iunie 2018 archive

Exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers

“Învingătorii nu renunță, iar cei care renunță nu ajung învingători!”

Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate  la Metoda Mersului Invers! (mai mult…)

Exercițiul 1:     3(x+2) - 7=14

Rezolvare:  Știm din clasele mici că într-un exerciţiu în care sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise. Analizând exercițiul nostru observăm că nu putem efectua calculele din paranteza rotunda deoarece avem o necunoscută. În acest caz pentru a-l afla pe x prima oară îl mutăm pe 7 cu semn schimbat în partea dreaptă a egalului.

3(x+2) - 7=14   / +7  \Rightarrow   3(x+2)=14+7 \Rightarrow

3(x+2)=21/ :\ \ \ \ 3  \Rightarrow   x+2=21 \ \ \ :\ \ \ 7  \Rightarrow

x+2=3/ -2  \Rightarrow   x=3-2   \Rightarrow   x=1

Exercițiul 2:    100\cdot [25-6\cdot (x-3)+2]\ \ \ : \ \ \ 3=300

Rezolvare: 

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] \ \ \ : \ \ \ 3=300   / \ \ \ \cdot 3

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] = 300 \cdot 3

100\cdot[25-6\cdot (x-3)+3] = 900 / \ \ \ : \ \ \ 100

25-6\cdot (x-3)+3 = 900\ \ \ : \ \ \ 100

25-6\cdot (x-3)+3 = 9   / - 3

25- 6\cdot (x-3) = 9 - 3

25- 6\cdot (x-3) = 6

Deoarece necunoscuta mea este în pozitia scăzătorului atunci vom scrie:

 6\cdot (x-3) =25 - 6  \Rightarrow    6\cdot (x-3) =18     / \ \ \ :\ \ \ 6  \Rightarrow

x-3 =18\ \ \ :\ \ \ 6  \Rightarrow   x-3 =3   /+3  \Rightarrow   x =3+3  \Rightarrow   x =6

Exercițiul 3:  90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212

Rezolvare: De data aceasta primul termen mutat cu semn schimbat este 90 cu semnul –

90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212    /-90

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212-90

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=122    /\cdot 4

[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] =122 \cdot 4

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18 =488 / - 18

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=488-18

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=470   / \ \ \ :\ \ \ 2

(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=470 \ \ \ :\ \ \ 2   \Rightarrow (420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=235

\Rightarrow (205+5\cdot a)=235   / - 205

\Rightarrow 5\cdot a=235 -205   \Rightarrow 5\cdot a=30  / \ \ \ : \ \ \ 5

\Rightarrow a=30 \ \ \ :\ \ \ 5   \Rightarrow a=6

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Metoda Mersului  Invers  pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Metoda Mersului Invers

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.” 

Exerciții Rezolvate la Graficul Funcției

“Nu îmi învăț niciodată studenții; tot ce fac este să le creez condițiile pentru ca ei să învețe.”
Albert Einstein

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții la Graficul unei Funcții! (mai mult…)

Exercițiul 1:

Fie funcția f \ \ \ : \ \ \ R \rightarrow R , f (x)=-2x+1.

a) Reprezentați grafic funcția.

b)Determinați numărul real a \in R, știind că punctul A(2a-1,\ \ \ a-2) este situate pe graficul funcției f(x).

c) Calculați suma S=f(0)+f(1)+f(2)+..........+f(2011)

Rezolvare:

a) Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca  y=0 \Rightarrow f(x)=0 .

  •  \cap OX :   y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow -2\cdot x+ 1=0

\Rightarrow  -2\cdot x=-1    \Rightarrow x=\frac{-1}{{-2}}

\Rightarrow   x=\frac{1}{{2}}   \Rightarrow A( \frac{1}{{2}} \ ; 0)

  • Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca  x=0
  • \cap OY:  x=0  \Rightarrow  f(0)= -2\cdot 0+ 1 = 1
  •                        B(0\ \ ;\ \ \ 1)

b) Pentru a arăta că punctul A(2a-1,\ \ \ a-2) aparține graficului funcției f(x) punem condiția ca : f(2a-1)= a-2 adică în forma funcției f(x)  înlocuim x cu 2a-1 și obținem:

f(2a-1)= a-2 \Rightarrow -2\cdot (2a-1) + 1 = a-2 \Rightarrow -4\cdot a+2 + 1 = a-2

\Rightarrow -4a+3 = a-2

Trecem toți termenii cu a într-o parte și toți termenii fară a în cealaltă parte.

\Rightarrow -4a-a=-2-3  \Rightarrow -5a=- 5 \ \ \ \ /:(-5)   \Rightarrow a= 1

c)  S=f(0)+f(1)+f(2)+... . . . . + f(2011)

Calculăm f(0), f(1), f(2), . . . . . , f(2011) și observăm că obținem Suma Gauss.

f(0)= -2 \cdot 0 + 1= 0+1=1

f(1)= -2 \cdot 1 + 1= - 2 +1= -1

f(2)= -2 \cdot 2 + 1= - 4 +1= -3

. . . . . . ..  .. . . . . . . .. . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .

 f(2011)= -2 \cdot 2011 + 1= - 4 022+1= -4021

Obținem :

S= 1-1-3-5-. . .. . . . -4021  \Rightarrow S= -(3+5+. . .. . . . +4021)

Aplicăm Suma Gauss a numerelor impare :

n= (4021-3) \ \ \ : \ \ \ 2 +1  \Rightarrow n= 4018 \ \ \ : \ \ \ 2 +1  \Rightarrow n= 2009 +1 = 2010 (termeni)

S=-[2010\cdot (4021+3) \ \ \ : \ \ \ 2]

S=-[2010\cdot 4024 \ \ \ : \ \ \ 2]

S=-[2010\cdot 2012]

S=- 4 044 120

Exercițiul 2:

Se consideră funcția    f : R\rightarrow R  , f(x)= -\sqrt{3}x+2\sqrt{3}

a) Reprezentați grafic funcția

b) Determinați aria triunghiului format de graficul funcției și axele de coordinate.c

c) Determinați distanța de la punctul  O(0,0)   la graficul funcției f(x).

Rezolvare:

  • a) \cap OX :   y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow -\sqrt{3}\cdot x+2\sqrt{3} = 0

\Rightarrow -\sqrt{3}x=-2\sqrt{3}

\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

\Rightarrow   x= __{{}}^{\sqrt{3})}\textrm{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} }

\Rightarrow   x=2  \Rightarrow A(2\ \ \ ; \ \ \ 0 )

  • \cap OY:  x=0  \Rightarrow  f(0)= -\sqrt{3}\cdot 0+2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}
  •                        \Rightarrow B(0 , 2\sqrt{3})

b) Calculăm  A_{\bigtriangleup AOB }. Observăm că \bigtriangleup AOB este dreptunghic în unghiul O astfel putem aplica formula:

 A_{{\bigtriangleup AOB}}= \frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}= \frac{OA\cdot OB}{2}= \frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} u.m^{{2}}

c)  Știm că distanța de la un punct la o dreaptă este perpendiculara din acel punct pe dreaptă. Adică înălțimea triunghiului AOB. Pentru a afla înălțimea ne folosim de aria triunghiului pe care am calculate-o deja. Folosim formula:

 A_{\triangle AOB}= \frac{b \cdot h}{{2}}   = \frac{AB \cdot OM}{{2}}

Calculăm  AB cu formula distanței dintre punctele A(2,0) și  B(0, 2\sqrt{3}) astfel:

AB= \sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}

x_{{A}}=2   și  y_{{A}}=0 iar x_{{B}}=0 și y_{B}=2\sqrt{3} , înlocuim in formula și obținem:

AB=\sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}

AB=\sqrt{{(2-0})^2+(2\sqrt{3}-0})^2}}   \Rightarrow AB=\sqrt{{2^2+(2\sqrt{3})^2}}

\Rightarrow AB=\sqrt{{4+2^2 \cdot 3}}  \Rightarrow AB=\sqrt{{4+12}}  \Rightarrow AB=\sqrt{{16}} = 4

Înlocuim în formula ariei și aflăm OM.

2\sqrt{3}u.m^2= \frac{4 u.m \cdot OM}{2} \ \ \ \ \ / \cdot 2

2 \cdot 2\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM  \Rightarrow 4\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM \ \ \ \ / \ \ : \ \ 4 u.m

\Rightarrow OM = \sqrt{3} \ \ u.m

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Graficul unei funcții  pentru copilul tău o gasești aici:Fisa de lucru Graficul unei functii

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”