atunci c.m.m.m.c-ul va fi

$[2;3 ]=2\cdot 3=6$

Așadar prima frcție o amplificăm cu 3, iar a doua fracție o amplificăm cu 2.

$_{{}}^{3)}\frac{1}{2}}+_{{}}^{2)}\frac{2}{3}}=$ $\frac{3\cdot 1}{3\cdot2}}\ \ +\ \ \frac{2\cdot 2}{2\cdot 3}}=$ $\frac{3}{6}}\ \ +\ \ \frac{4}{6}}=$ $\ \ \frac{3 +4}{6}}=$ $\ \ \frac{7}{6}}$

d) $\frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}+\frac{3}{{4}}=?$

Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 2, 3 și 4. Știm că $4=2^2$ și că 4 și 3 sunt numere prime.

$\left [ 2;3;4 \right ]=4\cdot 3=12$

Prima fracție o amplificăm cu 6, a doua fracție o amplificăm cu 4 iar a treia fracție o amplificăm cu 3. Astfel obținem:

$_{{}}^{6)}\frac{1}{2}}+_{{}}^{4)}\frac{2}{3}}+ _{{}}^{3)}\frac{3}{4}}=$ $\frac{6\cdot 1}{6\cdot 2}}+\frac{4\cdot 2}{4\cdot 3}}+ \frac{3\cdot 3}{3\cdot4}}=$ $\frac{6}{12}}+\frac{8}{12}}+ \frac{9}{12}} =$ $\frac{6+8+9}{12}} =$ $\frac{23}{12}}$

e) $\ \ \frac{7}{36}}+\ \ \frac{11}{18}}+\ \ \frac{13}{9}}=?$

Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 36, 18, 9.Pentru a putea calcula c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi.

Numitorul comun al celor trei fracții este 36. Prima fracție nu o amplificăm, a doua fracție o amplificăm cu 2 iar a treia fracție o amplificăm cu 4. Astfel obținem:

$\frac{7}{36}}+_{{}}^{2)}\frac{11}{18}}+_{{}}^{4)}\frac{13}{9}}=$ $\frac{7}{36}}+\frac{2\cdot 11}{2\cdot 18}}+\frac{4\cdot 13}{4\cdot 9}}=$ $\frac{7}{36}}+\frac{22}{36}}+\frac{52}{36}}=$ $\frac{7+22+52}{36}} =$ $\frac{84}{36}} =$

Simplificăm fracția obținută până obținem o fracție ireductibilă.

$\frac{84}{36}} ^{{(2}}= \frac{42}{18}} ^{{(2}}= \frac{21}{9}} ^{{(3}}= \frac{7}{3}}$

Exercițiul 2: Efectuați calculele:

a) $2\frac{1}{4}} + 3\frac{1}{3}} +\frac{5}{6}} =?$

b) $3\frac{1}{2}} + \frac{5}{3}} +1\frac{1}{9}} =?$

Rezolvare:

a) $2\frac{1}{4}} + 3\frac{1}{3}} +\frac{5}{6}} =?$

Primul pas introducem întregii în fracție.

$\frac{2\cdot 4+1}{4}} + \frac{3\cdot 3+1}{3}} +\frac{5}{6}} =$ $\frac{8+1}{4}} + \frac{9+1}{3}} +\frac{5}{6}} =$ $\frac{9}{4}} + \frac{10}{3}} +\frac{5}{6}} =$

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 4; 3; 6 astfel:

$4= 2^2$

$3= 1\cdot3$

$6= 2\cdot3$

$\left [ 4; 3; 6 \right ]= 2^2 \cdot 3=4\cdot 3=12$

Prima fracție o amplificăm cu 3, a doua fracție o amplificăm cu 4, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

$_{{}}^{3)}\frac{9}{4}}+_{{}}^{4)}\frac{10}{3}}+_{{}}^{2)}\frac{5}{6}}=$ $\frac{3 \cdot 9}{3\cdot 4}}+\frac{4\cdot 10}{4\cdot 3}}+\frac{2\cdot 5}{2\cdot 6}}=$ $\frac{27}{12}}+\frac{40}{12}}+\frac{10}{12}}=$ $\frac{77}{12}}$

b) $3\frac{1}{2}} + \frac{5}{3}} +1\frac{1}{9}} =?$

Primul pas introducem întregii în fracție.

$\frac{3\cdot 2+1}{2}} + \frac{5}{3}} +\frac{1\cdot 9+1}{9}} =$ $\frac{6+1}{2}} + \frac{5}{3}} +\frac{9+1}{9}} =$ $\frac{7}{2}} + \frac{5}{3}} +\frac{10}{9}} =$

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 2; 3; 9. Știm că $9=3^2$ atunci obținem c.m.m.m.c-ul numerelor:

$\left [ 2; 3; 9 \right ]= 2\cdot 3^2= 2\cdot 9=18$

Prima fracție o amplificăm cu 9, a doua fracție o amplificăm cu 6, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

$_{{}}^{9)}\frac{7}{2}}+_{{}}^{6)}\frac{5}{3}}+_{{}}^{2)}\frac{10}{9}}=$ $\frac{9\cdot7}{9\cdot 2}}+\frac{6\cdot 5}{6\cdot 3}}+\frac{2\cdot 10}{2\cdot 9}}=$ $\frac{63}{18}}+\frac{30}{18}}+\frac{20}{18}}=$ $\frac{63+30+20}{18}}=$ $\frac{103}{18}}$

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Adunarea fracțiilor pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Adunarea fractiilor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

15
iul.
2018

Exerciții rezolvate la Aducerea fracțiilor la același numitor

categories: Numere Raționale

„Învățătorii îți deschid ușa, însă numai tu însuți poți trece dincolo de ea.”

-Proverb chinezesc

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate la Aducerea fracțiilor la același numitor!

(mai mult…)

Exercițiul 1: Se consider fracțiile: $\frac{3}{48}$ ; $\frac{7}{72}$ ; $\frac{5}{56}$ ; $\frac{1}{45}$ ;

a) Calculați c.m.m.m.c-ul numitorilor fractiilor de mai sus;

b) Aduce-ți fracțiile la acelasi numitor.

Rezolvare:

a) $\frac{3}{48}$ ; $\frac{7}{72}$ ; $\frac{5}{56}$ ; $\frac{1}{45}$ ;

Descompunem in factori primi numitorii:

Scriem numitorii ca produs de puteri:

$48=2^{4} \cdot 3$

$72=2^{3} \cdot 3^{2}$

$56=2^{3} \cdot 7$

$45=3^{2} \cdot 5$

Pentru a determina c. m.m.m.c- ul luăm toate bazele la puterea cea mai mare. $[48; 72; 56; 45]=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1}$ $\Rightarrow [48; 72; 56; 45]=16 \cdot 9\cdot 5\cdot 7$ $\Rightarrow [48; 72; 56; 45]=5140$

b) Pentru a aduce la același numitor fracțiile de mai sus trebuie sa le amplificam astfel incăt la numitor să obținem valoarea c.m.m.m.c-ului.Pentru a afla cu cat trebuie să amplificăm fiecare fracție împărțim valoarea c.m.m.m.c-ului la fiecare numitor.

$5140 \ \ \ : \ \ \ 48=105$ $\Rightarrow$ Prima fracție o amplificăm cu 105.

$5140 \ \ \ : \ \ \ 72=70$ $\Rightarrow$ A doua fracție o amplificăm cu 70

$5140 \ \ \ : \ \ \ 56 = 90$ $\Rightarrow$ A treia fracție o amplificăm cu 90

$5140 \ \ \ : \ \ \ 45 = 112$ $\Rightarrow$ A patra fracție o amplificăm cu 112.

Astfel obținem:

$_{}^{105)}\frac{3}{48}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{70)}\frac{7}{72}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{90)}\frac{5}{56}\ \ \ ; \ \ _{}^{112)}\frac{1}{45}\ \ \ \ ;$ $\Rightarrow \frac{105 \cdot 3}{{105 \cdot 48}}\ \ \ ; \ \ \frac{70 \cdot 7}{{70 \cdot 72}}\ \ \ ; \ \ \frac{90 \cdot 5}{{90 \cdot 56}}\ \ \ ; \ \ \frac{112 \cdot 1}{{112 \cdot 45}}$

$\Rightarrow \frac{315}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{490}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{450}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{112}{{5140}}$

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Aducerea fracțiilor la același numitor pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Aducerea fractiilor la acelasi numitor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

09
iul.
2018

Compararea Fracțiilor (Numere Raționale)

categories: Fracții Ordinare

„A-ţi dori să ai succes fară a munci din greu este ca şi cum ai încerca să culegi roadele pe care nu le-ai semănat vreodata.”

David Bly

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate la Compararea Numerelor Raționale (Fracții)!

Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecția Compararea Numerelor Raționale (Fracții)

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! (mai mult…)

Exercițiul 1: Comparați fracțiile:

a) $\frac{5}{{8}}$    cu    $\frac{7}{{8}}$ ;    b) $\frac{3}{{5}}$ cu    $\frac{3}{{4}}$

c) $1\frac{5}{{7}}$ cu $1\frac{3}{{7}}$ ;    d) $2\frac{1}{{3}}$ cu $1\frac{2}{{3}}$

e) $4\frac{1}{{10}}$ cu    $\frac{41}{{10}}$ ; f) $3\frac{5}{{9}}$    cu $\frac{33}{{9}}$

Rezolvare:

a) Pentru a compara două fracții care au același numitor comparăm numărătorii iar fracția cu numărătorul mai mare este mai mare.

$\frac{5}{{8}} \lt \frac{7}{{8}}$

b) Pentru a compara două fracții care au același numărător comparam numitorii, iar fracția cu numitorul mai mic este mai mare.

$\frac{3}{{5}} \lt \frac{3}{{4}}$

c) Pentru a compara cele două fracții mai întâi introducem întregii în fracție și apoi comparăm cele două fracții.

$1\frac{5}{{7}} \ \ \ \ cu \ \ \ 1 \frac{3}{{7}}$ $\Rightarrow \frac{1\cdot 7+5}{{7}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1\cdot 7+3}{{7}}$ $\Rightarrow \frac{ 7+5}{{7}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{ 7+3}{{7}}$ $\Rightarrow \frac{12}{{7}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{10}{{7}}$

Pentru că am obținut două fracții cu același numitor comparăm numărătorii

$12 \gt 10 \Rightarrow \frac{12}{{7}} \ \ \gt \ \ \frac{10}{{7}}$

d) $2 \frac{1}{{3}} \ \ \ cu \ \ \ 1\frac{2}{{3}}$ $\Rightarrow \frac{2\cdot 3+1}{{3}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{1\cdot 3+2}{{3}}$ $\Rightarrow \frac{7}{{3}} \gt \frac{5}{{3}}$
e) $4 \frac{1}{{10}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{41}{{10}}$ $\Rightarrow \frac{4\cdot 10+1}{{10}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{41}{{10}}$ $\Rightarrow \frac{41}{{10}} = \frac{41}{{10}}$
f) $3 \frac{5}{{9}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{33}{{9}}$ $\Rightarrow \frac{3\cdot 9+5}{{9}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{33}{{9}}$ $\Rightarrow \frac{27+5}{{9}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{33}{{9}}$ $\Rightarrow \frac{32}{{9}} \ \ \ \ \lt \ \ \ \frac{33}{{9}}$

Exercițiul 2: Comparați fracțiile:

a) $\frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1}{{2}}$

b) $1\frac{1}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ 1 \frac{5}{{12}}$

c) $3\frac{1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}$

d) $\frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ 4\frac{1}{{6}}$

Rezolvare:

a) $\frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1}{{2}}}$

Pentru a compara două fracții care au numitorii diferiti, mai întâi le aducem la același numitor și apoi le comparăm.

$\frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ ^{2)}\textrm{ \frac{1}{{2}}}$ $\Rightarrow \frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{2}{{4}}}$ $\Rightarrow \frac{3}{{4}} \ \ \ \ \gt \ \ \ \frac{2}{{4}}}$

b) $1 \frac{1}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ 1\frac{5}{{12}}}$ $\Rightarrow \frac{1\cdot 3+1}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1\cdot 12+5}{{12}}}$ $\Rightarrow \frac{4}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{17}{{12}}}$ $\Rightarrow _{}^{4)}\textrm{\frac{4}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{17}{{12}}}}$

$\Rightarrow \frac{16}{{12}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{17}{{12}}}}$ $\Rightarrow \frac{16}{{12}} \ \ \ \ \lt \ \ \ \frac{17}{{12}}}}$

c) $3 \frac{1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}$ $\Rightarrow \frac{3\cdot 8+1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}$ $\Rightarrow \frac{24+1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}$ $\Rightarrow \frac{25}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}$

$\Rightarrow _{}^{5)}\textrm{} \frac{25}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ _{}^{4)}\textrm{}\frac{37}{{10}}}}$ $\Rightarrow \frac{125}{{40}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{148}{{40}}}}$ $\Rightarrow \frac{125}{{40}} \ \ \ \ \lt \ \ \ \frac{148}{{40}}}}$

d) $\frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ 4\frac{1}{{6}}}}$ $\Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{4\cdot 6+1}{{6}}}}$ $\Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{24+1}{{6}}}}$ $\Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{25}{{6}}}}$ $\Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ = \ \ \ \frac{25}{{6}}}}$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Compararea Fracțiilor pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Compararea fractiilor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

29
iun.
2018

Exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers

categories: Numere Naturale

"Învingătorii nu renunță, iar cei care renunță nu ajung învingători!"

Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers!

(mai mult…)

Exercițiul 1: $3(x+2) - 7=14$

Rezolvare: Știm din clasele mici că într-un exerciţiu în care sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise. Analizând exercițiul nostru observăm că nu putem efectua calculele din paranteza rotunda deoarece avem o necunoscută. În acest caz pentru a-l afla pe x prima oară îl mutăm pe 7 cu semn schimbat în partea dreaptă a egalului.

$3(x+2) - 7=14$ $/ +7$ $\Rightarrow$ $3(x+2)=14+7$ $\Rightarrow$

$3(x+2)=21$ $/ :\ \ \ \ 3$ $\Rightarrow$ $x+2=21 \ \ \ :\ \ \ 7$ $\Rightarrow$

$x+2=3$ $/ -2$ $\Rightarrow$ $x=3-2$ $\Rightarrow$ $x=1$

Exercițiul 2: $90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212$

Rezolvare: De data aceasta primul termen mutat cu semn schimbat este 90 cu semnul -

$90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212$ $/-90$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212-90$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=122$ $/\cdot 4$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] =122 \cdot 4$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18 =488$ $/ - 18$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=488-18$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=470$ $/ \ \ \ :\ \ \ 2$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=470 \ \ \ :\ \ \ 2$ $\Rightarrow (420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=235$

105 +5a =235 / -105

5a =235 -105

5a = 130

a = 130 : 5

a = 26

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

24
iun.
2018

Exerciții Rezolvate la Graficul Funcției

categories: Funcții

"Nu îmi învăț niciodată studenții; tot ce fac este să le creez condițiile pentru ca ei să învețe."
Albert Einstein

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții la Graficul unei Funcții! (mai mult…)

Exercițiul 1:

Fie funcția $f \ \ \ : \ \ \ R \rightarrow R ,$ $f (x)=-2x+1$ .

a) Reprezentați grafic funcția.

b)Determinați numărul real $a \in R,$ știind că punctul $A(2a-1,\ \ \ a-2)$ este situate pe graficul funcției f(x).

c) Calculați suma $S=f(0)+f(1)+f(2)+..........+f(2011)$

Rezolvare:

a) Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca $y=0 \Rightarrow f(x)=0$ .

$\cap OX$ : $y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow$ $-2\cdot x+ 1=0$

$\Rightarrow$ $-2\cdot x=-1$ $\Rightarrow$ $x=\frac{-1}{{-2}}$

$\Rightarrow$ $x=\frac{1}{{2}}$ $\Rightarrow A( \frac{1}{{2}} \ ; 0)$

Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca $x=0$
$\cap OY:$ $x=0$ $\Rightarrow$ $f(0)= -2\cdot 0+ 1 = 1$
$B(0\ \ ;\ \ \ 1)$

b) Pentru a arăta că punctul $A(2a-1,\ \ \ a-2)$ aparține graficului funcției f(x) punem condiția ca : $f(2a-1)= a-2$ adică în forma funcției f(x) înlocuim x cu 2a-1 și obținem:

$f(2a-1)= a-2$ $\Rightarrow -2\cdot (2a-1) + 1 = a-2$ $\Rightarrow -4\cdot a+2 + 1 = a-2$

$\Rightarrow -4a+3 = a-2$

Trecem toți termenii cu a într-o parte și toți termenii fară a în cealaltă parte.

$\Rightarrow -4a-a=-2-3$ $\Rightarrow -5a=- 5 \ \ \ \ /:(-5)$ $\Rightarrow a= 1$

c) $S=f(0)+f(1)+f(2)+... . . . . + f(2011)$

Calculăm $f(0), f(1), f(2), . . . . . , f(2011)$ și observăm că obținem Suma Gauss.

$f(0)= -2 \cdot 0 + 1= 0+1=1$

$f(1)= -2 \cdot 1 + 1= - 2 +1= -1$

$f(2)= -2 \cdot 2 + 1= - 4 +1= -3$

. . . . . . .. .. . . . . . . .. . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .

$f(2011)= -2 \cdot 2011 + 1= - 4 022+1= -4021$

Obținem :

$S= 1-1-3-5-. . .. . . . -4021$ $\Rightarrow S= -(3+5+. . .. . . . +4021)$

Aplicăm Suma Gauss a numerelor impare :

$n= (4021-3) \ \ \ : \ \ \ 2 +1$ $\Rightarrow n= 4018 \ \ \ : \ \ \ 2 +1$ $\Rightarrow n= 2009 +1 = 2010 (termeni)$

$S=-[2010\cdot (4021+3) \ \ \ : \ \ \ 2]$

$S=-[2010\cdot 4024 \ \ \ : \ \ \ 2]$

$S=-[2010\cdot 2012]$

$S=- 4 044 120$

Exercițiul 2:

Se consideră funcția $f : R\rightarrow R$ , $f(x)= -\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$

a) Reprezentați grafic funcția

b) Determinați aria triunghiului format de graficul funcției și axele de coordinate.c

c) Determinați distanța de la punctul $O(0,0)$ la graficul funcției f(x).

Rezolvare:

a) $\cap OX :$ $y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow$ $-\sqrt{3}\cdot x+2\sqrt{3} = 0$

$\Rightarrow$ $-\sqrt{3}x=-2\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ $x=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow$ $x= __{{}}^{\sqrt{3})}\textrm{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} }$

$\Rightarrow$ $x=2$ $\Rightarrow A(2\ \ \ ; \ \ \ 0 )$

$\cap OY:$ $x=0$ $\Rightarrow$ $f(0)= -\sqrt{3}\cdot 0+2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
$\Rightarrow B(0 , 2\sqrt{3})$

b) Calculăm $A_{\bigtriangleup AOB }$ . Observăm că $\bigtriangleup AOB$ este dreptunghic în unghiul O astfel putem aplica formula:

$A_{{\bigtriangleup AOB}}= \frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}= \frac{OA\cdot OB}{2}= \frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} u.m^{{2}}$

c) Știm că distanța de la un punct la o dreaptă este perpendiculara din acel punct pe dreaptă. Adică înălțimea triunghiului AOB. Pentru a afla înălțimea ne folosim de aria triunghiului pe care am calculate-o deja. Folosim formula:

$A_{\triangle AOB}= \frac{b \cdot h}{{2}}$ $= \frac{AB \cdot OM}{{2}}$

Calculăm AB cu formula distanței dintre punctele $A(2,0)$ și $B(0, 2\sqrt{3})$ astfel:

$AB= \sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}$

$x_{{A}}=2$ și $y_{{A}}=0$ iar $x_{{B}}=0$ și $y_{B}=2\sqrt{3}$ , înlocuim in formula și obținem:

$AB=\sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}$

$AB=\sqrt{{(2-0})^2+(2\sqrt{3}-0})^2}}$ $\Rightarrow AB=\sqrt{{2^2+(2\sqrt{3})^2}}$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{4+2^2 \cdot 3}}$ $\Rightarrow AB=\sqrt{{4+12}}$ $\Rightarrow AB=\sqrt{{16}} = 4$

Înlocuim în formula ariei și aflăm OM.

$2\sqrt{3}u.m^2= \frac{4 u.m \cdot OM}{2} \ \ \ \ \ / \cdot 2$

$2 \cdot 2\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM$ $\Rightarrow 4\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM \ \ \ \ / \ \ : \ \ 4 u.m$

$\Rightarrow OM = \sqrt{3} \ \ u.m$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Graficul unei funcții pentru copilul tău o gasești aici:Fisa de lucru Graficul unei functii

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

18
mart.
2018

Transformarea unei fracții ordinare într-o fracție periodică

categories: Fracții Ordinare, Fracții zecimale

„Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncusi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la transformarea unei fracții ordinare în fracție periodică.

(mai mult…)

Exercițiul 1: Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice simple:

a) $\frac{31}{9}$ ; b) $\frac{517}{99}$ ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) $\frac{31}{9}$ Împărțim 31 la 9 și obținem:

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{31}{9}=3,(4)$ și citim trei virgulă perioadă patru.

b) $\frac{517}{99}=$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{517}{99}=5,(2)$ .

Exercițiul 2 : Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice mixte:

a) $\frac{233}{45}$ ; b) $\frac{553}{60}$ ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) $\frac{233}{45}$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 7. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{233}{45}=5,1(7)$ și citim cinci virgulă unu perioadă șapte.

b) $\frac{553}{60}$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 6. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{553}{60}=9,21(6)$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

13
mart.
2018

Exerciții rezolvate la Mărimi direct proporționale

categories: Rapoarte. Proportii

„Nu zi niciodată nu se poate, ci începe cu să vedem.”

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva probleme Exerciții rezolvate la Marimi direct proporționale.

Exercițiul 1:

Media aritmetică a două numere este egală cu 24.Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele 3 și 9.

Rezolvare:

Considerăm două numere a și b.

Scriem formula pentru media arithmetică a celor două numere.

$M_{a}=\frac{a+b}{2}$ $\Rightarrow \frac{a+b}{2}=24 /\ \ \ \cdot 2$ $\Rightarrow a+ b=48$

$\left \{ a,b \right \} \overset{d.p}{\rightarrow} \left \{ 3,9 \right \}$ $\Rightarrow \frac{a}{{3}}=\frac{b}{{9}}=k$

$\Rightarrow \frac{a}{{3}}=k \Rightarrow a=3\cdot k$

$\Rightarrow \frac{b}{{9}}=k \Rightarrow b=9\cdot k$

Înlocuim a și b în ecuația $a+b=48$ și obținem:

$3 \cdot k + 9 \cdot k=48$ $\Rightarrow 12 \cdot k=48 / \ \ \ : \ \ 12$ $\Rightarrow k=48 \ \ \ : \ \ 12$ $\Rightarrow k=4$

Înlocuim în a și b și obținem:

$\Rightarrow a=3 \cdot k=3 \cdot 4$ $\Rightarrow a=12$

$\Rightarrow b=9 \cdot k=9 \cdot 4$ $\Rightarrow b=36$ .

Exercițiul 2:

Suma a trei numere este 84. Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele: $1,(4)\ \ ; \ \ \ \ 1,(5) \ \ \ \ ; \ \ 1,(6)$

Rezolvare:

Considerăm trei numere a , b și c.

Problema ne spune ca suma lor este 84.

$a+b+c=84$

$\left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ 1,(4): \ \ 1,(5); \ \ 1,(6)\right \}$

Transformăm fracțiile periodice în fracții ordinare:

$1,(4) =\frac{14-1}{{9}}= \frac{13}{{9}}$

$1,(5) =\frac{15-1}{{9}}= \frac{14}{{9}}$

$1,(6) =\frac{16-1}{{9}}= \frac{15}{{9}}$

Și obținem: $\left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ \frac{13}{{9}}; \ \ \frac{14}{{9}}; \ \ \frac{15}{{9}}\right \}$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=\frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=\frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k$

Scoatem numerele a, b ;I c ]n func'ie de valoarea lui k.

$\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{13}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{13}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9a}{{13}} =k$ $\Rightarrow a = \frac{13 \cdot k}{{9}}$

$\Rightarrow \frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{14}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{14}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9\cdot b}{{14}} =k$ $\Rightarrow b = \frac{14 \cdot k}{{9}}$

$\Rightarrow \frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{15}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{15}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9\cdot c}{{15}} =k$ $\Rightarrow c = \frac{15 \cdot k}{{9}}$

Înlocuim a, b și c în sumă și determinăm valoarea lui k.

$a+b+c=84$ $\Rightarrow \frac{13 \cdot k}{{9}} + \frac{14\cdot k}{{9}} + \frac{15 \cdot k}{{9}} = 84$

$\Rightarrow \frac{13 \cdot k+14\cdot k+15\cdot k}{{9}} = 84$ $\Rightarrow \frac{42 \cdot k}{{9}} = 84$

$\Rightarrow 42 \cdot k = 84 \cdot 9$ $\Rightarrow 42 \cdot k = 756$ $\Rightarrow 42 \cdot k = 756 / \ \ \ : \ \ \ 42$

$\Rightarrow k = 756 \ \ \ : \ \ \ 42$

$\Rightarrow k = 18$

Înlocuim valoarea lui k în numerele natural și determinăm valoare lui a, b și c.

$a = \frac{13 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow a = \frac{13 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow a = \frac{234}{{9}}$ $\Rightarrow a = 26$

$b = \frac{14 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow b = \frac{14 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow b = \frac{252}{{9}}$ $\Rightarrow b = 28$

$c = \frac{15 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow c = \frac{15 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow c = \frac{270}{{9}}$ $\Rightarrow c = 30$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Mărimi direct proporționale pentru copilul tău o gasești aici Fisa de lucru marimi direct proportionale

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”