January 2017 archive

Teorema lui Thales

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Continuăm  să ne pregătim la Geometrie cu o nouă lecție la capitolul “Asemănarea triunghiurilor”. Azi discutăm despre Teorema lui Thales.

Legenda spune că Thales care a învățat matematică de la Egipteni și Babylonieni a măsurat înălţimea piramidelor din Egipt, măsurând umbra lor în momentul în care umbra unui băţ vertical era egală cu lungimea lui vezi figura de mai jos. Procedeul este, fără îndoială, ingenios, dar nu e foarte sigură utilizarea lui de către Thales. Aici este evident implicat un caz particular al „teoremei lui Thales”; dar procedeul s-ar fi putut baza pe observaţia că dacă pentru un băţ (vertical) umbra lui este egală cu lungimea sa, această relaţie are loc pentru orice obiect (de exemplu o piramidă, un obelisc etc.).

Thales ar fi folosit cazul general al teoremei de asemănare „După ce ai aşezat toiagul perpendicular pe pământ, la capătul umbrei aruncate de piramidă, a arătat că prin căderea razei de lumină s-au format două triunghiuri; raportul existent între o umbră şi cealaltă era identic cu cel dintre înălţimea piramidei şi lungimea toiagului.

Theorema lui Thales:

O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi sau prelungirile lor, segmente proporționale.

 

Reciproca Teoremei lui Thales:

Fie triunghiul ABC și punctele E \in AB, F \in AC , aflate în același semiplan determinat de paralela prin A la BC.

Dacă:\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}  \Rightarrow EF \parallel BC

  • OBSERVAȚIE:  Dacă \frac{AE}{AB}\neq \frac{AF}{AC}   \Rightarrow EF \not \parallel BC

Aplicații ale Teoremei lui Thales:

  • Teorema Paralelelor Neechidistante:

Mai multe drepte paralele determină pe două secante oarecare segmente proporționale.

 

 

Dacă:  d_{1}\parallel d_{2}\parallel d_{3}\parallel d_{4}\parallel.............  \Rightarrow \frac{A_{{1}}A_{{2}}}{{B_{{1}}B_{{1}}}}=\frac{A_{{2}}A_{{3}}}{{B_{{2}}B_{{3}}}}=\frac{A_{{3}}A_{{4}}}{{B_{{3}}B_{{4}}}}=..................

  • Teorema Bisectoarei:

Într-un triunghi bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă două segmente proporționale cu celelalte două laturi.

  •  Pentru unghiul exterior:

  • Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numerele (segmentele) date:

Pentru a împărți un segment [AB] în părți proporționale cu numerele 2,3 și 5 procedăm astfel. Considerăm semidreapta [AX și pe ea, cu ajutorul compasului construim 10 segmente congruente (2+3+5=10)  astfel A_{{1}}A_{{2}}=2u, A_{{2}}A_{{5}}=3u, A_{{5}}A_{{10}}=5u. Unim A_{{10}} cu B și apoi ducem A_{{5}}N \parallel A_{{10}}B  și A_{{2}}M \parallel A_{{10}}B.  Cu ajutortul paralelelor echidistante obținem:

\frac{AM}{2}=\frac{MN}{3}=\frac{NB}{5}

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Raportul a două segmente

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi deschid un capitol nou și foarte important al Geometriei:  “Asemănarea triunghiurilor”. Este unul dintre cele mei importante capitole din geometria în plan și se bazează pe Teorema lui Thales.

Thales din Milet (624 – 546 î.Hr.), ar fi cunoscut teoremele privitoare la triunghiurile asemenea, cu ajutorul cărora a măsurat depărtarea unui vas de la țărmul mării. De asemenea, tot cu ajutorul lor  el ar fi măsurat înălțimea Marii Piramide a lui Keops.

(more…)

Segmente proporționale:

Def: Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor, exprimate cu aceeași unitate de măsură.

Definiție:  Patru segmente se numesc proporționale dacă se poate forma o proporție cu lungimile acestora.

Teorema paralelelor echidistante:

Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă decantă segmente congruente.

 

 

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Relații între mulțimi de numere


Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Operații cu mulțimi. Am invățat ce operații putem face intre mulțimi, despre reuniunea a două mulțimi, despre intersecția a două mulțimi și diferența a două mulțimi dar și diferența simetrică a  două mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Relații între Mulțimi, să vedem ce sunt mulțimile egale și mulțimile disjuncte dar și mulțimile finite și mulțimile infinite.

(more…)

Două mulțimi A și B sunt egale, dacă sunt formate din același elemente. Se notează A=B.

  • Observație: Orice element care aparține mulțimii A este și element al mulțimii B și reciproc orice element care aparține mulțimii B este și element al mulțimii A.
  • Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține mulțimii B sau invers, se spune ca mulțimile A și B sunt diferite și se notează: A \neq B .

Dacă intersecția a două mulțimi A și B este mulțimea vidă (cele două mulțimi A și B nu au nici un element comun) atunci mulțimile A și B sunt disjuncte.

  • Incluziunea: Mulțimea A este inclusă în mulțimea B și se notează : A\subset B , dacă orice element al mulțimii A aparține mulțimii B.

  • Dacă mulțimea B include mulțimea se notează: B \supset A
  • Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține și mulțimii B spunem că mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B și notăm: A \not \subseteq B  sau spunem că B nu include mulțimea A și notăm: B \not \supset \ A .

  • Observații:
  • Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime       \not \bigcirc\subset A
  • Orice mulțime este inclusă în ea însăși         A \subset A .
  • Dacă A și B sunt două mulțimi, astfel încât A \subset B  și B \subset A  atunci  A=B .
  • Dacă A, B și C sunt trei mulțimi, astfel încât A \subset B  și B \subset C ,  atunci A \subset C .

Submulțimi:

  • Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, adică A \subset B  se spune că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B.

  • Observații:
  • Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
  • Numărul submulțimilor unei mulțimi A este egal cu  2^{{card A}}
  • Mulțimea submulțimilor (părților) lui A se notează cu P(A).

Exemplu:  Fie mulțimea M=\left \{ 1,3,5 \right \}. CArdinalul mulțimii M Card M =3 . Mulțimea M are  2^{3}=8 submulțimi.

\not\bigcirc, \left \{ 1 \right \}, \left \{ 3 \right \}, \left \{ 5 \right \}, \left \{ 1,3 \right \}, \left \{ 1,5 \right \}, \left \{ 3,5 \right \}, M.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exerciții Rezolvate Operații cu Mulțimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am discutat despre Operații cu Mulțimi.  Am invățat ce este Reuniunea a două mulțimi,Intersecția a două mulțimi, Diferența a  două mulțimi  și Produsul cartezian a două mulțimi. Azi te invit să aplicăm ceea ce am discutat în articolul de ieri la lecția Operații cu Mulțimi în câteva exerciții rezolvate.

(more…)

EXERCIŢIUL 1: Se dau mulțimile: A=\left \{ 1,2,3\right \} , B=\left \{ 2,4,6\right \} și C=\left \{ 3,5,7\right \}. Calculați:  A\cup B, A\cap B, A\setminus B, A\cup C, A\cap C, A\setminus C.

Rezolvare:

A \cup B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,2,3,4,6 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

 

A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 2 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

 

A \setminus B=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,3 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A\cup C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2,3,5,7 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A\cap C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 3 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A\setminus C=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2 \right \}

 

 

 

 

 

 

 

EXERCIŢIUL 2:  Determinați mulțimile A și B astfel încât să fie îndeplinite simultan condițiile:

A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}

A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}

A\setminus B=\left \{ 4,6 \right \}.

Rezolvare:

Desenam cele 2 mulțimi:

Pentru a identifica mai  ușor cele două mulțimi A și B vom reprezenta întâi intersecția celor două mulțimi:

Apoi vom reprezenta pe desen A\setminus B .

Din reuniunea celor două mulțimi A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \} observăm că mai avem un elemnt\left \{ 5 \right \} pe care nu l-am atribuit nici unei mulțimi rezultă ca elementul   \left \{ 5 \right \}\in B .

Astfel am găsit mulțimile:

A= \left \{1,2,3,4,6 \right \}

B= \left \{1,2,3,5 \right \}

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

Operații cu mulțimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Mulțimi de Numere. Am invățat ce este o mulțime, despre mulțimea vidă, despre mulțimi finite și mulțimi infinite dar și depre cardinalul unei mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Operații cu Mulțimi, să vedem ce operații putem efectua între 2 sau mai multe mulțimi de numere.

(more…)

Reuniunea:  a două mulțimi A și B este mulțimea notată A \cup B, formată din toate elementele celor două mulțimi comune și necomune, luate o singură dată.

 A \cup B=\left \{ x | x \in A sau x \in B \right \}

 

  • Exemplu:A=\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}
  • B=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}
  • A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,7,9 \right \}

 

Intersecția: a două mulțimi A și B este mulțimea notată A\cap B , formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură dată

 A\cap B=\left \{ x| x \in A si x \in B \right \}

  • Exemplu:A=\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}
  • B=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}
  •  A\cap B=\left \{ 1,3,5 \right \}

 

Diferența: a două mulțimi A și B este mulțimea notată A \setminus B  , formată din elementele mulțimii A care nu aparțin mulțimii B.

A \setminus B=\left \{ x| x\in A si x\notin B \right \}

  • Exemplu:A=\left \{ 1,3,5,7,9 \right \}
  • B=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}
  • A \setminus B=\left \{7,9 \right \}

 

Produsul Cartezian: a două mulțimi A și B este mulțimea notată  A X B , formată cu toate perechile ordonate cu primul element din A și al doilea element din B.

 A X B =\left \{ (x,y)|x\in A si y\in B \right \}

Diferența simetrică:  a mulțimilor A și B:

A \bigtriangleup B = (A\setminus B) \cup (B\setminus A)

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi deschid un capitol nou și foarte important al Geometriei în plan : ” Relații Metrice în Triunghiul Dreptunghic”. Acest capitol este foarte important  în studiul Geometriei în Plan (geometria de clasa a VII-a), dar și în Geometria în Spațiu (geometria de clasa a VIII-a).  Prima lecție din acest capitol “Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii.” (more…)

Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă.

Observație:  Vom nota :  pr_{d}M=M^{{'}}

  • Teoremă:   Proiecția unui segment pe o dreaptă este un segment sau un punct.

  • Observație:  Dacă proiecția segmentului [AB] pe dreapta d este segmentul  \left [ A ^{'}B^{'} \right ] , atunci proiecția mijlocului segmentului [AB] pe dreapta d este mijlocul segmentului  \left [ A ^{'}B^{'} \right ] .

Teorema înălțimii:  Într-un triunghi dreptunghic lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

  • Observație:  Lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este raportul dintre produsul lungimilor catetelor și lungimea ipotenuzei.

  • Reciproca Teoremei Înălțimii :  Fie triunghiul ABC și D \epsilon (BC) astfel încât AD \perp BC și  AD^{{2}}=DC \cdot DB. Atunci  m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ} .

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit! În articolul de azi vreau să îți explic pas cu pas “Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate” . În articolul precedent ți-am vorbit despre Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect  azi trebuie să aflăm care este  algoritmul de extragere al radicalului unui număr real.

(more…)

Pentru a înțelege cât mai bine algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate voi lua un exemplu pe care îl voi explica pas cu pas.

Exemplu :   Reguli de calcul cu Radical

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!